Приближение непрерывных функций средними Валле - Пуссена для дискретных сумм Фурье - Якоби Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2004, Том 6, Выпуск 2

УДК 517.98

ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

СРЕДНИМИ БАЛЛЕ - ПУССЕНА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СУММ ФУРЬЕ - ЯКОБИ

Ф. М. Коркмасов

Рассмотривается система {Р""в (х)}^о1 = 1,2,...) многочленов Якобн, образующих ортогональную систему на дискретном множестве О^ = {х\, жг,..., зд}, состоящем из нулей многочлена Якоби Р^"3(х). Для произвольной непрерывной на отрезке [—1,1] функции f(t) построены средние типа Балле — Пуссена = Для дискретных сумм Фурье — Якоби по ортонормиро-

ванной системе {Рп''3{1) = {^п'3}^1^2Р"'13{Щп=о ■ Доказано, что при условии —1/2 < а,/3 < 1/2, т ^ аМ (0 < а < 1), 0 < Ьт ^ п ^ (1т (а,Ь,ё £ К) £) приближают на отрезке [—1,1]

со скоростью наилучшего приближения Ет{$).

1. Введение

В различных прикладных и теоретических задачах широко используются разложения функций в ряды Фурье по ортонормированным системам, в частности, по ортонор-мированным многочленам (Чебышева, Якоби и др.). Нередко вместо частичной суммы ряда Фурье по выбранной ортонормированной системе в качестве аппарата приближения используются суммы (или средние) Фейера и Балле — Пуссена по той же ортонормированной системе. В современных задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации, вопросы приближения функций, заданных на дискретных множествах точек (сетках), часто решаются с помощью рядов Фурье (или их средних) по соответствующей системе ортонормированных на этих сетках многочленов. Выбор того или иного аппарата приближения продиктован стремлением обеспечить как можно лучшее приближение данной функции.

Пусть Нп — пространство алгебраических многочленов рп = рп{х) степени не выше п, С[—1,1] — пространство непрерывных на [—1,1] функций, = {жо5жъ ■ ■ ■ ;хп-, ■ ■ ■} — сетка — дискретное множество, состоящее из конечного или бесконечного числа различных точек действительной оси Ж. Обозначим через Р^(х) (а,/3 > — 1) классические многочлены Якоби степени М, ортогональные на отрезке [—1,1] по весу р(х) = (1 —ж)а(1 + ж)^. Теория классических ортогональных многочленов, в частности многочленов Якоби, хорошо изучена в научной литературе. Однако, как будет показано ниже, многочлены Якоби .., Р^1(х) (-/V = 1,2,...) могут быть рассмотрены как многочлены, образующие ортогональную систему на сетке = {хо,х\,... , ждг}, состоящей из нулей многочлена Якоби Р^'(\х). В этом смысле многочлены Якоби являются ортогональными многочленами дискретной переменной. Поэтому представляет интерес исследование

© 2004 Коркмасов Ф. М.

свойств дискретных сумм Фурье — Якоби и их линейных средних. В настоящей статье мы рассмотрим аппроксимативные свойства средних Балле — Пуссена для дискретных сумм Фурье — Якоби.

Хорошо известна следующая квадратурная формула Гаусса [1]:

я

р{х)а2к-1{х)<1х = ^/^СГ2ЛГ-х(жД (1)

справедливая для любого многочлена а2м-г{х) € . В (1) х^ = х*'^ — нули много-

члена Якоби Р^(х), Цу = — числа Кристоффеля (или веса квадратурной формулы),

. _ 2«+/3+1 + а + 1)Г(]У + /3 + 1) _1_

^ Г(М + 1)т + а + Р + 1) (1-^2) {р.«.^-)}2'

Если, в частности, положить а2м-1{х) = Рп'^(х)Рт^(х), т + п ^ 2.V — 1, то из (1)

я

п(т\ раФ (^Иг — II ■ (<г А раФ (<г Л — Я (Ч\

И\х)-Гп \х ' гп \xjux — / __ 1< 11 ,, \х])-ггп \Х3) — пп °гпп-, ^

-1 3=1

где Ь1= 2п+а+У+1 " и 6™ ~ символ Кронекера.

Из (3) видно, что система многочленов Якоби {Р"'^ (х)}1^1 является ортогональной на сетке Одг = {х\,х2, ■ ■ ■ , ждг}, состоящей из нулей многочлена Якоби Р^(х), относительно скалярного произведения

(1,9) = Ф)1(х)д(х) (м(ж^) = щ).

Полагая

= (4)

определим для произвольной функции /(¿) Е С[—1,1] дискретную частную сумму Фу-

1ЛГ-1 I я=0

рье — Якоби порядка п ^ N — 1 по ортонормированной системе {Р"'^(Ь)}^ 1

к=0

где /¿^дг = — дискретные коэффициенты Фурье — Якоби.

3=1

Составим средние Балле — Пуссена функции /(Ь) £ С[—1,1]:

/3/3 1

= = п | Зт^и■> + + ■ ■ ■ + £то+п,Лг(/> , (6)

где *///. — П ^ .V — 1 .

Будем рассматривать как линейный оператор, действующий в простран-

стве С[—1,1], норму которого обозначим через дг||. В настоящей статье при условии — 1 /2 < а,/3 < 1/2, т < аЖ (0 < а < 1), 0 < Ьт п ёт (а, Ь и ё — фиксированные действительные числа) нами доказывается равномерная ограниченность в С[—1,1] нормы

(* , са,/3 / , , , па,/}

операторов Балле — Пуссена дг(/)- Как следствие этого результата, устанавливается порядок приближения произвольной функции /(¿) Е С[—1,1] средними Балле — Пуссена итп лг(/>^) в пространстве С[—1,1].

2. Вспомогательные утверждения

Приведем без доказательства следующее очевидное утверждение. Лемма 1. Пусть функция / (ж) непрерывна и неотрицательна на промежутке [ах, Ьх] и {¿715=0 — сетка, такая что а,\ < ¿о < ¿1 < ■■■ < tm < Ь\. Пусть Д^- = — tj и [а2,62] С [01,61]. Тогда,

1) если /(ж) монотонно возрастает на [02,62]; то

ь2

£ + (7)

а2<,^<,Ь2 а2

2) если /(ж) монотонно убывает на [02,62]; то

ь2

£ /(^)А^ ^ I ¡(х)ёх + Ла2)А*, Д* = тахД^, (8)

а2<,^€Ь2 а2

Лемма 2 [1; п. 15.3]. Если х^ = соsвj (0 < в3 < -/г) — нули многочлена Якоби Р^(х), — 1 /2 < а,/3 < 1/2, то для чисел Кристоффеля ц^, определенных равенствами (2), справедливы следующие оценки

щ < ^(яп^)2а+1 (0 < 0,- < тг - е0), (9)

Из < (е0 < % < тг), (10)

где А и £о — фиксированные положительные числа, ] = 1.2......V.

Нам понадобятся некоторые свойства многочленов Якоби [1]. Для удобства ссылок мы соберем их в этом параграфе.

Справедливо следующее равенство

Р^(х) = {-\)«1£<*{-х). (11)

Для —справедлива следующая оценка

1^(01 < + ^р'2 (^ГП + . (12)

Здесь и далее через с^, с(а, /3,... , ш) обозначаются положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров.

Если Х3 = сое — нули многочлена Якоби Р^(х), — 1 /2 ^ а,/3 ^ 1/2, занумерованные в убывающем порядке:

1 > XI > Х'2 > . . . > Ждг > -1, 0 < 01 < 02 < . . . < < 7Г,

т0 [1]

2? — 1 л 2? _ „

2М + 1

Отсюда

2]У + 1

= о,., - е.} >

7Г

2]У + 1'

да. ^ —,

3 2М + 1

(13)

(14)

(15)

Имеют место следующие равенства [2]: I. При ^ 17 х ф I

'1=о + Н,

2«+/3+1 (£ _ ж)

к'

Ь — х

£ — х

+ Щ

£ — х

(16)

+нк~

Ь — х

2<*+Р+1Ц - х)

(1 -¿)(1 + ж)ра+1)/9^

Ь — х

где Нгк = 0(1), 6к = 0(1) (к —оо). В дальнейшем будем предполагать, что существуют такие положительные постоянные д\ и д-2, что \Нгк\ ^ д\ и ^ При желании значение постоянных д\ и д<2 можно найти, используя доказательство равенства (16), приведенное в работе [2].

II. При —1 ^ х, I ^ 1, х ф I

(Л 4-\(Л I \ т+п "

Ь — х

(17)

к=гп

i=l

где

(1 - *)(!+ а?)(1 -а:)

2(^ж)2

(т + п + а + /3 + 2)Р«Х1/+\х)Р«Х1/{1)

- (т + а + Р + 1)Р™+1-'13+1(х)Р™+1-'13(Ь)], (18)

(1 ^¿)2(1 + ж) 2(4- ж)2

(ш + о + ¡3 + 1 )Р*+2ф {£)Р^+1 {х)

(т, + п + а + (3 + 2)Р^%2/{1)Р^{х) , (19)

эа,/9+1 ,

(1 -¿)(1 +ж)

{I - ж)2

т + П + а + Д + 2 ра+1,/9,.ч ра,0+1,

2(т + п) + а + ¡3 + 3 т+" ^

т + О + /3 + 1 ра+15)д , ч ра,/3+1 / \

2т + а + ¡3 + 1 ^ го ^

ра+1,/3 / рСеф + 1 / \ /•9-1 \ (2к + О + Я 4- М>Ь Л. ГУ 4- Я Л. 1 Г *

Ь2)(1 -Ь 2(4- ж)

(^ж)2 ^ (2А; + а + )0 + 3)(2А; + а + )0 + 1) *

к=го

/± \ (а + Р + ~~ ¿К1 + ж) Х^1 Г,а+1ф,±\ г.аф+1, \ /ООЧ

= --- Е Рк№,р (х), (22)

- а(/3 + (23)

3. Оценка норм средних Валле — Пуссена дискретных сумм Фурье — Якоби

Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть — 1 /2 < а,/3 < 1/2, Ь,ё — фиксированные положительные действительные числа (Ь ^ ё). Тогда нормы средних Валле — Пуссена дг(/) при условии тп ^ оV (0 < а < 1), 0 < Ьт ^ п ^ ёт, равномерно ограничены в пространстве С\— 1,1]. <1 Подставляя в (6) соотношение (5) и учитывая равенства (4), (16), имеем

V,

аф та,п.

1

N

т+п

П+1

3=1

Из (24) следует справедливость равенства

аф |

и

т,п,М I

к=т

гаф

11/1К1

где

я

V

аф

уаф

Оценим величину У^'^ при 1 ^ 1. Рассмотрим сначала случай 0 ^ 1.

п + 1

3=1

т+п

Е "Ге-*;

к=т,

(24)

(25)

(26)

который, в свою очередь, разобьем на случаи: 1) £ Е [0,1

4 го2

2) £ Е [1

1 .

1) Запишем нули многочлена Якоби Р^(х) в убывающем порядке — 1 < ждг < ждг—1 < ■ ■ ■ < х\ < 1 и сделаем замену I = сов^?, х^ = сов^-. С учетом оценки (14) из (26) следует, что

т

N

1Г(П+ 1)

Е 1'>

3 = 1

т+п

к=гп

М,;

(27)

Положим Ах = [Зртг), Д2 = [^ + ¿1), Аз = -+ Д4 = (0,<р

Тогда величина У^'п м(ст(Р) оценится по следующей схеме:

м

т\

7г(п+ 1)

Е + Е + Е + Е

VI + и2 + Щ + Щ. (28)

,-еД1 0,ед2

¿еДз 0,еД4у

С учетом равенства (16) каждая из сумм Щ (г = 1,2,4) оценивается следующим образом:

б 2=0

где

Uto = Ш Е ''J

7Г(П+ I)

(I — cos (/?)(! + COS 0j

2«+/3+1(С08 tp _ cosfy)

ГО+íl

x E fci^coe^i^+Wi)

3iV ^

Uii = ,„ , Vj

7Г(П+ 1)

0,-еД;

1

k=rn rn+n

E Hipkü(cos<p)pk,l3(cose.

TT 3JV V-

ui2 = ,„ , Vj

7Г(П+ 1)

0,-еД;

eos <£> — eos 0 1

fc=ro ro+íl

cos^ _ cos.. E Я^(сов^^(cos^-

J k=m

3 N ^

u>,

i4

u,

ir(n + 1) 3.V

' 7Г(П+ 1) (

3.V

1

ro+íl

E

eos íp — eos 9j 1

eos íp — eos 9j

k=m -n+n

k=rn

(30)

(31)

Д0,-, (32)

(33)

(34)

¿5

E /о .

i

7r(n + l) ^ 2«+/3+11 eos <¿> — cos fy |

3.V

ro+íl

k=rn

fcif'Vs (cos

Д0,-

E

7r(n + 1) /-( ^ 2«+/3+11 cos <p — COS

(ш + п + 1)Р«'|п+1(со8^)Р«'|п+1(со8^) -т^(со8^)РУ(со8^) Д0,-. (35)

(1 — COS <£>)(1 + COS 0j) COS <p — COS 0j

rn+n

k=rn

Д0,-. (36)

Для определенности в лемме 2 будем считать £q = 7г/3. Поэтому на интервале Ai будем пользоваться оценкой (10), а на интервалах Аг, A3, Д4 — оценкой (9).

Оценим U\. При оценивании Un (i = 0,1,2, 3,4, 5,6) будем учитывать, что для 0j £ Ai

(sin e3f("+1 = (1 — cos cosOj)^1!'2 ^ 2(1 + cos0j)/3+1//2,

а также соя<р — соъв^ ^ 1/2, (1 — сов^-) "/2 1//4 ^ 1 и (1 + сов^?) 1//4 ^ 1. Принимая во внимание (10), (12), (30)-(34) при т ^ о .V (0 < а < 1), 0 < Ьт ^ п ^ с1т имеем

< 1^>1Йд1т«+1/2 £ д* ^ 4Ад1С2(а,/3). (38)

Величины [/12,^137^14 оцениваются аналогично С/ц. Поэтому

С/1, ^4\д1с2(а,(3) (г = 2,3,4). (39)

Далее, из (35) и (36) с учетом (10) и (12) выводим

12\сЧа Р)та+1/2 ^ ^с2(а,/3), (40)

тг п + 1 о

к ' в^еАх

и16 < 6Л(С2(+п^(1 " сое*,)"«/2*1/4 £ (8Ш^-)2/3+1 ГЕ ^

Ж\ТЬ Т ^ о./-V I,—™ /

0,еД1 \fc=

^ 6Ас2(а, /3) ^ 2А с2( (41)

•7ГГИ. '

жт,

в je Д1

Объединяя оценки (37)-(41) и сравнивая их с (29), получим

C/i < 2Ас2(а,/3)

(42)

Оценим величину [/2- Для этого используем без доказательства следующее Утверждение 1. Если m < aiV (0 < a < 1), 0 < bm n dm, то

Esin0,- тг / Зтга, Л ч 1/9 ,,

--< - 1 + — (тг + 1 m l - cos<¿TV , 44

(cos ш — cos 9j) J 2 V 4 v /

Esin0?- ^ к ( , , Зтга, ,Д ,3 ча_3 --J 7 < - 02(a) + —(тг + 1) m 2 + 4(1^cos<^) 4 8, (45)

е,ед2 (cos^— cosdj) 2 + 4 4 J

EsmBj , 3ît о Зтга, , --—-jr^Gj < In—m2 + — (тг + 1). 46

COS if) - COS 0; J 8 4 v v

3

При оценивании U-a (i = 0,1,2, 3,4, 5,6) учтем, что для 0j G Д2 (1 + cos 0j) 1//4 ^

л/2, (1 + со80,-)_^/2+1/4 < y/2,

(sin0j)2a+1 = (1 ^СО8 0^)"(1 +СО8 0^)а8Ш0^ < л/2 ( 1 — COS 0j ) " sin Qj,

а также (1 + cos^)-^/2-1/4 ^ 1.

Из (31), с учетом (9), (12) и (43), имеем

U2\ < (Cl(a) + ^(тг + 1)) . (47)

Аналогично,

и2г (С1(а) + ^(тг + 1) ) (г = 2,3,4). (48)

2 тЗл/2А ( , ч Зтга,

тг

Оценивание величин С/25 и ^26 аналогично оцениванию С/21. Действительно, из (35), (36) с учетом (9), (12) и (43), имеем

бЛс2^ /2_1/4 Е -8ш0 /2+,/4Д0,

ТГП+1 V ^ COS И - COS 0,- -«/2+5/4 J

2 Зл/2А f f s , Зтга (

(49)

(ci(a) + —(тг + 1)

ЁАс^Д) _ œ r«/2+i/4 £ -sin0 /2+5/4A0, f E A0,

ТГ П + 1 v (cosa? — cos0,-)-a/2+5/4 I, k I *

2 . Зл/2А / . Зтга . ^ с [a, fi)—ci (a) + —— (тг + 1) л/тг V 4

(50)

Наконец, перейдем к оцениванию величины С/20 -С учетом (9) и (17) из (30) имеем

U20 < ^-^Т Е (sin^')2a+1 Е |№(СО8^СО80,-)|А0,- = (51)

' 0,еЛ2 г=1 г=1

где

= ~ГТТ) 2 (8т0,)2а+1|№(со8^,со80,)|А0, (г = 1,2,3,4,5,6). (52)

f 1*1

Оценим С/20 ■ Используя (12) и (18), получим

гг(1) ^ ЗАс2(а,,0) / 5 \ ч-а/2+1/4 V- • Л (1 ^cos0,-)a/2+1/4 ЛЛ

С/оп < . v J/ 2 + — (1 - coscp) а/2+1/4 \ sm0,-i--J) п А0,. 53

20 тг(п + 1) V ^ ^ J (cos— cos0j) J

Воспользовавшись неравенством (1 — cos

0.^/2+1/4 < (1 - cos¥,)«/2+1/4 + (cos- cos0,-)a/2+1/4 (54)

и оценками (44) и (45) из (53), получим (1) 21Лс2(а, ¡3)

Т1( 1 < и20 ^

sin О,-,

^ ^(l^osy)1/2 _-Afl,

7г(п +1) ^ (COS if - COS вj)2 J

OjE Д2

+ 21Лс2(а, Д) ^ _ cos^-g/2+l/4 £

6j£ А2

sin в,-,

ir(n + 1)

A6i

(cos<^cos%)-«/2+7/4 3

21Ac2(a,¡3) / , . Зтго. . ^ -2Ь 11 + C2(0) + + 1} ^ '

(55)

Далее, принимая во внимание оценки (12), (44), (46), равенства (19)—(23), из (52) имеем

(2) < 21 \с2(а,(3) 20 ^ 7г(п+1)

(1 - cos</?)1//2 Е

Д0,-

(3) 12Лс2(а, /3)

TP > <

0,-е а2

sin в,-.

(cos <£> — COS 0j)2 J

(56)

A61 <

1 (cos — cos 3 ^

2b

ЗАc2(a,/3) / Зтга

l + -r(ir + l)

(57)

TTf4) 6Ac2(a,/3) 7Г / Зтга , Л . , /9

[/№ ^ -L^i ■ - 1 + — 7Г + 11- cos ¥>)~1/2 <

urn 2 \ 4 /

ЗА(?{a,P) ( Зтга

1 + ——(7Г + 1)

(^ЭАс^) _ sing, Д, +

-/rm z—' cos а? — cos 0,- 7Г ~~

(58)

COS <£> — COS 0j J

< 9Ac2 (a,/3)7(771)

m 8

4m

где 7(m) = ¿ln^m2 + ^(тг + 1). Нетрудно видеть, что

2 InJfm 3 2 2 За 1Ч 4 За,

7 m =---i-+ (я- + i) ^ _ + (я- + i) ^ + (я- + i).

■ ж m 4m f 5 4 v 5тг 4 v

Поэтому

[7^ 9Ac2 (a,/3) + +

Далее,

(6) ^ 9Ас2(а,/3) у-л sin Qj ^ < 9Ac2(a,P) f1 t Зтга

(cos ю — cos в А2 8

0,-еА2 v ^ 3)

[/w <----у^

20 ^ / ^

2жт2

"3

Собирая оценки (55)—(60) и сравнивая с (51), заключаем, что [720 ^3Ас2(а,/3)[^ + Л (l + ^ + l)

i + -rU + i)

(59)

(60)

7 / , . Зтга , „ Д 12 9а, „.

+ ^ с2(а)+ -(. + !) +-+ т(7г + 1)

Из (29) и (47)—(50), (61) выводим

U2^3XH1(a,a,b)c2(a,fi),

(62)

где

Hi(a,a,b) = ^С1(а) + ^(тг + 1)^ + ®¡ + + (j + ^

/ Зтга, Л 7 / , . Зтга, Л 12 9а, х + — (* + 1)J + - (^(а) + — (ж + 1)J + - + -(ж + 1).

Оценим величину [/4. Приведем без доказательства следующее Утверждение 2. Если m ^ a,N (0 < a < 1), 0 < bm ^ п ^ dm, то

> sin0?(l - coso?) a/i 1/4--—-A0,¡

^ J COS 0j — eos <p J

(63)

<

ж

Зтга

3 + c\ (а) (тг + 1) + 11 +

Ж'

!V2

m,

sin 0,¡

(cos0,- - cos</?)2 J 2 1 -1 ' v ^

E

eje a4

^ / (2a + l)«+1/2 „,,„«-3/2

' (eos 0j — COS Ifi)2 3 ^ """" 4" 0/0

16(3 - 2а)«-3/2 16

тткр

(64)

(65)

(66)

Принимая во внимание, что для 0^ Е Д4 (1 + сов^) 2 4 ^ 1; (1 + сов < у/2,

(вт0,-)2а+1 = (1 -со8^-)а(1 + С08^)а8т^- < у/2{1

(вт0,-)2а+1 = (1^со8 0^)а+1'/2(1 + со8 0^)а+1'/2 < 2(1 ^ сое

а также (1 + сов^)-^/2-1/4 ^ 1, из (31) с учетом (9), (12), (66) получим

Зл/2Ас2(а,¡3) ^ . ч « 1(1"Ш8^)Н дп

С/41 < , У" 8Ш0,- 1 - СОвр ~-ъ--- Ег Щ

7Г| П. -А- 1 1 ' ^ ГПЯ Н.: — ГП8 (П I ' / ^

5,1

7г(п+1) 111 JV *Г> COS 0,' ^ COS (¿9 \ 1 к ' 3

<

3V2\qic2(a,P)

ж

тг , ч , _ ч Зтга / „ - + ci(a)(7r + l) + -^r I 1 +

Ж2\р1

(67)

Совершенно аналогично можно доказать, что

К« <

3V2\qic2(a,P)

ж

тг , . , „. 37га / „ -+ С1(а)(тг+ 1) +-д- I 1 +

ж2\р1

(г = 2,3,4). (68)

Далее, из (35) и (36), с учетом (9), (12) и (64), имеем Зл/2с2(а, /3)

К45 ^ -7-гт— V sin 0,(1 — eos <р)

ж[п + 1)

4 ' В je Д4

/2-1/4(1 -COBgj)«/2-1/4^

COS 0j — COS ip J

<

3^2 А с2{а,Р)

ж Ь

ж . . , Зтго / тг2л/2

+ ci (а) (-/г + 1) + —j= í 1 Н -

(69)

6Аq2C2(a,fi) 1/2 . (1 COS (/?) а/2 Х/4 Л ча/2-1/4

(746 ^ -;-~т—(1—cosa?) ' > sin»,----(1 —cosí/,-) ' '

:(n + 1) ^^ cos У,- — - J

v ; 6jeA4 J

ж

(m+n 1 \ £ ¡ ^ *

fc=ro /

í/j — COS (fi

6A q2c2(a,f3)

ж

ж , w „. Зтга Л тг2л/2 - + c1(«)(7r + l) + 7f íl + _

(70)

Перейдем к оценке величины Кад. Из (30), учитывая (9) и (17)—(23), имеем

Що ^ ^ £ )2а+1= ¿С/«, (71)

' 0,-еД4 1=1 г=1

где

ЗА

40 - "Г—ñ Е (sin^)2a+1|№(cos^cos^)|A^ (г = 1,2,3,4,5,6). (72) Ж{П } %еА4

Величины [/40 оцениваем так же, как и^, используя вместо оценок (44)-(46) оценки (64)-(66):

гт(1) 3Xc2(a,/3) ( 5\ ^ . л/1 . „/0+1 /4 (1 — eos ^ •)«/2+1/4

Ща < , , ч 2 + — > SÍI10,- 1 - COS(Z)ra/2+1/4+---^-ГТ5-Д0

40 ж(п+1) \ т I 3 (тяй,—тят\2

0,-G А4

(eos 0j — cos фУ

3

<

21Ac2(a, /3)

sin в i

7ПП+1) Z—f (eos Uj — COS íp)

Oj^A 4

21Ac2(a,/3) ж ( Зж2а

21Ac (a,¡3) ж f Зж a\

^ b 2 V '

(2)<3V2Ac2(a,/3) í 5\ ^-«/2+3/4 V (l-cosg,)"/^1/4

^ 2-/r(n + 1) i2+mj(1 COS¥5) ^ (coscos<^)2 J

"j ^ Д4

<

<

21^2A<?(a,P)t. . „+3/2 v^ (l-cos0,-)a/2+1/4 АЛ

ж(п + 1) K (cos 0j — cos ф) 3

"j £ Д4

21y/2Ac2(a, ¡3) í (2a + 1 )»+1/2 Зж7а\ жb \ 16(3 - 2a)«-3/2 + 16 J '

----,(n + 1) 1 + 6 í (cos Vj — cos

6j G Д4

7rm(

■Д0,-

<

12л/2Ас2(а, /3) / (2a + l)a+1/2 ж(п + 1) \ 16(3 - 2a)«-3/

Зж7

a-

(n + 1) y 16(3- 2a)

6л/2Ас2(а, ¡3) í (2a + j)»+1/2 3Л ^ тгЬ y 16(3 — 2a)a_3/2 +

(73)

(74)

(4)<6У2Xc2(a^) ra/2+1/4 ^ (1 — cos gJ-)»/2+1/4 fe" 1 \

^ n(n + l) 1 COS^j ^ (cos 0j — cos l ^ k2 ^

■ ' djE a4 v j t/ \k=m /

: —-i-l^(8incp)~a+1/2 > --—3--

жтг z—■' cos Oj — cos с

<

<

Зл/2Лс2(а, /3) / (2a + 1)»+ тг y 16(3 — 2a)a'

(2a + l)»+1/2 ЗЛ

(5) 9Ac2(a,/3) 40 ^ 2-/r(n + 1)

(l^cos^)1/2 ^ sin^l-cos^)"

ese Д4

,/2-1/4 (1-COS g,)»/2-1/4 COS Oj — COS (p

JT Лд^Н^Я

7Г

TT2V2

тг , . , „. Зтга I „ 3+c1(«)(7r + l) + 7f 1+ 2

(6) 9Лс2(а,/3) ^,-«/2+1/4 y- (i-œsej)"/^1/4 /ул

^40 ^ V2îr(n + 1)( ^ ^ (COS - COS l A fc2 I ^

\fc=

<

9\c2(a,fi) ( (2а + 1)а+1/2 Зтг7

+

\ 16(3 - 2a)«-3/2 16

У

< 9Лс2(а, /3) ^ (2a + 1)»+1/2 3îr7t

2\р2ж ^ 16(3- 2a)«-3/2 16 y Собирая оценки (73)-(78) и подставляя их в (71), получим

(76)

(91)

(78)

Км <

ЗЛс2(а, /3)

7Г

7тг2 / Зтг2а\ /9^2 7

с3(а) +

Зтг a

16

9-тга

ж

+ж + 3ci (а) (тг + 1) + —^=7 I 1 + 2

V2

где с3(а) = ((2а + 1)а+1/2)/(16(3 - 2а)«-3/2). Из (67)—(70), (79) имеем

Ui ^ 3\H2(a,a,b)c2(a, /3),

(79)

(80)

где

H2(a,a,b)

Ж

7ж2 / Зтг2а\ /9^2 7

с3(а) +

Зтг a 16

+ (V2 (V + V2q2 + |) +3) (^f + ^(«X* + + ^ +

Оценим величину С/3. Из (28), учитывая оценки (9) и (16), имеем

„, m+n к

С/3 < —ïà-r £ (sin%)2a+1 £ E^r'l^W)! ■ |^(cos^-)|A^

Ж\ТЬ ™т~ J- j î) . \ „ к=тг=0

(81)

0,-еДз

ЗА

rri+n

J^— у (sinел2а+1мзУ{11а/}-1+ ,зл ч У (sin^)2a+1

ж{п+1) ■ 3> {Ьт 7г(п+1) ^ V 3

0,-еДз

0,-еДз

т+n к

х Е Е^г1!^08^)! ■ К'Ч^тщ = щ1] + щ2). (82)

к=т г=1

Л1)

Оценим сумму . Учитывая, что для — 1 /2 < а, ¡3 < 1/2 (см. (3))

г,«,^-! _ а + Р + 1 Г(а + /3 + 1) _ Г(а + /3 + 2) Г(3) 1»о / — - ■ " - ' -------—~ — - ■ -----------—~ ^

2а+/3+1 Г(а + + 2«+/?+1Г(а + 1)Г(Д + 1) ^ [Г(1,462)]

получаем

<

15.36А

в,- е Д3

0,-еДз

7Г

< 2.56,

(83)

(2)

Для оценки С/3 нам понадобится следующее

Утверждение 3 [3]. При фиксированном р имеет место равенство

Г (N + p) Г (N)

Np

1 + 0

N

N ^ оо,

(84)

основанное на хорошо известной формуле Стирлинга.

В силу этого утверждения, величина имеет порядок О (г) или ^

Учитывая, что для 9j Е A3 (1 + cos

^-/3/2-1/4 ^ ^

(sin%)2a+1 = (1 - со8^)а+1/2(1 + cos^)"+1/2 < V2(l - cos^)"+1/2

и (1 + cos с^р) х/4 ^ из (82) получаем

¿>\ 2 ( о\ rn+n к

uf) ^ j") Е Е(Х - cos^ra/2-1/4 Е - cos^-)a/2+1/4A%

k=rn i=1

0,-еД з

<: 6Лс4с2(а:,/3) е Е^1 - cos^)-«/2-1/4

7Г(П+ 1)

к=тп i=1

| \ \ а/2+1/4 1 — COS I у---

m

| \ / | \ \ а/2+1/4 + I COS I у---1 — COS ( ip Л--

m \ m

2 < 12Аc4c2(a,j3) m ^ nm(n + 1)

m+n к

4 E Хд1

k=m ¿=1

a_l 2 4

< 12Аг|Г2((|. Л)

irm(n + 1)

k=rn i=1

ч ч 2x1 , „ «4.1

1 \ \ 2+4 / 1 \ 2+4

1 — cos I r"--I] + 2 sin <p sin -

mil \ m

—+— 1

1 — cos (w — -M \ 2 4 3 (1 — cos (/9)7+8 а 1 -:-—-— +24-^-rn~2~4

< 12Ac4c2(a, ¡3)

n m(n + 1)

k=rn i=1

1 +

1 — COS (f

23/4m 2 4 (1 — cos

(1 — COS (p) 2 +4

< 12(1 +2i)Ac4c2(a,/3)

n m(n + 1)

k=rn i=1

<

12(1 + 23/4)ЛС4С2(«,/3)

ж т(п + 1) Объединяя (83), (85), получим

X(d + 1)

(т + п)(п + 1) ^

12(l + 23/4)A(d+l)c4

ж

ж

12(1 + 2 3/4)с4с2(а,,0)

+

15.36А

ж

с2 (а, ¡5). (85)

(86)

Собирая оценки (42), (62), (80), (86) и сопоставляя их с (28), при —1/2 < a,¡3 < 1/2, т ^ (7 .V (0 < a < 1), 0 < bm ^ п ^ dm, приходим к оценке

V°'PN(t) < Ас2(а, /3)Нз(а, a, b, d) + -15.36 ( 0 < t < 1

А

m,n,N

Ж

т"

(87)

где

/ 2 \ 12(1 + 23/4) Я3(а, a,b,rf)=2Í89i + ffi + - + ll+ 3#i(a, а, Ь) + ЗЯ2(а, а, Ь) + —-J-c4(d + 1),

(88)

a Hi(a,a,b) и H2(a,a,b) определяются из соотношений (63) и (81). 2) Неравенство (27) запишем в следующем виде:

N

ira,/} i . 2iV + 1 rn,n,N(со® V) < 7r(n+1)

3 i

3 N

m+n

'1 (cos <p, COS

k=m

Д0,-

(89)

где

Ai

2-/Г

7Г , Д9

,eAi 0,eA2 0,-еДз

arceos [ 1--—2 J , J , A3 = ( 0, arceos ( 1

rrr

а суммы В", (г = 1,2) оцениваются с помощью равенства (16) аналогично суммам Щ:

б

И / ^ И';/.

(90)

2=1

(Суммы В",/ имеют тот же смысл, что и 11ц. Поэтому всюду далее при оценке П'ц будем пользоваться равенствами (30)—(36)).

При оценивании величин и Ш2 вместо оценки (см. (12))

\Рк,13Ш < 1 — ¿)-«/2-1/4

следует воспользоваться оценкой

<с{а,Р)ка (1^4/ш2 1).

(91)

Оценим величину W\. Учитывая, что для 9j £ Ai выполняются неравенства cos^o cos> 1/2, (1 - cos0,-)~а/2_1/4 ^

(sin = (1 — COS 0)0+1/2(1+ cos0j)/3+1/'2 ^ 2(1 + cos0j)/3+1/'2

Приближение непрерывных функций средними Балле — Пуссена 2-35

и используя равенство (16) и оценки (10), (12), (91), получим (1 — 4/т? ^ соБ(р ^ 1)

И^ю ^ 16Л(й?+ 1 )с2(а,/3), (92)

И^п ^8\д1с2(а,(3). (93)

Аналогично можно показать, что

91С2(а,/3) (г = 2,3,4). (94)

Далее

^4Л(^+3)с2(а,/3), (95)

< Ш(ё+1)д2с2(а,(3). (96)

Собирая оценки (92)-(96) и подставляя их в (90), выводим

ё + 3

Щ < 16Ас(а,/3)

2gi + (g2 + l)(rf+ 1) +

4 b

(97)

Для оценки W2i (i = 1,6) укажем без доказательства следующее Утверждение 4. Если m < aN (0 < а < 1), 0 < bm n dm, то

djE А 2

Для 11 21 с учетом оценок (9) и (98) имеем (sin

Oj)20 < л/2(1 ^ COS (1+COS

у/3/2-1/4 ^ ^ ^ + cos 0^-0/2+1/4 ^ ^

Е 7-Sín!\

7Г V ^ (cOS</9 - COS^)-«/2+5/4 J

еАг

< 12Aft

Ж

Аналогично доказывается, что

(99)

12Agí f t ч ЗтгоД 2/

^lci(a) + — ] с2 (a, /3) (г = 2,3,4). (100)

Далее, используя равенства (35), (36) и оценки (9), (98), получим

ъ>

6A(d + 3) 2/ n)ma+1/2 у- _Sin^_

48Ag2c2(a,/3) /2 Е -sing /2+5/4А0,-

ЖШ2 ■ ¿-rL (COS (р — COS 0^-)—«/2+5/4 J

(101)

48A(d + l)g2

ж

(ci(a) + ^)c2(a,/3).

Наконец, оценим W-¿o- Для этого приведем без доказательства Утверждение 5. Если тп < aN (0 < a < 1), О < bm п dm, то

EsmOj т'2 Л Зтга\

--3——Mj < — 1 + — , 103

_ (cos (р — cos QjY 4 V 2 /

Oj ед 2

v^ síi10,- лп ш-«+3/2 / 3 \

E (cosy- COSO < ^^ ("W + —) ■ <104»

E sin 0o 3 2 , 37га -J——Mj < ln -m + —-. 105

_ cos íd — cos 0j J 8 2 v

Величину W-20 оценим тем же способом, что С/20, везде используя оценку (91), a вместо оценок (44)-(46) — оценки (102)—(104). В конечном итоге, получается

W20 < ЗАД^а, a, b, d)c2 (a, ß), (106)

где

, 4(d + 4)2 / . . Зтгa ff4(a,a,b,d) =-—- II + c2(o) + —

1 / Зтгa\ (1 + - 1 +

,о , , I + 12(d + 1) + I Í4(d + 4)3/2 + (d + 2)l (107)

■к \ 2 y \2 b V / 57Г /

Собирая оценки (99)—(102), (106), получим

W2 < АЯ5(а,а,Ь,^)с2(а,,0), (108)

где

6 37га \ Х d —|— 3 \

H5(a,a,b,d) = - Ша) + J í 8(ft + (d + 1)®) + -£-) + 3H4(a,a,b,d). (109)

Оценим величину B"¡. Из (89), с учетом (9), (16) и (91), имеем

„, го+íi к

6j£ Аз к=тг=0

„ \ т+" о \

= ^ТТ) Е (Bin%)2a+1A0, Eí^o'"}-1 + ^т^у Е (Bin%)2a+1 (ПО)

6jfE А3 к=т g.(z д3

rn+n fc

X Е EK'Vl^ícosp)! ■ l^'V«^)^, = Hf} + wf}

fc=ro г=1

íl) Í1) Величина B"j оценивается аналогично (см. (83)):

"¡P < ет Е ÍE 1) < ^ Е

7.68А ^ , . Л \ _ , 7.68А

6¡,e Аз \к=т / ßj g д3

-/г V / тт т

(2)

Как было показано при оценке величины 11% , в силу утверждения 3 величина ^афуг ^ Кроме Т0Г0; для д. е д3 ц + соцВ-)-^!2-1^ ^ 1 и (вт$^2а+1/2 ^ л/2(1 — соевз)а+1/2. Поэтому

^(2) ^ З^Хс2(а ^ (1 _соав.)а/2+1/А [т^ка+з/2\ щ

"-ТТ1

3V2Xc2(a,ß) /8\а/2+1/4, 1ЧО+з/2, Л 8\ (112) < -—^ (m + n + 1) + ' (n + 1) arccos ( 1--

7г(п + 1) \т2 J \ т2

24(d + 2)2Ac4c2(a5i0) 2тг , 2. m

^ —---- v т— ^ 24(d + 2) Ас4с (а, ß).

ж т

Окончательно из (110)—(112)

W3 < 24(d + 2)2Äc4c2(a,,0) + 15.36Л. (113)

Объединяя оценки (97), (108), (113) и сопоставляя их с (89), получаем при —1/2 < а, ß < 1/2, т ^ a,N (0 < а < 1), 0 < Ьт ^ n ^ dm,

V^N(t)^Xc2(a,ß)H6(a,a,b,d) + 15MX - < t < l) , (114)

где

d + 3

Hß(a, а, b, d) = 16

2gx + (g2 + l)(d + 1) +

4 b

+ H5(a,a,,b,d) +24(d + 2)2c4. (115)

Из (87) и (114), в свою очередь, выводим при —1/2 < а,/3 < 1/2, т ^ аV (0 < а < 1), 0 < Ьт ^ п ^ 4т

^Хс2{а,р)Н7{а,щЪ^) + ^- 15.36А (0 < I < 1), (116)

где Ну (а, а, Ь, (I) = Нз(а, а, Ь, (I) + Щ(а, а, Ь, (I).

Перейдем теперь к случаю — 1 ^ £ ^ 0. Его с помощью равенства (11) легко можно свести к уже рассмотренному случаю 0 ^ £ ^ 1. В итоге получим при —1/2 < а.,/3 < 1/2, т ^ а V (0 < а < 1), 0 < Ьт ^ п ^ с1т

УтЦ,и(1) < Xc2{a,ß)Hs{ß,a,b,d) + (-1 < t < 0), (117)

где величина H$(ß, а, b, d) получается из Ну (а, а, b, d) заменой а на /3 во всех постоянных, входящих в Ну (а, а, b, d).

Сопоставляя (116), (117) с (26) и (25), выводим, что при —1/2 < a,ß < 1/2, т ^ aiV (0 < а < 1), 0 < bm ^ n ^ dm

V^yN{t)^Xc2{a,ß)H{a,ß,a,b,d) + ^-30.72А (-1 < t < 1), (118)

где if (a, ß, a, b, d) = Hy(a, a, 6, d) + Hs{ß, a, b,d). >

TT + 1

4. Приближение непрерывных функций средними Валле — Пуссена

Пусть f(t) £ С[—1,1], Pm(t) ^ Нт — многочлен наилучшего приближения функции

f(t) в пространстве С\—1,1]. Обозначим через Em(f) = max |/(i) — P*m{t)\ — наилуч-

te[—1,1]

шее приближение функции fit) алгебраическими многочленами степени т. Имеет место следующая

Теорема 2. Если f(t) £ С[—1,1], v^fn N(f) = v^fn N(f, t) — средние Валле — Пуссена дискретных сумм Фурье — Якоби, то при —1/2 < а, /3 < 1/2, m ^ a,N (0 < а < 1), О < bm ^ n ^ dm, m — u ^ .V — 1

где с — некоторая положительная постоянная, зависящая от а, /3, a,, b, d.

<1 Заметим, что из (5), (6) следует, что средние Валле — Пуссена N(f) не изменяют алгебраического многочлена рт £ Нт, т. е. N(pm,t) = varfn N(pm). Используя соотношения (24), (26) и (133), имеем

IviivlM) - № I < Ivi nUJ) -Pm(t) I + bm(t) - /(t)l

< IV'iiv(/ +Era(t) < Ern(t)V^N(t) + Ern(t)

= (1 + H{a,P,a,b,d))Em{t) ^cEm{t). >

Таким образом, средние Валле — Пуссена N(f,t) дискретных сумм Фурье — Якоби приближают непрерывную функцию (при наличии лишь информации о значениях этой функции в конечном числе точек Одг £ [—1,1]) со скоростью наилучшего приближения Em(f) этой функции среди алгебраических многочленов степени т.

Литература

1. Сегё Г. Ортогональные многочлены.—М.: Фнзматгнз, 1962.

2. Шарапудинов И. И., Вагабов И. А. О сходимости средних Валле — Пуссена для сумм Фурье — Якоби // Матем. заметки.—1996.—Т. 60, вып. 4.—С. 569-586.

3. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены.—М.: Наука, 1976.

Статья поступила 15 июня 2003 г.

Коркмасов Фуад Муэддинович, к. ф.-м. н. г. Махачкала, Институт проблем геотермии Дагестанского научного центра РАН E-mail: [email protected]