О приближении непрерывных функций двух переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ф. М. Коркмасов

О ПРИБЛИЖЕНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Введение

Задача хранения, сжатия и передачи информации была и остается одной из важных научно-технических задач. Необходимость сжатия данных диктуется не только научными, но и экономическими требованиями. Например, актуальным является вопрос о сжатии информации при обработке сигналов, получаемых с космических летательных аппаратов, при создании банков данных геофизических и сейсмических исследований, полученных в результате полевых инструментальных измерений, и т. д.

В настоящее время хорошо известным и часто применяемым методом для сжатия информации является спектральный метод обработки информации. Суть его заключается в следующем. Вместо того, чтобы запоминать матрицу значений функции /(Ь, т) запоминаются несколько первых коэффициентов Фурье стп разложения

функции /(Ь, т) по полной ортонормальной системе функций штп(Ь,т) = хт(Ь)уп(т), т, п = 0,1, . ..:

/(^,т) ^ ^ стп&тп(^,т),

т,п=0

где скалярное произведение имеет вид

I 0, если(т,п) = (к,1),

(&тп,&к1) = Л , . , А (1)

I 1, если(т, п) = (к, 1).

Если функция /(1,т) задается своими табличными значениями /(Ь%,т^), г,з =

1,...,Ы, то при вычислении коэффициентов стп удобнее использовать такие ортонор-мальные системы &тп(^,т), для которых скалярное произведение имеет вид суммы:

N N

(&mn, &к1) = ЕЕ рг3 &тп (^г, тз )&к1 (^г ,тз ).

г=1 3 = 1

Так как условие ортогональности (1) со скалярным произведением в виде суммы имеет место для ортонормальных многочленов дискретной переменной, то эти многочлены удобно использовать для сжатия информации.

Пусть Нп —пространство алгебраических многочленов рп = рп(х) степени не выше п, С[ 1,1] — пространство непрерывных на [-1,1] функций, О = {хо, XI,..., хп,...} —

сетка — дискретное множество, состоящее из конечного или бесконечного числа различных точек действительной оси И. В работе [1] с помощью квадратурной формулы Гаусса была определена система многочленов Якоби {Р^’^(х)}^-1 (а, в > -1, N = 2, 3,...), ортогональная на сетке ОN = {X1,X2,...,XN} относительно скалярного произведения

(/,д)=^2 V(х)/(х)д(х) (^(х3) = М^

© Ф.М.Коркмасов, 2007

N

рт,в (хз )рпа,в (хз) = К’р5тп, (2)

3=1

где хз € ОN — нули многочлена Якоби Р^’в (х), ^з — числа Кристоффеля или веса квадратурной формулы Гаусса, = 2г^'+(3+1 • г(„+Г)г(!+"+|з+1) > 6тп~ символ Кронеке-ра.

Полагая

Рпа,в (х) = {К’в }_1/2Р“’в (х),

для произвольной функции / (х) € С[_1,1] можно определить дискретную частную сумму Фурье—Якоби порядка п ^ N — 1 по ортонормированной системе {Р0’в(х)}^^_1:

}и=0 •

(/)=^ их = £ рав (х), (3)

к=0

_____ N ^

где = ^>2 Ъз/(хз)Рк’в(хз) —дискретные коэффициенты Фурье—Якоби.

3 = 1

Пусть теперь С[_ід]2 —пространство непрерывных на квадрате [-1,1]2 = [-1,1] х

[-1,1] функций /(х, у) с нормой ||/1| = тах |/(х, у)|. Покажем, что система много-

(х,у)е[_1,1]2

членов двУх переменных (х,у)}гт,и=0= {Ршв(х)рпв(у)}гт,и=0 (г = т+п < М-1)

является ортогональной на сетке ^Nхм = {(хі,Уз)}^'=1 относительно скалярного произведения

N N

(Ъ, Ф) = ЕЕ ЪФз Ъ(хг,Уз )Ф(хі,Уз ), (4)

і=1 з=1

где хі, уз —нули многочлена Якоби Р^’^(х). Действительно, учитывая (2) и (4), имеем

NN N N

££^- (хі ,уз )*аґ (хі,Уз) = £ ^іРтФ (хі)рґ (хі)^2 ъ риа,в (уз )рґ (уз) =

і=1 з = 1 і=1 з = і

гк К’в5иІ

НафЯ Я ) 0 Єсли (т,П) = (k,l),

П„Г Ятк Нп ЯиІ = \. 2 , л п

І (На’в)2, если (т, п) = (к, І).

Полагая

ф тп (х,у) = {ьтв }_1/2к ’ в }_1/2Фтп (х,у),

определим для произвольной функции /(х,у) € С[_1 1]2 дискретную частную сумму Фурье—Якоби прямоугольного вида

т п

’ N(/) = Бтвп’ N(/;х,у)= £ Я,\%фыв(x,у) = ЕЕ?к,фыв(x,y), (5)

к^т ’ 1^п к = 0 1 = 0

-Я N N - в

где /ка^ ^г^з/(хг,уз)Ф0,1в(хг,уз) —дискретные коэффициенты разложения

г=1з=1

функции /(х, у) в двойной ряд Фурье—Якоби.

Перепишем (5) в следующем виде:

т и / N N

яти ’ N (/; ^нее (ЕЕ ФЫв(хі,Уз)/(хі,Уз) І ФЫв(х,у)

к=0 І=0 і=1 з=1

Ро ’в (х) ( Е ^іро ’в Ъз1 (хі,Уз)ка ’в (Уз ,У) ) +

і=1 з=1

N N

+ Ра’ в(х) ( £ъіРо ’в(хі)ЕЪ1 (хі,Уз)ка’в(Уз,у) 1 + ...

і=1 з=1

N N

■ + Ртв(х) ( Е’ в(хЛ^Ъз1 (хі,Уз)ка’в(Уз,у)

і=1 з=1

N N

= Е Е1 (хі, Уз )^і^з ктв (хі,х)ка ’в (Уз ,y),

і=1 з = 1

к

ка ’ в 'и)РГ'~ (V)

0

Следуя терминологии, принятой в [2], обозначим через

где ка’в (и^о) = £ Рга’в (и)ра’в (V).

_1 к

Рти (х, У)=^ £ а,ыхк_1 у1 +^2 атІхт_ІуІ

ті

к=0 І=0 І=0

алгебраический многочлен двух переменных порядка (т,п). Пусть рти(х,у) —многочлен наилучшего приближения функции /(х,у) в пространстве С[_ід]2 и Ети(/) =

тах |/(х,у) — р*ти(х,у)\ —наилучшее приближение функции /(х,у) алгебраиче-

(х ’ У)Є[_1 ’1]2

скими многочленами двух переменных порядка (т,п). Из (5) нетрудно видеть, что дискретные частные суммы Фурье—Якоби прямоугольного вида Ятви N(/; х,у) не изменяют алгебраического многочлена рти(х,у) порядка (т,п), т. е. N(Рти5 х,у) = Рти (х, у) . Поэтому

\/(х,У) - вт^и ’ N (/; х,у)\ < \/(х,у) - Р*ти(х,у)\ + \Р*ти(х,У) - ^и, N (/5 х,У) \ =

= \/(х,У) - Р*ти(х,У)\ + \ЯтРи ’ N (Рти - / 5 х,У)\ <

< Ети(/) + Ети(/)Ьт ви ’ N (х, У) =

(6)

= (1+ ’ N (х,У))Ети(/),

где

N N

^т вп ’ N (х, у) = £ (хг,х)1 • £ Vз К ’в (уз ,у)1 = ьт N (х)Ь0 ’ в (у) (7)

г= 1 з = 1

— функция Лебега дискретных частных сумм Фурье—Якоби прямоугольного вида ^т, п, N (/; x,y), ьт%( х) — функция Лебега дискретных частных сумм Фурье—Якоби Б<т%(/, х), определенных равенством (3). Функции Лебега линейных процессов аппроксимации многочленами играют важную роль при исследовании вопросов сходимости

рядов Фурье непрерывных функций. Оценки функций Лебега позволяют устанавливать достаточные условия равномерной сходимости рядов Фурье по ортогональным многочленам на всем множестве (области) ортогональности.

Замечая далее, что по определению константа Лебега

llSm,n, NII = SUP llSm,n, N(f )ll = ( maX. , N (x,V), (8)

||f ||<i (x, y)e[-i Д12

соотношение (6) перепишем в виде

If (x,y) - SmU , N (f; x,y)l < (1 + IlSmU , N I)Emu(f). (9)

В настоящей работе мы остановимся на вопросе сходимости прямоугольных частных сумм S'm U N (f; x,y) к произвольной функции f (x,y) G C[-i 1]2, который в свою очередь, как видно из (9), сводится к изучению поведения констант Лебега IlSmви nII —

норм оператора S^U n ■ C[-i ,i]2 ^ C- i]2. Отметим, что для двойных рядов Фурье понятие схоимости можно определить по-разному, в частности, наиболее употребительными являются следующие виды сходимости: прямоугольные (квадратные), треугольные и сферические (см. [3]). Так, в тригонометрическом двумерном случае для прямоугольных частных сумм Фурье S^, n(f) = n(f; x,y) = £ cM,vel(px+vy) константы

\p\ , | v| ^n

Лебега удовлетворяют равенству

IlSm,nll = sup IlSmn(f )|| = 16n-4 ln mlnn + O(ln m + lnn),

If (x , y)|<i

которое является следствием хорошо известной оценки одномерных констант Лебега. Случай треугольных частных сумм двойных рядов Фурье S△ n(f) = S△ n(f;x,y) = £ cp, vel(px+vy) рассматривался в работах [4, 5]. В частности, в [4] было дока-

|p|/m+| v|/n^i

зано, что

llSm, mil = 16п-4 ln2 m + O(ln m),

а в [5] получено более общее утверждение

||Sm n|| = 32n-4 ln mlnn — 16n-4 ln2 m + O(lnn)

для m,n = 1, 2,..., l = n/m. Обобщая эти результаты, в работах [6, 7] были получены оценки констант Лебега частных сумм по гомотетично расширяющимся многогранникам в Rm.

Для случая прямоугольных частных сумм двойных рядов Фурье по ортогональной системе многочленов Якоби Ра,в(x) (p(u) = (1 — u)a(1 + u)e)

i i

Sm , n(f)=Sm , n(f; x,y)=J j p(s)p(t)K^f(x, s)Ka (^, y^sd^

-i -i

оценку IlSm n|| нетрудно получить, используя соотношения для одномерных функций i

Лебега La’в (x) = / р(та,в ( x,t)Idt, полученных в работах [8, 9].

-i

В настоящей работе на основе полученной оценки функции Лебега Ьа’N (х) дискретных частных сумм Фурье—Якоби Ба N (/,х) (теорема 1) установлено асимптотическое соотношение для констант Лебега ЦБ^вп NII (теорема 2) и, как следствие, отмечены некоторые аппроксимативные свойства прямоугольных сумм вп N(/; х,у).

2. Вспомогательные утверждения

Приведем без доказательства следующее очевидное утверждение.

Лемма 1. Пусть функция /(х) непрерывна и неотрицательна на промежутке [аі, Ьі] и }™о _ сетка, такая что аі < Ьо < Ьі < .. . <Ьт <Ь\. Пусть АЬ^ = Ь^+і — и [а2,Ь2] С [аі,Ьі]. Тогда, если

1) /(х) монотонно возрастает на [а2,Ь2], то

Ь2

£ /(Ьз)АЬ] /(х) <іх + /(Ь2)А*; (10)

0,2 ^Ь2 а2

2) /(х) монотонно убывает на [а2,Ь2], то

Ь2

Ьз )АЬз ^

Ь2

£ f (tj)Atj < / f (x) dx + f (а2)Д*, (11)

x

" \ J / J " I о \

a2^tj ^Ь2 a2

где Д* = max At j.

j

Лемма 2 [10, п.15.3]. Если xj = cosOj (0 < Oj < n) —нули многочлена Якоби

Paв(x), —1/2 < a, в < 1/2, то для чисел Кристоффеля ^j справедливы следующие

оценки:

Н < ^(sin6,j)2“+1 (0 < 0j < 7г - S), (12)

Н < ^(sinвз)2/3+1 (6 < °з < ^ (13)

где S и А = A(S) — фиксированные положительные числа, j = 1, 2, .. ., N.

Нам понадобятся некоторые свойства многочленов Якоби [10]. Для удобства ссылок мы соберем их в этом параграфе.

Справедливы следующие равенства:

Pa(x) = (—1)nPi ’°-(—x), (14)

ра+і,0(іЛ _ 2 (n + а + 1 )Pq'l3(x) - (та + 1 )Pnfi{x)

” 2та + a + /3 + 2 1-х ’ [ }

Pa’P+1(x) = 2 . (» + /?+ 1 )Pn'l3{x) + (n + l)Pnfi(x)

2n + a + в + 2 1 + x

Для —1 ^ x ^ 1, n ^ 1 справедлива следующая оценка (см., напр., [9]):

c(aj3) ( R, 1Ч -/3-1/2

\рп (ж)1 < п1/2 (V71 ~х + -) ( а/!+ж+ - ) . (17)

Здесь и далее через Ск, с(а, в,... ,ш) обозначаются положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров.

Если Х3 = соввз —нули многочлена Якоби Р^-’в(х), — 1/2 ^ а, в ^ 1/2, занумерованные в убывающем порядке:

1 > Х1 > Х2 > ... > х^ > -1,

то (см. [10])

Отсюда

0 < ві <в2 < ... < вн < п,

(3 = 1, 2, . . . , N).

Ав,

2N + 1

. „ 3п

АО і < -------------.

3 2Ж + 1

При —1 ^ п,го ^ 1, и = V имеют место следующие равенства [11]:

пп

ка-вм = £ Ра-в(и)Ра-в(V) = £[на-в}-іра -в(и)ра-в(V) =

(18)

(19)

(20)

к=0

к=0

Г(п + 2)Г(п + а + /3 + 2) Р^(и)Р^(у) - Р^(и)Р%£(у)

2а+в (2п + а + в + 2) Г(п + а + 1)Г(п + в + 1)

(21)

3. Приближение непрерывных функций двух переменных суммами Б^вп N (I; х,у)

Изложение основных результатов, связанных с аппроксимативными свойствами дискретных частных сумм Фурье—Якоби прямоугольного вида Бтвп N(I'; х,у), начнем с изучения асимптотических свойств функции Лебега ’N (х) дискретных частных сумм

Фурье-Якоби БПа-N(/, х), определенных равенством (3). Ниже будет доказано (теорема 1), что функция Лебега

Ьап% (х) =

/

3 = і

Т,рк-в (х)рк-в (х,)

к=0

(22)

на отрезке [— 1 + е, 1 — е], е > 0, имеет порядок О(1пп), а на отрезках [-1, — 1 + е] и [1 — е, 1], соответственно, порядок О (пв+1/2) и О (п“+1/2).

Отметим, что вопросы, связанные с оценкой функции Лебега классических сумм Фурье, в разное время рассматривались в работах [8-17] и др. В частности, в работе [8] для функции Лебега Ьа’в (х) классических сумм Фурье—Якоби при х € [—1,1], а, в > —1/2 было получено соотношение

ьа- в (х) х іп

п(1 — х)е(а) (1+ х)Е(в) + 1

е{р)

+ у/п

\ра- в (х)| + |Рп“+!(х

п

1

и — V

в том смысле, что отношение этих выражений заключено между двумя положитель-

( ) \1/2 при 7 = 1/2 И

ными постоянными, зависящими от а и в, где е( ) = . Из этого

0 при = 1/2

результата видно, что порядок роста Ь^’^(х) на отрезке [—1,1] есть О (п9+1/2), где д = тах{а, в}, а на любом отрезке [—1 + е, 1 — е], е > 0 порядок равен О(1пп).

В работе [9] функция Лебега классических сумм Фурье—Якоби оценивалась при х € [—1,1] в случае, когда по крайней мере одно из чисел а и в принадлежит интервалу ( — 1, —1/2), в частности,

La’e(x) — O(1)[1 + ln[1 + n2 (l — x2)]] (a, p G (-1, -1/2)),

In [1+n2 (1—ж)] + (Vl + X-\—^

-e-1/2'

(a G ( —1, —1/2),в > —1/2),

где О(1) зависит от а и в.

Отметим также, что при х € [—1,1], а = в = —1/2 (см., например, [11], [13])

_! _!

Ln2’ 2 (х) = O(lnn).

Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть —1/2 < а, в < 1/2, п ^ N — 1, п ^ 1, тогда для всех х € [—1,1]

K'N(x) — o(1) inn+n1/2{\pne(x)i + \pnfi(x)\) +1

,1/2 j \pa,p ( n

n+

(23)

где O(1) зависит от а и p.

Доказательство. Оценим величину Ь°а%(x) при x G [—1,1]. Рассмотрим следующие случаи: 1) x G [0,1], 2) x G [— 1,0].

1. x G [0,1]. Запишем нули многочлена Якоби Р^’в(x) в убывающем порядке —1 < xn < xn-i < ... < xi < 1 и сделаем замену x — cos у>, xj — cos Oj. С учетом оценки (19) из (22) следует, что

N

Та,(3 { ч ^ 2N + 1 Ln NlCOS Ч>) < ---------------- £ Н

’ п z—4

j=1

12 pk’e (cos tf)p’ka’e (cos °j)

k=0

A9j.

(24)

Положим Д! = [^,7г), Д2 = [<P+ jbx), Аз= (.¥- Ь<Р+ £)> Д4 = (0,¥>- B-Тогда величина L°a%(cos <f) оценится по следующей схеме:

LU’N (coS V) <

2N + 1

12 + 12 + 12 + 12 I — Ui + U2 + U + UA. (25)

\9j EAi OjGA 2 Oj £Дз Oj GA4y

Если окажется, что (р ^ то сумма £/3 берется по промежутку (0, ¥> + ~], а сумму и4 рассматривать не надо.

Преобразуем выражение (21). Для этого приведем без доказательства следующее Утверждение 1. [11] При фиксированном р имеет место равенство

Г(т + р) Г (то)

1 + о\ -

m

(26)

основанное на хорошо известной формуле Стирлинга. 64

п

p

m

m

\ка,13( ч| (та + 1)(те + а +/3 + 1) Г(п + 1)Г(п + а + /3 + 1)

I п (u,v)\- 2“+/3(2п + а + /3 + 2) ' Г(п + а + 1)Г(п + /3+1) Х

pafl(u)pa'e (v) — pa-’e (u)p:fl(v)

<

pafl(u)pa’e (v)—pa>e (u)pafl(v)

Учитывая (27), каждую из сумм Ui (i = 1, 2, 4) оценим так:

3

Ui ^ -—ci(n + 1)(2N + l)x Бп

E

в, eAi

pj

pn+l(cos f)pne (cos 0j) — Pa’e (cos f)pn+l(cos 0j)

cos f — cos 0j

ДОj.

(2З)

Преобразуем числитель в правой части формулы (28) с помощью равенства (15):

Pn+l{C0S(P)Pn,l3{c0sei) - РпЧС^^)Рп\= (i + 2П+2) Х х [(1 — cos Oj)Pa+1,e(cos Oj)Pa,e(cos ф) — (1 — cos ^)Р:+1’в (cos ^)Pa,e(cos Oj)] .

Тогда

Ui ^ hci{n+l) f1 + 1 {2N+1)x

lpa’e(cosf)l E p,(l — cos0,)

в, eAi

P“+l’e (cos 0,)

+(l — cosf)|p“+l’e(cosf)]i p,

в і eAi

cos f — cos 0j Pa'e (cos 0j)

cos f — cos 0j

ДОj+

ДО,

(29)

Для определенности в лемме 2 будем считать S = 2п/Б. Поэтому на интервале Д1 будем пользоваться оценкой (12), а на интервалах Д2, Д3, Д4 —оценкой (1З).

При оценивании величины Ui будем учитывать, что (sin 0,)‘2в+1 = (1 —

cos 0,)e+l/2(1+cos 0,)в+1/2 и для О, Є Д1 будет (1—cos 0,)-:/2+в+1/4 ^ 2, cos f — cos 0, > — cos3n/5 ^ 3/1O, (1 + cos0,)e/2+l/4 ^ 1. Принимая во внимание (1З), (17), из (29) получим

U\ ^ —с(а, fi)c\\vll2 ^^ ^ х п N

|P“’e (cos f)| + IPa+el(cos f)|] ]T (1 + cos 0j )в/2+1/4Д0j <

в, eAi

(3O)

< yc(a,/3)ciAn1/2 ^“^(cos^)! + ^“^(cos^)! Оценим величину U2 . Предварительно докажем следующее

x

uv

uv

x

X

X

Е

№»+Ц),

Oa

+ 1/2

3п

+ l)+^+1/2(lnfn+f). (32)

Доказательство. Поскольку функции д\(9) = и §2(6) = (в — ср)а 112 монотонно убывают на промежутке (ф,п], с учетом оценок (11), (20) имеем

Е

O

а—1/2

AOj < фа—1/2

AOj < фа—1/2

3n/5

y+i

dO 3п

в-ip +n2N

<

1

V С V №-^71,д + ^1/2ла,

^ Oj — ф j ^ Oj — ф j

Oj GA2 j Oj GA2 j

Y,(o3-<f)a-1/2M3 + <fa+1/2 E

Oj £ Д 2 Oj £ Д2 j ф

3n/5

< J (в - cp)a-1^2de + Yn~a~1/2 +cpa+1/2 J

<y2+ ~ Г 1 n

3n/5

dd 3tt

в ~ф + T

v+i .

1 3п 3п ^,_L1 /О ! 3п 3п

1 3п 3п 3п 3п

s;^тт■lг + т + *’+, (l'4T" + Tjs;

3п ( 4 \ a+i/2 ( 3п 3п \

<

Утверждение 2 доказано.

При оценивании Ui (i — 2, 3,4) будем пользоваться равенством (sin Oj)2a+1 — (1 — cos Oj )a+1/2(1+cos Oj )a+1/2,

а при оценке U2 учтем, что 1 — cos ф ^ ф2 и для Oj G A2 будет (1 +cos6»j)“-^/2+1/4 <: 2, (1 -cos6^)“/2+3/4 < 26»“+3/2, (1 -COS6^-)“/2+1/4 < V2e"+lj2. Заметим также, что для ф G (0, п/2], Oj G (ф, Зп/5] справедливо неравенство

Oj — ф Oj + ф 2 Oj — ф 2 Oj + ф

cos ф — cos Oj = 2 sm —----------------------sm —------------- > 2— •

п

— (в2 - <^2) — — (#,• - y>)(0j + ¥>).

(33)

Учитывая (12), (15), (31)—(33), имеем из (29)

36

112 ^ —с(а, (3)с\\п1/2 5п

и*-* е

в; еД2

008 V — 008 вз

+ (1-С08^)|Р“+^(с08^)| £ (1-^8 ео)а,2+^Ав.

в; Е Д 2

008 V — 008 вз 3

<

36п -| /2

< ------с(а, (3)с\\п ' х

5

в

а+1/2

в

а—1/2

|Р“^(с08^)| £ Д^ + ^=|Р“+^(С08^)| £ -р—---------Д0,

вз V V2 о.г-л^3 V

^ -----с(а, /3)с1Лп1/2

5

в; Е Д 2 3

3^ / 4

_ 2 \5(2а + 1)

в; Е Д 2 3

+ П |Р^(008 ^| +

+ (^+1/2|Р“^(со8^)| + ^^|Р“+^(со8^)|^

<

Из (15) при 0 < 1/п < V ^ п/2

Аналогично,

п1/2 л/2п1/2

Поэтому из (34) получаем оценку 54п2 / 4

^2 <

5 \5(2а +1)

+ 1^ с(а, в)с1Лп1/2|Р“’в(008 v)|+

9тг2 , г 9 / 37Г 37г\

Н——(2%/2 + 7г)с (а, /3)с1 Л Мп — п + — ) .

Оценим величину из при V > 1/п. Из (24), используя (12) и (21), имеем

(35)

из < Л2^ + 1 £ (втб^)2^1^/^} ^“’^(сов^)! • |Р“>/3(со8^)|Д^- =

- а’в\—1|

дгтг ^ак >

в; ЕД3 к=0

3Л

— Е {КфУ\^вз)2а+1Мз+

7Г г ^

в; Е Д 3

3Л

+ - Е (^)2“+1 Е{/гй’/3}_1|Рй“’/3(С°8^)1 • |^(С08^-)|Д^ = Щ1] + 17™. (36)

в; Е Д3

к=1

х

Оценим сумму U^1^. Учитывая, что для —1/2 < a, p < 1/2 (см. (2))

а’в\ — 1

{h°0’P }

' + в +1 Г(а + p + 1)

2 a+в+1 Г(а +1)Г(Р +1)

Г(а + p + 2) Г(3)

<

2a+в+1Г(а +1)Г(Р +1) [Г(1,462)]2

получаем

(1) 7.68А . . >2 а+1 7.68А 15.36А

щ1) < Е (sm ел + A0j < — Е Aei <----------------------------------------•

п

п

Oj £ Дз Oj £Дз

Для оценки величины U(2) заметим, что в силу утверждения 1 величина {Ь0,’в}—1 имеет порядок O(k), так что {h0,’e}—1 ^ 02k. Так как для Oj G A3 будет (1 + cos Oj)а—в/2+1/4 ^ 2, из (36) с учетом (17) получаем

t/f} < 6ЛС2С2(°^) ^(l-COSy)-°/2-V4 £ (1 - COS ^)“/2 + 1/4Д^ <

k=1

Oj £ Д 3

k=1

п\a/2+1/4 / / п ( 1

1 — cos (92----II +1 COS I ip--I — COS I ip H—

a /2 + 1/4'

12ЛC2C2(a,P) £ _ co )-a/2-l/4

nn ^

k=1

1

1 — COS I ip---------

12Ac2c2(a, p)

^ ПП. ' ^

/2+1/4

+ I 2 sin p sin —

a /2 + 1/4'

1 - cos (ip - i)

n

a /2+1/4

<

<

k=1

12(1 + ^)Лс2с2(а, p)

1 cos ф

12(1 + л/2тг)

E1

k=1

<

+ 2(sin ф)" Ac2c2(a, Р).

-a/2— 1/4n—a/2 — 1/4

<

Объединив (37), (38), получим

А

U3<-

п

(38)

(39)

12(1 + а/27г)с2с2(о!, р) + 15.36

Если же р ^ 1 /п, то величина С/3 берется по промежутку Д5 = (0, у> + —]. В этом

тт(1) П

чае из оцени

оценивается так:

случае С/д1'1 оценивается так же, как при ip > а С/д2'1 с учетом |P^’^(cosc£>)| ^ с(а, р)п'

с/3(2) < 6Лс2^(а^) (Х>“+1/2) ]Г (1 -cos^)“/2+1/4A^ <

п \k= 1 / Oj£Дв

X

X

X

п

<

6Лс2С2(а, в) а +3/2 ( ( 1

----2 ^ п 1 - соэ [ф + -

п V V п

а/2+1/4

£ Ыз

<

6Лс2с2(а,в) а+3/2 ( 1\а+1/2 2 24Л 2/ ^

----2 ^ п / У+~ ----с2с (а, /3).

п \ п / п п

В итоге получаем

12(1 + а/27г)с2с2(о!, /3) + 15.36

(41)

Оценим величину и4. Проведя те же рассуждения, что при оценке величины и2, получим

С/4 ^ ---с(а, р)с\\пх12 х

5

|Р“’в(008 V)! Е

в

а+3/2

а+1/2

^ -----с(а, (3)с\\п1/2

5

Va+1/2|pc^,в (008 V)! +

иа+3/2

г I 7-)а+1,/3

в; Е Д 4

|Р“ +1,в (008 V)!

Ч>{Ч> - вз)Мз

<

У) -^гЩ.

^ V —в 3 в; ЕД4 3

(42)

Поскольку функция д(в) = 1/(V — в) монотонно убывает на промежутке (0, V), используя оценки (11) и (20), можно записать

<р— — ' п

1 йв 3п 3п , п 3п .

*•>* 1 £т? + у <|»5»+т- <«>

С учетом оценки (43) из (42) получим

С/4 ^ ----с(а, р)с\\пх12

5

V а+3/2

^“+1/2 |Р“^(с08^)| + ^=_|Р“+1^(С08¥,)|

п 3п 1П2" + Т_)-

(44)

Так как ^ 1/п, из (15) имеем |Р“’^(со8у>)| ^ ^„172У а 1^2 и |1,/3(еов| ^

1г2с(а,/3) —а—3/2

Поэтому из (44) получаем

С/4 < ^-(2л/2 + тг)с2(а, /3)с1Х ^1п ^-п + у ^ .

(45)

Собирая оценки (30), (35), (41), (45) и сопоставляя их с (24), при х € [0,1], —1/2 < а, в < 1/2, п ^ N — 1 приходим к оценке

Ьп,м(х) < НЛа,Й ( 1п^-п + 3тг ) +

3п2

10

+

Н2(а,в)1Ра,в (х)| + Из(а,в)Р:+в1(х)1 п1/2 + Щ(а,в), (46)

х

1

где

Hi(a,f3) =-------(2а/2 + 7г)с2(а,/3)сіЛ,

Б

Н2{а,[3) = - ( 8 + 97г

2

Б(2a + 1)

+ 1 I ) c(a, в)clA,

48

Нз(а, (3) = —с(а, [3)с\Х,

5

Н^а, (3) = — 12(1 + а/27г)с2С2(о!, (З) + 15.36 п I

2. х Є [ — І,0]. Перейдем теперь к случаю — І ^ х ^ 0. Покажем, что его можно свести к уже рассмотренному случаю 0 ^ х ^ І. Используя свойства (14) и (21), для произвольного х Є [0, І] из (22) имеем

N

L<a!N(—x) = 53м, j=1

N

= Х) м,

j=1

Y.{hte }-lpaa,e (—x)pa,e (x,)

k=0

Yj{he:a}-lp3,a(x)p3,a( —x,)

k=0

(47)

Сделав замену переменных x = cos ф, x, = cos 0,, из (47) получим

N

LnN(—cos ^) = J2 м,

j=1

N

= Ё Mj

j=1

J2{hk,a} lpk,a(cosф)pk,a(cos(n — 0,))

k=0

12{hl’a} lpk3,a(cos v)p3'a(cos j)

k=0

Ln,N(cos ф)■

Так как £j — п — Oj имеют одинаковые свойства с Oj, проводя те же рассуждения, что при оценке величниы L^’N(cosф) и используя равенство (14), выводим, что

Ln%(coscp) < Н\{а, (3) ( ln^f—n + Зтг ) +

n,N

Зп2

1O

+

H2(a, в)|PІ'a(cos ф)І + H3(a, в)^^^ (cos ф) nl/2 + H4(a, в)

Зп2

Ні(а, /З) ( In + 37г ) +

+

H2(a^)l( — 1)nPaa’e (—cos ф)І + Щ^вЖ — 1)n+lPafl( —cos ф)|1 nl/2 + Щ(^в)

Зп2

Ні(а, /3) ( In + 37г ) +

+

H2(a, f3)IPa’e (—cos ф)І + H3(a,f3)IPafl (—cos ф)І nl/2 + Щ^,в). (48)

4

Возвращаясь к переменной x, из (47) и (48) получаем

Ьп,м(Х) < нЛа,Й ( Іп^-п + Зтг ) +

n,N

Зп2

1O

+

H2(aJ3)IPa,e (x)| + H3(aJ3)IPnfl (x)\l nl/2 + Щ(^в)

при х € [—1, 0].

В конечном итоге, из оценок (46) и (49) при — 1/2 < а, в < 1/2, п ^ N — 1 для х € [—1, 1] получим

3п2

Ьп,м(х) < Я1 К/3) ( ln^-n + Зтг ) +

n,N

+

1O

Щ^в)^’3(x)| + HsK^PnYl(x)\\ nl/2 + H4(a,в)

m

1п,М(х) = °(І) |_ІП П + ПІ/'2 [\РП’3 (х)1 + \Рп++ЛХ)\) + 1 Теорема 1 доказана.

Из (7), (8) и утверждения теоремы 1 вытекает

Теорема 2. Пусть — І/2 < а, в < І/2, т + п ^ N — І, ц = тах{а, в}, тогда при т,п ^ <ж

\\8тп,м у = ° {(тп)ч+1/2). (5і)

Наконец, используя (7)—(9) и результат теоремы 2, получаем следующее утвержде-

ние.

Теорема 3. Если / (х,у) Є С[-11]2, N (/) = Бт,3п N (/; х,у) — дискретные частные суммы Фурье—Якоби прямоугольного вида, Ііт (тп)ч+1/2 Етп(/) = 0, то при

— І/2 < а, в < І/2, т ^ п, т + п ^ N — І

m, n—>00

f(x,y)= lim S°mt, n(f; x,y)

m,n

m,n,N к

(Б2)

для (x, y) Є [ — 1, l]2.

Следствие. Если I (х,у) € С[—м]2, (I) = В^т^ (I; х,у) —дискретные

частные суммы Фурье—Якоби квадратного вида, Иш 1п2 тЕт(1) = 0, то при —1/2 <

т—— ^

а, в < 1/2, 2т ^ N — 1 внутри квадрата [—1, 1]2

'<а,р

f (x,y) = т^ S^3m,N (f; x,y)■

(БЗ)

Summary

F. M. Korkmasov. On the approximation of continuous functions of two variables.

It is shown that if P^13(x) (a,/9 > — 1,m = 0,1, 2,...) are the classical Jacobi polynomials, then the system of polynomials of two variables {^0,’n (x,y)}m,n=o = {Pm13 (x)P%’^ (y)}m,n=o (r = m + n < N — 1) is an orthogonal system on the set QNxN = {(xi,yj)}Nj=0, where xi; yj

are the zeros of the Jacobi polynomial PN ’ ^(x). Given an arbitrary continuous function f (x,y) on the square [—1,1]2, we construct the discrete partial Fourier-Jacobi sums of the rectangular type ’ n (f; x,y) by the orthonormal system introduced above. We prove that the order of the Lebesgue constants HS^n n II of the discrete sums S^nn n (f; x,y) for —1/2 < a, 9 < 1/2, m + n < N — 1 is O ^(mn)q+1/2^, where q = max{a, 9}.As a consequence of this result, several approximate properties of the discrete sums N(f; x,y) are considered.

Литература

1. Коркмасов Ф. М. Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье—Якоби // Сиб. мат. журнал. 2004. Т. 45. №2. С. 334-355.

2. Суетин П. К. Ортогональные многочлены по двум переменным. М.: Наука, 1988. 384 с.

3. Янушаускас А. И. Кратные тригонометрические ряды. Новосибирск: Наука, 1986. 272 с.

4. Даугавет И. К. О постоянных Лебега для двойных рядов Фурье // Методы вычислений. Вып. 6. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1970. С. 8-13.

5. Кузнецова О. И. Об асимптотическом поведении констант Лебега для последовательности треугольных частных сумм двойных рядов Фурье // Сиб. мат. журнал. 1977. Т. 18. №3. С. 629-636.

6. Байбородов С. П. Константы Лебега многогранников // Мат. заметки. 1982. Т. 32. №6. С. 817-822.

7. Подкорытов А. Н. Порядок роста констант Лебега сумм Фурье по полиэдрам // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1982. №7. С. 110-111.

8. Агаханов С. А., Натансон Г. И. Функция Лебега сумм Фурье—Якоби // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.: мат. 1968. Вып. 1. С. 11-23.

9. Бадков В. М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье—Якоби // Сиб. мат. журнал. 1968. Т. 9. №6. C. 1263-1283.

10. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

11. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976. 328 с.

12. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: ИЛ, 1948. 260 с.

13. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.: Гостехиздат, 1949. 688 с.

14. Яхнин Б. М. О функциях Лебега разложений в ряды по полиномам Якоби для случаев а = в = 1/2; а = -1/2, в = 1/2; а = 1/2, в = -1/2 // Успехи мат. наук, 1958. Т. 13. №6. С. 207-211.

15. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физмат-гиз, 1960. 624 с.

16. Gronwall T. Uber die Laplacesche Reiche // Math. Ann. 1913. Vol. 74. P. 213-270.

17. Rau H. Uber die Lebesgueschen Konstanten der Reihenentwicklugen nach Jacobischen Polynomen // J. fur Math. 1929. Vol. 161. P. 237-254.

Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.