CC BY
13
УДК 517.51
О КОНСТАНТАХ ЛЕБЕГА ДИСКРЕТНЫХ СУММ ФУРЬЕ-ЯКОБИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВИДА
© 2007 г Ф.М. Коркмасов
It is shown if РавО) (а, в > -1, m = 0, 1, 2, ...) is the classical Jacobi polynomials, then the system of polynomials of two variables ГР0в( x, y)Ymn,=0 = ((y)Ym,n=0 (r = m + n < N - 1) is an orthogonal system on the grid QNxN = {(x, yj , where Xj , yj are the zeros of the Jacobi polynomial Рав (x) . Given an arbitrary continuous function f (x, y) on the square [-1,1]2 = [-1,1] x [-1,1], we construct the discrete partial Fourier-Jacobi sums of the rectangular type S^^n (f ; x, y) over the orthonormal system introduced above. We prove that the order of Lebesgue constant ||sa"eN|| of the discrete sums S^'H n (f; x,y) for
—12 <a, в < 1/2, m + n < N - 1 is o((mn)q+12 ), where q = max{a, в} . As a consequence of this result, we consider a several approximate properties of the discrete sums S^^n (f; x, y) .
QNxN = {(xi,у, )}i j= относительно скалярного произведения
N N
(3)
Введение
Пусть Нп - пространство алгебраических многочленов рп - рп (х) степени не выше п, С^д] - пространство непрерывных на [-1,1] функций. П- {х0, х1,..., хп,...} - сетка - дискретное множество
состоящее из конечного или бесконечного числа различных точек действительной оси Я. В работе [1] с вительн°, учитыгая (1) и (3), имеем помощью квадратурной формулы Гаусса определена
(Y, Ф) = SSm.m, m, у j )Ф(х, у j);
i=1 j=1
где x,, yf
NN
нули многочлена
Якоби paß(x). Дейст-
система многочленов Якоби {ра'^(х)}^1 (а, в > -1, N = 2, 3,...), ортогональная на сетке QN - {х1, х2,..., xN } относительно скалярного произведения (/, g) = х) / (х) g (х) ( /и(х1) = и ),
SSMM, ^amnß( хг, у, Xi, У, ) =
i=1 j=1
N
s,
i =1
J^kl
N
s,
j=1
= sv-paßx )pkaß(Xi) )р1а^(у])=
xgq n
s Mjpmaß( Xj )Pnaß(Xj) = h/ ömn
j=1
- hm mkhn °ni ~
(1)
0,
если (m, n) Ф (k, l),
Ив)2, если (т,п) - (к,I).
Полагая х,у) = {йтЛ-1/2{Св}-1/2^пв(х,у),
где х^ еП,, - нули многочлена Якоби Р£,в(х); / - определим для произвольной функции числа Кристоффеля или веса квадратурной формулы f(х,у) е С[-1,1]2 дискретную частную сумму Фурье-Гасса; На-в - 2а+в+1 Г(п + а+ 1)Г(п +в+1) ; Якоби прямоугольного вида
; п = 2п +а + в +1 ' Г(п + 1)Г(п +а+в+1) ' 5тп - символ Кронекера.
Полагая ра,в(х) - Ив}-1/2Рпа,в(х), для произвольной функции /(х) е С[-12] можно определить дискретную частную сумму Фурье-Якоби порядка п < N - 1 по ортонормированной системе {ра в(х)}^1:
saJ,N(f) = saJ,N(f;x,у) = S faß^aß(x,у) =
k<m, l<n
= S тШ , ß (x, у),
k=0l=0
NN
где f*jN = S Sßißif (x,у, ß(x,у,) -
(4)
дискрет-
i=1 j=1
saß (f)=saNß (f, x) = S ffßPaß (x)
(2)
k=0
где
faN = SMjf (x, )Pa,ß( x,) - дискретные коэффи-
j=1
ные коэффициенты разложения функции f (x, у) в двойной ряд Фурье-Якоби.
к
Обозначая Kaß(u,v) =SP"'ß(u)paß(v), перепи-
циенты Фурье-Якоби.
Пусть С[ 1 2 - пространство непрерывных на
квадрате [-1,1]2 = [-1,1] х [-1,1] функций f(x,у) с
шем (4) в следующем виде:
saß N (f; x, у) =
нормой
= max
(x, у)е[-1,1]
многочленов двух переменных
| f (x, у) . Покажем,
что система
N m n
= SS
k=0l=0
NN
ssM, $aß(x,, у,) f (x, у,) ^aß( x, у)=
V i=1 j=1
/
V^m'n (x,у)}т,п=0 = {pa,ß (x) pnaß (у)}т,п=0
(r = m + n < N - 1) является ортогональной на сетке
(NN ^
= pa,ß(x) SM,pa,ß(xi)SMjf(x,у,)Kanß(уj,у) i=1 j=1
+
N
Pa,ß(x) )ZMjfix,у,)Kanß(y,,y)
J=1
j=1
... + Paß(x) ZM1P0l,ß(x1)ZMjf(x1,У,)Kanß{y1,y)
+...
л
рассматривался в [3, 4]. В частности, в [3] было дока-
.А
зано, что
S„
= 16п 4ln2 m + O(lnm), а в [4] полу-
, i=i
j=1
чено более общее утверждение:
/
NN
= EEf (X, y, )HrHjKamß(x1, x)Kanß(yj, y). (5) i=1 j=1
При изучении аппроксимативных свойств дис-
Sm
= 32п 4lnmlnn - 16n 4ln2 m + O(lnn)
для m, n = 1, 2, ..., l = nlm. Обобщая эти результаты, в [5, 6] были получены оценки констант Лебега част-
кретных частных сумм Фурье-Якоби прямоугольного ных сумм по гомотетично расширяющимся мшго-
гранникам в Я™.
Для случая прямоугольных частных сумм двойных рядов Фурье по ортогональной системе многочленов
Якоби (р(и) = (1 -и)а (1 + и)в)
вида (/; х, у) интересны вопросы, связанные с
поведением констант Лебега Ба,в
ра S
a,ß m,n,N
: C
^ C
m,n,N норм операто-2 . В частности, оценки
[-иг [-1,1]
функций Лебега позволяют устанавливать достаточные условия равномерной сходимости рядов Фурье по ортогональным многочленам на всем множестве ортогональности.
Из (5), следуя определению констант Лебега, получаем
l^m^fwl = SUP||Smln,N (f ^ = IL
Jm,n,N11[-1 1]2
(6)
где
Lm,n,N = Lm,n,N (X, y) =
N I „ I N i i
= Zm,\k^( X, x)\ -ZMÁK aß( y,, y)
i=1 1 1 j=1 1 1
= (хКв (у), (7)
Цп.ы (х) - функция Лебега дискретных сумм Фурье-Якоби (/, х), определенных равенством (2).
Как видно из (6), (7) вопрос об оценке констант Лебега дискретных частных сумм Фурье-Якоби прямоугольного вида сводится к изучению асимптотических свойств одномерных функций Лебега ЦяМ (х) дис-
S^f) = S^f; x, y) = I ¡ps)pt)KZe(x, s)Kane(t, y)dsdt -í-i
оценку S^—П нетрудно получить, используя соотношения для одномерных функций Лебега Lane(x) = Jp(t)| Kan e(x, t)| dt, [7, 8].
В данной работе нами дается оценка сверху функции Лебега L^x) дискретных сумм Фурье-Якоби
(теорема 1) и, как следствие этого результата, асимптотическое соотношение для констант Лебега
дискретных частных сумм Фурье-Якоби (/; x, y) прямоугольного вида (теорема 2).
»Sa,ß Sm,n, N
Sa,ß Sm,n,N
Вспомогательные утверждения
Приведем без доказательства следующее очевидное утверждение.
Лемма 1. Пусть функция / (х) непрерывна и неотрицательна на промежутке [а1,Ь1] и {/у}™={) - сетка, такая что а1 < (0 < <... < (т < Ь1. Пусть А/у = +1 - ^
Отметим вкратце, что для двойных рядов Фурье и [а2, Ь2] с [а1, Ь1]. Тогда, если
1) /(х) монотонно возрастает на [а2, Ь2], то
кретных сумм Фурье-Якоби S^'N (f,x).
понятие сходимости можно определить по-разному, в частности, наиболее употребительными являются следующие виды сходимости: прямоугольные (квадратные), треугольные и сферические [2]. Поэтому для каждого конструктивного вида (прямоугольные, треугольные, сферические) частных сумм Фурье в научной литературе получены оценки констант Лебега, соответствующие вышеперечисленным видам сходимости.
Так, в тригонометрическом двумерном случае для прямоугольных частных сумм Фурье
Бт_(/)=Бт_(/;х,у) = ^ -
\л\<т, \у\<п
имеет место оценка
CM,ve
S\-\
= sup
If (x, y)|<1
Smn (f) = 16n lnmlnn + O(lnm + lnn ),
Ь2
X /((}-)А(; <| /(х)йх + /Ь)А* , (8)
а2 <(] <Ь2 а2
2) /(х) монотонно убывает на [а2,Ь2] , то Ь2
X /((,■)А(<| /(х)йх + /(а2)А*, (9)
а2 <(] <Ь2 а2
где А* = тах А(/.
]
Лемма 2 [9, п.15.3]. Если х}- = cos0;■ (0<^;- <^) -
нули многочлена Якоби Ра,в(х), -^2 <а, в < 1/2, то для чисел Кристоффеля ¡л■ справедливы следующие оценки
которая является следствием известной оценки одномерных констант Лебега.
Случай треугольных частных сумм двойных рядов
Фурье БАп (/) = БАп (/; х, у) = X
\Л\/т+|у|/п<1
2 -1
N 2
И] <— (sinö; )2
N
(sinöj)2ß+1
J N '
(О <в. <к-8), (10)
(8<в, <п), (11)
где S и Х = X (8) - фиксированные положительные числа, j=1, 2, ..., N.
+
Нам понадобятся некоторые свойства многочленов Якоби [9]. Для удобства ссылок мы соберем их в этом параграфе.
Справедливы следующие равенства:
Рпа,в( х) = (-1)пРпв,а(-х), (12)
Pn
a+1ß( Х) =
2
2n + а + ß + 2
(n + a + l)Pna,ß(x) - (n + l)P„i+iß(x)
P„aß+1( x) =
1 - x 2
(13)
2n + а + в + 2
x (n+в+1)рдв (x)+(n+i)p„gi? (x)
1 + x
При -1 < x < 1, n > 1 имеет место оценка [8]:
Pn
ГА x)|:
c(a,ß)
nl2
л/1-
x +-
1
-а-1/2
V1
+ x +-
1
-ß-1/2
2 j -1 2 j
J п<в1 <-—n
2N +1 Отсюда
1 2N +1
(j = 1,2,..., N) [9].
Д0. =0i+1 -0t >-
1 1+1 1 2N +1 3n
Дв,- <-.
1 2N +1
(15)
(16)
При -1 < u, v < 1, u Ф v имеют место следующие равенства [10]:
Kanß(u, v) = X Paß(u) paß(v) =
к=0
= xhß}-1 pkrß(u)pkrß(v)=
к=0
1
_ Г(п + 2)Г(п + a+ß + 2)
" 2a+ß(2n + a+ß + 2)' Г(п + a+ 1)Г(п + ß +1) '
. pg^(u)paß(y) - pgß(u)pg^(y)
Lanß( x)X
ln
n(1- x)e(a\1 + xfKP> + 1
s(ß)
-■Jn
\pa (x)| + |PnOf(x)|
в том смысле, что отношение этих выражений заключено между двумя положительными постоянными,
д () Г1/2, при 12,
зависящими от а и р, где е(у) = <
[ 0, при уф у2
Из этого результата видно, что порядок роста Ц в(х) на отрезке [-1,1] есть о(пч+1!2), где q = тах{а, в}, а на любом отрезке [-1 + £,1 - е], е > 0 порядок равен 0(1п п).
В [8] функция Лебега классических сумм Фурье-Якоби оценивалась при х е [-1,1] в случае, когда по крайней мере одно из чисел а и в принадлежит интервалу (-1, -1/2), в частности,
(14)
n*'~ v пJ V n; Здесь и далее через ck, с(аД...,ю) обозначаются положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров.
Если Xj = cos Qj - нули многочлена Якоби
Ра,в(x) (-1/2 <а,в< 1/2), занумерованные в убывающем порядке: 1 > x1 > x2 >.... > xN >-1,
0 <Q1 <Q2 <... <Qn < /, то
Lanß( x) = 0(1)
La-ß (x) = 0(1)
1 + ln
1 + n2 (1 -x2)
(a, ß £ (-1, -1/2)),
ln[ + n 2(1 - x)]+iA/1+x + -
- ß-1/2'
(a e (-1, -1/2), в > -1/2), где 0(1) зависит от а и в. Отметим также, что при xe [-1,1], а = в = -1/2
L
Ln
(x) = 0(ln n) [10, 12].
В данном параграфе нами доказано (теорема 1), что функция Лебега
а N
Laß (x) =XMi
j =1
X paß (x)Pa ß(x,)
к=0
(18)
дискретных частных сумм Фурье-Якоби S^N (f, x), определенных равенством (2), на отрезке [-1+е,1-е], е > 0 имеет порядок 0(ln n), на [-1, -1 + s] и [1 - s,1] -
o(n в+12 ) и 0(na+12 ). Имеет место
Теорема 1. Пусть -1/2 <а, в < 1/2, n < N - 1, n > 1, тогда для всех x e [-1,1]
LanN(x) = 0(1)[lnn + n12(Paв(x) | +1 Pna;f(x) |)+1], где О(1) зависит от a и в.
Доказательство. Оценим величину L^'в (x) при x e [-1,1]. Рассмотрим последовательно случаи: 1) x e [0,1]; 2) x e [-1, 0].
1) Запишем нули многочлена Якоби Ра,в (x) в убывающем порядке -1 < xN < xN-1 <.... < x1 < 1 и сделаем замену x = cos^, xj = cos Qj. С учетом оценки (15) из (18) следует, что LanN (cosф) <
2 N +1 N
(17)
Оценка функции и констант Лебега дискретных сумм Фурье-Якоби
Функции Лебега линейных процессов аппроксимации многочленами играют важную роль при исследовании вопросов сходимости рядов Фурье непрерывных функций. В разное время вопросы, связанные с оценкой функции Лебега классических сумм Фурье, рассматривались в [7-17] и др. В частности, в [7] для функции Лебега 1в(х) классических сумм Фурье-
Якоби при хе [-1,1], а, в > -1/2 было получено соотношение
-XMj
1=1
X PSka,ß(cos^)Pfika,ß(cose.) Дв. . (19)
к=0
Положим Д1 = [3//5,/), Д2 = [ф+1/n,3//5),
А3 = (ф-1 «), Д4 = (0,ф-1«].
Тогда величина L^'N (cos^) оценится по следующей схеме:
х
х
х
1 1
u — v
П
Laß (cosp) <
2 N +1
(
п
\
S + S + S + S
в. еД1 в. еД2 вJ еД3 в. еД4
- и1 + и 2 + и 3 + и 4 .
Если окажется, что р< —, то сумма и3 берется по
п
промежутку (0, р +1/п], а сумму и4 рассматривать не надо.
Преобразуем выражение (17). Для этого приведем без доказательства следующее
Утверждение 1. [10] При фиксированном р имеет место равенство
Г(т + p) Г(т)
1 + O
m ^ ж,
основанное на хорошо известной формуле Стерлинга. В силу этого утверждения (-1/2 <а,в < 1/2)
= (п+1)(п +а+в+1) Г(п+1)Г(п +а+в+1)ч
ß(u, v)| =
2a+ß(2n +a+ß+2) Г(п+a+1)r(n+ß+1)
paß(u)pa,ß(v) - pna,ß(u) paßv
< 5 C1(n + 1)
pa+1ß(u)pna,ß(v) - pa,ß(u)p:+ß(v)
(20)
Учитывая (20), оценим каждую из сумм U, (i = 1, 2, 4)
3
U <— c1(n +1)(2N +1) х 5п
х S Mj
Pn'+^ig(cosffl)Pnm^ß(cosвj.) - pg• ß(cosp)Pи'+ß(cos6j)
n+1 4
cosp- cos6,
(21)
6.
= |1+a+ßx
V 2n + 2
= 1 1 + l+ßß]x [(1 -cos6,^„^(cose,)Pna,ß(cos^)-- (1 - cos p)pna+i•ß (cos p)Pna,ß (cos 6,)].
Тогда
U < —c1(n +1)1 1 + a+ß |(2N +1)х г 5п 1 V 2n + 2
|Pna,ß(cosp)| S Mj (1 - cos в,)
6j ед
+ (1 -cosp)| pa+1,ß(cosp)| S M
pa+i•ß(cosв;)
cosp- cos 6j pa ,ß(cos6j)
(22)
Дв1 +
cosp-cos6(
Дв,
Для определенности в лемме 2 будем считать б — 2п/5. Поэтому на интервале Д1 будем пользоваться оценкой (10), а на интервалах Д2, Д3, Д4 - (11). При оценивании величины и1 учтем, что
(эшв,)2в+1 — (1-соэв, )в+1/2(1 + соэв, )в+1/2 и для в. еАх (1-ОО50.)- я/2+в+1/4 < 2,
cosp-cose, >-cos—> —, (1+cose,)в2+14< 1. При-j 5 10 j
нимая во внимание (11), (14), имеем из (22)
8 , . 122 N +1
Ut < — c( a •ß)ci^лl2-
N
Pnaß(cosp) | + | pa+ß(cosp) |] S (1 + cos6,)ß2+14Д6, <
< 48 C(a вМЛл1/2 [ Pna ,e(cosp) | +1 Pa1 (cosp) |]. (23)
Оценим величину U2. Предварительно докажем Утверждение 2. Если -1/2 < a < 1/2, n < N - 1
Z ^ДО, <pa-12 fln^fn + , (24)
6,еД, 6i -P
2 ~ j
ea+12 ^ 1-^ ,
в,еД2 6, -P
1 Дв, <
2" 1 3п( 4
<
+ 1| + pa+12| ln—n +
3п 3п
(25)
2 ^ 5(2а +1) ) У 5 2 )
Доказательство. Поскольку функции g1 — (в-р)-1 и g2 — (в - р)"12 монотонно убывают на промежутке (ф, п], то с учетом оценок (9), (16) имеем
na-1/2
-Дв, <pa-1/2 S
1
-Дв, <
,Д2 в1 -Р 1 в,еД2 в1 -Р 1
<pa-V21 щ™n +
< pa-V2
3П5 с1в 3п Г -+ n-
p+1 „6-P 2 N
3п 3п —n +— 5 2
&
a+1/2
(в. -p)a+12 +pa+12
Преобразуем числитель в правой части формулы (21) с помощью равенства (13):
ра;в (cos р)ра,в (cos e,) - ра,в (cos р^в (cos e,)=
Д^1 =
S в—Дв, < s в
в. еД2 6j -p в. еД2 в. -p
= s (в,-p)a-12Дв. +pa+12 s Дв, <
6j еД2
в,еД2 в. -p
< j (в - p)a-^2+ 3nn-a-V2 + pa+V2
p+1 n 2
П5 ^в 3п j -+—
p+1/n 6-P 2
1 3п 3п a+1? к 3п 3п I
<---+ — + pa+12| ln—n +— |<
a +12 5 2 V 5 2 1
3п ( 4
. + 1|+pa+V21 ln3Ln + Щ .
2 ^ 5(2a+1) Утверждение 2 доказано.
При оценивании сумм U, (i = 2, 3, 4) воспользуемся равенством
(sine, )2а+1 = (1 - cose, )а+1/2(1+cose, )а+1/2, а при оценке суммы U2 учтем, что 1 - cosp < р2 и для e, е Д2 будет (1 + cose,)а-в2+14 < 2 , (1 - cose, )а2+34 < 2e,a+32, (1 - cose, )а2+14 <42e3a+112.
Заметим также, что для ф е (0, п/2], в, е (ф, 3п/5] справедливо неравенство
e 2. p-p. e+pS2 2 e-p 2 e+p
cosp-cose = —sin—— > 2----
2 2 п 2 п 2
22
= —(в2 -p2) =—7(в, -p)(6, +p).
п
x
п
х
1
= mp
m
x
u - v
u - v
6j i
Учитывая (10), (13), (24) - (26), имеем из (22)
о ¿г
U2 < — с(а,в)с1Ап12 x 5/
' ав (1 - cosQ, )a 2+34
I Pn (cosft) | X '-AQj +
QjeA2 cos^- cos Qj
+1N (1 - cosQ,a2+1/4 ' + (1 - cos^)| P„a+1,e(cos^)| X ----AQ,
u3(1) X (sin в1 Ya+1Д01 <
П 6j £ Д(
<7682 X Дв-< 15362.
п в£Д3 1 п
7,682
(30)
£Д2 cos^- cose^
в1 £Д2
< (6nc(a,ß)c12n12
ß в"+12
\ Pna,ß (cos^)\ X в-Дв +
в/£Д2 в1 -ф
+ ^=\Pna+1,ß(cos^)\ X < ^daß)^'2
в
a-1/2
в1£Д2 в1 - ф 3п( 4
-Дв
Для оценки и32) заметим, что в силу утверждения 1 величина {кк'в}1 имеет порядок 0(к), так что { наа ,в }-1 < С2к . Так как для 0} еА3 (1 + cos 0^ )а-в2+14 < 2 , из (29) с учетом (14) получаем
и32) < 62У(ав) £(1 - ^ф)-а/2-1/4 X (1 - cos0j)а2+14А0/ <
п к=1
<
2 ^ 5(2a +1)
, a+3/2
(27)
+ 1|\Pna,ß(^)\ +
62c2c(a,ß) "
X (1 - cos ф)-a2-14 х
А
, 3п 3п
ln—n +--
5 2
ф+112 | Pna,P(cosv) | +Т—1 Pn"+1,N(cos^) |
1 / Из (13) при 0 <—<ф< — n 2
|PnaN(cos^)|< -cos^r/2-V4 <
< V2c(1N) (sin ф)- a -12 < /caв ф-a -V2. n12 V2n1/2
Аналогично, | Pna+1N(cos^) |<°-3/2.
2V2n1/2
Поэтому из (27) получаем оценку
1 |c(a N)^12 | P„a,e(cos^) | ■
П k=1
1 ф+14 ( . 1ЛЛ ^ 1-cos ф--II -^Icos!--I-шяф+ —
12ÄC2C2(a,ß) n (1 cos_)-a2-14
■X (1 - cos^>)
1 - cos l ф-
nn k=1
1 ч a 2+1/4
n
+ | 2sin i^sin — n
122с2с2 (a, ß) X nn k=1
1 - cos (ф -1/n) 1 - cos ф
a/ 2+14
a/ 2+1/4
+2(s^)a 2-14 n 2-14
(31)
U 2 <
54n2f 4
5 i 5(2a +1)
< 12(1 + Г2^с2С2(gß) XX1 < 12(1^/2^) 2с2с2(a,ß) .
+9Пг(2^2 +л)с2(a,ß)q2(ln—^—n + .
(28)
/n к=1 /
Объединяя (30), (31), получим
U3 < — [12(1 + лр2/)с2с2(a,в) + 15,3б].
1
Оценим величину U3 при ф> —. Из (19), исполь
n
зуя (10) и (17), имеем
U3 <2-2N+1 X (sinв; )2a+1 х Nn в1£Д3
Если ф< —, то величина U3 берется по промежут-
n
ку А 5 = (0, ф + 1/n]. В этом случае U3(1) оценится
1 ( 2 ) как при ф > —, а для U 3 с учетом оценки n
| Pka,e (cos ф) |< c (a, в) na получим:
x X {Кв- | Pkaв(cosф) | • | P^^cosQ,) | AQ, = (29) U3(2) < 6—f xO/21 X (1 - cosQ,)°2+V4AQ, <
к=0 п V к=1 JQj eA5
= X {h0í•в}-1(sinQj)2a+1 AQ, + X (sinQ,)2a+1 x
/ QJeA3 / QjeA3
X XX{haв}-1 | PJta■в(cosф) | • | P^^ose,) | AQj = U3(1) + U<2). к=1
Оценим сумму U3(1) . Учитывая, что для -1/2 < a, в< V2 (1)
{Л0ав}-1 =•
п
< 62с2с (a,ß) na+32 [1 - cosfф + 1 || X Лв <
a 2+14
6Xo2c2(a,ß) a+3/2 ( 1 Aa+12 2 242 2/ оч
<-2 v na+321 ф+— | -<-с2с2(a,ß).
П i n I n П
ha,ß}-1 = a+ß +1 Г(г + ß +1)
0 } 2a+ß+1 'Г(/+ 1)Г(ß +1)
В итоге
2
U3 <
22 [12(1 + л/2п>
с2с 2 (a, ß) +15,36
(32)
r(a+ß^^_< Г(3) < 2,56
2a+ß+1 г (a + 1)r(ß +1) [Г(1,462)] получаем
Оценим величину и4. Проводя те же рассуждения, что при оценке величины и4, будем иметь
и4 < 3^5Пс(a'в)С\2лl2 х
2
х
n
+
X
X
+
■ вa+3/2 |Pnaß(cosp)| S (J в ) Дв, + в,еД4 p(p - в j )
p2 вСС+12 plPa+i•ß(cosp)| s -p--Двj
V2 в,еД4 p(p - 6j ) J
pa+V2| Pna,ß(cosp)| +
a N
Lanß(-x) =SMj
j=1
S {hk'VPka,ß(-x)Pka,ß(x,.)
k=0
N
= SM,
j=1
S {hßa}-1 pßa(x)Pkßa(-x,)
k=0
(38)
Сделав замену переменных x = cosp, x, = cose,.
< ^eicftcM'2
из(38) получим Lanß(- cosp) =
pa+3/2 '
+—¡^|P■С~lß(cos-)l
в,еД4 p-в
■Дв,
(33)
а.ьи 4 ^ ^ .
Поскольку функция g (в) — (р-в)-1 монотонно убывает на промежутке (0,ф), то, используя (9) и (16), получаем
2 ""^Ав, < (34)
в.еА4 р-в.
р-1п йв 3п , 3п , П 3п
< ] -+-< 1п рп +-< 1п— п +-.
0 р-в 2 2 2 2
С учетом (34) из (33) вытекает 36п
N
= Sm,
j=1
N
= SM,
1=1
s {hßT1 Pkßa(cosp)Pkßa(cos{п - в,))
k=0
s {hßT1 Pkßa(cosp)Pkßa(cos^i)
k=0
=Lßa(cosp).
Так как — я-в. имеют одинаковые свойства с в.
то, повторив те же рассуждения, что при оценке величины ьав (соэр), получим, используя равенство (12)
Lßa(cosp) < Н1(с, ß)
( 3п2
Л
ln-n + 3п
10
V У
U4 <■
5
-с(a•ß)ci^лl2
pa+V2|Pna,ß(cosp)|
+-
, п 3п
ln—n +--
2 2
(35)
pa+3/2 "
+ p_|Pna+^(cosp)| Так как p < 1/n, то из (13) имеем |Pnaß(cos p)\<n-^ p~ a-V2 и
| pa^(cosOK^ß) p-a-ъ>2. Поэтому из (35) 2V2nV2
Н 2(a ,ß) | Pnß a (cosp) | +N3(a ,ß) | Pßa (cosp) | + Н 4(a,ß) = Н1 (a, ß)
n+1 )
n12 +
( 3п2
ln-n + 3п
10
V У
Н2(а,в) |(-1)nРа,в (-cosp) | +
+ Нз(а,в) | (-1)n+1 Pna+f (-cosp) |] n12 + Н4(а,в)
= ^(a, ß)
(, 3п2 „
ln-n + 3п
10
- cosp) || n'
)
+
У
(39)
следует
Н2(a,ß)| Pa,ß (-cosp) | +
U4 < + п)с2(a•ß)ci1(VlniПn + y) . (36) + Н3(a,ß) | Pni+1ß(-cosp) |]n1!2 + H4(a,ß).
Собирая (23), (28), (32), (36) и сопоставляя их с (19), при хе [0,1], -12 <а,в < 1/2, п < N - 1 приходим к оценке
Возвращаясь к переменной x, из (38) и (39) выводим
Lanß(x) < Hx(a, ß
(, 3п2 , '
ln-n + 3п
10
Lanß(x) < ЩС,ß)
(л 3п2 „ ln-n + 3п
\
10
+
(37) +
H2{aß) | Pg,ß (x) | +H3(a,ß | Pgß(x) |
(40)
n12 + H4g,ß)
H2g,ß) | Py (x) | + H3(aß) | p,a+f (x) | 9п2
n12 + H 4(aß),
где H1(a, ß) = —— (2л/2 + п)с2(a, ß)ql :
при х е [-1, 0].
В конечном итоге, из оценок (37) и (40) при -1/2 < а, в < 1/2, п < N - 1 для х е [-1,1] имеем
Н 2(a,ß) =
(
8 + 9п
4
5(2a +1)
+1
c(a, ß)c1X,
48
Laß( x) < Hxa,ß
H2 (a,ß) | paß (x) | +H3 (a,ß) | Pnß) |
(, 3п2 „
ln-n + 3п
10
V
Л
n12 + H4(a,ß)
H 3(a, ß) = у c(a, ß)cxl
или Laß (x) = O(1)
Н 4 (а, в) — — [12(1 + 41я)е2с 2 (а, в) +15,36]. п
Перейдем к случаю х е [-1,0]. Покажем, что его
можно свести к уже рассмотренному случаю х е [0,1]. Используя свойства (12) и (17), из (18) для
произвольного х е [0,1] имеем
ln n+n12 {\pa,ß (x)|+|pa+ß(x)|)+1
Теорема 1 доказана.
Из утверждения теоремы 1, (6) и (7) следует Теорема 2. Пусть -1/2 <а,в< 12, т+п <N-1, q — тах{а, в} , тогда при т, п ^ да
IsaßA = 0((mn)q+12 ).
х
х
+
+
+
+
+
+
Литература
1. Коркмасов Ф.М. // Сиб. мат. журн. 2004. Т.45. № 2. С. 334-355.
2. Янушаускас А.И. Кратные тригонометрические ряды. Новосибирск, 1986.
3. Даугавет И.К. // Методы вычислений. Вып.6. Л., 1970.
4. Кузнецова О.И. // Сиб. мат. журн. 1977. Т. 18. № 3. С. 629-636.
5. Байбородов С.П. // Мат. заметки. 1982. Т. 32. № 6. С. 817-822.
6. Подкорытов А.Н. // Вест. ЛГУ. Мат., мех., астрон. 1982. № 7. С. 110-111.
7. Агаханов С.А., Натансон Г.И. // Вест. Ленингр. ун-та. Сер. мат. 1968. Вып. 1. С. 11-23.
8. Бадков В.М. // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9. № 6.
C. 1263-1283.
9. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М., 1962.
10. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М., 1976.
11. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М., 1948.
12. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М., 1949.
13. Яхнин Б.М. // УМН. 1958. Т. 13. № 6. С. 207-211.
14. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М., 1960.
15. Gronwall T. // Math. Ann. 1913. Vol. 74. P. 213-270.
16. Rau H. // J. für Math. 1929. Vol. 161. P. 237-254.
17. Суетин П.К. Ортогональные многочлены по двум переменным. М., 1988.
Институт проблем геотермии Дагестанского научного центра РАН_15 июня 2006 г.
