Об оценке норм алгебраического многочлена в разных метриках Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

уД«517 5 Ф. М. КОРКМАСОВ

Институт проблем геотермии Дагестанского научного центра РАН

ОБ ОЦЕНКЕ НОРМ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА В РАЗНЫХ МЕТРИКАХ

В работе получены оценки между интегральной Lp[-\, 1J -нормой алгебраического многочлена и его дискретной нормой ||qm || , определенной по конечной системе П N = {х;, точек отрезка [-1,1]' являющихся нулями классического многочлена Якоби Р^ (х) степени N. Доказано, что при условии -1/2 < а,ß < 1/2, гп < aN (0 < а < 1), р ^ 1

имеют место оценки СТ^ * О«1) ^ + ** + , < O(l) (т2° + т2" +1)^ , где

ll4-n||p,N ¡im Ир

0(1) зависит от а, ß, а, р.

1. Введение близим функцию /(х) на сетке QN алгебраическим

т Ил/

Пусть Нт - пространство алгебраических много- многочленом дт(х).Будемсчитать величину ||/-дт|

членов дт = дт(х) степени не выше т, С[а,Ь] - про- известной. Возникает вопрос: насколько хорошо мно-

странство непрерывных на отрезке [а, Ъ] функций, гочлен дт(х) приближает функцию /(х) на всем от-

^ = с[а,Ь] - сетка - дискретное множес- резке [а, Ь] ? Другими словами, требуется оценить

тво, состоящее из N различных точек о трезка [а, Ь]. сверху величину ¡/-дт|'|, если известна оценка свер-

Для произвольной функции f(x)eC[a,b\ определим худля ||/ - дт| ,.

Л*е нормы ||/|1 = щах I /(х) I и ||/||„ = я^ох | /(х;) |. При- П^С1Ъ Аале® ^И " алгебраический многочлен

11 11 ,цх<ь[ ' " \iiiN ' ' г степени/п наилучшего приолижения функции/(х) в

пространстве С[а, b]. Тогда имеем

«/-gj#-g;H|g;-gJ.

Положим,

у - у(m,N) = sup

яш*о ||gX '

(1) (2)

(3)

где верхняя грань берется по всем алгебраическим многочленам дт (х) степени т <. Ы— 1, не равным нулю тождественно. Из (1) — (3) имеем:

|/-дт1И|к-д;||п||д;-дт||^

<(1+у)||/-д;||+у||/-дХ.

Таким образом мы пришли к задаче об исследовании поведения величины у = у (т,Л/] при т, N—>00.

Рассмотрим более общую задачу, Для произвольного дтеНт ,m<N— 1 введемдве нормы (1 < р < оо ):

11?»1р =

|gmW|Pd*

|/р

'|gm|L=^|gmH, (4)

(» у

где ст; > 0 — некоторые действительные числа, при-

N

чем <оо.

Рассмотрим следующие величины

УР =yp(m,N) = supT-р-

Чт*0 М,

Гр=Г(m,N) = sup

mil p,N

"n|lp,N

|gm|p

(в)

(7)

И.И.Шарапудиновым в работе [6] для алгебраических многочленов и равномерных сеток = = {-1+2 j/N - с [-1,1] при Oj = 2/N, m<5VN (5>0) было доказано, что ур <с,(5,р), Гр <с2(5,р),где с,(5,р), с2(5,р) — положительные постоянные, зависящие от 5 и р.

В данной статье мы рассматриваем задачу об оценке величин ур и Г , выбирая в качестве сетки Qn с [-1,1] множество нулей классического многочлена Якоби Р„ э(х) (а,|3 > -1) степени N, ортогонального на отрезке [-1,1] по весу р(х) = (1 - х)а (1+х)р и полагая сг; = ц , где \ij — числа Кристоффеля (или веса квадратурной формулы Гаусса).

2. Вспомогательные утверждения

2.1. Некоторые сведения из теории классических многочленов

Нам понадобятся некоторые свойства многочленов Якоби [7]. Для удобства ссылок мы соберем их в этом параграфе.

Справедливо следующее равенство:

р;'р(х)=И)прлр'а(-х). (в)

Для -1 < £ < 1, л > 1 справедлива следующая оценка:

Здесь и далее через ск,с(а, р,...,а>), Н(а, Д...) обозначаются положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров.

При -1 < х, {< 1, имеют место следующие равенства [8]:

1=0

+ н

где верхние грани берутся по всем алгебраическим многочленам дт степени т < И— 1, тождественно не равным нулю.

Возникает задача об исследовании поведения величин (6) и (7) при т, N->00. Другими словами, какие условия на рост степени т по отношению к росту N обеспечивают равномерную ограниченность величин (6) и (7) ? Для тригонометрических многочленов Гш(х) и равномерных сеток = с [0,2л)

подобные задачи рассматривались в работах С.Н.Бернштейна [1], С.М.Лозинского [2], И.Марцин-кевича |3], С.М.Никольского [4]. Для ст; =а = 2п/М А.Зигмундом [5] при N = 2т +1 было доказано, что Гр <1 + шст), ур < Ар (1 <р<ао), где А - абсолютная постоянная, Ар — постоянная, зависящая отр; С.М.Никольским [4] при р> 1 получено, что Гр<1 + лгст, а С.М.Лозинским [2] для частного случая р>1, N = 2т +1 доказано неравенство Гр 2 4" . Последнее неравенство с константой пр+ 1 вместо 4Р было доказано другим способом И.Марцинкевичем [3].

+ Н

, 2 р^а)р^(х)

*-:-+ ■"*---:--

t-x t-x

3 Pka*(t)P:»(x) | 4 p;+f (f)^f(z)

t-x t-x

(k+l)p;;f (t)P*f (X) - kP?» (t)P^ (X)

2a+iW(t-x)

+8 (1-Щ1 + *)рГ»(t)P;.MW| t-x

(10)

где h"= Г(п + а+1)Г(п+р+1)

n 2n+a+(3+l Г(п+1)Г(п+а+р + 1)' *

= O(l), 8k = O(l) (A—>oo). В дальнейшем будем предполагать, что существуют такие положительные постоянные д, и д2, что | Н[ |< д, и 15„ |< д2. При желании значение постоянных д, и д2 можно найти, используя текст доказательства равенства (10), приведенного в работе [8].

IL М = ±д,(t,X) • (П)

Г X if=m i-1

где

2(<-х) • [(т + л + а+р

-(/п+а+р+ЦРГ'П^Г'^)].

о у и

(12)

(1-02(1 + х)

'--[1Л1Т1

- (ш + п+а+р + 2)Р°;2р (X) ],

(13)

.(1-0(1+*) (*-х)2

т + п + а + р + 2

2(пг + л) + а + р + 3 т+л 1' я+п 1 '

_ т + а + р + 1 м

2пи-а + Р + 1 11 и 1

(14)

д4{*'х)=-

(1-0(1+*) Ц-х)2

2.3. Лемма. Пусть - 1 < ( й 1, -1/2 < а,(3 < 1/2 , О < Ьт < л < dш (Ь, о! — фиксированные положительные действительные числа). Тогда

^ Чш+п

= — Л У ¿С'У.х^х < к.тм +\7тъ + Х,3, (20)

где X, = А..(а,р,а,Ь), X, -\2(схгр,а,Ь), А.3 = Х3(а,р,а,Ь) -некоторы"положительные постоянные, зависящие от указанных псраметров.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай 0 й I й 1, который, в свою очередь, разобьем на случаи: 1) íe[0,l-4/m2]12) (е[1 - 4/т2,1].

I) Представим величину по следующей

схеме:

та (а + Р + 1) (2А + а + Р + 2) (15)

'^(2Л + а + р + 3)(2^ + а + Р + 1) *

, ..в,

2(*-х) ££

*0) = !+}+}+! =и1+и2+из+и, , (21)

1

(1~0(1 + *) (<-х)2

[(а+1)р Р^(1)Р^(х

£Й2* + а+р + 1

(17)

2.2. Неравенство Иенсена

Если функция /(х) является выпуклой на [а, Ь],

л

то при х, е[а,Ь], >0, ^Гг, =1 имеет место неравен-

-1/2 I, (2 I 1 -1/2 I, .. 12

где г, <2 = * + лЯ-^/т и ввиду равенст-

ва (10)

/=о

Отметим здесь, что при оценке [/^воспользуемся очевидным равенством:

Л1+П

£ (*+1)Р£? (ОС? (X) - (ОС (X) =

= (ш + л + 1)Рта;рЛ+1 (0СЛ+1 (X) - шР;р ЩР*» (х). (22)

Используя оценку (9), в дальнейшем для 0<( < < 1 - 4/ш2 , -1 < х < 1 будем пользоваться следующими оценками:

|р;*(0рга41(х)|<

< - (Г«2-"4 (1 - х)^2-,/4(1 + хГ>™ ,

(23)

ство Иенсена / ¡(х) = х11, з>1 ,то

^х, < "£гДх,), в частности, если Ч(=1 У /=1

5>л (»в)

V 1=1 ) 1=1

Если функция Р(£) интегрируема на [а,Ь], рЩ>0,

ь

|р(Г)с!( = 1, 5 > 1, то справедливо следующее интегра-

а

льное неравенство Иенсена:

3У2гЧ2

(24)

При оценивании [/„ (/ = 0,6) будем учитывать, что для 0<Г<1-4Дл2 и -1 <х<-1/2 имеем

(1 - £ ша+,/2, г-Ц <2,(1- ху^ < I.

\t-xl

Принимая во внимание (10), (23), (24), получим

-1/2 Х>

с/х

1

2с2(а,р)'

л + 1

2 4

<с2(а,р), (25)

7с2 (а, р)

: л/2 (л +1)

(1-0

(1-0

-а/2+1/4

г—*.

л+ 1 ' ^ ■>

а 3 2 4

а/2+3/4

2с2(а,р)д,ша-|/2

_Р + 3^|2_Р/2+3/4

2 4

к-гп к

^7Лс2(а,р)(1+^)дг2а _ (32)

< 2л/2с2 (а,Р)д 1ша_1/2. (26) Далее, из (31) с учетом (9), (13) - (17), получаем

Оценивание величин [/|2, ии, И14 аналогично оценке (/,,. Поэтому

ии < 2л/2с2(а,Р)д,т°-|/2 (/ = 2, 3, 4). (27) Далее при Ьт <п< йт Ас2 (а, Р) 4/2

л + 1

>-та+"2 |(1 + х)-р/2-1/4оЬГ<

(28)

20 л/2 (л+ 1)1 т Г I (¿-х)2

л/2 (л + 1)

(1-х)

<1/2-1/4

-1/2

Тс^рк _ /2+3/4 "г бх ~ л/2 (л +1) ]

-¿2 с-*)

<7с2(а,Р) (1-р^4

л/2(л+1) (а 5' 2 4

К-Л)"

а/2+5/4

^ 7л/2с2(а,р) ^га

(33)

к=т к

<с2(а,Р)д2.

Объединяя оценки (25) — (29), получим

(29)

С/,<с2(а,Р)

1 + д2 +4л/2[ 2д, + —

(30)

л + 1 ч^+л т

.(1_^/2+,/4 И X,

-¿г

. 2л/2с2(а,Р) т(п+\)

п_^-а/2+,/4 г-

¿х

а/2+9/4

При оценивании (У2 будем пользоваться тем фактом, что для 0<t<l-4/m2 , -1/2<х<^ будет (1 + ?)"р/2",/4 < 1, (1 + хГР/2-1/4<Л, (1 + х)"р/2+1/4<72, (1+х)™4 <2.

Величина [/20 с учетом (10), (11) —(17) ощенится так:

^ 2У2с>,р; ша/2+5/4 „

^ 2л/2с2(а,Р)^2я

За/4+3/8

(34)

}£|д,М)|сгх =

л + 1^

^ " ^л+Т ^(1" ()"а/2+'/4 Х'р" I

—' 1 'г (1 - хр/2"'/4 ^ к

к=тл -1/2

<1х<

V "'/2

(31)

,У2с2(а,р)

т

(1-0"°/2+'/4 | —

с[х

Используя (9), (12) и неравенство

_ у\~а/2+1/4 < (1 _ «-а/2+1/4 , ,, Га/2+1/4

(1-хр//+1/4<(1-о"а/

при ^^¿х^^имеем^т^п^т):

справедливое

(35)

(1) Тс^Р) ~ ^2(л+ 1)

у.5, ^ Зл/2с2(а,р) _ а/2+1/4 'V (1-х)-^2-'-^

2(71 + 1)

к=т к 1-Х

Зс2(а,Р) _ "г йх

~ лт 11 4

^ Зс2(а,Р) т

а/2+1/4

^ 12л/2с2(а,Р) 2д.

—1/0

2а+1

(36)

< ^с2(а'Р) (1 -((а + 1)Р+а(р +1))•

л + 1

, Лс2 (а,р)д2 "г йх <

Лс2(а,р) д2ша/2"3/4 8У2с2(а,Р)д2 2а_,

" а+_1 " 2а4' ' 1 ' 2 4

Объединяя оценки (38) — (42), получим

и2 < Лс?(а,р( * ;16+7л/2)+ : о

2а + Ц Ь 2

П1

(43)

1 "г (1-хГд/2"'/4 '¿2А2(А-1)_,)2 ((-х)2

ёх<,

Зс2(а,Р) _ 'V ёх -2л/2т2(ш-1)1 '

Зс2(а,Р) т^ Зс2(а,Р) ,а_,

" л/2т3 (1-^3а/4+3/8 ^/2 т ' (37)

Собирая оценки (32) — (37) и сравнивая их с (31), заключаем, что

Оценим иу Из (21), используя (9) и оценки (1 + ^) ""/2'"1/4 <1, (1 + х)~р/2~|/4 < Л, справедливые для О < * < 1 — 4/т2 (,< х < , имеем

, Ч л

4 12т+1\ к

£/20<Лс2( а,р)

Ь 2а+1 2

т2а. (38)

л + 1

Лс2(а,Р)

т+п

Используя (10), (23), (24), получим

< Лс^КР) "г(1-*Г/2-'/4

и2х<

л + 1

к=>т Л

¿х<

Лс2(а,р)д, "г сЬс „

Лс2(а,р)д, ^ 4У2с2(а,Р)д, 3

(^,Г/2+1/4 ~ 2а+ 1

т+л * / Ь^'РЧ

(44)

Оценим сумму [/3''. Замечая, что для —1/2 < а, (3 < 1/2 будет 2,56 и {Л,а,р}"' <с,I (см. [9]), из (44)

получим

<2 /732

1/з" <2,56 [|1х = 5,12—-——<5,12 , (45) т

т2а. (39)

Оценивание величин и22, ип, 1/24 аналогично оценке и21. Поэтому

- - - ** )'а/2~"*(1 -е ),/2 -к=т

т(л+1)

и21 ^- ' 'К/Ч! т2а ( . = 2| 3| 4)

2а + 1

(40)

^2с,сг(а,Р)^ 1

л7(л + 1) ^(1-0°

Далее при Ьт<п<ёт

бх

. 2Лс2(а,Р) \_

25 ~ (л + 1)(1-^а/2+1/4 Ь-х)а/2+5><

с 2У2с2(а,р) т^-3/4 ^вЛс2(а,р) >+11 Ь(2а+1)

Объединяя (45), (46), получим

1/3 <5,12 + 4(с( + 1)с,с5 (а,Р)т2а

(47)

ш2°. (41)

Оценим величину 11А. Предварительно докажем следующее.

Утверждение. Если 0 < f < 1 - 4/ш2 , то

< c2(a)m(l - f)~a/2"3/4 1 (48)

где c2(a) =

V27t2(2a + 3)^a(l-2a)"2-' 16

Доказательство. Оценим интеграл /(а,£) следующим образом:

V (1+х)0/2+1/4

При оценке 1/4 заметим, что для 0 < f < 1 - 4/я12, < х < 1 будет (1+г)~р/2~,/4 <1, (1 + х)"р/2"1/4 <1,

(1 + х)~р/2+|/4 < -У2 , (1 + х)~р/2+3/4 < 2.

Величина (/40 с учетом равенств (10), (11)-(17) оценится так:

п+1 „ 1=1

40

,(1_x2)a/2+,/4(x_i)2

1=1 VЛ + '2 ) '='

Используя (9), (12)-(17), (48) имеем

(52)

dx

(l-x2)^V4(x-f)2

Сделаем в последнем интеграле замену перемен-

й x = cos6, f = cos(р-Учитывая,что f2 -t +

VTt2

т

sintp 1 . 1 f 1

= cos(p +-x> costpcos— + sui<psm—> cos ф--

m яг m \ m

и для ф 6 (0, я/2], 9 е [0, тс/2) справедливо неравенство

I I 02-ф2

| cos 9 - cos Ф |>--, получим

40 V2(n + l)l mjl ,{ (x-t)2

л/2(л + 1)( ,2J(x-f)2

< 7с2(а'Р)ц_f)-V2_J_ < 7V2c2(a,p) 2a V2bm L-t h

40 л/2(л + 1)1 m

'-mia. (53)

dx

l2(l-x^x-i)2"

ср—1//7I

j (cos 9-cos ф)

<P-Vt> ftl/2-a

<V2n2 f —^-=.¿9 .

J (9-ф) (9+ф)

1/2-a

(49)

;,7V2c2(a)c2(g,p)m2a b

л + l ^m + п m J

(54)

Нетрудно показать, что на отрезке [0, ф - 1/п?] фун-

-0/2+1/4 f ■ ^

gl/2-a

(0+Ф)2

.(i-(r^V4j

кция д(9) = ———у достигает своего максимума в точ-

(l-xr^V-t)2

l-2a

ке --гф. Следовательно,

za + o

max ст(9) = а\-ф =

мрн-т V2a + 3j

. 2л/2с2(а)с2(а, Р)

т

(55)

40 " n + 1 1 П £ik2)(\-x)al™l*\

<л/2с2(а)с2(а,Р)т20 , (56)

Из (49), с учетом (50), получим <л/2я2(2а + 3)3/2"а(1-2а)|/2-"

/(а,Ф)<

-3/2-a С dQ

Ф 0J (9-Ф)2

16

^ , 3V2c2(a,P)(1_ I'rd-xl^-v4

2(n+l) &kt{ x-t

^ -J2n2(2a + З)3/24Д(i-2a)l/2"a 1V

16 V ф

Переходя от переменной ф к переменной из (51) получим (48). Утверждение доказано.

л/2Ья1 J (x-f)2

^3c2(a)c2(a,p) л/2Ь

< V2c2(a,P)(1 _fp/2+1/4((a + l)p + a((3

л + 1

1 'г(1-хга/2~|/'1,

£¿2 к\{ (х-О2

В конечном итоге из (30), (43), (47), (64) получим при <1-4/Л12

242т I (х-02

^ Зс2(а)с2(а,р) 2а

" Л '

Собирая оценки (53) — (58), выводим

10) < Я, (а, р, Ь, ё)т2а + Н2 (а, р, Ь), (65)

где

(58)

Н,(а,р,м) = с2(а,р) 4л/2 („ 2

42 ( г■ 5Ь \

1/40<Лс?(а,р)

^-(7+9с2(а))+|с2(а) о 2

, Зс2(а)с2(а,Р)

Ль

Принимая во внимание (10), (23), (24), имеем

йх

(59)

+ ~ + . '>,,) + 4с,(¿ + 1) 2а + 1\ Ь '

Н2(а,р,Ь) = с2(а,р)| 1ч д; ,^2д;

+ 5,12.

2) Для 1 -4<t< 1 представим (() схематически в следующем зидг.

П + 1 411 (1-

— <

1

dx

/п

<2

гг <

< 2Лс2 (а)с2 (а, Р)д, т2а ,

(60)

-1/2 1-В//П' I

I+ I + [

-1 -1/2 ьв/тг

(66)

Используя всюду в дальнейшем (см. (9)) для 1 - 4/яг2 < (< 1, — 1 < х < 1 оценки

Оценивание величин С/4„ (У43, (741 аналогично оценке £/,,. Поэтому

и4, < 2Лс2(а)с2(а,Р)д,ш211 (/ = 2,3, 4). (61)

Далее при Ьт<п<, с(т

2Лс2(д,р) _ /2М/4 V йх 45 - л+1 (1 '' ,](1-х)^4(х-0~

< 2Лс2(а,р) „^ V__йх_

* 1а'Р)м ,1-0/2,3/4 Г ОХ <

л + 1 11 ц , (1-х)^4(х-02_

иЛК<

г.4Лс2(а)с2(а,р)п]2а Ь

Лс2(а,Р) _ ..-^1/4 у1 '|

(62)

1 кк:

п+

^ Лс2(а,Р)

т

а Г_-

9211

йх

(1-х)^4(х-02

Лс2(а)с2(а,р)д2 Объединяя (59) - (63), получим

и4 < Лс2(а,Р)

(63)

7 , лГ13 0 5

- + с2(а)1-+8д,+д2+-

т +

Зс2(а) 2

Ль

с2(а,Р).

• с2(а,р)

(68)

оценим интегралы Я, ((' = 1,2) совершенно аналогично тому, как это было сделано для Ц. В итоге получим (Ът < л < йт)

Я, <2с2(а,Р)

2^ + 1)2+^ + 3) + 4(Лд,+^

где

Я2 < Н4{а.,$,Ь1с[)т2а ,

Н4(а,р,М) = Н3(а,р,М) + + +^ + 4д2(с/+1)]с2(а,р),

Н3(а,р,ь^) = с2(а,р).

(69)

(70)

ЛЬI I 2а + 1

л | 7Л + 6

(64)

При оценке Я3 заметим, что (1 + ()р/2,м<1, (1 + х) р/2-,/4<1 для 1-4/т2 <(<1. 1-8/т2 <х<1 и, как уже было указано выше, 2,56,

{Л,0,13}"1 < с,/. Тогда

4 I ГП4-Л

л + 1-е/и2 *=т

1 л 1П±И1 *

Л + 11-в/т2 *=тМ=

1 /п+л I

Iх+

*-т 1—й/Л1

Л + 1 1-е/ Л12

<256 8 ( с,с2(а,Р)^" ка+3'2 ( 8 <

' т2 п + 1 ¿¿_а ~

2 4

< 20,48 + 2с,с2(а,Р) (т + л)°+3/2 *

а-3/2

<20,48 + 16с, с2 (а, Р) (с( +1)2 т2

(71)

В итоге, из (66), (69), (70), (71) при 1-4/т2 <<<1 , Ьт<п<с1т получим

1ЛГ**(1)<Н5(а#,Ъ,(1)т2а + Я6(а,р,М), (72)

где

Я5 (а, р , Ь, <*) = Я4 (а,р,Ь,с!) +16с,с2 (а, р) (ё+1)2,

Н,(а,р,Ь) = 2с2(а,Р)

2(с? + 1)2+—(с( + 3) + Ь

4(72?,+^

-20,48.

Из оценок (65) и (72) следует, что при 0 < (< 1, -1/2 < а,р < 1/2 , Ьт < п < 6т

Ш^п(1)<Н7(а,^Ь,й)т2а +На(а,$,Ь,с[) , (73)

где Н7 (а, р, Ь, ф = Н, (а, р, Ь, + Н3 (а, р, М],

Нв(а,р, М) = Н2(а,р,ь,с() + Н6(а,р,(з,с?).

Покажем теперь, что случай -1 < (< 0 можно свести к уже рассмотренному случаю 0 < I < 1. Используя свойство (8), для произвольного (е (0,1] имеем

йх =

1 Ця>+п к

Л + 1

_1|А=л11=0

<1х =

\ 1 т+п к

П + 1 ,

бх.

1 1 т+п к

п + 1 , ¡г — п) ,=п

с/и =

Таким образом, из равенства (74) следует, что для -1<£<0

< Н9(р,аДс?)т2р + Я10(р,а,М), (75)

где Н9(Р,а,Ь,с() и Н,0(Р,а,Ь^) получаются из Н7(а,Р,Ь,(1) и Н8 (а, Р,Ь,й) заменой а нар и наоборот во всех постоянных, входящих в Я7(а,Р,Ь,с(), Н8(а,р,М).

Сопоставляя (73) и (75), выводим, что при — 1 < ? < 1, -1/2 < а, р < 1/2, Ьт < п < йт

(76)

где Х,=Я?( а,р,М), Х2=Н9ф,а,Ь,с1),

Л.3 = Я8(а,р,М) + Н10(Р,а,М) . Лемма доказана.

3. Оценивание величин ур и Гр

Перейдем к оценке величин ур и Гр , определенных равенствами (3) и (4).

Теорема 1. Если с[-1,1] — сетка, со-

стоящая из нулей многочлена Якоби Р^(х), и -1/2 < а,р < 1/2, то для всех т < аАГ (0 < а < 1)

р-1 \_

ур < Л " (Х^т2а + Х2т2^ +Х3)" (1< р< оо).

ур<Л(р = оо), (77)

1 р-1

Г„<1 (р = оо), (78)

где Л = Л(а,р,а), А., = Х.,(а,Р,а), Х2 = >.2(а,(3,а), = Х3(а,р,а) — некоторые положительные постоянные, зависящие от а, Р, а.

Доказательство, Докажем неравенства (77). Пользуясь определениями, принятыми в работе [9],

составим для функции /(х)еС[-1,1] дискретную

частную сумму Фурье —Якоби порядка т < Ы — 1

т

5°'рлг(/,х) = ^4а^Рка'р(х) и затем средние Валле-Пус-

сена

л + 1^

Сделав замену переменной — х = и в последнем интеграле, получим

1 IV т+м

—т1н/(^)£кгр(х,х;), (79)

Л + 1 /=1 к=т

где m + n<N—\, а п выбрано из условия 0 < Ьт <п< ёт . Выберем при фиксированном а в равенстве (79) Л — 1 — а, а Ь произвольно, только лишь Ь < 1 — а. Легко проверить при этом, что т + л < (2 — а}т < (2 — а)аЫ< Ы — 1. Очевидно, что дискретные частные суммы Фурье-Якоби 5^(/,х) не изменяют произвольного алгебраического

многочлена дт е Нт , т.е. 5^(дт,х) = дт(х). Тогда из (79) получим V(дт,х) = дт(х) и

4 N т+п

<7™(*) = —7(80)

Оценим по абсолютной величине равенство (80), предварительно умножат и деля его правую часть на

л + i

Получим

т+п

Va'p (х)

Отсюда, в силу неравенства Иенсена (18), получим (1 < р < СО )

Ы*)Г<

п +1

■ (81)

Для фиксированного т<Ы — 1 и л, выбранного из условия 0 < Ьт < л < йт (с/ = 1 а, Ь< 1 — а), составим средние Валле-Пуссена

i 1 т+п

=—J/WSX'mw.

Л"1"1-! Jt=m

(82)

Ввиду того, что частчыо суммы Фурье — Якоби 5^'р(/,х) не изменяют про'/зрольнэго алгебраического многочлена д^ е то и ^;рддт,х) = дт(х). Поэтому из (82)

П + 1 1 к=.и

Отсюда п точках х, е <П Ч, имеем

(n + DW'flx,

-dt. (83)

Проинтегрируем соотношение (81) в пределах от — 1 до 1, учитывая (20), оценку величины ^'¡^(х), доказанную в нашей работе [9] (теорема 1), и замечая, что К°р(х,х.) = К^'р(х>,х) (см. (10)). Тогда получим

-1

N 1 1 т+п

1=1 п + 1 -1 4=т

< (Л(а,р, а))"-' (х, (а, р, а)л?2а + Х2 (а, р, а) лг2р +

Применяя к правой части (83) неравенство Иенсена (19) и учитывая, что 7f"'p(í,x) = if°'p(x,í), получим (1 < р < 00)

^fc^rjlgjor-^

X^°'P(xy,f)cíí • (84)

Умножая обе части (84) на ц. и суммируя от j = 1 до N, получаем

/V

+ X.3(a/p,a))^n;|gm(x/f.

м

Отсюда при 1 < р < оо получим

ур <(Л(а,р,а))Т1(>.|(а,р,а)ш2а + + Л.2(а,р,а)л12р + А.3(а,р,а))р . Если р =00, то из (80) max|gm(x)|<

£ц,|дт(х/ <(/1(а,р,а)Х^1(а,р,а)Л121 -

м

i

+ Ма,р,а)ш2р +Х3(а,р,а)Г' |gm(tfdí.

-i

Отсюда Гр <(h(a,p,a))¿(^,(a,p,a)ni2a +

\ííd

+ Х2(а,р,а)ш2р + X3(a,P,a)j р .

При р = ® очевидно, что l^ml^ -Ikmlp, откуда Гр < 1. Теорема 1 доказана.

Заметим, что из определений (6) и (7) следуют оценки снизу для Jp и Гр , а именно ур>1/Г(, и Гр > I/y,, . К примеру, при р = со получим

-К)Ка;л.мИ<Л(а,р,а)тах|дш(х;)|, откуда следует ур<Л(а,р,а).

Перейдем к оценке величины Гр. Составим мя функции /(х)б1р[-1,1] по ортонормированной системе {Р°'р (х) = {л;'р }-"2 Р4а'р (х) 0 частную сумму Фут л

рье-Якоби порядка т = Х^"''3'*'1М, где

1

= |(1-^а(1 + 0Р/({)Р;-р(^ - коэффициенты Фу--1

рье-Якоби.

J- > II^TmlU./v ^ 1

>— .

' " ||gm|L

В частном случае, когда сетка состоит из нулей многочлена Аежандра (а = Р = 0), из утверждения теоремы 1 получим

у <Л,(а,р) , Г <Л..(а,р),

(85)

где Л,(а,р), h2{a,p) — положительные постоянные, зависящие от а и р.

4. Оценивание максимума алгебраического многочлена на отрезке [-1,1] по его значениям на дискретной сетке

Рассмотрим следующую прикладную задачу. Пусть Пд, = с [а,Ь] — система различных то-

чек отрезка [а,Ь], <7т е Нт такой, что

(86)

В некоторых приложениях и задачах численного анализа приходится оценивать сверху величину

Ы = , (87)

зная лишь информацию о значениях многочлена дт(х) на сетке с [а,Ь]. В связи с этим возникает задача: установить связь между т и Л/так, чтобы при условии (86) величина (87) была ограниченной (когда ш, N->00).

Заметим, что при т> N величина (87) становится неограниченной. К примеру, если т = N. то можно построить интерполяционный многочлен а т (х) е Н т по N4-1 точкам следующим образом: положить ст(0 е Нт, а в некоторой точке в г с [а,Ь] определить значение огт(9) произвольным образом. При т—>оо за счет выбора стт(0) величину (87) можно сделать сколь угодно большой.

При т < N — 1 вопрос об оценке величины (87) для [а,Ь] = [-1,1] и равномерных сеток Од, = = {-1 + 2у/ЛГ-1}*о рассматривался в работах [10] — [ 13]. В частности, в работах [10], [11] было получено, что при т < 5л/Л/ (8 — фиксированное положительное число)

||тЛ^(6) , (88)

гдес(8) — положительная постоянная, зависящая от 6, а в частном случае при 6 = 1 и 5 = я/-/2 оценка (88) была получена, соответственно, в работах [ 12], [ 13].

Мы рассмотрим вопрос об оценке величины (87) для [а,Ь] = [-1,1] и сеток с: [-1,1], состоящих из нулей многочлена Якоби

Теорема 2. Пусть = {х), с [-1,1] - сетка, состоящая из нулей многочлена Якоби Р^(х), дт еНт и|д„(Х;)|<1 дляху еП„.Тогдапри тйаИ (0<а< 1) справедлива оценка

||дт||<Л(а,р,а), (89)

где Л(а,р,а) — некоторая положительная постоянная, зависящая от а,р,а.

Доказательство. Повторяя дословно текст доказательства теоремы 1, касающийся оценки величины Ур, придем к равенству (80), откуда получим

Резюмируя вышесказанное, отметим, что в условиях поставленной нами задачи об оценке величин ур и Гр выбор сетки QN с [-1,1], состоящей из нулей многочлена Якоби Р^(х), по сравнению с равномерной является более приоритетным, так как позволяет заменить условие m < 5 VÑ результата работы [6] на более общее условие m<aN (0<а<1). Другими словами, благодаря условию m<aN ( 0 < а < 1 ) при фиксированном N оценки (85) справедливы для более широкого класса многочленов gmeHm.

Аналогичная ситуация складывается в задаче об оценке максимума алгебраического многочлена на отрезке [-1,1] по его значениям на дискретной сетке ÇÏN. Выбирая, вместо равномерной сетки Qn = {-1 + 2Ц N - сетку ÇîN, состоящую из нулей многочлена Якоби (х), при фиксированном N и условии m<aN (0<а<1) оценка (89) справедлива для более широкого класса многочленов

Библиографический список

1. Бернштейн С.Н. Sur une classe de formules d'interpolation / / Изв. АН СССР. OMEH. 1931. - № 9. - C.1151-1161.

2. Лозинский С.M. О сходимости и суммируемости рядов Фурье и интерполяционных процессов // Матем, сб. 1944. — Т.14(56). - №3. - С. 175^268.

3. Marcinkiewicz J. Quelques remarques sur l'interpolation // ActaSci.Math. 1937. - №8. - P.127-130.

4. Никольский C.M. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многихпеременных//ТрудыМИАН. 1951. - Т.38. - С.244-278.

5. ЗигмундА. Тригонометрические ряды. — М.: Мир, 1965. — Т. 1,2,

6. Шарапудинов И.И. Об оценивании 1^-нормы алгебраического полинома по его значениям в узлах равномерной сетки//Матем. сб. 1997. — Т.18В. — №12. —С.135-156.

7. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. -500с.

8. Шарапуд инов И.И., Вагабов И. А. О сходимости средних Вал-ле-Пуссена для сумм Фурье — Якоби // Мат. заметки. 1996. — Т.60. - N94. - С.569-586.

9. Коркмасов Ф.М. Аппроксимативные свойства средних Вал-ле-Пуссена для дискретных сумм Фурье—Якоби // Сиб. мат. журн. 2004. - Т.45. - №2. - С.334-355.

10. Шарапудинов И.И. Об ограниченности в средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье — Чебышева // Матем. сб. 1996. - Т.187, - №1. - С.143-160.

11. Coppersmith D., Rivlin T.J. The growth of polynomials bounded of equally spaced points//SIAM J. Math. Anal. 1992. - V.23. -P,970-983.

12. Ehlich H., Zeller К. Schwankung von Polynomenzwischen Gitterpunkten//Math.Z. 1964. - V.86. - P.41-44.

13. Schonhage A Fehlerfortpflantzung bei Interpolation // Nu-mer. Math. 1961. - V.3. - P .62-71.

1 N л + l

< max g (x ^ • V°{ N (x) <

< Л(а,р,а)max gm(x;.) < Л(а,р,а).

XjíClN I ' I

КОРКМАСОВ Фу ад Муэддинович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института проблем геотермии Дагестанского научного центра Российской академии наук.

Поступила в редакцию 21.06.06. © Коркмасов Ф. М.