Многочлены, ортогональные на неравномерных сетках Текст научной статьи по специальности «Математика»

Пусть В — оператор умножения на функцию р Е (0, го), причем В и е > 0 такие, что

e||p|U < min |Ai+i - Ai|/2 = |Ax - Aq|/2 = 3/2,

i

где ||p||ro = essentialsup |p(t)|. Тогда оператор C(e) = A + eB — самосопряженный, имеет простой

спектр и ядерную резольвенту в H.

Пусть n = 10, m = 20, a = 1, функция p(t) = exp(—t)(t3 — 2t2 + 3t — 1), а e = 1. Поэтому e||p|U < 3/2, h = e/m = 0.05.

Действуя по аналогии с предыдущими примерами, получим

AQ (1) « A020 = 1.62001614319061257051596195543, xq(1) « Х_20(10,1) = —0.052640007616461352878265389744t+ +0.012732364063459791135650944933t2 — 0.00204673650450553741374697814182t3+ +0.00044652270392081656185756789t4 — 0.00007473792690780671519384085169t5+ +0.00000756682745671286932390335t6 — 0.00000045535437726594010067173277tr+

+0.00000001594769598859182470616Г - 0.29901461822146940812316361 ■ 10

-9 ,9

+0.230941905674454297781■10-11 ■ t10 + 0.768981445312051871432936928070,

:= ||C(1)X_ (10,1) - Ao20(10,

< 0.0223.

Описанный метод обладает достоинством: его нетрудно реализовать на практике, используя компьютерные математические пакеты, а контролировать методом невязок.

Библиографический список

1. Дородницын А. А. Избранные научные труды: в 2 т. ральных уравнений с дополнительными главами ана-Т. 1. М.: ВЦ РАН, 1997. 396 с. лиза. М.: Наука, 1981. 384 с.

2. Вержбицкий В.М. Численные методы (математиче-

4. Смирнов В. И. Курс высшей математики: в 5 т. Т. 2. М.: Наука, 1967. 656 с.

ский анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2001.

382 с. 5. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.

3. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интег- М.: Гос. изд-во ТТЛ, 1953. 468 с.

УДК 517.5

МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ

А.А. Нурмагомедов

Дагестанский государственный педагогический университет, Махачкала, кафедра прикладной математики E-mail: alimn@mail.ru

В работе исследуются асимптотические свойства многочленов pn(t), ортогональных с весом Atj на произвольных сетках, состоящих из конечного числа N точек отрезка [-1,1]. А именно установлена асимптотическая формула, в которой при возрастании n вместе с N асимптотическое поведение этих многочленов близко к асимптотическому поведению многочленов Лежандра. Кроме того, исследованы аппроксимативные свойства сумм Фурье по этим многочленам.

Ключевые слова: многочлен, ортогональная система, сетка, вес, весовая оценка, асимптотическая формула, приближение.

Polynomials, Orthogonal on Non-Uniform Grids A.A. Nurmagomedov

Dagestan State Pedagogical University, Makhachkala, Chair of Applied Mathematics E-mail: alimn@mail.ru

Asymptotic properties of polynomials pn (t), orthogonal with weight Atj on any finite set of N points from segment [-1,1] are investigated. Namely an asymptotic formula is proved in which asymptotic behaviour of these polynomials as n tends to infinity together with N is closely related to asymptotic behaviour of the Lasiandra polynomials. Furthermore are investigated the approximating properties of the sums by Fourier on these polynomials.

Key words: polinomial, ortogonal system, set, weight, weighted estimate, asymptotic formula, approximation.

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время интерес к теории многочленов, ортогональных на дискретных системах точек, сильно возрос, она получила интенсивное развитие и нашла многочисленные приложения. Большая часть этих приложений приводит к задаче об асимптотических свойствах и весовых оценках ортогональных многочленов. В прикладных и теоретических исследованиях часто применяются разложения в ортогональные ряды. При этом приходится решать следующую промежуточную задачу: для заданной функции / = /(х) из того или иного класса и выбранной ортонормированной системы п} требуется оценить отклонение частичной суммы Бп(/) = Бп(/,х) ряда Фурье функции / по системе {^п} от самой функции /.

Приведенная задача хорошо известна и детально изучена для многих классических ортонормиро-ванных систем. В частности, в работах [1, 2] было исследовано поведение частичных сумм Фурье -Якоби £Ш'в(/) порядка т функции / е С[—1,1]. Доказано, что при Л = тах(а,в} > — 1/2 норма оператора частичных сумм Фурье - Якоби растет со скоростью 0(тЛ+1/2). Тем не менее, оставался ряд классических ортонормированных систем, часто применяемых на практике в качестве базисов, для которых указанная задача почти не была исследована. Это многочлены, ортогональные на сетках.

Основной причиной того, что задача о приближении функций суммами Фурье по ортогональным на сетках многочленам оставалась не решенной, явилось отсутствие исследований по асимптотическим свойствам самих ортогональных многочленов дискретной переменной. И здесь следует заметить, что исследованию этой задачи посвящены многочисленные работы И. И. Шарапудинова. Например, в работе [3] исследован вопрос о сходимости частичных сумм Фурье - Чебышева (/) порядка п < N — 1 к функции / е С[— 1,1] при п = 0(Н1/2). В частности, доказано, что при п = 0(Н1/2) норма оператора £п>н = Бп^(/) в С[—1,1] имеет порядок у Бп^ ||= 0(п1/2).

И по аналогии с этими работами мы также исследовали асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных сетках, и аппроксимативные свойства сумм Фурье по этим многочленам.

Пусть Тн = (tj— дискретное множество (сетка), состоящее из конечного числа различных точек отрезка [—1,1] : —1 = ¿0 < ¿1 < ... < -1 < = 1.

Через

Рк(¿) = рк(¿; Тн) (к = 0,1,..., N — 1) (0.1)

обозначим последовательность многочленов, образующих ортонормированную систему на сетке Тн в следующем смысле (0 < п,т < N — 1):

N-1

(Рп ,Рш) = ^ Pn(tj )Рш(. )Д. = ¿пш, (0.2)

.7=0

где = ¿7+1 — ¿7, з =0,1,..., N — 1. Для определенности будем считать, что старший коэффициент многочлена рп (¿) положителен, т.е.

РпС0= кп¿п + Ьп-11п-1 + ••• + Ьо, кп > 0. (0.3)

Ниже нам понадобиться обобщение на интегральные метрики известного неравенства В. А. Маркова для производных алгебраических многочленов. А именно пусть дп(Ь) — произвольный алгебраический многочлен степени п, 0 < г < п. Тогда имеет место [4, 5] оценка

i 1

,2r

У (¿) & < с(г)п2 у 1Яп(¿)| я, (0.4)

-1 -1

где с(г), с(а, в),..., с(а, в,..., 7) — положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров, вообще говоря, различные в разных местах. Через кг мы обозначим наименьшую константу в неравенстве (0.4), т. е.

1 ( Л

Kr = inf

qn

} ár\t) -1

1 :

n2r / |qn (t)| dt -1

где нижняя грань берется по всем алгебраическим многочленам #п(*) степени п, не равными нулю тождественно.

Далее, пусть Рп(*) — ортонормированный многочлен Лежандра,

5м = тах А*,. (0.5)

0<,<М -1 -1

В данной работе установлена: 1) асимптотическая формула

Рп (*) = Рп(£) + иП)м (*),

в которой для остаточного члена ип,м(*) при 1<п<а5—1/2 (0 < а < {(1 — Ь)/(4к1)}1/2, 0 < Ь < 1) имеет место оценка

!\ -1/2

2) весовая оценка

/ _ \ —

|рп(0|<с(а,&)(4/2п3/2 + 1) + (-1<*<1).

Здесь следует заметить, что аналогичные результаты нами были получены в работе [6] в случае, когда конечная последовательность многочленов {рк(^)}М-01 образует ортонормированную систему на

множестве Хм = {а^}^1' гДе хз = ^ = 0,1,..., ЛГ — 1.

, 2 3) оценка: для функции Лебега

N-1 Ln,N (*) = ^ ,=0

А,

(*)рк ) ,=0 к=0

при п = 0(5-1/5) равномерно относительно —1 < * < 1 справедливо неравенство

(*) < с(а, Ь)п1/2.

1. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ

Мы здесь приведем некоторые сведения о многочленах Якоби и Лежандра. Определим многочлены Якоби Р^ (*) (п = 0,1, 2,...) с помощью обобщенной формулы Родрига:

(_1)п 1 ап

п v ; 2пп! Щ <ИпХ К '

где а, в — произвольные действительные числа, = 1 — *2, к(*) = к(*; а, в) = = (1 — *)а(1+. Если а, в > —1, то многочлены Якоби образуют ортогональную систему на [—1,1] с весом к(*) в следующем смысле:

1

у к(*)рпа,в (*)рт,в (*) а* = ^ 5пт, 1

где

^ _ 2а+/?+1Г(п + а + 1)Г(п + /3 + 1) п' ~ п!(2п + а + /3+1)Г(п + а + /3 + 1)

и, следовательно, ^ п 1 (п =1, 2,...).

Ниже нам понадобятся следующие свойства многочленов Якоби [7]: - производная

= (п + а + ¡3 + 1)г оа+

<ИГ п и

где (а)0 = 1, (а)^ = а(а + 1)... (а + V — 1);

= (0 < г < п), (1.1)

Изв. Capar, ун-та. Нов. сер. Z011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. 2 весовая оценка (-1 < t < 1)

/ __/ _ i \ —/з—i

< с(а,13) í VT^t + -J iVT+t + -j , (1.2)

в частности

у/п\Р£>13{Ь)\ < с(а,13) (1 (0 < £ < 1 — п-2) , (1.3)

< с(а, (3)па+^ (1 -п~2 < I < 1) ;

- симметрия

и) = (-1)п рпв'а(^);

- равенство

СЙМ = ^¿тт^'М - '"^Л1 - ^

Одним из частных случаев многочленов Якоби при а = в = 0 являются многочлены Лежандра, ортогональные с единичным весом к(£) = 1 на сегменте [-1,1] :

1

2П + 1 г

2 I Рп{^)Рт{^) dí — ¿пт?

-1

для которых, в частности, неравенство (1.2) имеет вид

Pn(t)\ <С + - . (1.5)

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Здесь мы докажем некоторые утверждения, которые нам понадобятся в дальнейшем. Лемма 2.1. Пусть функция /(¿) непрерывно дифференцируема на [-1,1], —1 = < ¿1 < ... < < -1 < = 1, Д^- = ¿¿+1. — ^, з =0,1,..., N — 1. Тогда имеет место следующее равенство:

1 N-1

I f (t) dt = £ f (tj)Atj + rN(f), _1 j=0

в котором для остаточного члена ты (/) имеет место оценка

1

|ты(/)|< ¿ы | |/'(х)| йх. (2.1)

-1

Доказательство. Мы имеем

1 ы-1 г: + 1 [ /(¿) ^ = £ [ /(¿) (2.2) -1 : Далее, воспользовавшись формулой Тейлора, мы можем записать

tj+l г

J f(t) dt = j

f (tj) + / f '(x) dx

j t

bjj^-bj

dt = f (tj )Atj + / / f '(x) dx dt =

¿j+i

= f (tj)Atj + [ (tj+1 - x)f'(x) dx. (2.3)

¿3 + 1 3 + 1

Поскольку (см. (0.5)) / (£5+1. — х)/'(х) 6х < 5М / |/'(х)| 6х, то из (2.2) и (2.3) мы находим

1

М-1

1

/(г) бг = £ /&+ ГМ(/),

5=0

где

IГМ (/)| =

N -1 31

^ / (г5 + 1 — х)/'(х) 6х

5=0

N-1 ¿3+1

< 5м / |/'(х)| 6х = 5м / |/'(х)| 6х.

^=о Л

1

Лемма 2.1 доказана.

Лемма 2.2. Для нормированного многочлена Лежандра Рп{1) = д/(2п + 1)/2Рп(£) имеет место следующая формула:

N-1

ЕР^П & ^ =1 — Гп,М,

5=0

б которой

|Гп,М I < с5мп 1п(п + 1).

2п +1

Доказательство. Полагая /(£) = Р2(£) = —-—Р2(£)> воспользуемся леммой 2.1. Тогда

М-1

1 = [ Р^) 61 = ^ Р^)Д*,- + ГП)М,

_о

где гп,М = гМ(РП) и, стало быть,

5=0

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Км| < 6м {РПШ'

бг = 25м

{РЖ

6г.

1

Далее, в силу (1.1)

{РЖ = {р^)У = (2п+1){рп(^т = {2п+1)2{п+1)Рп(1)Р1Л(1).

2

Поэтому в силу весовой оценки (1.2) ((1.5)) получим

{РпШ'\ < с(п+1)

2

Отсюда, в свою очередь, имеем

{Р2(£)У (И<с(п + 1) I ^а/ 1 — I2 + ^ <И < с(п+ 1)1п(п + 1).

(2.7)

(2.8)

Сопоставляя (2.6)-(2.8), приходим к оценке (2.5). Лемма 2.2 доказана.

Лемма 2.3. Пусть к15Мп2 < 1/4.Тогда для ортонормированного многочлена (0.3) имеет место следующая формула:

РП(г) ¿г = 1 + Яи,м,

1

в которой

I ЯщМ I <

4к15М п2 1 — 4к15М п2

(2.9) 33

1

1

1

1

1

Доказательство. В силу леммы 2.1

1

IРП(*) йг =5] )Д*3 + , (2.10)

-1 3=0

где Лп>м = (р^) и, стало быть, в силу (2.1)

1

|Дп,м| < бм I |{РПШ\ 61. (2.11)

-1

Далее, из неравенства (0.4) следует, что

1 1

J КРПСОЦ йг < 4к1 и2! у(г) йг. (2.12)

-1 -1

Сопоставляя (2.11) и (2.12), получим

1

|Яп,м| < 4К1 бми2 !р2п(г) йг. (2.13)

-1

Кроме того, из (2.10) и (2.13) следует, что

1 1 JР2(г) йг < 1 + 4к1бми2 !РП(г) йг. (2.14)

-1 -1

Если теперь к1 бми2 < 1/4, то из (2.14) получаем

1

-1

А теперь из (2.13) и (2.15) непосредственно следует оценка (2.9). Лемма 2.3 доказана.

Лемма 2.4. Пусть кп — старший коэффициент многочлена рп(г), а \п — старший коэффициент многочлена Лежандра Рп(г). Тогда

1 к 1

т-л г 9,1/9. (2.16)

1 + обnn ln(n + 1) " An _ (1 - AkiSnn2)1/2 Доказательство. Нетрудно заметить, что если Pn(t) = AnPn(t), то

X2 =

n1

fPn2(t) dt 1

где Рп(г) — многочлен Лежандра с единичным старшим коэффициентом. Если рп(г) — многочлен из последовательности (0.1), то

*» = тгг2-' (2-17)

3=0

где рп(г) — многочлен из последовательности (0.1) с единичным старшим коэффициентом. Далее, в силу (2.4), (2.5) и (2.17) получим:

кп2 1 1 1

> ->

An j pn(t, j E1 ^(tj)j 1+06Nn ln(n+1)

j=o j=o

Отсюда, в свою очередь, следует левая часть неравенства (2.16). Чтобы доказать правую часть этого неравенства, мы воспользуемся интегральным неравенством Коши - Буняковского. Тогда получим:

k 1 ( 1 \VV 1 V/2 1

^ = / Pn(t)Pn(t) dt<[ fn(t) dt / Pl{t) dt <

An J \J yj -nw-i - (1 _ 4Xi¿n „2)1/2-

Лемма 2.4 доказана.

3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ Pn (t)

Здесь мы получим асимптотическую формулу для многочленов pn(t), ортонормированных на Tn в смысле (0.2).

Теорема 3.1. Пусть 0 < b < 1, 0 < a < {(1 _ Ь)/(4к1 )}1/2 и 1 < n < aó—1/2. Тогда имеет место асимптотическая формула:

Pn (t) = Pn(t) + Vn,N (t), (3.1)

где для остаточного члена un,N (t) которой справедлива оценка

_ i

vn,N(t)| < с(а,&)4/2п3/2 (лД^ + 2 • (3-2)

Доказательство. Оценим следующий интеграл: 11 111 J {Un,N(t)}2 dt = у {Д (t) _ pn(t)} dt = J Pn2(t) dt _ 2 y Pn (t)pn (t) dt + y рп (t) dt = /1 + /2 + /3. -1 -1 -1 -1 -1

Ясно, что ii = 1, /2 = -2-^-. А в силу (2.15) /3 = 1 + —тогда

An 1 _ 4k1ónn2

1

ir rni^ C^Nn ln(n +1) 4к1 óN „2 ^ , , 2 /О OA

J Mt)] dt - l+rfwn]n(,,. + l) + 1 - ibis* K C(a'■ m

-1

Из неравенства (3.3), используя теорему 7.71.1 [7], легко получить утверждение теоремы 3.1. Сопоставляя (3.1), (3.2) с (1.5), мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 3.2. Пусть 0 < b < 1, 0 < a < {(1 _ Ь)/(4к1)}1/2 и 1 < n < aó—1/2. Тогда существует постоянная c(a, b) > 0 такая, что

/ i \ -1/2

|pn(i)|<c(a,&)(4/2n3/2 + l) J (~l<t<l). (3.4)

4. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ ЛЕБЕГА СУММ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ p«(t)

Пусть C[—1, 1] — пространство непрерывных на отрезке [—1,1] функций f (t) с нормой

и f ||=| f ||c[-i,i]= -ma|11 f (t) |,

Pn — пространство алгебраических многочленов степени n, En(f) = min || f — qn ||c[-1 1] — наилучшее приближение функции f алгебраическими многочленами степени n.

Через Sn,N (f) = Sn,N (f, t) обозначим частичную сумму n-го порядка ряда Фурье функции f(t)

n л л N-1

по системе {pk(t)}^1, т.е. Sn,N(f) = Е ffcPfc(t), где f = £ f(tj)pk(tj)Atj.

k=0 j=0

Рассмотрим задачу об оценке отклонения частичной суммы Sn,N(f) ряда Фурье функции f по системе {pk(t)}^!-1 от самой функции f при t е [—1, 1] и n, N ^ го. Положим

N-1

Ln,N(t) =5] |Kn,N(t,tj)| Atj, (4.1)

j=o

n

Kn,N (t,tj ) = £ pk (t)Pk (tj). (4.2)

k=0

Как известно, задача об оценке величины |f(t) — Sn,N(f,t)| с помощью неравенства Лебега

|f (t) — Sn,N (f,t)| < (1+ Ln,N (t))En (f) (4.3)

сводится к задаче об оценке функции Лебега Ln,N(t). Имеет место следующее утверждение.

/1 _ ь \ 1/2

Теорема 4.1. Пусть / е С[—1,1], 0 < b < 1, 0 < a < ( ——j , n = 0(ó^1//5). Тогда справедливо неравенство (—1 < t < 1)

Ln,N(t) < c(a, b)n1/2.

Доказательство. Пусть 0 < t < 1 — 4n—2. Функцию Ln,N(t), определяемую равенством (4.1), разобьем по следующей схеме:

Ln,N (t) = | Kn,N (t,tj ) | Atj + I Kn,N (t,tj ) | Atj +

— 1<í3- <-1/2 -1/2<tj <yi

+ J] | Kn,N(t, tj) | Atj + J] | Kn,N(t, tj) | Atj = A + A + A3 + A, (4.4)

yi<tj <У2 У 2 <tj <1

Vi3*2 Vi3*2

где yi=t--, y2 =t-\--.

n n

Чтобы оценить A1, воспользуемся формулой Кристоффеля - Дарбу (n < N — 2):

= тг~~~ ■ ^^^(4-5)

к=о кп+1 1

где кп — старший коэффициент многочлена рп(¿). Далее, пользуясь, с одной стороны, тем, что для старшего коэффициента Лп ортонормированного многочлена Лежандра Рп(¿) имеет место неравенство

п < с, а с другой стороны, в силу неравенства (2.16) мы имеем

А

n+1

kn An kn/An , 1+ ¿Nn ln(n +1) , w ..

Дп = T- = T-T-77- < С------< С(Ь 1 +SNnlli(П+ 1 <

kn+1 An+1 kn+1 / An+1 (1 — 4K1ÓN n2)1/2

< c(b) + SNn2 • < c(a, b). (4.6)

Из n = 1/5) следует n + 1 = 1/5). Кроме того, если 0 < t < 1 — 4n—2 и —1 < tj < —1/2,

то --- < 2. Отсюда и в силу (4.2), (4.5), (4.6) находим

|t — tj |

А = | Kn,N (t,tj) | Atj < |Kn,N (t,to)|Ato + J] | Kn,N (t,tj) | Atj +

— 1<tj < — 1/2 —1<tj < —1+4n-2

+ J] | Kn,N(t,tj) | Atj < c(a,b) [| pn+1 (t)pn(to) | + | Pn(t)pn+1 (to) |] Ato +

— 1+4n-2<tj < — 1/2

+c(a, b) (| pn+1(t)pn(tj) | + | pn(t)Pn+1 (tj) |) Atj +

— 1<t,' < —1+4n-2

+c(a, b) J] (| p3n+1(t)p9n(tj) | + | pn(t)pn+1 (tj) |) Atj = A1o + An + A12. (4.7)

—1+4n-2 <t3- < — 1/2

Оценим A1o. В силу (0.5), (3.4) при n = 1/5) имеем (to = —1)

Аю < c(a,b) [|Pn+1(t)|n1/2 + |pn(t)|(n + 1)1/2] Ato < 36 Научный отдел

< с(а, Ь)и1/2 [|рп+1(г)| + |Рп(г)|]бм < е(а,6)ибм < с(а, Ь)и-4 -1 -

получаем (и = 0(б^1/5)):

Если -1 < з < -1 +4и-2, то 2 - 4и-2 < 1 - з < 2, 0 < 1 + 3 < 4и-2. Тогда в силу (3.4)

-1/5

Ап < с(а,Ь) ^ (| рп+1&) | л/1 + Ь +

-1<^ <-1+4п-2

1

-1/2

+| Рп (г) |

1

и + 1

-1/2

)ДЗ <

< с(а,ь) [|Рп+1 (г)|и1/2 + |Рп(г)|(и + 1)1/2] Е дг

3<

-1<^ <-1+4п-

< с(а, Ь)и1/2 [|рп+1 (г)| + |Рп(г)|] и-2 < с(а, Ь)и-1

(4.9)

Если же -1 + 4и-2 < 3 < -1/2, то (3/2) < 1 - з < 2 - 4и-2 < 2 и 4и-2 < 1 + з < 1/2

2

2

Следовательно,

А12 < с(а,Ь) [|Р>п+1 (г)| + |Рп(г)|] X] (1 + з)-1/4Дз <

п | 3

-1+4п-2<^- <-1/2

-1/2

< с(а,Ь) [|РЗп+1 (г)| + |Рп(¿)|] у (1 + т)-1/4йт < С(а,Ь)ш1п{(1 - ¿)-1/4, и1/2}.

-1+4п-2

Сопоставляя (4.7)-(4.10), находим

А < с(а, ь) ш1п{(1 - г)-1/4, и1/2}. Теперь оценим А2. Пользуясь (4.2), (4.5) и асимптотической формулой (3.1), получаем:

Рп+1(г)Рп (з) - Рп (г)Рп+1 (3)

А < с(а, Ь) Е

-1/2<*3- <У1

г - г

ДЗ =

= с(а,ь) Е |{(рРп+1 (г) + ип+1,м (г))(рРп (3) + ип,м (3))

-1/2<^з <У1

-(рРп(г) + ип,м(г))(рРп+1 (3) + ип+1,м(з))}/{г - 3}|Дз <

-Рп+1(г)рЭп (гз ) - -Рп (г)р3п+1 (гз )

< с(а,Ь) Е

I -1/2<^ <У1

£ -¿з

Д3 +

+

-1/2<*3- <У1

-Рп+1 (г)ип,м (з)

г - 3

Дз + Е

-1/2<*з <У1

-Рп (з )ип+1,м (г)

¿-3

+

-1/2<*з <У1

+ Е

-1/2<*з <У1

ип+1,м (г)ип,м (3 )

* "3

Д3 + Е

-1/2<*з <У1

-Рп (г)ип+1,м (з)

£ - 3

Дз +

ДЗ+

-Рп+1 (з )ип,м (г)

£ - 3

Д3 + Е

-1/2<*з <У1

ип,м (г)ип+1,м (3 )

г - з

Дг л =

= А21 + А22 + А23 + А24 + А25 + А26 + А27. Займемся А21. Пользуясь тождеством (1.4) при а = в = 0, можем записать

Рп+1 (г^п (з ) - Pn(í)Pn+1 (¿з ) = (1 - з ^'"(З )Pn (г) - (1 - (3).

Тогда учитывая, что Рп(3 = л/(2п + 1)/2Рп(£), в силу (1.3), (1.5) имеем

2и + 1

-4.21 < с(а, &) - Е

-о <^'<2/1

(1 - з^."(з)Pn(г) - (1 - í)Pn1'0(г^п(¿з)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

Дгз < с(а,ь)(1 - г)-1/4х

и

2

(1 - tj )1/4

-b<tj<y 1

t - tj

Atj + c(a, b)(1 - t)1/4

-i <tj<yi

(4.13)

Далее, в силу неравенства (1 - tj )1/4 < (1 - t)1/4 + (t - tj )1/4 получаем:

A21 < c(a, b)

At

E йт + с1-')"1'4 E

Atj

-2 <tj<yí

-ñ<tj<yi

< c(a, b)

У1

dr t - т

y 1

+ (1 -1)

_t)-1/4

dC

-1/2

-1/2

(t - C)3/4

(t - tj)3/4

<

<

< c(a, b)

ln

Vl^í2

+ ln(3/2) ) + (1 - t)-1/4(t + 1/2)1/4

<

< c(a, b) [ln(n + 1) + n1/2] < c(a, b)n1/2.

(4.14)

А так как для —1/2 <tj <t — л/1 — t/i

то

4? < c(a, b)

-é<t¿<yi

t-t,

У1

< c(a, b)

dr

<

-1/2

< c(a, 6) ^ln ^ + ln 0 < c(a, 6) ln(n + 1).

Из (4.13)-(4.15) имеем

A21 < c(a, b)n1/2.

(4.15)

(4.16)

Для —1/2 <tj<t — л/l — t2/n имеем t — tj < 1 — tj. Отсюда и в силу (1.5) ((1.3) при a = 0), (3.2)

при n = 0(<5—1/5) получаем

Л22 < с(а, 6)4/2^3/2(1 " t)~1/4 V (1 , tj)"1/4 < b)STn2 V

—' t — tj —'

-1/2<tj <yi

У1

<c¿1/2 2 f _^_

-1/2

Atj

-1/2<tj <y1

(t - tj)5/4

<

< c(a, b)ó]/2n5/2 < c(a, b).

Аналогично доказываются следующие оценки (n = O(<5-1/5)) :

A2i < c(a, b) (i = 3, 5, 6).

(4.17)

(4.18)

Далее, в силу (3.2) при n = 1/5) находим

A24 < c(a, b)^vn3(1 - t)-1/4 J]

(1 - tj)-1/4

-1/2<tj <y1

t tj

Atj < c(a, b)5vn7/2

Atj

-1/2<tj <y1

(t - tj )5/4

<

< c(a,b)5vn7/2

dr

< c(a, b)5vn4 < c(a, b)n 1.

-1/2

(t - т)5/4

(4.19)

Такую же оценку допускает и A27. Отсюда и из (4.12), (4.16)-(4.19) при n = O(<5-1/5) получаем

A < c(a, b)n1/2. (4.20)

х

n

Теперь оценим А3. В силу (3.4), (4.2) при п = 0(5—1/5) имеем

п

А = £ |Кп,м)IА*, <Е^(*)| |Рк)|А*, <

<У2 к=0 У1 <У2

< с(а, Ь) Е I Рк(*) | Е (1 — ,)-1/4А*, < с(а, Ь) Е | Рк(*) |

<У2

к=0

к=0

У2 ~ У1

(1 " Ы1/4

е(а,Ь)Е |Рк (*)|

<с(а,Ь)(1 — *)-1/4п

к=0

1 -

(1 — *)1/2

п(1 —

1 _ 1 1+1 1 п\ 1-1

< с(а,Ь). (4.21)

Перейдем к оценке А4. В силу (3.1), (4.2), (4.5) и (4.6) при п = 0(5—1/5) мы находим

Рп+1 (*)Рп (*, ) — Рп (*)Рп+1(*7 )

А4 = с(а, Ь) ^^

<1

А*, <

< с(а, Ь){ ^

<1

Рп+1 (*)Рп (, ) — Рп (*)Рп+1 (*, )

* -

+

+

У2<^' <1

Рп+1 (*)ип,м (*, )

*

+ Е

<1

Рп (*, )ип+1,м (*)

+

<1

+ Е

У2<^3 <1

ип+1,м (*)ип,м (*, )

* -

+ Е

* -

Рп (*)ип+1,м (*, )

* -

-Рп+1 (*, )ип,м (*)

+ Е

У2 <1

ип,М (*)ип+1,М )

У2 <1

*

А*,- +

А, +

А, } =

= А41 + А42 + А43 + А44 + А45 + А46 + А47. Рассмотрим А42. В силу (1.5), (3.2) при п = 0(5—1/5) имеем

А42 < с(а,Ь)5М/2п3/2(1 — *)-1/4 Е

и -I

А*,- +

(4.22)

+с(а, &)4/2^3/2(1 - г1/4 Е (1тЧ1/4*,+

— *

+с(а,Ь)5М/2 п3/2 (1 — *)-1/4 Е

п1/2 Л, - л(1) , л(2) , л(3) £ • — £ 3 ~ 42 42 42 '

(4.23)

Если у2 < < (1 + *)/2, то 1 — > — *. Тогда для А.42 при п = 0(5м±7°) получаем

-1/5

¿42 < с(а, Ь)5^п2 Е

А*,

= с(а, Ь)5р}П2 Е

У2<«3.<Ш

<

1+* 2

+ 1 ) < с(а,Ь)5М/2п2

¿т

(т — *)5/4

<

< с(а,Ь)5М/2п2п1/2 < с(а, Ь).

(4.24) 39

Изв. С арат, ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. 2 Если же (1 + Ь)/2 < Ьз < 1 — п—2, то 1 — Ьз < Ьз — Ь. Тогда для А42 имеем

1—п

-2

42) < с(а, ЪШп2 V , < с(а, [ , <

42 - ; * А, (1-^)5/4 - ^ ' ] м ] (1 -т)5/4 -

2 - J-

< е(а, Ь)^1^2п2

< е(а,Ь). (4.25)

Далее, для а432> имеет место оценка

Ь3 — Ь

1-п-2<г: <1 3 1—п-2<г,- <1

Отсюда и из (4.23)-(4.25) выводим

А42 < е(а,Ь). (4.26)

Аналогично доказываются следующие оценки:

< е(а,Ь) (г = 3,5,6). (4.27)

Перейдем к рассмотрению сумм А44 и А47, остановившись для определенности на А44. В силу (3.2) при п = 0(5—1/5) имеем

(1 +.) —1/4

А44 < с(а,Ь)6кп3( 1 - £)"1/4 1 ^ —+

+с(а, &)^п3(1 - О"1/4 +

— г7- - г 3

-П-2 ^

п1/2

+с(а, Ь)5]уп3(1 — £)_1//4 ^ ^Д^А^+А^+А^. (4.28)

1-п-2< г:< 1

Ьз — Ь

Для у2 < ¿з < (1 + Ь)/2 имеем 1 — Ьз > Ьз — Ь. Следовательно, по аналогии с (4.24) получаем:

1+* 2

4*4 < с(а, ^ _^)5/4 < с(а, Ь)6мп7/2 ^ (т_^5/4 <

У2<Ь<2 У2

< с(а, &)5^п1/2 < с(а, &)п-1. (4.29)

Поскольку 1 — Ьз- < Ьз- — Ь для (1 + Ь)/2 < Ьз < 1 — п 2, то

а2} < с(а, ^ (1 _^)5/4 <

1—п-2

——^^ < с(а, < с(а, &)п-1. (4.30)

1+1

2

(3)

Далее, для А44 имеет место оценка

А44 < с(а, V —-—< с(а,Ь)5мп6 V А^-<

—' Ьз — Ь —'

а,о)дмп - э — о)д]\[71

1-п-2<г,< 1 3 1-п-2<:< 1

< е(а, п4 < е(а, Ь)п—1. (4.31)

2 <": <

Сопоставляя (4.28)-(4.31), получаем:

А44 < с(а, Ь)п-1. Совершенно аналогично доказывается, что

А47 < с(а, Ь)п-1.

Оценим А41. Аналогично тому как была установлена оценка (4.17), находим

А41 < с(а, Ь)

2п + 1 х -

2 ^

У2<^ <1

(1 — ¿7 )Рп1,0(^7 )Рп (¿) — (1 — ¿)Рп1,0 (¿)Рп (¿7 )

Д*7 <

(4.32)

(4.33)

< с(а, &)(1 -

+с(а, Ь)(1 — ¿)1/4

< с(а, Ь)((1 — ¿)—1/4 + £

У2<^' < 1 — п 2 7

1-п-2< и< 1

. - £

У2<^ <1 —п-2 7

1-п-2< 1

¿7 — £

+

<

^ (1 — ¿7 )1/4 Л ^^ (1 — ¿7) —1/4

У2 <tj <1 —п

ДЛ

-2 ¿7 — *

y2<tj <1 —п

-2 ¿7 — *

1-п-2< 1

7 - t

Е

Д^

1-п-2< 1

¿7 - t

- , л(2) , л(3) , л(4)

/ — 41 + 41 + 41 + 41 5

где

4? < с(а, &)п5/2 £ А^7 < с(а, ^п1/2, < с(а, Ь) / < с(а, Ь) 1п(п + 1),

1-п-2< 1

т-^

1— п-

АЙ)<с(а,6) £ ^ ^ ^ =сМ) £

(1

у2<^- <1 —п-2 7

- г

¿7 — t

Е

Д7

^ & - ¿)5/4 3 — 2

+ Е

Д +

Д^

(1 — ¿7 )5/4

<

< с(а, Ь)

1±1

2

1 — п

+

(т — ¿)5/4 J (1 — С )5/4

1+1

2

< с(а, Ь)п1/2.

Далее, в силу неравенства (1 — ¿7)1/4 < (1 — ¿)1/4 + (¿7 — ¿)1/4 получаем:

4? < с(а, Ь)

£

— ^

У2<^' <1 —п-2 7

£

Д^

у2<^- <1 —п-^ 7

-2 (¿7 — ¿)3/4

<

< с(а, Ь)

1 — п

т - г

1 — п

+ (1—¿)

-¿)—1/4

(С — ¿)3/4

< с(а, Ь) |ь(п + 1) + п1/2] < с(а, Ь)п1/2.

Следовательно, А41 < с(а, Ь)п1/2. Отсюда сопоставляя (4.22), (4.26), (4.27), (4.32), (4.33), мы выводим (п = 0(5—1/5))

А4 < с(а, Ь)п1/2. (4.34)

Собираем оценки (4.11), (4.20), (4.21), (4.34) и, сопоставляя их с равенством (4.4), находим

(¿) < с(а, Ь)п1/2,

(4.35)

где 0 < ^ < 1 — 4п—2, п = 0(5—1/5).

1

2

4

У2<Ь<Щ

2 <-j <

2

2

Перейдем к случаю, когда 1 - 4и 2 < г < 1. Чтобы оценить (¿) при 1 - 4и 2 < г < 1, разобьем сумму в правой части равенства (4.1) по следующей схеме:

Ln,N (t)= Е |Kn,N (t,tj )| Atj + Е |Kn,N (t,tj )| Atj +

-1<tj<-1/2 — 1/2<í¿< 1 — n 2

+ E | Kn,N (t, tj) | Atj = B1 + B2 + B3.

1-n 2 <í,< 1

(4.36)

При 1 - 4и-2 < г < 1 имеем 1 - г < 4и-2. Следовательно, из (1.5) вытекает оценка ^(г) < си1/2. Учитывая это неравенство, суммы В1 и В2 оцениваются совершенно аналогично тому, как это было сделано для А1, А2 и А3. Это дает при и = 0(б-1/5)

B < о(а, b)n1/2, B2 < о(а, b)n1/2. Что касается B3, то воспользовавшись оценкой (3.4), имеем

вз = £

1-n 2 < í,< 1

(t)pk (tj )

k=0

Atj < c(a, b) E

1-n 2 <í,< 1

k=0

Atj <

(4.37)

< о(а, b)n2

1-n 2 <í.,< 1

Atj- < о(а, b).

Из (4.36)-(4.38) получаем (n = O(6—1/5)):

Ln,N (t) < о(а, b)n1/2, (1 - 4n—2 < t < 1)

(4.38)

(4.39)

Сопоставляя (4.35) и (4.39), убеждаемся в справедливости теоремы в случае, когда 0 < г < 1. Далее, посредством аналогичных рассуждений, такую же оценку можно получить и для случая, когда -1 < t < 0. Теорема 4.1 доказана полностью.

Из (4.3) и теоремы 4.1 непосредственно вытекает следующая теорема.

Г Т 1/2 -1/5

Теорема 4.2. Пусть / е С[— 1,1], 0 < Ь < 1,0 < а < < > ,п = ). Тогда равномерно

относительно -1 < г < 1 справедлива оценка

| /(г) - (/,*) |< с(а,Ь)Еп(/)и1/2.

Из теоремы 4.2 и теоремы Джексона вытекает следующее утверждение.

Теорема 4.3. Пусть / е Ыр^М, ± < 7 < 1,0 < & < 1,0 < а < {^У^ = 0(5М1/5). Тогда справедлива оценка || / - £п,м(/) ||< с(а, Ь, 7, М)(и + 1)1/2-^.

Выражаю глубокую признательность профессору И.И. Шарапудинову за постановку задачи и помощь в ее реализации.

Библиографический список

1. Агаханов С. А., Натансон Г. И. Функция Лебега сумм Фурье - Якоби // Вестн. Ленингр. ун-та. 1968. Вып. 1. С. 11-13.

2. Бадков В.М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье - Якоби // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9, вып. 6. С. 1263-1283.

3. Шарапудинов И.И. О сходимости метода наименьших квадратов // Мат. заметки. 1993. Т. 53, вып. 3. С. 131-143.

4. Даугавет И. К., Рафальсон C.З. О некоторых нера-

венствах для алгебраических многочленов // Вестн. Ленинград. ун-та. 1974. № 19. С. 18-24.

5. Конягин C. В. О неравенстве В. А. Маркова для многочленов в метрике Ь // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1980. № 145. С. 117-125.

6. Нурмагомедов А. А. Об асимптотике многочленов, ортогональных на произвольных сетках // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2008. Т. 8. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1. С. 28-31.

7. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.