CC BY
19
УДК 517.968
Г. В. Хромова
О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ
Рассматривается уравнение Абеля:
Аи = п 2 (х - г) 2и(г)Нг = /(х)
(1)
где и(х) Е С[0,1], /(х) задана ее ^-приближением в Ь2[0,1] : — — /Ць2 ^ Решается задача нахождения равномерных приближений и( х)
В [1] для операторных уравнений 1 рода был предложен метод построения регуляризирующих [2] операторов в виде Яа = ТаА-1, где применительно к пашей задаче, Та - любое семейство операторов, дающее равномерные приближения к непрерывной функции на отрезке, А-1 -
А
А—11 = п - ъН (х - г)-2 / (г)Нг.
Нх «/о
В [3] этот метод был реализован для уравнения Абеля, в котором ядро (х - г) имело степень в - 1 ГДе в Е (0, |).
В настоящей работе на базе «разрывных» операторов Стеклова построен метод для в = 2 Рассмотрим операторы
где
£(2)п =1 ^П, х Е [0, 1
9а1и, х Е [2 , 1],
9 2 П = —
9а2 п = о 2 а2
"х+а пх+2а
(г - х)и(г)Нг + / (2а - (г - х))и(г)Нг
о о х+а
и =
а1
а2
(2а - (х - г))и(г)Нг + / (х - г)и(г)Нг
' х—2 а
И построим семейство
В-а/ = 9(2 А 1/
Яа2/, х Е [0, 1 ],
Ва1 х Е [ 2, 1];
(2)
х
х—а
х
х—а
Raj f = sa j Af = 1, 2.
Поскольку функции Raj f являются разрывными в точке x = 2, мы будем считать их элементами пространства LTO[0,1] с нормой
II • Hl» = max(H • Ус [о, ^ II • Ус [1 ,ij).
Ra
с ядрами Ra(x,t); имеющими вид
Ra(x,t)= а-22п-2 jRoft)' Х G ¡0' У'
Rai(x,t), x G [2, 1],
где
Ra2 (x' t) ^
'(x - t)1 - 2(x - t + a)1 + (x - t + 2a)2, 0 < t < x, (x - t + 2a)1 - 2(x - t + a)2, x < t < x + a, (x - t + 2a)1, x + a < t < x + 2a, 0, x + 2a < t < 1,
Rax (x, t) = <
' (x - t - 2a)2 - 2(x - t - a)2 + (x - t)2, 0 < t < x - 2a, (x - t)2 - 2(x - t - a)1, x - 2a < t < x - a, (x - t)2, x - a < t < x, 0, x < t < 1,
0 < a < 4.
Доказательство проводится по схеме аналогичного доказательства в [3], но содержит принципиальные технические трудности, и поэтому является более сложным.
Теорема 2. Операторы Ra, рассматриваемые как операторы, из L2[0,1] е LTO[0,1]; являются регуляризирующими для уравнения (1).
Доказательство. Согласно [2] утверждения теоремы будут справедливы, если будут установлены свойства:
1) Ra G (L2[0,1] — LTO[0,1]),
2) ||RaAu — u||lto — 0 при a — 0 и любой u G C[0,1],
3) Ra- ограниченные операторы при каждом фиксироваппом a. Свойство 1) вытекает из вида операторов Ra - для любой f (x) G
G L2[0,1] функции Rajf являются непрерывными: на [0, |] при j = 2 , на [ 1, 1] при j = 1.
(2) (2)
Свойство 2) вытекает из того, что RaA — Saa ||Sa u — u||lto —у 0 при a — 0 и любой u G C[0,1].
Свойство 3) следует из (2-4), если к интегралам, входящим в выражения (2), применить неравенство Буняковского.
Например, имеем
рх ра рх
\ (х - г)1 /(г)Нг\ < ( тНт)1 ( /2(г)Нг)1 < ~7= ||/||ь.
о х-а о 0 о х-а V2
Аналогичную оценку имеют и другие интергралы.
В результате для нормы
||Rа||L2^Lж = тах(^Яа2 11Ь2[0,1]^С[0,1 ], ||Ва1 ^[0,1]^[1,1]), получаем оценку
^К-а^Ь^Ьж < Са 1.
Отсюда вытекает
Следствие. Для того чтобы метод решения уравнения (1) с помощью семейства Яа был регулярирующим, достаточно согласовать а = а(6), чтобы а(6) ^ 0 и 6(а(6))-1 ^ 0 при 6 ^ 0.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (проект 1.Ц36.20ЦК)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромова Г. В. Об одном способе построения методов регуляризации уравнений первого рода // ЖВМ и МФ 2000. Т. 40, № 7. С. 997-1002.
2. Иванов В. К., Васин В. В., Та,на,на В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения // М, : Наука, 1978, 206 с.
3. Хромова Г. В. Регуляризация уравнения Абеля с помощью разрывного оператора Стеклова // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2014, Т. 14, вып. 4, ч, 2, С, 599-603,
УДК 517.968
Г. В. Хромова, А. О. Савенкова
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ НА НЕКОТОРОМ КОМПАКТНОМ КЛАССЕ
В данной работе для одного метода регуляризации получена неулуч-шаемая по порядку оценка погрешности приближенного решения. Рассматривается уравнение Абеля:
гх (х _ г)а-1
Аи = ( _( )) и(г)Нг = /(х), (1)
]0 Г(а)
