CC BY
31
УДК 517.98
ОЦЕНКА ФУНКЦИИ ЛЕБЕГА ДИСКРЕТНЫХ СУММ
ФУРЬЕ-ЯКОБИ
© 2006 Ф.М.Коркмасов1
Рассмотрена система классических многочленов Якоби степени не выше И, образующих ортогональную систему на дискретном множестве, состоящем из нулей многочлена Якоби степени N. Для произвольной непрерывной на отрезке [—1,1] функции /(0 построены дискретные суммы Фурье-Якоби Б^И(/, 0 по введенной выше ортонорми-
рованной системе. Доказано, что функция Лебега Ь^И(0 дискретных сумм Фурье-Якоби при —1/2 < а, в < 1/2, п ^ N — 1, п ^ 1 имеет на отрезке [—1 + е, 1 — е] (е > 0) порядок 0(1п п), а на отрезках [—1, —1 + е] и [1 — е, 1], соответственно, порядок 0(пв+1/2) и о(па+1/2^.
Введение
Пусть Нп — пространство алгебраических многочленов рп = рп(х) степени не выше п, С[— 1,1] —пространство непрерывных на [—1,1] функций. П = = {хо, хх,..., хп,...} — сетка — дискретное множество, состоящее из конечного или бесконечного числа различных точек действительной оси И,. Обозна-
а 6
чим через РN (х) (а, в > —1) классические многочлены Якоби степени И, ортогональные на отрезке [—1,1] по весу р( х) = (1 — х)а (1 + х)в. Покажем, что многочлены Якоби Ра^(х), Ра^(х),..., Р^^х) (И = 1,2,...) могут быть рассмотрены как многочлены, образующие ортогональную систему на сетке П = {х1, х2,..., хи}, состоящей из нулей многочлена Якоби Р^(х). В этом смысле многочлены Якоби являются ортогональными многочленами дискретной переменной.
Хорошо известна следующая квадратурная формула Гаусса [1] 1
р(х)02И— 1(х)^х = ^ Цу02И— 1(хД (1.1)
—1 = справедливая для любого многочлена 02И— 1(х) е Н2И—1. В (1.1) Xj = х^ — нули многочлена Якоби Ра/(х), = ца— числа Кристоффеля (или веса
1 1
1 Коркмасов Фуад Муэддинович ([email protected]), Дагестанский научный центр Российской Академи наук, 367030, Россия, Республика Дагестан, г.Махачкала, проспект имама Шамиля, 39.
квадратурной формулы),
у^,Г(* + а+1)Г(ЛГ + р+1>__1_
Г(Л-+,)Г(« + а + Р+1) „^{^Ц2
Если, в частности, положить 02^-х(х) = Р^^Р^^х), т + п ^ 2N — 1, то из (1.1)
1 а а N а а а
I Р(х)РПа^(х)Ратв(х)йх = ^ Ц]рп Р(Х])Рт?(*]) = Св§тп, (1.3)
— 1 у=1
, а, в 2а+ 6+1 г(п+а+1)г(п+6+1) «
где К = 2д+а+р+1 • Г(п+1)Г(п+а+^+1), Ьтп- символ Кронекера.
Из (1.3) видно, что система многочленов Якоби {р"6(х)}^='—1 является ортогональной на сетке = {Х1, Х2,..., XN}, состоящей из нулей многочлена Якоби 6(х), относительно скалярного произведения (/, g) = = 2 Ц(х)/(х^(х) (ц(ху) = Цу).
Полагая
^ & = }—1/2 ра'в (1.4)
определим для произвольной функции /(г) е С[—1,1] дискретную частную сумму Фурье-Якоби порядка п ^ N — 1 по ортонормированной системе
ра,в( ое-1
О/) = О/ г) = £ ад
к=0
NN
где /^ = X Цу/(ху)Р^а'в(ху) — дискретные коэффициенты Фурье-Якоби. ' ]=1
Пусть Еп(/) — наилучшее равномерное приближение функции /(г) алгебраическими многочленами степени не выше п и р"п(г) е Нп — многочлен наилучшего приближения функции /(г) в пространстве С[—1,1], т.е.
Еп(/) = тах |/(г) — р*п(г)\. (1.6)
ге[—1,1]
Очевидно, что N(р*п, г) = Р*п(г), поэтому, учитывая (1.5), получим
\/(г) — ^(/, г)1 < \/(г) — рп(г)1 + 1рп(г) — ^(/, г)1 =
= \/(г) — рп(г)| + К N (Рп (г) — /, г)\ < Еп(/) + Еп (/)Ьап N (г) = (1 + Ьап1 (г))Еп(/), (1.7)
^ 'Р(г)?а 'Р( ху)
к=0
(1.8)
где
N
^(г) = ц Цз
у=1
— функция Лебега порядка п дискретных сумм Фурье-Якоби.
Функции Лебега линейных процессов аппроксимации многочленами играют важную роль в теории приближений. Оценки функций Лебега позволяют устанавливать достаточные условия равномерной сходимости рядов
Фурье по ортогональным многочленам на всем промежутке ортогональности. В разное время вопросы, связанные с оценкой функции Лебега классических сумм Фурье, рассматривались в работах [1-10] и др. В частности,
а ß
в работе [6] для функции Лебега Ln (t) классических сумм Фурье-Якоби при t е [—1,1], а, ß > — 1/2 было получено соотношение
Lf\t) х In [„(1 - х)^(1 + х)е® + 1] + ^ + lCßi«l] • (1-9)
в том смысле, что отношение этих выражений заключено между двумя положительными постоянными, зависящими от а и ß, где
(1/2 при у Ф 1/2, e(Y) = In 1/0
lü при у = 1/2.
а ß
Из результата (1.9) видно, что порядок роста Ln (t) на отрезке [—1,1] есть o(nq+1/2^j, где q = тах{а, ß}, а на любом отрезке [—1 + е, 1 — е], е > ü порядок равен 0(ln n).
В работе [7] функции Лебега классических сумм Фурье-Якоби оцениваются при t е [—1,1] в случае, когда по крайней мере одно из чисел а и ß принадлежит интервалу (—1, —1/2), в частности,
Lf(0 = 0(1) [1 + ln [1 + n2 (1 — x2)]] (а, ß е (—1, —1/2)),
/ _ i\-ß"l/21
ln[l +и2(1 - JC)] + Vi + x + -
где 0(1) зависит от а и ß.
Отметим также, что при t е [—1,1], а = ß = —1/2 (см., например, [3], [11])
Ln~2'~Ht) = 0(\пп).
В настоящей работе мы оцениваем сверху функцию Лебега (1.8) дискретных сумм Фурье-Якоби при t е [—1,1], —1/2 < а, ß < 1/2, n ^ N — 1, n ^ 1. Нами доказано (теорема 1), что LаNN(t) на отрезке [—1 + е, 1 — е], е > 0 имеет порядок 0(lnn), а на отрезках [— 1, —1 + е] и [1 — е, 1], соответственно, имеет порядок 0^nß+1/2^ и . Тем самым показано, что
результат работы [6], касающийся верхней оценки функции Лебега L^^t) классических сумм Фурье-Якоби, имеет место и в случае дискретных сумм Фурье-Якоби.
La:ß1(t) = 0(1)
(а е (—1, —1/2), ß ^ —1/2),
1. Вспомогательные утверждения
Приведем без доказательства следующее очевидное утверждение. Лемма 1. Пусть функция /(х) непрерывна и неотрицательна на промежутке [«1,Ь\] и }"=0 —сетка, такая что а\ < ^ < < ... < < Ь\. Пусть Аг] = - и [а2, Ь2] с [а1, Ь1 ]. Тогда, если 1) /(х) монотонно возрастает на [а2, Ь2], то
b2
2 f(tj)Mj f(x) dx + /(¿2)A*, (2.1)
a2 <fj<b2 a2
2) f(x) монотонно убывает на [a2, Ь2\, то
b2
2 f (tj)Atj f (x) dx + f fe)A*, (2.2)
St.SU.
a2 ^tj^b2
где A* = max Atj. j
Лемма 2 [1, п.15.3]. Если Xj = cos 6j (0 < 6j < п) — нули многочлена
a 6
Якоби PN (X), -1/2 < a, в < 1/2, то для чисел Кристоффеля ^j, определенных равенствами (1.2), справедливы следующие оценки
IX/ < -(sin 0,-)2a+1 (0 < 0i < я - б), (2.3)
N
X
\ii < —(sm0/)2p+1 (6<0/<я), (2.4)
j n j j
где ó и X = X(ó) — фиксированные положительные числа, j = 1,2,...,N.
Нам понадобятся некоторые свойства многочленов Якоби [1]. Для удобства ссылок мы соберем их в этом параграфе. Справедливы следующие равенства:
Pan ,в( X) = (-1)nPe,a (-X), (2.5)
i,p 2 (п + а + 1)Р"'^(х) - (п + 1)Р"^(х)
Рп (*) = -, я ■ о--i-' (2'6)
2n + a + р + 2 1 - x
ч 2 (и + |3 + 1)Р"'р(х) + (п + l)f"ft(x)
п 2и + a +13 + 2 1 + х ' { '
Для -1 ^ t ^ 1, n ^ 1 справедлива следующая оценка (см. [1],[7]):
(2.8)
Здесь и далее через Ck, c( a, |3,...,ш) обозначаются положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров.
Если Xj = cos0j — нули многочлена Якоби Р^в(х), -1/2 ^ a, в ^ 1/2, занумерованные в убывающем порядке:
1 > X1 > X2 > ... > XN > -1,
0 < 0i < 02 < ... < 0N < п,
то [1]
2 j - 1 2 j
7Г--я ^ 0/ ^ - лп (J = 1,2,...,Ж). (2.9)
2N +1 1 2N +1 J
Отсюда
п
AQj = Qj+i - Qj ^ ——-, (2.10)
J 2N + 1
а —-. (2.11)
1 2N + 1
3п /V +
При -1 ^ х, t ^ 1, х Ф t имеют место следующие равенства [1]:
кл х)=¿/^(о/^с х)=£ (^г1 p^op^ х) =
k=0 k=0
1 Г(п + 2)Г(п + а + в + 2)
X (2.12)
2а+Р(2и + а + в + 2) Г(п + а + 1)Г(п + |3 + 1)
Pa+P(t)pa ,в( х) - pan ,p(t)Pa^51 (х)
ч, п+\у ' п у ' " v ^ п+lv X
t — х
2. Оценка функции Лебега
дискретных сумм Фурье—Якоби
Имеет место следующая
Теорема 1. Пусть -1/2 < а, в < 1/2, п ^ N - 1, п ^ 1, тогда для всех
г е [-1,1]
L
а,в n,N'
(t) = 0(1) [inn + n1/2 (|Ра'Р(t)| + Pаf1(t)0 + ^ ,
(2.13)
где 0(1) зависит от а и p.
а,
Доказательство. Оценим величину LnN(t) при t е [-1,1]. Рассмотрим случаи: 1) t е [0,1], 2) t е [-1,0].
1) Запишем нули многочлена Якоби Ра/(х) в убывающем порядке -1 < XN < XN-\ < ... < х\ < 1 и сделаем замену t = cos ф, Xj = cos 6j. С учетом оценки (2.10) из (1.8) следует, что
ra,p, . ^ 2/V + 1 V L^COS ф) < —— ^ V-j
N
п
j=1
У/" Р (cos ф)/5П' Р (cos 6 j)
k=0
Д6 ;
(2.14)
Положим Ai = [f,4 А2 = [ф + ^т)> Дз = (ф-^ф + й> А4 = (0,ф-А].
Тогда величина LaN(cos ф) оценится по следующей схеме:
а в 2N + 1
L/n(cos ф) <
п
Z+Z+Z+Z
ч6у ед1 6j ед2 6j ед3 6у'ед4
= U1 + U2 + U3 + U4. (2.15)
Если окажется, что ф ^ то сумма С/з берется по промежутку (О, ф + а сумму С/4 рассматривать не надо.
Преобразуем выражение (2.12). Для этого приведем без доказательства следующее
Утверждение 1. [11] При фиксированном p имеет место равенство
Г(т + p) Т(т)
= mp
1 + 01т
т
основанное на хорошо известной формуле Стирлинга. В силу этого утверждения (-1/2 < а, в < 1/2)
КЛ, х)| =
(n + 1)(n + а + в + 1) Г(п + 1)Г(п + а + в + 1) 2а+Р(2п + а + |3 + 2) ' Г(и + а + 1 )Г(п + |3 + 1)
х
х
ра+!«ра'р( х) - pf^«
t — х
^ —С\(н + 1)
<
рп+^рП ,Р(х) - рП 'р(ОрП+1( х)
t — х
Учитывая (2.17), каждую из сумм Ui (i = 1,2,4) оценим так: 3
Ui ^ —ciO + 1)(2N + 1)х 5п
х
О™ ф^^ 6 j) - p^w ф^- 6 j)
cos ф - cos 6 j
(2.16)
(2.17)
(2.18)
Д6 j.
Преобразуем числитель в правой части формулы (2.18) с помощью равенства (2.6):
pfi(cos Qj) - pf\cos ф)/^008 Qj) = |1 + 2n + 2
а + в
x
X [(1 - cos 6j)рП+1,P(cos 6¿^(cos ф) - (1 - cos ф)^«» ф)^«» 6j)].
Тогда
< — cx(n+ l)(l + 1)X
5п 2n + 2
P^^cos ф)| ^ Цj(1 - cos 6j)
ра^'^ 6,0
cos ф - cos 6 j
Д6 j+
(2.19)
+(1 - cos ф^Р^^^ ф)| ^ Цj
pа'p(cos 6 7o
cos ф - cos 6 j 2п
Д6 j
Для определенности в лемме 2 будем считать 6 = —. Поэтому на интервале Дх будем пользоваться оценкой (2.3), а на интервалах Д2, Д3, Д4 — оценкой (2.4).
При оценивании величины U\ будем учитывать, что (sin 6j)2e+1 = (1 -- cos 6/+1/2(1 + cos 6/+1/2 и для 6j е Дх будет (1 - cos 6;.)-а/2+Р+1/4 ^ 2,
6/ед
X
6 j еД
6 j еД
3п 3
cos ф - cos Qj ^ - cos — ^ —, (1 + cos 0у)Р/2+1/4 ^ 1. Принимая во внимание
(2.4), (2.8), имеем из (2.18)
8 , , /2 2N + 1
U1 ^ —с(а, $)c{kn ' ———X
X [P,e(cos ф)| + |Paf1(cos ф)|] £ (1 + cos 6//2+1/4Д6j < (2.20)
6 j еД1
< frcM1'2 [|^"'P(cos ф)| + |P"i(cos Ф)|] •
5
Оценим величину и2. Предварительно докажем следующее Утверждение 2. Если —1/2 < а < 1/2, п ^ N — 1, то
x
6a-1/2
6 ;ед2 j
6 j - ф
5~П + 2
(2.21)
6 +1 /2
6 j 3п
] Д0; < —
2
6 j еД2
4 Л a+W, 3п 3п
, -+ 1 + w j In—п + —
2 \5(2а + 1) / Т 15 2
(2.22)
= (6 - ф)a-1/2
Доказательство. Поскольку функции §1(0) = д^ и £г(0) = (0 — ф)'
монотонно убывают на промежутке (ф,п], то с учетом оценок (2.2), (2.11
имеем
6 -1/2
У -1-Д0/;<:фа-1/2 У ---Д0; ^ фа_1/2
Zj 0у-ф 1 Y Zj 0,-ff, J ^ Y
6;ед2 j
6;ед2 j
6 j - Ф
3п/5 f
d6 3п + и-
6 - ф 2N
<
+1/2
6 ;ед2 j
6 j - ф
6/ед2
6 j - Ф
2(0у-фГ1/2А0у + Фа+1/22^
6 j еД2 3п/5
< Jce-Ф)а-1/2^0 + уИ
6 jeД2 j
+ yn~a~m + фа+1/2
д0/ <
6j - ф j"
<
1 3п 3п
3п/5
I
d6 3п +
6 - ф 2
№+Я
<
a +
• — + — + фа+1/2|1п— п + — I ^
I 5 ' 2
3п 3п
-п + 5 2
Зя/_4_ + Л а+1/2/1пЗяи+Зя)
2 \5(2а + 1) / т 15 2
Утверждение 2 доказано. При оценке Ui (i = 2,3,4) используем равенство (sin 6j)
2a+1
= (1 -
— cos 6j)a+l/2(1 + cos 6j)a+i/2, а при оценке U2 учтем, что 1 - cos ф ^ ф2 и для 6j е Д2 будет (1 + cos 6Д-^^4 ^ 2, (1 - cos 6j)a/2+3/4 <; 26j+3/2, (1 --cos6y)a/2+1/4 ^ V26a+1/2. Заметим также, что для ф е (0, п/2], 6j е (ф, 3п/5]
j - - — j справедливо неравенство
cos ф - cos 6j = 2 sin
6 j - ф . 6 j + ф 2 6 j - ф 2 6 j + ф
sin ■
о
2 п
2
п
2
Учитывая (2.3), (2.6), (2.21), (2.22), (2.23), имеем из (2.19)
(2.23)
36
U2 ^ —c(a,|3)ciX«1/2 5п
a6 (l - cos 6y)a/2+3/4 (cos ф)| ---— A6í+
6 j€A2
— Jj-
cos ф - cos 6 j
a+16 ^ (l - cos 6 ;-)a/2+1/4 + (1 - eos ф)|.Р^ (eos ф)| --—A0¿
6. M2
cos ф - cos 6 j
<
X
6«+1/2
36п , 1/9 Í3n / 4
6«-i/2 —-Д0;
6 j ea2 j ^
<
5
2 \5(2a + 1)
a+3/2
+ ii palcos ф)|+
+ (фа+1/2|р'р(со8ф)| + ^_|^Р(со8ф)|)(1п^И + у)
(2.24)
Из (2.6) при 0 < - < ф ^ л/2 n
|P"'P(cos ф)| ^ - COS ф)
-a/2-1/4
<
Аналогично
V^P) a_1/2 лс^З) , «1/2 Y V2 и1/2
IDa+l,P, . п2с(а, Р) —а—з/2
1РП '
Поэтому из (2.24) получаем оценку
U 2 <
54п2
4
5 \5(2a + 1)
11 c(a, |3)C1W/2|Pa' e(cos ф)|
+
9л2 гг ч 9 „ , /, 3л 3л +—(2 V2 + л)с (a, P)ciX I In —п + —
(2.25)
+
Оценим величину [/3 при ф > К Из (2.14), используя (2.3) и (2.12), имеем
из < ъЩ^1 £ (siney)2a+1 ^{hfr'ipf'icosф)| • |^'p(cosеу)|деу =
Nn
e j €A3
k=0
sine/-^
(2.26)
e j eA3
+ ^ 2 (sine/-1 r^cosqOI . |^P(coS0y)|A0y = uf + C/;
-/31) + ^32).
e j eA3
k=1
Оценим сумму Учитывая, что для -1/2 < a, в < 1/2 (см. (1.3)
'3
a,p ! = а + |3 + 1 Г(а + |3 + 1) = 1 0 ' 2«+Р+1 ' Г(а + 1)Г(|3 + 1)
Г( а + в + 2)
< Г(3) .<2.56,
2а+в+1 Г(а + 1)Г(в + 1) [Г(1,462)]2
получаем
ш 7.68Х ^ . Л 2а+, 7.68Л ^ Л 15.36Х
^з < — Z (sm 9у) Лбу < — 2 Д0у <-•
п
e j eA3
e j£a3
п
(2.27)
Для оценки величины U^ заметим, что в силу утверждения 1 величина {h a'в}-1 имеет порядок O(k), так что {ha'e}-1 ^ c2k. Так как для 6j е Д3 будет (1 + cos 6j)a-e/2+1/4 ^ 2, то из (2.26) с учетом (2.8) получаем
(2) < 61с2с2(а, |3) 3 л
^(1 - cos ф)-а/2-1/4 ^ (1 - cos ej)a/2+1/4Aej <
e j eA3
k=1
<
6Xc2c2(a, в)
X
1 - COS I ф--
п
а/2+1/4
(1 - cos ф)
-а/2-1/4
X
k=1
+ |С08|ф- Ч-COS + ^
/2+1/4
<
<
12Xc2c2(а, в)
пп
(1 - cos ф)
-а/2-1/4,
k=1
X
1
а/2+1/4
1 - cos ф----+ 2 sin ф sin -
1
- cos ф) '' ' X
а/2+1/4"
<
<
12Xc2c2(а, в)
пп
S
k=1
¡ 14N а/2+1/4
(2.28)
1 - cos ф
+ 2(sin ф)-а/2-1/4 п-а/2-1/4
<
^ 12(1 + V2^c2c2(a, P) yi 12(1 + V2n), 2. оч $ - > 1 ^ ---Лс2с (a, p).
k=1
пп
п
2
п
Объединяя (2.27), (2.28), получим
X
С/3 < - [12(1 + л/2п)с2с2(а, Р) + 15.36].
(2.29)
Если же ф ^ то величина С/з берется по промежутку Д5 = (о,ф + В этом случае С/^1"1 оценится аналогично как при ф > а С/® с учетом оценки р в(с°8 ф) ^ с(а, в)па оценится так:
(2) < 61с2с2(а, Р)
3 ^ п
2>
к=1
а+1/2
2 (1 - с°8 е у)а/2+1/4 Аб у <
9. у еа5
<
6ЛС2С2( а, в) а+3/2 /1 / 1
-и ' 1 - сов ф + -
п \ \ п
а/2+1/4
Ае
(2.30)
9 уеа5
<
6лс2с2(а, в) „+3/9/ 1\а+1/2 2 24Л 2 „
- 4 \а+3/2 ф + - - <-с2с (а, Р).
п \ п) п п
, а+1/2
В итоге получаем
С/3 < - [12(1 + У2л)с2с2(а, Р) + 15.36].
(2.31)
Оценим величину и4. Проводя те же рассуждения, что при оценке величины и2, получим
С/4 ^ ^с(а,Р)с1Ли1/2х
X
е / еа4
|р а ,в(с°8 ф)| ^
^ ^рс(а,Р)с1Ал1/2
е +3/2
ф(ф-0у) л/2
2
9 а+1/2
9; еа4
ф(ф - е у)
-Ае у
<
ф +3/2 1
_ , -Дву.
(2.32)
Поскольку функция §(9) =
ф-е
монотонно убывает на промежутке
(0, ф), то, используя оценки (2.2) и (2.11), можно записать
ф4
Г dе 3п 3п п 3п
-ДО; ^ - + - ^1пфИ + - П + -.
Ф - ву 2 Т 2 2 2
9у еА4 Т 7 0
С учетом оценки (2.33) из (2.32) получим
(2.33)
С/4 ^ ^рс(а,Р)с1Ал1/2
+3/2
ф«+1/2|^(со8 ф)| + |р+1'Р(со8 ф)|
У2
п 3п
1П2И + Т
(2.34)
1
Так как ф ^ то из (2.6) имеем |F"'P(cos ф)| ^ лс(а> Р)^ а 1/2
IDa+l,P, . К2с(а, Р) —а—3/2
Поэтому из (2.34) получаем
V2«i/2
9п
yjl г— о / JI JJI
U4 ^-(2 "V2 + л)с (a, P)ciX In —n + —
5
п 3п
22
(2.35)
Собирая оценки (2.20), (2.25), (2.31), (2.35) и сопоставляя их с (2.13), при t е [0,1], -1/2 < а, р < 1/2, n ^ N - 1 приходим к оценке
где
+ [Я2(а, P)p,p(t)| + Я3(а, Р)Ра+Р(0|] n1/2 + Я4(а, р),
9л2 г- 9 Я!(а, Р) = —(2 "V2 + л)с (а, Р^Д,
48
Я3(а, р) = —da, P)ciX,
I
+ 1 с(а, P)c1X,
(2.36)
Я4(а, Р) = - [12(1 + У2л)с2с2(а, р) + 15.3б].
2) Перейдем теперь к случаю -1 ^ г ^ 0. Покажем, что его можно свести к уже рассмотренному случаю 0 ^ г ^ 1. Используя свойства (2.5) и (2.12), из (1.8) для произвольного г е [0,1] имеем
N
LiN (-t) = 2 v-j j=1
2>а,р )-1 р^-ор^х )
k=0
N
Z Vj Z(hl,a)-1 P^(t)Pв'а(-х)
(2.37)
j=1 k=0
Сделав замену переменных t = cos ф, хj = cos 6j, из (2.37) получим
N
j=1
L^(-cos ф) = ^ Vj 2hka)-1 Pi"'(cos ф)Рр,а(cos(n - 6j))
k=0
N
j=1
^ Vj J(hl^)-1 P^(cos ф)Рв,а(cos j
k=0
=l ¡¡;N(cos ф).
Так как ^j = п - 6j имеют одинаковые свойства с 6j, то, проводя те же рассуждения, что при оценке величниы LnNr(cos ф) и используя равенство
и
(2.5), выводим, что
L^(cos ф) < Н\(а, Р) (in ^¡L-n + Зл) +
+ [Я2(а, р)|Рв'а(cos ф)| + H3(a, Р)^"^ ф)|] n1/2 + ^(а, Р)
3п2 \ = Яi(a, Р) (In + Зл I +
+ [H2(а, р)|(-1УРа'V cos ф)| + H3(а, p)|(-1)n+1 (- cos ф)|] n1/2 + H4(a, P)
= H\(a, P) |ln -^-n + + + [H2(а, p)P'в(- cos ф)| + H3(а, P^+V- cos ф) J n1/2 + H4(а, p).
(2.38)
Возвращаясь к переменной t, из (2.37) и (2.38) получаем
2
n,N 1 10 / (2.39)
+ [H2(а, в)|Ра'e(t)| + H3(а, Р)|Ра£(0|] n1/2 + H4(а, р)
при г е [-1,0].
В конечном итоге, из оценок (2.36) и (2.39) при -1/2 < а, Р < 1/2, п ^ N -- 1, п ^ 1 для г е [-1,1]
I 3л|2
In— п + Ъл\ +
n'N 1 10 / (2.40)
+ [H2(а, в)|Ра'e(t)| + H3(а, P)|CVt)|] n1/2 + H4(а, p)
или
^О = 0(1) [Ы п + п1/2 (^(0! + Ра+Р1«0 + 1] •
Теорема 1 доказана.
Литература
[1] Сегё, Г. Ортогональные многочлены / Г. Сегё. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.
[2] Джексон, Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы / Д. Джексон. М.: ИЛ, 1948. 260 с.
[3] Натансон, И.П. Конструктивная теория функций / И.П.Натансон. М.: Гостехиздат, 1949.
[4] Яхнин, Б.М. О функциях Лебега разложений в ряды по полиномам Якоби для случаев а = р = 1/2; а = -1/2, р = 1/2; а = 1/2, р = -1/2 / Б.М. Яхнин // Успехи матем. наук. 1958. Т. 13. № 6. С. 207-211.
[5] Тиман, А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного / А.Ф. Тиман. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.
[6] Агаханов, С.А. Функция Лебега сумм Фурье-Якоби / С.А. Агаханов, Г.И.Натансон // Вестник Ленингр. ун-та, сер. матем. 1968. Вып. 1. С. 11-23.
[7] Бадков, В.М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье-Якоби / В.М.Бадков // Сиб. матем. журнал. 1968. Т. 9. № 6. С. 1263-1283.
[8] Шарапудинов, И.И. Многочлены, ортогональные на сетках / И.И. Шарапудинов Махачкала, 1997. 254 с.
[9] Gronwall, T. Uber die Laplacesche Reiche / T. Gronwall // Math. Ann. 1913. V. 74. P. 213-270.
[10] Rau, H. Über die Lebesgueschen Konstanten der Reihenentwicklugen nach Jacobischen Polynomen / H. Rau // J. für Math. 1929. V. 161. P. 237-254.
[11] Суетин, П.К. Классические ортогональные многочлены / П.К. Суетин. М.: Наука, 1976. 328 c.
Поступила в редакцию 18/VII/2006; в окончательном варианте — 18/ VII/2006.
46
0.M. KopKMacoe
ON ESTIMATION OF THE LEBESQUE FUNCTION OF THE DISCRETE FOURIER-JACOBI SUMS
© 2006 F.M. Korkmasov2
We consider the system of the classical Jacobi polynomials of degree at most N which generate an orthogonal system on the discrete set of the zeros of the Jacobi polynomial of degree N. Given an arbitrary continuous function f(t) on the interval [-1,1], we construct the discrete Fourier-Ja-
a 6
cobi sums SnN(f, t) over the orthonormal system introduced above. We
a 6
prove that the Lebesgue function LnN(t) of the discrete Fourier-Jacobi sums for -1/2 < a, 6 < 1/2, n ^ N - 1, n ^ 1 on the interval [-1 + e, 1 - e] (e > 0) have the 0(lnn) order; on the intervals [-1,-1 + e] and [1 - e, 1], accordingly, the 0(n6+1/2) order and the 0(na+1/2) order.
Paper received 18/V77/2006. Paper accepted 18/V77/2006.
2Korkmasov Fuad Mueddinovich, ([email protected]), Institute for Geothermal Research of
the Dagestan Scientific Centre of the Russian Academy of Sciences, Makhachkala, 367030,
Russia.
