Регуляризация уравнения Абеля в пространстве C1[0,1] Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М., 1976.

2. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.. 1980.

3. Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. М.;Л., 1937.

4. Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей, применения. М., 1955.

5. Шевцов В. И. Об одном квазианалитическом классе функций. Саратов, 2000. 15 с. Деп. в ВИНИТИ 20.04.2000, №1 ЮЗ-ВОО.

6. Шевцов В. И. Уравнение бесконечного порядка в одном квачианалитическом классе функций // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов, 1999. С. 72-75.

УДК 519.517.948

Е. В. Шишкова

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ С'|0,1| *

Рассмотрим уравнение Абеля:

И1 = Дх), 0<х<1, 0<Р<1. (1)

Г(Э)0](х-Оьр

В данной статье, используя общий подход из [1], по аналогии с [2] построен метод нахождения приближений к решению ф)еС[0,1] уравнения (1), а также к производной от решения (если и(х)еС'[0,1]), когда правая часть /(х) уравнения задана ее б-приближением в метрике £2[0,1]:||/-/8|Х2 <5.

Подход из [1] заключается в следующем: если для уравнения известен обратный оператор А ' и имеется семейство операторов Та такое, что -и| -> 0 при а—>0, то семейство операторов Яа =ГаА~1 будет ре-гуляризируюгцим для исходного уравнения в случае, если Ла является ограниченным оператором, действующим из в С.

Известно [3], что

Г(1-0)Л1о'(х-О

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).

141

Рассмотрим операторы:

тО 3

1„Ы =--;

V а , х+а

¡[(г-х)2-а2)и(1)Ж и Т^и = —г ¡(1 -х)и(()Ж, -сI 2а у—а

4а ' где а > 0 - параметр.

Известно [4], что если и(х) е С'[0,1], то || при

а ->0 (/? = 0,1), где СЕ = С[е,1-е], е > а.

ТЕОРЕМА. 1. Для интегральных операторов

^го 3 4а

где

о

х-а

х-а 2-х-а

¡(Ка1(х,1) + Ка2(х,п)и(1)^ + ¡Ка](х,1)и(1)Л, х е [0,а],

и-х

'■а

^КоА(х,1)и(1)Л, х е [а,1 - а1,

1

\Кл1(х,0 и(г)Ж + |(А:а,(х,/) + Ка3(х,{))и(1)с11,хе[1 - аД],

2-х-а

Ка1(х,0 = (1 -х)1 -а2, Ка2(х,0 = (1 + х)2 -а2, Ка 3(х,0 = (2-?-л-)2-а2,

справедливо: |Га°м — и ^ ^ -> 0 при а —> 0 .

Обозначим ядра операторов Га° через 7"а° (х,!).

ТЕОРЕМА 2. Если функция и(х) е С1 [0,1] и и(0) = м(1) = 0, тогда для интегральных операторов

о

с!т

!и(1)сИ

справедливо: Т^и - и | ^ —.► 0 при а -> 0.

Рассмотрим семейства операторов:

Д£=70 = 0,1). ТЕОРЕМА 3. Операторы = А 1 (р = 0,1) имеют вид

3

2аТ(3 - [3 - р)

К1,

где

при хе[0,а]

НГ = " + Ларр2(х,т))/(т)Л + °}л£р2(х,т)Ят)А;

при хе[а,1-сх]

Kf = + R^2(x,x)]f{x)dx +Л J\R^2(x,x)f{x)dx;

0 x~a

при x e [1 - a,l]

</ = ' jl<P3 (*= + <34 (*. + <05 <*. +

2-xya

+

ii<P4 (*> + <35 (*> T)j/(T)A + (X. x)f(x)dx'

x-a. 2-x-a

<pi(*,x) = (* + т - a(J + a(l - p))(a - x -<32 (*-T) = (т - x - a|J+ a(l - p))(x - x + cc)'~|3~<p, <рз (*>T) = (x-x- ар + a(l - p))(x - т - a)1"13^,

= (2 - x - T - ap + a(l - p))(2 - x -1 - a)1"15-", <p5(x,т) = (1 - p)(l - p)(2 - p)(a2 - (1 -x)2)( 1 - T)"p - 2(1 - x)2^'".

Каждый из операторов R£ (p = 0,1) при 0<P< ^ является линейным ограниченным действующим из Z,2[0,1] в С[0,1] интегральным оператором. При этом в пространстве С [0,1-е] (е>а) оператор является линейным ограниченным при 0 < Р < 1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромова Г. В. Об одном способе построения методов регуляризации уравнений первого рода // ЖВМ и МФ. 2000. Т. 40, № 7. С. 907 - 1002 .

2. Хромова Г. В. О приближенных решениях уравнения Абеля // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. 2001. № 3. С. 5 -9.

3. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. С. 38.

4. Хромова Г. В. О дифференцировании функций, заданных с погрешностью // Диф. уравнения и выч. математика. 1984. Вып. 6. С. 53 - 58.