О приближении производной от решения уравнения Абеля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968

А. А. Хромов

О ПРИБЛИЖЕНИИ ПРОИЗВОДНОЙ ОТ РЕШЕНИЯ

УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ

В [1] для получения равномерных приближений к непрерывному решению уравнения Абеля построен метод регуляризации на базе разрывного оператора Стеклова.

В данной работе построен метод, позволяющий получать такие приближения к производной от решения уравнения Абеля и использующий для этой цели операторы из [2].

Рассмотрим уравнение Абеля:

в котором и(х) Е С![0,1], 0 < в < 1, /(х) задана приближением /(х) : Н/^(х) - /(х)||ь2 < 6.

Возьмем операторы из [2]:

Теорема 1. Операторы Яа являются интегральными операторами с ядрами Яа(х,Ь), имеющими вид

(1)

^а(x,г)

(а2Г(1 - в))-1Яа2(х, г), х Е [0,1/2], (а2Г(1 - в))-1йа1 (х, г), х Е [1/2,1],

(2)

где

Яа.2(х,г) = <

' (х - г)-в - 2(х + а - г)-в + (х + 2а - г)-в, 0 < г < х, (х + 2а - г)-в - 2(х + а - г)-в, х < г<х + а, (х + 2а - г)-в, х + а < г < х + 2а, Д х + 2а < г < 1,

В,а\(М) = <

' (х - 2а - г)-!3 - 2(х - а - г)-в + (х - г)-в, 0 < г < х - 2а, (х - г)-в - 2(х - а - г)-в, х - 2а < г < х - а, (х - г)-в, х - а < г < х, 10, х < г < 1

V ' —

при а < 1/4.

Доказательство аналогично доказательству соответствующей теоремы из [1].

Теорема 2. Операторы Е^, ] = 1,2, при 0 < в < 1/2 являют-

а

действующими из пространства Ь2[0,1] в пространство С[1/2,1] при, ] = 1 и в С[0,1/2] при ^ = 2. При, этом справедлива двусторонняя оценка:

(1 - 2в)"1/2(Г(1 - в))-1а-3/2-в < <

< 2^2(1 - 2в)"1/2(Г(1 - в))-1а-3/2-в. (3)

Доказательство. Из теоремы 1 имеем

||Яа2|к[однс[0,1/2] = ошах (7(х))1/2,

где 7(х) = 71 (х) + 72(х) + 7з(х),

пX

71 (х) = [(х - г)-в - 2(х + а - г)-в + (х + 2а - г)-в]27г,

Л

/>X

72(х) = [(х + 2а - г)-в - 2(х + а - г)-в]27г, ]о

пх+2а

73(х) = (х + 2а - г)-2в&г.

«/ х+а

х

7(х) > 7з(х) = (1 - 2в)-1а1-2в. Для получения оценки сверху пользуемся представлениями:

71(х) = 7ц (х) + 712 (х) + 271з(х),

где

рх

711 = [(х - г)-в - 2(х + а - г)-в]27г, ио

пх

712 = (х + 2а - г)-2в ¿г,

Л

х

713(х) = [(х - г)-в - 2(х + а - г)-в](х + 2а - г)-в¿г, ио

и

Л(х) = 721 (х) + 4722(х) - 4723(х),

где

рх+а

721(х) = (х + 2а - г)-2в¿г,

х

/>х+а

722(х) = (х + а - г)-2в¿г,

х

/>х+а

723(х) = (х + 2а - г)-в(х + а - г)-в¿г.

х

Оценивая сверху каждую из функций 7у, г = 1, 2; ^ = 1, 2,3, приходим к оценке:

7(х) < 8(1 - 2в)-1 а1-2в.

Отсюда получаем оценку (3) для нормы ||Яа2||£2[од]^С[од/2] и аналогичными рассуждениями получаем точно такую же оценку для нормы ||Яа1 ||ь2[0;1]^с[1/2;1]? откуда следует утверждение теоремы.

Рассмотрим величину

Д(6,Яа,и) = йир{ ^Яа.^ - и/||Ьто[а,1] : - /||Ь2}

Теорема 3. Для сходимости Д(а, Яа,и) ^ 0 при а ^ 0 6 ^ 0 необходимо и достаточно выполнения, согласования а = а(6)7 удовлетворяющего условиям:

а(6) ^ 0 и 6(а(6))("3/2"в) ^ 0 при 6 ^ 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-0 1-00238).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромова Г. В. Регуляризация уравнения Абеля е помощью разрывного оператора Стеклова //Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч, 2, С, 599-603,

2, Хромов А. А. Приближение функции и её производной е помощью модифицированного оператора Стеклова // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2014, Т. 14, вып. 4, ч, 2, С, 593-599,

3, Иванов В. К. Об интегральных уравнениях Фредгольма первого рода // Дифференциальные уравнения, 1967, Т. III, № 3, С, 410-421,