О скорости аппроксимации приближенных решений интегрального уравнения Вольтерра i рода в пространстве гладких функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М., 1976.

2. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент. М., 1981.

3. Шевцов В. И. Об одной системе уравнений бесконечного порядка // Теория функций и приближений. Саратов, 1983. С. 40 - 45.

4. Шевцов В. И. Представление целых функций обобщенными рядами экспонент // Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов, 2004. Вып. 6. С. 146 - 149.

УДК 519.642.8

Е. В. Шишкова

0 СКОРОСТИ АППРОКСИМАЦИИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ

ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА I РОДА В ПРОСТРАНСТВЕ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ

В данной статье решена задача нахождения асимптотически точных верхних граней отклонений решения интегрального уравнения Вольтерра

1 рода вместе с производными решения от их приближений, построенных с помощью некоторого семейства интегральных операторов

Рассмотрим уравнение

Ли = /мол = /(*), (1)

о

где А(х,Г) удовлетворяет условиям: существуют и непрерывны производ-

(

ные А , (х,?) (/ = 1,и)

А , (х,0 = ~А(х,О х дх'

А „Ах,Г) (/ = 1,и),

А ,(х,х)-0 (г' = 0,и-2), А„(х,х) = 1,

(*,*) = 0 (/ = 0,77-1). Для п = 1 уравнение (1) рассматривалось в [1]. Пусть и(х) е С9[0,1]. Рассмотрим семейство операторов:

(р = М, Ч + п<к),

где

Таки=аГ'\-Р^ " Х)\ ~ " ' * = 1,2,..., р = <? = 0Д,

а> 0 - параметр, ак = Ака(и+]\ Ак=(-1)к

Операторы являются регуляризирующими для уравнения (1) в случае, если они являются ограниченными, действующими из Ь2 [ОД] в СЕ[0,1] операторами [2].

Известно [3], что \ГКи - и{р)\ ->0 (р = 0,к) при а->0

СЕ[0,1] = С[е, 1-е], е>а. Следовательно,

II се се

ТЕОРЕМА 1. Операторы имеют вид }Р ТР+"

где

ос о/ ~ ак У '

' х-а дг+а ор// _ \2 _ п2\к

К,/=Ы)"ак\ \ \ цт УР а ] +

О х-а ОХ

Г / др((т - х) - а ) „ , ,,,,,,

+ 1 I ,-J-Nr(^,t)dтf(t)dt

х-а I Vх

N - интегральный оператор с ядром N(x,t), имеющий вид

м = -Ах„+А2х„ -Л\я + ..., А „ - интегральный оператор с ядром А „(х,0-

Рассмотрим классы:

где (1'-,''' [ОД] - одномерные пространства Соболева с нормой:

|«и-=! кии?

1 1о1

\

л Л

-1 У

и величины:

А(1р)(^^,Л/Г1) = 8ир|||</-м(р)|с : и(х)еА/2«+1[я,й]} (я + п = 1,к),

характеризующие скорость аппроксимации и<р\х) с помощью операторов Яр на классе М|+1[ОД].

ТЕОРЕМА 2. Имеют место асимптотические по а при а —> 0 пред-

ставления

где

Д\"\КА,Мч2+') = Рк + р = 0,д,я = 0,к,

1 / 7 т = ~, / = - при р =

3 I 7 1

т = ~, / = — при р = д-\,

т = 2, 1 = 3 при р = д - 2; т = 2, / = 4 при р < д - 2, 161

гкдд-

ч1/2

„=0 (4А: - 2и - 2л + 3) -'о (2д + 1 - /)!/!(2(£ - и) + г + 1)

к <? ~

(-1 )' + Ч

г* «-ч

4 I.

С*-«)

12(А:+ 1)(Аг + 2) + + 1) 2(А: - + 3

7 7 21 * , * (-О^сгс*;1

А 2А-2л+2д+2

5=0 2</ + 1

л=0

4*-2и-2я+ 5

(-1)'

Л

1/2

/=о (29 + 1-0!Л(2(Л-я) + 1Ч-1) р

* Р Ч

0> + 1)(/> + 2) 2(к - 5) + 3 яГ02(А:-«) + 3

С(с,г]) - функция Грина дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением 1{у) = {-\)ч+х у^2ч+2'{1) + у(() и краевыми условиями: у(~'\а) = у(-'\Ь) = 0, i = q + \,...,2q + \. Константы в выражениях, обозначенных через 0(...), зависят от е . Ркр ч = отличны от нуля.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромова Г. В. О регуляризации одного класса интегральных уравнений первого рода // Журн. вычислительной математики и математической физики. 2005. Т. 45, № 10. С. 1810-1817.

2. Хромова Г. В. Об одном способе построения методов регуляризации уравнений первого рода // Журн. вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40, №7. С. 907 - 1002.

3. Хромова Г. В. О дифференцировании функций, заданных с погрешностью // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. 1984. Вып. 6. С. 53 - 58.