О восстановлении решения вместе с его производной уравнения Абеля c приближенно заданной правой частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1984. Вып. 6. С. 5358.

2. Шишкова Е.В. Решение задачи Колмогорова—Никольского для интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2004. Вып. 6. С. 149-152.

3. Хромова Г.В. О задаче восстановления функции // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1975. Вып. 5, ч. 2. С. 60-76.

УДК 519.517.948

Е.В. ШИШКОВА

О восстановлении решения вместе с его производной уравнения Абеля е приближенно заданной правой частью1

Рассмотрим уравнение Абеля:

X

Аи = щ / (х —-1 ^ = / (X, 0 <в< 1, 0 ^ х ^ 1. (1) 0

Пусть известно, что при данной правой части существует непрерывная функция и(х), являющаяся решением уравнения (1). При этом вместо точной правой части нам известна функция / (х), такая что II/ — /II^ ^ В [1], используя общий подход из [2], по аналогии с [3] построен метод регуляризации уравнения (1), с помощью которого можно получать равномерное приближение к и(х), а также к производной от решения (если и(х) Е С 1[0,1]).

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ (проект НШ — 1295.2003.1).

Регуляризующие семейства операторов в этом случае имеют конструкцию

&а = ПгА-1, Р = 0,1,

где Тр — операторы из теорем 1 и 2 статьи автора «Построение расширенных операторов, дающих приближение к функции и ее производным на отрезке» настоящего сборника при к = 1, дающие равномерное приближение к любой непрерывной функции (р = 0) и ее производной (р = 1) на отрезке [0,1] соответственно, а оператор А-1 [4]:

X

,-1, 1 * Г /(г)

Л-1/ =____•> у '

А * Г(1 - в) йх] (х - г)в

о

Известна [1]

Теорема 1. Операторы Яа = Т^А 1 (р = 0,1) имеют вид

3

Яа/ = 2а3Г(3 - в - р)Яа^

где при х € [0, а]

х+а

Я/ = / (-ЯРв 1(х,т) + Я£в2(х,т)) /(т)*т + I яаа/32(х,т)/(т)*т;

0 а-х

при х € [а, 1 - а]

х+а

Яа/ = / (яРзз(х,т) + ЯРз2(х,т)) /(т)йт + I Я1в2(х,т)/(т)йт;

о х-а

при х € [1 - а, 1]

х-а

Я/ = / (Я*зз(х,т) + яав4(х,т) + яав5(х,т)) /(т)йт+

ах

ха

2-х—а

♦/.............

х а 2 х а

Ярав4(х, т) ♦ яра/35(х, т)) /(т)(т ♦ [ яра/35(х, т)/(т)(т;

Яра131(х,т) = (а(1 — в — р) + т ♦ х)(а — х — т)1—в—р,

ЯРв2(х,т) = (а(1 — в — р) + т — х)(х — т ♦ а)1—в—р,

ЯРв3(х, т) = (а(1 — в — р) — т ♦ х)(х — т — а)1—в—р,

Ярв4(х, т) = (2 ♦ а(1 — в — р) — т — х)(2 — х — т — а)1—в—р,

ЯРрв5(х,т) = (1 — р)(1 — в)(2 — в) (а2 — (1 — х)2) (1 — т— 2(1 — т)2—в—р.

Каждый из операторов Яр (р = 0,1) при 0 < в < ^ является линейным ограниченным, действующим из Ь2[0,1] в С[0,1], интегральным оператором.

При этом если вместо С[0,1] рассматривать С[0,1 — е] (е > а), то ЯР линеен и ограничен при 0 < в < 1.

В данной статье получены точные по порядку а двусторонние оценки для норм операторов Яр (р = 0,1) и указаны условия согласования параметра регуляризации а с погрешностью исходных данных

Теорема 2. При 0 < в < ^ справедлива двусторонняя оценка:

С0(в)а-(1< IIЯР|| < С0(в)а—(2+в), (2)

где

3 • 22 / 4 „ , (2 — в Г 2

С0(в)== г(з—в) 15——, (3)

С0(в)=^(^Ч^ ^ ♦22—2в ♦2 •51—2в > ♦

+ 8(1 — в^ в) ^ + 23—2в} + 4 {23—2в ♦ 34—2в ♦ 54—2в} ♦

+—{1 + 5 • 24-23 + 35-23 + 3 • 55-23} + 5 — 2в

+ 4(2_ 2Д)2 {22-23 + 33-23 + 53-23} ) 2 • (4)

Доказательство

Имеем

/1 \ 2 11Я<>= 2а3г(33 - в) о2ЦХ§1 (/ (Яа(х'т))2

где Яа(х,т) — ядро оператора Яа из теоремы 1. 1. Пусть х € [0,а]. Из теоремы 1 имеем

1 а—х

;(х,т))2 *т = у ((х + а - т)1-3(а(1 - в)+ т - х)+ о

)2

+ (а - х - т)1-3(а(1 - в)+ т + х)) йт+

х+а

+ [ ((х + а - т)1-3(а(1 - в)+ т - х))2 йт <

а-х

а-х

Г ,2-23

< 2 (х + а - т)2-23(а(1 - в) + т - х)2*т+

о

а-х

2

+2 у (а - х - т)2-23(а(1 - в)+ т + х)2йт+ о

х+а

+ у ((х + а - т)1-3(а(1 - в)+ т - х)) йт = 2/1 + 2/2 + /3,

а- х

так как для любых чисел а и Ь: (а + Ь)2 < 2(а2 + Ь2).

Сделав замены переменных т1 = х + а - т в /1 и /3 и т1 = а - х - т в /2, имеем

х+а

/1 = I т2-23(а(2 - в) - т1)2йт1 =

2х

2Г а2(2 - в)2 - а(х+а)4-23 ^^ - Т^^ - в)2+

(2х)5-23 ( 23-23 25-23 >>

+а(2х)4-23 - ^ Л (2 - в)2 - 1 + + 24-223 а5-23.

а-х

/2 = / т2-23 (а(2 - в) - п)2^ = а2(2 - в )2 ^ - «(« - х)4-23+

о

, (а - х)5-23 < Г (2 - в)2 + 1 а5-23 + 5 - 2в < \ 3 - 2в + 5 - 2в / .

(х + а)3-23 2. т2 ,4 23 (х + а)5-23 (а - х)3-23 2.

(а _ х)5-23 Г 23-23 25-23

-в)2 + а(а - х)4-23 - < { А-^(2 - в)2 + ^ > а5-23.

Следовательно, 1 /

0'х-т»■ * < 2 (^ <-="- + 1) + «Ч-^ - ■ +

о

+ 24-2^ а5-23 = (71 (в)а5-23. 2. Пусть х € [а, 1 - а]. Имеем

х-а

'(х'т))2= / ((х + а - т);—3(а(1 - в) + т - х)+

о

)2

+(х - а - т)1-3(а(1 - в)+ х - т)) йт+

х+а

+ 1{х+а - т )2-23 (а(1 - в)+т - х)2йт 3 л+

х- а

Очевидно,

/ 25-23 (2 _ в)223-23\

* = 5-- 24-23 + -2Н а5-23 3 С21(в^

В J1 делаем замену x — а — т = ть

х—Р

Jl ^У (т!—в(а(2 — в)+ т1) — (т1 + 2а)1—в(т1 ♦ ав)) 2 (ть о

Рассмотрим два случая: 1) если х — а ^ 3а, тогда:

-3р

Л (т!—в(а(2 — в)♦ т1) — (т1 ♦ 2а)1—в(т1 ♦ ав))2 (т1 ^ о

-3р

^ ^ (т2—в ♦ а(2 — в)т1—в)2 (т1+ о

-3р

(а(2 — в)(т1 ♦ 2а)1—в — (т1 ♦ 2а)2—в)2(л =

о

= 2 ( 3 к ♦г, ♦ 34—2в ♦ (2 — в)23 ♦ 5

5 — 2в 3 — 2в

— 54—а5—2в = (722(в)а5—2в. 2) если х — а > 3а, разобьем ^ на два интеграла:

-3р -х-р

Л = У ♦ У = ♦ ^12 •

0 3р

По аналогии со случаем 1) имеем оценку

^ С722(в)а5—2в.

2а 2а

В Л12 т1 ^ 3а и — ^ — < 1, поэтому, раскладывая скобки вида

т 3а

( 2а\7

1 +--в ряд Тейлора

т1

(1 +2аV 1 + ^2а + 7(7 — 1) (2а\2 + 7(7 — 1)(7 — 2) (2а\3 +

п) =1+V ♦—3!— ^ ♦

и приводя подобные слагаемые получаем

хр

./12 =(2 — в)2(1 — в)2в2«7 (4(1 — +

3р

, (1 + в)(2 ♦ в) (2а)2 +

♦2 1 —1 ♦ (2а) — (1 + в)(2 + в) (—)2 ♦ .ЛУт—2—2в(т1.

3 т1 3 • 4 т1 1

Учитывая, что

a)для любых положительных чисел а и Ь (а — Ь)2 ^ (а ♦ Ь)2;

1 ♦ в 2 ♦ в 1 ♦ в 2 ♦ в

b)—-— < 1, —-— < 1,..., —-— < 1, —-— < 1,... так как 0 < в < 1; 4 5 3 4

2а 2

c) ^ 3;

т1 3

2 /2\2 /2\3 1

+ д + ♦ ( 3 ) ♦ ... = -2 = 3 как сумма бесконечно

1 — 3

убывающей геометрической прогрессии, имеем

/12 < (2—в )2 (1—в )2в2«« ((4+2) (1 ♦ 2 ♦ (2 У ♦... 11х

хр

.—2—2^ > _1пп^"> й,2_й2.( (х — а}-1-2в (3а}-1-2в

х у .г-(т1 = 100(2—в)2(1—в^—♦ ^^; <

3р

3—1—2в

< 100(2 — в)2(1 — в)2в23Т2за5—2в = (?23(в)а5—2в.

Следовательно, -1 ( )

£(х,т))2(т ^ ((721 (в) ♦ С22(в) ♦ С23(в)) а5—2в = (72(в)а5—2в.

о

3. Пусть х Е [1 — а, 1]. Имеем

0(х,т))2(т = ((1 — в)(2 — в) (а2 — (1 — х)2) (1 — т)—в

1

хр

—2(1 — т )2—ß + (ж — а — т )1—ß (ж — т + а — aß )+

)2

+ (2 — ж — а — т)1—ß(2 — ж — т + а — aß)) dт+

2 —x p

+ J ((1 — ß)(2 — ß) (а2 — (1 — ж)2) (1 — т)—ß — 2(1 — т)2—ß+

x-p

)2

+ (2 — ж — а — т)1—ß(2 — ж — т + а — aß)) dт+

—1

+ Í ((1 — ß)(2 — ß) (а2 — (1 — ж)2) (1 — т)—ß — 2(1 — т)2—ß)2dт

2-x-p

■ Il + /2 + /3.

x—p—1

Í3 = / ((1 — ß)(2 — ß) (a2 — (1 — ж)2) т—9 — 2^)

/3 = / 1(1 - ß)(2 - ß) (a2 - (1 - ж)Ч т,-р - 2тГр1 ^ =

О

(ж + а _ 1)1—2ß

= (1—ß)2(2 ß)2(а2—(1—ж)2)2(ж +1а— 2ß)--4(1—ß)(2—ß)(а2—(1—ж)2)x

(ж + а — 1)3—2ß (ж + а — 1)5—2ß

x -----h 4----<

З — 2ß Б — 2ß

< Í ß—^ т42ß } а- ■ Öl.»

2 —x p

/2 < 2 / ((1 — ß)(2 — ß) (а2 — (1 — ж)2) (1 — т)—ß — 2(1 — т)2—ß)2dт+

x—p

2 —x p

+2 I ((2 — ж — а — т )1—ß (2 — ж — т + а — aß ))2 dт =

2

x—p 1—x+p

2

= 2 (1 — ß)(2 — ß) (а2 — (1 — ж)2) т—ß — 2т2—^ dn +

x+p —1

2— 2x

+2 I т2—2ß(n + а(2 — ß))2dn <

1

О

(, лч2, л>2 21—2в 4 • 25—2в 4(1 — в)(2 — в) 25—2в +24—2в + а5—2в = (7з2(в)а5-2в.

Сделав в 11 замену т1 = х — а — т, имеем

-х-р

/1 = / {(1 — в)(2 — в) (а2 — (1 — х)2) (т1 — х ♦ а ♦ 1)—в—

— в)(2 — в) \а — (! — х) у (т 1 — х ♦ а ♦■' —

—2(т1 — х ♦ а ♦ 1)2—в ♦ т1—в(т1 ♦ а(2 — в))+

}

♦ (2 — 2х ♦ т1)1—в(2 — 2х ♦ т1 ♦ а(2 — в))} (ть

Как и в пункте 2 для /1 рассмотрим два случая: 1) х — а ^ 3а:

-3р

/1 {(1 — в)(2 — в) (а2 — (1 — х)2) (т1 — х ♦ а ♦ 1)— о

—2(т1 — х ♦ а ♦ 1)2—в ♦ т1—в(т1 ♦ а(2 — в))+

}

♦ (2 — 2х ♦ т1)1—в(2 — 2х ♦ т1 ♦ а(2 — в))} ^

-3р

^ 2j{(1 — в)(2 — в) (а2 — (1 — х)2) (т1 — х ♦ а ♦ 1)—в— о

-3р

2(т1 — х ♦ а + 1)2—в}2 (т1 +4 / {т!—в(т1 ♦ а(2 — в))}2 (т1 +

-3р

♦4 / {(2 — 2х ♦ т1)1—в(2 — 2х ♦ т1 ♦ а(2 — в))}2^

о

^ 2(1 — в)2(2 — в)251—2в + 8(1 — в)(2 — в)23—2в + 4 (34—2в + 54—2в) +

1 — 2в 3 — 2в

4 ( ) 2

45

(35—2в ♦ 3 • 55—2в) ♦ 4(2 в) (33—2в ♦ 53—2в) = (733(в)а5—2в.

5 — 2в 7 3 — 2в

2) х - а > 3а:

Из первого случая

3а х-а

/1 = / + / = /11 + /12. о 3а

/11 < (33(в)а5-23.

1 + а - х 2а 2 - 2х 2а

В /12 т1 ^ 3а и- < — < 1, - < — < 1, поэтому, рас-

т 3а т 3а

Л 1 + а - х\7 / 2 - 2х\7

кладывая скобки вида 1 +--и 1 +--в ряды Тей-

т1 т1

лора и приводя подобные слагаемые, получаем

/12 = (1 - в)2(2 - в)2в2 у т1-2-23{(а2 - (1 - х)2)(1 - х - а)х

3а

х [ 1 + 1 + в ( 1 - х + а) - (1 + в)(2 + в) ( 1 - х + а+ ( +

(1 - х + а)3 ( 1 + в (1 - х + а) (1 + в)(2 + в) + 3 I1 - — + 4Г5 х

(1 - х + а У \ (2 - 2х)3 / 1 + в

ч-.") +6 1+-+-х

х (^х ) - (! + в )(2 + в) ^ (2-2х + \ + а(2 - 2х)2 х

х (-1+^ •(2х) - (1±4н42+!! •( ")'+ ■)}' й-

Исходя из тех же соображений, что и во 2-м случае пункта 2, имеем

/12 = (1 - в)2(2 - в)2в^ т-2-23 {а2 • 2ах

3а

1+2+(3)'+(3 )3♦■■■)+¥ (1-1-(2)'+(2 )3+

ха

ха

И+(2)'+(3 У+■■■>> *

х-а

= 242(1 - в)2(2 - вт-2-2вdri ^

За

< 242(1 - в)2(2 - в)2в2f+T^a5-23 = ¿Ыв)а5-2в.

Следовательно,

i

(А°(x,T))2 dT ^

^ (<7зт(в) + C32(в) + C733(в) + С34(в)) а5-2в = <^з(в)а5-2в.

Таким образом, сравнивая СТ(в), C72(в) и С3(в), получаем

i

sup i (R°(x, t)) 2 dT < С3(в)a5-2e, J

0

откуда следует правая часть оценки (2) и выражение (4).

С другой стороны, все интегралы, рассмотренные в доказательстве, для которых были получены оценки сверху, кроме интеграла J2 из второго пункта, оцениваем снизу нулем и получаем

i

sup / (R°(x,T)) 2 dT ^ J2, J

0

что дает левую часть оценки (2) и формулу(З). Теорема доказана. Теорема 3. При 0 < в < - справедлива двусторонняя оценка:

СТ(в)а-(3< ЦАТIL^c < СТ(в)«-(2+в>,

где

С1(в) =

3

2Г(2 — вК3 — 2в

23—_ 22—2в +(1 — в)221—2в'

1 — 2в

С2(в) =

3

г(2 — )

♦4 • 31—в51—в ♦ 21—2в ♦

(1 — в)2в216 • 31—2в + (1 — в)2 {31—2в + 2—2в} +

1 ♦ 2 в 20

3—2

1—2

{52—2в + 2—2в}

3

1/2

3—2

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.

Следствие 1. Для того чтобы

Д(6, Яр, и) = вир { \\ЯР/ — и(р)\^ : ||/ — Аи||ь2 ^ 6} ^ 0

при 6 ^ 0 (р = 0,1), необходимо и достаточно так согласовать а с 6, чтобы а(6) ^ 0 и 6 • а(6) ^ в ^ 0 при 6 ^ 0.

Доказательство Доказательство следует из того, что при указанном согласовании

яр (S)f

-и(р)

0

с

Яр (5)

0

Ь2^ с

при 6 ^ 0 (р = 0,1) (поскольку Яр/ = Три) и 6 при 6 ^ 0, а эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы Д(6, Яр, и) ^ 0 при 6 ^ 0.

Библиографический список

1. Шишкова Е.В. Регуляризация уравнения Абеля в пространстве С 1[0,1] // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2004. Вып. 7. С. 140-142.

2. Хромова Г.В. Об одном способе построения методов регуляризации уравнений первого рода // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 7. С. 907-1002.

3. Хромова Г.В.. О приближенных решениях уравнения Абеля // Вестн. Моск. ун-та. 2001. Сер. 15. № 3. С. 5-9.

4. Самко С.Г, Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

УДК 519.21

А.В. ШУТОВ О распределении дробных долей II1

ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена изучению распределения дробных долей па + а по модулю 1. Основной характеристикой распределения является величина

г(а, а, n, I) = N (а, а, n, I) — n|11,

где I С (0; 1) — некоторый интервал, и

N (а, а, n, I) = tf{k : 0 < k < n, < ка + а >€ I}.

Наибольший интерес представляют интервалы ограниченного остатка, то есть такие интервалы I, для которых

|г(а, а, n, I)| < C,

где C не зависит от n.

В работах Гекке [1] и Кестена [2] было выяснено, что интервал I является интервалом ограниченного остатка тогда и только тогда, когда |11 € аЪ + Z, причем

|г(а, 0, n, I)| < |h|,

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 02-01-00368.