Приближающие свойства решений дифференциального уравнения с интегральным граничным условием Текст научной статьи по специальности «Математика»

А А Хромов, Г. В. Хромова. Приближающие свойства решений дифференциального уравнения

математическое моделирование фирмы. М.: КомКнига. 2006. 224 с.

5. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. 1965. № 3. С. 395-453.

УДК 517.51:517.91/.93

А. А. Хромов, Г. В. Хромова*

Саратовский государственный университет,

кафедра дифференциальных уравнений и прикладной

математики,

* кафедра математической физики и вычислительной математики

E-mail: [email protected]

На базе решений дифференциального уравнения первого порядка строятся приближения к непрерывным функциям с интегральными граничными условиями.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, приближение функций, интегральные условия, резольвента.

, 6. Трошина Н.Ю. Принцип максимума для дискретной задачи оптимального управления со связанными крае- выми условиями // Математика. Механика: сб. науч. . тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2002. Вып. 4. С.137-

Approximating Properties of Solutions of the Differential Equation with Integral Boundary Condition

A. A. Khromov, G.V. Khromova*

Saratov State University,

Chair of Differential Equations and Applied Mathematics, *Chair of Mathematical Physics and Calculating Mathematics E-mail: [email protected]

With the use of the solution of the first-order differential equation the approximations to the continuous functions with integral boundary conditions are constructed.

Key words: differential equation, approximation of functions, resolvent.

ПРИБЛИЖАЮЩИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

Данная работа основана на приближающих свойствах резольвент обыкновенных дифференциальных операторов.

В работе [1] эти свойства были исследованы для произвольного линейного дифференциального оператора с регулярными краевыми условиями. В работе [2] такие свойства исследовались уже для простейших дифференциальных операторов с нерегулярными краевыми условиями.

В данной работе показано, что использование резольвент дифференциальных операторов позволяет учесть краевые условия, наложенные на приближаемую функцию (в данном случае — интегральные) и получать приближения, удовлетворяющие этим же краевым условиям, что бывает важным при решении как теоретических, так и прикладных задач.

1. Рассмотрим дифференциальный оператор

1

Ь : у', и(у) = у р(1)у(1) ¿1 = 0, (1)

о

где у(х) е С1 [0,1], р(х) е С 1[0,1].

Найдём резольвенту Я\(Ь), полагая А = —г> 0. Обозначим её через Я-г. Лемма 1. Справедливо представление

Я~ги = д-ги - (9-гП), (2)

где г > 0, д-ги = / е-г(х-1')и(Ь) <И, А(-т) = и(е-гх). о

Доказательство. Легко видеть, что дг(и) есть решение уравнения у' + гу = и, а общее решение этого уравнения имеет вид у = дги + Се-гх, откуда получаем (2). □

Пусть и(х) е Со[0,1] = {и(х) е С [0,1] : и (и) = 0}.

© Хромов А. А., Хромова Г. В., 2011

63

Изв. Capar, ун-та. Нов. сер. Z011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. Z Лемма 2. При p(t) е C 1[0,1], u(x) е C0[0,1] для U(g-ru) справедливо представление

U(g~ru) = - [ K_r(t)u(t)dt,

(3)

где K-r(t) = -p(1)e-r(1-t) + ert f p'(r)e-rTdr.

t

Доказательство. Имеем

i t i U(g-ru) = У p(t) j e-r(t-T)u(r)drdt = J erTu(r) 0 0 0

-r:(-p(t)e~rt) lí +1 f e~rtp'(t)dt

dr =

p(r) - p(1)e-r(1-T) + ert / p'(t)e-rtdt

u(r)dr.

Отсюда получаем (3). □

Лемма 3. Если р(Ь) е С1 [0,1], р(0) = 0, то при достаточно больших г справедлива оценка

л / ч C

А (-г) > —, r

(4)

где C =0.

Доказательство. Имеем

1

1

Д(—г) = Jp(t)e~rtdt = ^(p(t)e~rt) Jp'{t)e~rtdt = ^ 0 0

Из равенства f p'(t)e~rtdt = О ( - ) следует, что

0 W

p(0) - p(1)e-r + p'(t)e-rtdt

А (-г) = -r

а отсюда вытекает оценка (4).

Лемма 4. Для любой и е С[0,1] при достаточно больших г справедлива оценка

\\g-ru\\с[o,i] = о •

□

Доказательство вытекает из вида д-ги.

Лемма 5. Для и е Со [0,1] при р(Ь) е С1 [0,1] и достаточно больших г справедлива оценка

и(д-ги) = О (-4-|Н

□

Доказательство. Имеем

e~ril-^u(t)dt = О

p'(r)e rTdr

= о{-

r

Отсюда и из (4) получаем утверждение леммы.

□

Лемма 6. Для u е C0 [0,1] при p(t) е C 1[0,1], p(0) = 0 и достаточно больших r справедлива

оценка

\\rR-r u\\c [0,1] = O(\\u\\c ).

1

0

1

1

1

0

T

1

0

1

1

0

t

А А Хромов, Г. В. Хромова. Приближающие свойства решений дифференциального уравнения _ Доказательство. Из лемм 1 и 4 получаем \\тд-ги\\с = 0(\\и\\с), а из лемм 3 и 5

е—гх / е—гх

-и(д-ги) = О (-\\и\\с

Д(—т)

Отсюда следует утверждение леммы. □

2. Выясним, для каких и е С0[0,1] имеет место сходимость:

\\тЯ-ги — и\\С[0)1] ^ 0, при т ^ ж. (5)

Рассмотрим множество М0 = {и е С1 [0,1] : и (и) = и1 (и) = 0}, где и1(и) = р(1)и(1) — р(0)и(0) —

1

— / р' (г)и(г) ¿г.

о

Очевидно, для дифференцируемой функции выполняется и1 (и) = и (и'). 1

Лемма 7. Если /р(г)<г = 0, то М0 = М1 = {и е С'[0,1] : и = Я0д, д е С0[0,1]}.

о

Доказательство. Из равенства (2), которое, очевидно, справедливо и при т = 0, следует, что Я0

1

существует, поскольку Д(0) = /р(Ь)<1.

0

Докажем сначала включение М0 с М1. Пусть и е М0. Положим и' = д. Так как и (и) = 0, то

и = Я0 д, где д е С0 [0,1] в силу условия и (и') = 0.

Теперь пусть и е М1, т.е. и = Я0д. Тогда и (и) = 0, так как и (Я0 д) = 0. Далее, и' = д, а так как

д е С0 [0,1], то и (и') = 0, т.е. и1 (и) = 0. Значит, и е М0. Лемма доказана. □

Лемма 8. Если р(г) — непрерывная на отрезке [0,1] функция, не равная тождественно нулю,

1

то существует ц > 0 такое, что / р(г)е¿г = 0.

0

1

Доказательство. Предположим противное. Пусть ¥(ц) = /р(Ь)е-'м ¿г = 0 при любом ц > 0.

0

По теореме единственности аналитической функции ¥(ц) = 0 при любом комплексном ц. А по

теореме единственности разложения в степенной ряд функции ¥(ц) коэффициенты этого ряда равны 1 1 нулю, т. е. / р(г)гк ¿г = 0, к = 0,1,... Отсюда следует, что /р(Ь)Р(г) ¿г = 0, где Р(г) — любой

00

многочлен.

Возьмём последовательность многочленов Рп(Ь), сходящуюся к р(г). Она существует по теореме

1 1 Вейерштрасса. Из того что Гр(г)Рп(г) ¿г = 0, следует: Нш Гр(г)Рп(г)йг = 0. Тогда придём к тому,

0 0

1

что /р2(г) ¿г = 0, откуда р(г) = 0, что противоречит условию леммы. Лемма доказана. □

0

1

Лемма 9. Если /р(г)ё1г = 0, то М0 = М^ = {и е С1 [0,1] :и = Я-^д,д е С0[0,1]}, где ц> 0 и

0

1

таково, что / р(г)е¿г = 0.

0

Доказательство. Повторяем схему доказательства леммы 7. Из условия леммы 9 следует, что 1

Я-ц существует, так как /р(Ь)е-'м ¿г = Д(—ц).

0

Пусть и е М0. Положим и' + ци = д. Учитывая, что и (и) = 0, получаем и = Я-^д, где д е С0 [0,1]

в силу условия и1 (и) = 0 (и1(и) = и (и'), откуда и (д) = и (и') + ци (и) = 0).

Теперь пусть и е М1^, т.е. и = Я-^д. В силу равенства и (Я-^д) = 0 получаем и (и) = 0. А так

как д е С0 [0,1], то и (и') = и1 (и) =0, значит, и е М0. Отсюда следует утверждение леммы. □

1

В дальнейшем для определённости будем рассматривать случай, когда /р(Ь) ¿г = 0.

0

Теорема 1. Если и(х) е М0, р(г) е С1 [0,1], р(0) = 0, то имеет место сходимость (5). Доказательство. Рассмотрим тождество Гильберта для резольвенты:

Е-г - Д0 _ р р - — гС—ггСо.

—т

Математика

65

рЩ^Ш^егЬ Изв. Capar, ун-та. Нов. сер. Z011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. Z

Запишем его в виде

R0 — rR-rR0 = R-r. (6)

По лемме 7 u = R0g, g е C0 [0,1]. Применяем (6) к функции g, получаем u — rR-ru = R-rg. Из леммы 6 вытекает сходимость (5). □

Найдём необходимое и достаточное условие сходимости (5). Рассмотрим множество M = {u е C[0,1] : U(u) = U1(u) = 0}.

Лемма 10. При p{t) е С1 [0,1] справедливо равенство Мо = М, где Мо — замыкание множества M0 в равномерной метрике.

Доказательство. Очевидно, M0 с M. Пусть u е M. Построим многочлен, принадлежащий множеству M0 и аппроксимирующий функцию u(x). Зададим e > 0. По теореме Вейерштрасса существует многочлен P(x) такой, что ||u — P||с < е. Из этой оценки в силу равенств U(P) = U(P — u), U1 (P) = U1(P — u) выполняются оценки

|U(P)| <Ce, |U1(P)| <Ce. (7)

(Обозначаем здесь и в дальнейшем одной и той же буквой C константы в оценках, когда конкретизация оценки несущественна.)

Теперь построим многочлен P(x) = P(x) + C0 + C1 x с такими коэффициентами C0 и C1, чтобы P(x) е M0 (т. е. чтобы U(P) = U1 (р) =0).

Из (7) вытекают оценки C0 < Ce, C1 < Ce, а из них — оценка ||P — P||с < Ce.

Тогда из оценки ||u — J5Hc < ||u — P||с + ||P — рЦс следует утверждение леммы. □

1

Теорема 2. При p(t) е C1 [0,1], p(0) = 0, / p(t) dt = 0 для сходимости (5) необходимо и доста-

0

точно, чтобы u е M.

Доказательство. Пусть выполняется сходимость (5). Так как U(R-ru) = 0, то R-ru е C0 [0,1]. Множество C0[0,1] является замкнутым в равномерной метрике. Поэтому из (8) следует, что u е C0[0,1]. Но тогда R-ru е M-r, где M-r = {y е C1 [0,1] : y = R-rv,v е C0[0,1]}. Поскольку U(v) = 0 и U(R-rv) = 0, а R-rv удовлетворяет уравнению (R-rv)' + r(R-rv) = v, то R-rv е M0, т.е. M-r с M0.

Таким образом, мы получаем, что R-ru е Mq, а из (5) — и е Мо = М. Необходимость доказана. Пусть теперь u е M. Зададим е > 0 и найдём функцию u£ е M0 такую, что ||u — u£HC < е. Имеем

HrR-ru — uHC < ||u — u£HC + ||rR-ru£ — u£||C + HrR-ru£ — rR-ru^C. По теореме 1 справедлива оценка ||rR-ru£ — u£ || < e при r > r0, а по лемме 6 —

||rR-r(u£ — u)|с < UrR-r||сHu£ — uHc < Ce.

Отсюда следует утверждение теоремы. □

Следствие. При p =1 для сходимости (5) необходимо и достаточно, чтобы u е M2, где M2 = {u(x) е C[0,1] : U(u) = 0, u(1) = u(0)}.

Доказательство следует из того, что в данном случае U1 (u) = u(1) — u(0) и, значит, M = M2. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00270-а) и гранта Президента по государственной поддержке ведущих научных школ (проект НШ-4383.2010.1).

Библиографический список

1. Хромова Г. В. Приближающие свойства резольвент 2. Хромов А. А. Приближающие свойства степеней ре-

дифференциальных операторов в задаче приближения зольвенты оператора дифференцирования // Изв. Са-

функций и их производных // Журн. вычисл. мат. и рат. ун-та. Нов. сер. 2009. Т. 9. Сер. Математика. Ме-

мат. физ. 1998. Т. 38, № 7. С. 1106-1113. ханика. Информатика, вып. 3. С. 75-78.