Регуляризация интегрального уравнения первого рода с инволюцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г.В. Хромова

УДК 519.642.8

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА С ИНВОЛЮЦИЕЙ

В [1] автором был предложен общий подход к решению вопроса о расширении возможностей применения известных методов регуляризации для более широкого класса уравнений первого рода и более сильных метрик, нежели в классических постановках. Здесь проводится реализация указанного подхода для метода М.М. Лаврентьева [2], интегрального уравнения первого рода с инволюцией и равномерной метрики.

Рассмотрим интегральное уравнение

1-х X

Аи = J А(1 - х,г)п(г)(И + ^ А(х,г)п(г)йг = /(ж), (1)

0 0

где А(х, Ь) непрерывно дифференцируема по А(х,х) = 1, Ах(ж,£)^=х = = 0, в > 1.

Интегральные операторы с инволюцией были введены А.П. Хромовым и исследовались в задачах спектрального анализа. Мы исследуем уравнение с таким оператором с точки зрения получения приближений к решению в равномерной метрике. Обозначим Та = (аЕ + А)-1, а > 0, семейство операторов, соответствующих методу М.М. Лаврентьева, и поставим задачу: выяснить, для каких п(ж) будет иметь место сходимость:

||ТаАи — и\\с[0,1] ^ 0 при а ^ 0. (2)

Поскольку ТаА = -АЯд(А)|Д=-1/а, где Я\(А) — резольвента Фредгольма оператора ДА- спектральный параметр, то в соответствии с [1] для решения поставленной задачи нужно показать, что точки А = - 1/а, а > 0 ^ регулярные для оператора А и что па луче А = -1/а выполняются соотношения:

\\Я\(А)у ||с[0,1] ^ 0 при А ^го, V е С[0,1], (3)

||- АЯХ(А)\< К, (4)

где К не зависит от А, а затем найти Я(А) — замыкание области значений оператора А в равномерной метрике (не путать обозначение Я(А) с Яд (А)).

Лемма. При А = - 1/а, а > 0, резолъвента Яд(А) существует.

Доказательство. В соответствии с [3] исследование Яд (А) сводится к исследованию резольвенты Яд(А0), где А0 — оператор А с А(ж,Ь) = 1. В свою очередь, исследование Яд(А0) приводит к решению некоторой краевой

задачи в пространстве вектор-функций размерности 2. В нашем случае эта задача имеет вид

V' - = БЕ, и(V) = Р^(0) + Qv(1) = 0,

где Б = 1гад(1, -1), 1 = У в2 - 1, Б = 1(2в(в -

^ ( (в 11) ()> Р = 1 ( Л в 01 ) Q = 1 ( ' - 1 "01 )'

обозначения v,F см. в [3].

В этом можно убедиться, проделав соответствующие выкладки по аналогии с [3] (для п = 1).

Далее, рассмотрим определитель 1еЬ(и(V)), где

т/ тл/ лч ( еМх 0 ) У = у(x, Л) = ( 0 е_Хох ) .

Легко убедиться, что он не может обратиться в ноль, если Л = - 1/а, а > 0. Отсюда и из [3] следует утверждение леммы.

Теорема. Для любой непрерывной функции, удовлетворяющей условию

и(1) = ви(0), (5)

(2)

Доказательство. В теореме 2 и лемме 9 из [3] приведены оценки, которые при Яе Л = 0 будут иметь вид

||ЯА(АО^||С[0,1] = о(щ|М|с), ||(ЯА(Л) - ЯЛ(Ао)||с[0,1] = Щг Н^Нс)

п

ведливы и для п = 1). Из оценок, очевидно, следуют соотношения (3), (4).

Для завершения доказательства осталось найти Я(Л). Покажем, что это множество состоит из непрерывных функций, удовлетворяющих условию (5). Из (1) Я(Л) С М = {/(х) е С'[0,1] : /(1) = в/(0)}. Докажем обратное включение. Пусть /(х) е М. Составим выражение

1 (в/'(х) + /'(1 - х)) = Е(х). (6)

в2 - 1

Е (х) можно представить в виде

е(х) = П Л(х,г)у(г)1г}',

где — непрерывна. Это следует из того, что уравнение

X

<^(ж) + у Лх(х,г)ч>(г)(И = б (ж) 0

имеет единственное решение.

Теперь подставим Б (ж) в (6) и перейдем от производной по всему аргументу к производной по ж. Получим

х

1 (в/(ж) - /(1 - ж)) = / А(ж, %(*)(* + С. (7)

в2 - 1

0

Запишем (7), заменив ж на 1 — ж, сложим полученное равенство с равенством

в /(ж)

получим, что /(ж) Е Я(А). Отсюда и из [4] следует утверждение теоремы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100003) и гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромова Г.В. О сходимости методов регуляризации // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Мат-лы 8-й Межд, Казан, летней науч. шк.-конф. Казань, 2007. Т. 35. С. 264-265.

2. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АНСССР. 1962. 92 с.

3. Корпев В.В., Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Мат. сб. 2001. Т. 192. № 10. С. 33-50.

4. Хромова Г.В. О регуляризации интегральных уравнений первого рода с ядром Грина // Изв. вузов. Сер. Математика. 1972. Т. 8 (123). С. 94-104.

УДК 518:517.948

Е.В. Шишкова

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

В [1] для к раз непрерывно дифференцируемой на отрезке [а, Ь] функции и (ж) вводятся в рассмотрение семейства интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами:

, Тд1 ((* - ж)2 - а2)* ,

Т1аки = ак / — -дж--(1 = 0, к)

х—а