О сходимости рядов Фурье - Якоби в среднем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 3, С. 43^59

УДК 517.518

О СХОДИМОСТИ В СРЕДНЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ - ЯКОБИ

Э. Дж. Ибрагимов

В настоящей статье найдены коэффициентные условия для сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби.

Ключевые слова: базис, оптимальная последовательность, ряд Фурье — Якоби, суммы Валле-Пуссена, функция обобщенного сдвига.

Цель настоящей работы — найти условия сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби. Пусть

оо

f (%) ^ — + a>v COS VX + bu sin VX (1)

v=1

формальное разложение некоторой функции f £ {Sn(f; x)} — последовательность

частичных сумм ряда (1), ||f ||r — норма функции f £ Ь2,ж,

к \ 1

' |f (x)|r dx) < то, 1 ^ r< то.

__r

r

—ж

Говорят, что ряд (1) сходится в среднем (с показателем r), если

lim ||f - Sn(f )||r =0. (2)

M. Рисс [16] для функций f £ при 1 < r < то установил неравенство

||Sn(f )||r < Cr ||f ||r, n = 0, 1,...,

в котором Cr зависит только от r. Этот факт эквивалентен тому, что при 1 < r < то имеет место (2), т. е. тригонометрическая система образует базис в .

Затем Шаудер, Пэли, Катон и Хилле, Кобер доказали, что являются базисами в Lr(0,1) система Хаара [22] при 1 ^ r < то и система Уолша [14] при 1 < r < то, а в Lr(-то, то), 1 < r < то, — система преобразований Фурье многочленов Лагерра [4, 5].

В работе [19] Г. А. Фомин указал коэффициентные условия, при которых имеет место (2) при r = 1.

Удивительным фактом после этого оказался результат Г. Полларда [12, 13] о том, что система многочленов Лежандра Lr(—1,1) является базисом при | < г < 4 и не является базисом, когда г G [1, |) U (4, то). В дальнейшем Дж. Нейман и У. Рудин [9] показали, что при г = | и г = 4 система многочленов Лежандра также не является базисом в Lr.

© 2016 Ибрагимов Э. Дж.

В. П. Моторный [8] указал условия на функцию /, при которых имеет место (2) при всех г £ [1, |)и(4, оо), т. е. в случаях, когда многочлены Лежандра не образуют базис в Ьг (—1,1) так, что последовательность констант Лебега сумм Фурье — Лежандра не ограничена. Причем порядки приближений частными суммами в 17(1 < г ^ |) совпадают с наилучшими на классах функций с достаточно хорошими дифференциально-разностными свойствами.

В. М. Бадков [1] исследовал порядки приближений суммами Фурье — Лежандра при условии, что / £ Нг £ [1, |] и[4, оо), т. е.

(У |/М(ж + /1) - (х)\Г с1хУ 0<а<1,

-1

и изучил порядок роста обобщенных констант Лебега (г' = г/(г — 1))

¿п(г,Т )= вир

II/Иг' <1

7 ^ 0.

Отметим также следующий результат, анонсированный Г. Полардом в [12]. Система

является базисом в Ьг(—1,1)(3 < г < 4); при а ^ 0, /3 ^ 0 эта система не является базисом в Ьг(—1,1), если г £ [1, |) и (4, оо). Обозначим

где

М(ж) = (1 — ж)а(1 + ж)в (—1 < ж < 1, а, в > —1), ^(ж) = (1 — ж)А(1 + ж)в (—1 < ж < 1, А, В £ Ж),

п

Sn(/) = ; ж) = £ С, (/)р(а>в)(ж)

и=0

М(ж)

^(ж),

¿п,г(м,д = над)д||г: / £ (д^г, ||/д||г < ^

В 1969 г. Б. Маккенхоупт [7] показал, что при 1 < г < то условия

'1 а + Г

1 а + 1 А+--

< Ш1П

г 2 .......V4' 2 / ()

0 , 1 в + 1 • V1 в + 14

В н----- < Ш111 -,-—

г 2 \4 2

необходимы и достаточны для ограниченности констант Лебега Ьп,г (М, д), т. е. система

|(1 — ж)а(1 + ж)в_Р,(а'в) (ж)| (а,в > — 1) образует базис в Ьт(—1,1) при 1 < г < то.

/

г

Якоби в Ьт [—1,1] при условии, что хотя бы одно из неравенств (3) не выполняется, причем / е

В работе [6] Н. М. Казакова дает порядок констант Лебега Ьп,г (М, ф) в пространстве

Обозначим через (0 < г < то, 0 < ^ ^ 1, V = 0,1,...) — класс функций Бесова,

заданных на [-1,1], для которых /е Ьг и конечен следующий интеграл

/М(Ж + Н) - /М(ж)

т[-1,1-Ь\

^Н < С.

С. Г. Нещадим [10] указал достаточные условия на функцию, отличные от приведенных в [8], при которых имеет место (2), а также привел оценки сверху / е частными суммами рядов Фурье — Якоби в ¿1 и Фурье — Лежандра в (1 < г < то).

Обозначим через 1,1] (1 ^ р < то) — пространство функций суммируемых с

р-ой степенью с весом /х(ж) = (1 — ж)а(1 + ж)~2 ¿х (—\ < а < а ||/||р,м — норму,

/ е ^[-1,1],

где

Пусть

где

= С(аИ |/(ж)№(ж) < то

1

С(а) = Г(а + 3/2)/2а+3/2Г(а + 1)Г ж) = (1 — ж)"(1 + (¿ж.

/(х) - £

^=0

(/)= / |}(ж)^(ж)

(4)

— формальное разложение в ряд Фурье функции / е 1,1] по многочленам Якоби,

образующих ортогональную систему на отрезке [—1,1] с весом ^(ж), т. е.

р п

(ж)Рк ' 2 (ж) с?/х(ж) =

0,

к = п,

1

где

Нп(а) =

Нп(а), к = п,

2а+5Г(п + а + 1)Г(п+ (2п + а + ^)Г(п + 1)Г(п + а; + '

Обозначим через й"« (/;ж) частичную сумму ряда (4).

В настоящей статье найдены коэффициентные условия для сходимости в среднем рядов Фурье — Якоби (4), т. е. выполнения соотношения

Иш ||/ - БП

(/)||р>^ = 0, 1 < р< то.

(5)

1

г

1

1

V

1

2

Следуя [19], каждую последовательность {тп} натуральных чисел тп (п = 1,2,...) будем называть оптимальной для функции /, если

п

limi — En(f)p ß = 0, 1^р<оо, (6)

п-юо \ mnj

где

En(/) = PInf II/ - Pn\\p,v

— наилучшее приближение в метрике Ьр^ функции / алгебраическими многочленами степени меньше или равно п.

/

Ит ^ = 0. (7)

п^те П

Это следует из (6), если учесть, что для любого / £ Еп(/^ 0 при п ^ то (см.,

например, [18, с. 41]).

Лемма 1 [3]. При любом справедливо равенство

1

Sn' 2'(f-,x) = J(Tuf)(x)Kn(u)dß(u), 1

где

й 2°+зГ(а+1)Г(./+$)

1

(т«№) = WlW-TTT [(l-r2)a-h(x,t,r)dr, Г(2)Г(а+ 2) J

где

-1

1

f(x,t,r) =f(xt + г\/1 - Ж2\/1 - t2 - i(l - r2)(l - ж)(1 -i)^

есть функция обобщенного сдвига [15].

Рассмотрим обобщенные суммы Валле-Пуссена

Га-М 1 (a-i)

2Ч/;я) = =-—г £ ¿Г 2)(/;Ж) (n = 1,2,...).

Лемма 2. При —4 < a < \ справедливо соотношение

f-vtr^u)

< Пусть дп(ж) — алгебраический многочлен степени меньше или равной п наименее

/

¿"'"^{^„(ж)} = д„(ж), г/ = п,п + 1,...,

то

<

1

Ш,п + 1

п-\-Шп

Шп

п-\-тп

Е

(8)

+ Еп(/)

Заметим, что

Jn -

1

Шп + 1

га+т,,,

1

Шп + 1

С (а)

1

га+т,,,

^(ж)

1

1 | га+т-п 1

Шп + 1

о юп р

С (а) / Е / ги(/ - Зп)(ж)

11 V=n ¿1

¿г г»4г« + *)Г(а+1) •

^(ж) > .

Используя теорему Фубини [11, с. 385] при р = 1, а при р > 1 обобщенное неравенство Минковского [20, с. 179], получим

С(а)

Шп + 1

г«(/ - Е Е

" (2г + а+±)Г(г + а + ±) „(«,-§)

-р;

1

И так как [3]

то

Шп + 1

1

^ ^ 2«+2Г(г + 1)Г(а + 1)

£ (И + а + 1)Г(» + а+1)р(а,-1) (и)

(и)

¿=о 2а+2Г (г + ± Г(а+1)

Шп + 1

Еп(/

2»+§С(а) Шп + 1

Еп(/

тп + 1 7Г

+

^ ^ 2«+2Г(г + 1)Г(а+1)

Шп

Еп(/)р,^( ^п. 1 + ^п.2).

тп + 1

Для оценки /п.1 воспользуемся соотношением [22, с. 83]

Кп(ж) = Е

(2г/ + а + 1)Г(г/ + а+1) (а,-1)

^ 2а+2Г(г/+^)Г(а + 1)

(ж) =

2«+2Г(г/+ 1)

1

V=n

V=n

1

р

V=n

р

р

X

1

1

П

7Г

Откуда с учетом неравенства (см. [17, с. 264])

f Í ! 1

(sin-J ( cos 2 ) iPi7'^ (cos Í)K Mn" 2, 7, /3 ^ — —, t e [0,7г], (10)

при 7 = а + 1и/3 = —a также соотношения (см. [2, с. 951]) Г(п + a) ~ паГ(п), п —> оо, получим, что

K„(cosí)~--(cosí) = O (nQ+0fsin 2, n->oo. (11)

2"+2Г(а+1) V /V 2/

Из (9) с учетом (11) будем иметь

"У1 / ¿ х 2a+l n+m„

Jn.l = / ( 2 ) Ku(cost) (It

"У1 (12)

0(1) E / (sin!) dt = 0(i)(n + mn)a+^(mn + i) / tQ-5dt

v=n o o

v mn + 1 y

Для оценки /п.2 используем формулу Кристоффеля - Дарбу [16, с. 83

2Ь"Г(п + а+\){{п + а+ (ж) - (п + ^ (ж) =_^_

пу ' (2п + а + |)Г(п+ ±)Г(а + 1)(1 -ж)

Тогда получим

I / , \ 2а—i n+mn r(V + a;+§)

= / Sin2 Ет- 3W

J \ ¿J tt (2v + a + l Г г/

.. (2г/ + а + |)г(г/+1

x|(z/ + a + l)PÍa'"^(cosí) - (íz + l^'^tcosí) j dt.

(13)

Здесь и в дальнейшем С1(а), С2(а),... будут обозначать положительные постоянные а.

Применяя преобразование Абеля, получим

= ( 1> + а + |)___г(у + а+1) \

\(2и + а + 1)Г(и+11) (2и + а+1)Г(и + §) /

Г V 1 1 V 1 ^

'„•:г>(а>~ , 1 \ , , 1 \ п(а'~2)

ЕИ"'"^) - (i + 1)Р^Г5Ч®)) + (а + 1) Е ^ (ж)

Г(п + Шп + а; + |)

i=0 i=0

3 2

(2n + 2m„ + а + |)Г(п + m„ + i)

n+m" / ¡ _ь , _ь \ с _ь

x< E +(« + !) E

v=0 ^ ' v=0

П

7T

{2и + а+1){и+11)Т{и + а + 1)-{2и + а+1)Т{и + а+1)

х

(2г/ + о; + |) (2г/ + о; + |)Г(г/ + |)

^=0 ^ 1 2/" V 2/

V ы _ л, + 1)р(в>-5) (Х) \ +_Г(п + Шп + а + |)_

¿^4 + / (2п + 2Шп + а+ |)Г(п + т„ +

•п+Шп / 1 1

(а+1) £ + ^ +

¿=0 ^

п+шп-1 |(а+ 1)(2г/ + а + |) - (2г/+ 1)}Г(г/+ а + |) § (21/ + а + 5)(21/ + а+1)^+1)

( а-1 (а-1)

(а+1) £ Р/ ^^-(п + Шп + ^Р^;^®)

,2 п - (а + 1)

(2п + а+§)Г(п + ±) I ^ ;

(14)

Учитывая (14) в (13), получаем

Т = Г (1) + Т (2) + Г (3) (15)

^п.2 = ^п.2 + ип.2 + ^п.2. (15)

Оценим каждый из этих интегралов. Используя неравенство (10) при 7 = 0; и/3 = —^, получаем

71 1 га+г)гп — 1 г/ . , 3

7Й=С1(а) I («п^20 1

{(а + 1)(2г/ + а + |) -(2у + 1)}

тп + 1

хГ ^г/ + а + ^ |(г/ + 1)Рг^"'1 ^(сов^ - (а +1) ^(са^)} ей

п+Шп-1 /■ ( 1 ^ | 1 1

С2(а) £ г/""1 / ¿2а-Ч(г/+1)|Рг!"'Г5)(со8^|+(а+1)£|^(а'"5)(со8^|1^

7/=п _ ^ ->'—п '

тп + 1

га+т,п-1 /"Г ^ 1

^Сз(а) £ г/""1 / ¿^ + +

^п+1 (1б)

(тп + 1)а~1

ю-гиоп- ± р

^С4(а) £ / г2а~1ги^СМа)

тп + 1

X

Воспользовавшись снова неравенством (10), будем иметь

П

■ff, = <*(«),„ r("+^f) n f

(2n + a + |)r(n+i) J \ 2

nP^' ^(cosi)

mn + 1

П

-(a + l)£pi"' ^(cosi) (ft^C6(a)na j (sin^

2,

mü' + l (17)

x/ я|Pjf' 2)(cosi)|+ (a + l)£|pi"' ^(cosi)||di

n

1 Г 4 ria+2

^C7(a)nra+2 / ta~2dt^C8(a)----.

J (mn + i)a~2

mn +1

(2)

Аналогично для J 2 получаем оценку

<С9(а)(п + ?йп)а+5(шп + 1)|-°. (18)

Теперь, учитывая (16)—(18) в (15), получаем

Jn.2 ^CioH^ + m^r+^m^ + l)^"«. (ig)

А учитывая (16) и (19) в (9), имеем

Ja < Си (а) (2 ВД W- (20)

\ mn + 1 /

Утверждение леммы следует из (8) и (20).

Лемма 3. Для любой оптимальной для функции /(ж) последовательности {Шп} справедливо соотношение

lim ||/_^п(/)|| =0, 1<р<оо.

< Это сразу следует из леммы 2. > Теперь, положим

ra+m-n с 1 1

rr) . -U ' ^

"п 1 - v=n+1

— , -i «V+n П = 1, 2, . . .

mn + 1

_ -a

m,„ 4-1

V=1

Теорема 1. Если {mn}— оптимальная для f последовательность, то при 1 ^ р < оо справедливо соотношение

II/ - ¿а'%)||Р>д = 0(1) ^ ll<W/)IU = 0(1), п ОО.

< Это следует из неравенств

+

<

+

ЛшЛ!)

и леммы 3. >

(4)

но, чтобы для любой последовательности {Шп} натуральных чисел, удовлетворяющих условию

Ш

(21)

Иш ^^ = О,

п^ж П

выполнялось соотношение

Иш

п

г,(а> {-е\ с<(а> {-е\ Бп+тп (/ ) Бп (/ )

0, 1 ^ р < то.

(22)

< Необходимость следует из неравенства

г,(а> (-р\ С^"' (-р\

°п+тп и ) и )

<

/ _ 2 ) J П+Шп. и /

+

Достаточность. Пусть имеют место (21) и (22). Тогда найдется оптимальная для / последовательность {тга}, удовлетворяющая соотношению (7), и для нее

1

р,М Шп

Шп + 1

п-\-тп

v=n+1

^ ^т Ё к+^с/о - = «а)-

Шп + 1

V=1

Теорема 2 доказана. >

Следствие 1. Если для каждой последовательности {тп}, удовлетворяющей условию (21) выполняются соотношения: 1. при (а + т;) р > 1

2. при (а + т;) р = 1

3. при (а + р < 1

га+т-п

Ит Е

п

v=n+1

г/а" 2 = О,

(23)

п+тп /л х I

Ит £ (—V =0,

п^ж *—' \ V /

V=n+1 у 7

гг+т,,,

Ит V а?' ^(/)1/-5=0,

>,—^•00 Г ^

(24)

V=n+1

< Применяя неравенство Минковского, а также неравенство (см. [17, лемма 4.3])

Р1"'

= 0(1)

а--

П Р ,

11пга^ 2 V п _ 1 П 2 .

{а+\)р> 1, (а+±)р=1, (а + \)р < 1,

получаем

£

га+т,^

'(Я-й-Г"2 ;(Л

I га+т-п

С(ам Е «V

_1 V=n+1

,(лрГ"\х) фи) < Е

v=n+1

га+т,,,

Р

(а.-*)

га+т,,,

0(1) Е

V=n+1

(а,-§)

(/)

па р, (а + \)р > 1, (а+±)р = 1,

_ 1 П 2 ;

{а+\)р < 1.

(26)

Откуда и следует наше утверждение, ибо выполнение (23)-(25) влечет за собой выполнение условия (22) теоремы 2. > С

Следствие 2. Если для каждой последовательности натуральных чисел {Шп}, удо-(21)

1. при (а + р > 1

2. при (а + р = 1

3. при (а + р < 1

¿"'-^(/ЖС-гл

- — 1—а

|аГ 2Ч/)1 ^ С-(1/1п1/)"2:

(27)

(28) (29)

то ряд (4) сходится в среднем.

< Действительно, при выполнении условий (27)-(29) из (26) имеем

Я^ЬЛ-Я^-^Л =0( 1)1п

п + тг,

= о(1), п ^ то. >

р,М п + 1

В дальнейшем, ап х вп ^ С1вп ^ ап ^ С2вп при п ^ то, где С1 и С2 — некоторые положительные постоянные.

Лемма 4. При —Ь<а<Ь справедливо соотношение

х 2а+1

£

2

(Й X П 2 п —» оо.

< Разобьем интеграл по схеме

J = +

+

= Jl + J2 + Jз.

(30)

р

V

П

— 7Г--

пп

П

7Г— —

п

п

Учитывая неравенство (10), получим

Р

2а+1

яш - | (Й

(31)

0(п~5) / (япЛ 2(Й = 0(п"5) = 0(п~а-1).

Далее,

•Н [ Рп+1, *\со8г)

2а+1

ЯШ

2 )

= 0(п~5) / га-ъ<И = 0(п~ъ)

п

а+

7Г

2 — | 7Г--

п

= 0(п-а-1)

(32)

Из асимптотической формулы [16, с. 205]

Р

имеем

(а+1,-5)

(СОЯ ¿) = (7ГП) 2 ( вШ ^

2а + 3 , п + —-— Ц-

X < 008

а +

+ 0(1)(п 81п 4)

1

с с

— ^ ^ ^ 7Г--,

пп

^2 =

Р

(а+1,-5)

(008 4)

вШ ■

2а+1

^ (пп)'

ЯШ ■

+ 0(1)

81П

г\а~

п • 2 яш | соя |

= 0(п"5)| I ¿а"5сЙ+1 I

а-|

(яш2 | + СОЯ2 |)

соя ■

п

тг-2

О [ п 2 ) ( 1 + - ( яш ^

4

С08-

1

(Й + -

п

8111 -

соя - (И

(33)

= 0 п" 1 + - / у —+ 2;

п

81п

2п

па

М/1 0(1) 0(1)/. тг = 0 п"2 1 + —+ 81П. >

п 81п

2п

п

2п

= 0(п~2 1 + 0(1) +О п"а-2 =0 п"2 (1 + 0(1))

Л1

71

71

П

4

П —

п

П

2

7Г--

п

а— т

2

3

2

7Г--

п

4

2

п

7Г--

п

2

4

2

2

2

п

п

г

2

п

71

2

п

п

7Г--

п

п

п

Учитывая (31), (32) и (33) в (30), получаем

Р

(а+1,-1)

(соя 4)

/ А2а+1 / 1 \ («п-] М = 0[п~)(1 + 0(1)),

п,

что равносильно утверждению леммы. >

Следствие 3. При справедливо соотношение

I |КП(С08^| 0 (М

п п —> оо.

< Вытекает из (11) и леммы 4. >

Отсюда следует, что константы Лебега в не ограничены и, следовательно, сиГ (а.-1) -11

стема < Рп ' 2 («)(1 — ж)а(1 + ж) 2 не образует базиса в В связи с этим фактом

интересен следующий результат.

Теорема 3. Если для любой последовательности {ш}п натуральных чисел, удовле-(21)

Ит

п^ж ' л/п + V

V=1 у

(34)

ТО 2 (/)||1>А4 = о(1), п ^ ОО.

< Согласно теореме 2 достаточно доказать, что из (34) следует (22). Действительно,

г,(а> \\-с\ с<(а> {-е\ °п+т„ (/ ) °п (/ )

п+т,„

v=n+1

2а+1

С (а) I Е а[^ \/)р!)а' ^(соаг) («пЛ ей

п+тп

= С (а) |

+

+

= С (а)(А + В + С).

п+тп п+тп

Используя неравенство (10), при 7 = а и /3 = —^ получаем

7Г

п+тп

п+тп

А Ч ^

0 v=n+1 п+тп

¿а, §)(сов4)

2а+1

ЯШ

2

п+тп

< £

V=n+1

2а+1

Р„(а' 2 ^ (соя ¿) (апЛ (Й

(35)

п+тп

0(1) Е ^

v=n+1

п+тп

(/)

ЯШ ■

2а+1

П

П

П

+т

Л1

7Г

4

7Г

7Т

4

2

п+Шп

(Л ] Г+12гМ = 0( 1) £ 1/-5 аГ %) (п + тга)а"§

0(1) £ 1/-5 Ягу

^=п+1

^=п+1

0(1)-^ £ п^то,

/ / ¿п

^=п+1

так как согласно теореме 5.2 из [3]

(36)

Иш ■

0.

(37)

Рассмотрим интеграл

С =

7Г— -

„ п+Ш„

тг г^=гг+1

¿а, §)(сов4)

ЯШ ■

2а+1

п+тп п+Шп

< £ а " (л

р

(а.-*)

(008 4) ( 81п

^=п+1

1)

2а+1

п+тп

п+ Шп

0(1) £ ,/"*

^=п+1

п+тп

1 п+шп а\%)

^=п+1

= о(1), п —^ ТО.

(38)

7Т

4

2

П

7Г

П

7Г

Для оценки интеграла В рассмотрим выражение

п+Шп

^=п+1

(Л + « + ЯП* + М-+ « + Ю" (

Преобразование Абеля дает

(1п+тАП {2п + 2тп + а+\)Т{п + тп + а + \) (2„ + а + £)-1Г(1/ +

—а

, л г(" + I) у + а + (У + а + I) р^-1-) ,

[Л(2п + а+1)Г(п + а+1)^0 Г („+£)

Учитывая здесь (10), получаем

ад = Т1 (а, ^ + )

>.-§)_Г(п + тга + 4)_ (а+1;_1) (39)

(2п + 2т„ + а + ±)Г(п + т„ + а + ±) 1 ;

1

(а+1,-1)

а™+1 2п + а + |

Так как

(21/ + а + ±)Г(г/ + а + (2и + а + ±)Г(г/ + а +

(21/ + а + |)Г(г/ + а + §) (21/ + а + |)Г(г/ + а + §)

+

(21/ + а + ±)Г(г/ + а + (2и + а + §)Г(г/ + а + §)

(2г/ + а+|)Г(г/ + а + |) Г(г/ + а + ±)

1 \ з^Л/,(а-2)/

2и + а+\ (2г/ + а + |)(г/ + а + ) (2г/+ а + |)Г(г/+ а + |)

(40)

Г(г/ + а + (21/ + а + (2г/ + а + |) {и + а + '

то, учитывая (40) в (39), получаем

^п(ж) = V ^ (ЛРи (ж) = > ----5-Рг> 2У(ж)

2г/ + а + §

V=n+1 V=n+1 2

га+у-1 л (".-*) (л 2(а + 1» + (а + Ю (а + 2) (<н-1,-*)

1Л2п + 2тГ1 + а+1 1 ; п+1 1Л2п + а+| ™ 1 ;

" ¿1 + « + ! Р" ( ) " V"1 п М) (л(2а + 2)»/ + (а + 2)(а+1) (а+1,-1)

(41)

^ , П1 ]_ п-\-т„ \х) ап+1 +

1

V

X

Из (41) и (35) получаем

B =

n+mn n+mn -1

< Е

v=n+1

£ av

v=n+1

(/)P> '"^(cosi)

i)

2a+1

n+mn

P

(a+1'"^(cosi)f sin

7Г

7Г —

n+mn n+mn

a.—

2

7Г

n+mn-1

+ E

(a,-i) xv+1

(f )

n+mn _ 7Г

n+mn

v=n+1

v + 1

P

(e+1>-*W)

n+mn П

+

(a,-i)

n+mn

n+mn

(f)

n+mn _ n

+ a,

2 У

n+mn

(f)

Pn+mn 2 (cOSi)

(cost)

n+mn

Откуда с учетом леммы 4 получим /

B = 0(1)

n+mn-l Да,)' 2/

E

v=n+1

(f)

+

n+ mn

f)

+-

Vn + m^ 1 A a^\f)

m«

E

v=n+1

2a+1 Sill - | dt

Л20+1Л

sin - dt 2

t

\ 2a+1

sin - j dt.

V^TT

+

(f)

n

(42)

Так как согласно (21)

lim |a^)(/)l = lim

la„/i + ™ло(/)1

= 11т

|aia'_|)(/)l

л/п + га—>оо д/п(1 + га—>оо у/п

то учитывая (36), (37) и (34) в (42), будем иметь

n+mn

11т

п^-те

n+mn / ! >

£ аГ"2У

v=n+1

(ЯР> '"'(cost)

1

8111 2

2a+1

dt = 0.

n+mn

Учитывая это равенство, а также (36) и (37) в (35), получим утверждение теоремы. >

Следствие 4. Если lim — 0. Aa„ ' 2 (/) ^ -4=

n n n

то

f - 27 (f) = o(1), n

2

a

7Г

< Действительно,

la,-А I

п+тп-1 Аа>Г 2)(f\ п+тп-1 1

f) 1 n + mn . . > -=-^с > -=0 1 In--=0 1, П-> 00. >

v/n V п

v=n+1 v v=n+1

Следствие 5. Если lim ^ = 0, Аага 2 ^ —f— при 7 > 0, то

п-}оо п 1 1 га^+т

= 0, n ^ то.

< Действительно,

АаГ"Ь(Л

n+mn-1

1 c

n+mn -1

-F=- ^С У -—г ^- =0(1), П —> ТО. \>

,/п ^ z/t+1 nt w

v=n+1 v v=n+1

Литература

1. Вадков В. М. Аппроксимативные свойства рядов Фурье по ортогональным полиномам // Успехи мат. наук.—1978.—Т. 33, № З.-С. 51-106.

2. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.—М.: Наука, 1971.-1108 с.

3. Ibrahimov Е. J. Jacobi transform method in approximation theory // Procedings of A. Razmadze Math. Inst.-2015.-Vol. 169.—P. 33-82.

4. Caton W. В., Hille E. Laguerre polynomials and Laplace integrals // Duke Math. J.—1945.—Vol. 12.— P. 217-242.

5. Kober H. A note on approximation by rational functions // Proc. Edinburgh Math. Soc.—1946.—Vol. 7, № 2.—P. 123-133.

6. Казакова H. M. О порядках констант Лебега сумм Фурье — Якоби в пространствах (QL)r.—1984.— 66 с. Деп. в ВИНИТИ, № 2113.

7. Muckenboupt В. Mean convergence of Jacobi series // Proc. Amer. Math. Soc.—1969.—Vol. 23.—P. 306310.

8. Моторный В. П. О сходимости в среднем рядов Фурье по многочленам Лежандра // Докл. АН СССР.—1972.—Т. 204, № 4.-С. 788-790.

9. Newman J., Rudin W. Mean convergence of orthogonal series // Proc. Amer. Math. Soc.—1952,—№ 3.— P. 219-222.

10. Нещадим С. Г. Приближение функций суммами Фурье по многочленам Якоби в интегральной метрике.—1983.—28 с. Деп. в ВИНИТИ, № 4559.

11. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. 2-е изд.—М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит-ры, 1957.—552 с.

12. Harry Pollard. The mean convergence of orthogonal series of polynomials // Proc. Natl. Acad. Sci. USA.-1946.-Vol. 32.—P. 8-10.

13. Harry Pollard. The mean convergence of orthogonal series. I // Trans. Amer. Math. Soc.—1947.— Vol. 62.-P. 387-403.

14. Palev E. A. C. A remarkable series of orthogonal functions // Proc. London Math. Soc.—1932.—Vol. 34.— P. 241-279.

15. Потапов M. К. О приближении многочленами Якоби // Вести. Моск. ун-та. Мат-ка. Механика.— 1977.—№ 5.-С. 70-82.

16. Hies/ М. Sur les series conjuges // Math. Z.-1927.-Vol. 27.-P. 218-244.

17. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены.—М.: Физматлит, 1976.—327 с.

18. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного.—М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960.—624 с.

19. Фомин Г. А. О сходимости рядов Фурье в среднем // Мат. сб.—1979.—Vol. 110, № 2,—Р. 251-265.

20. Харди Г. Г., Литтлъвуд Дж. Е., Полна Г. Неравенства.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1948.—456 с.

21. Ходак Л. В. О сходимости рядов Фурье — Якоби в интегральной метрике.—Днепропетровск, 1979.-29 с. Деп. в Укр. НИИНТИ.

22. Schauder J. Eine Eigenschaft des Haarseiten Orthogonalsystems // Math. Zeitschrift.—1928.—Vol. 28, issue l.-P. 317-320.

23. Сеге Г. Ортогональные многочлены.—M.: Физматгиз, 1962.—500 с.

Статья поступила 11 декабря 2015 г.

Ибрагимов Эльман Джаваншир оглы

Институт математики и механики НАН Азербайджана,

ведущий научный сотрудник

АЗЕРБАЙДЖАН, AZ1141, г. Баку, ул. Ф. Агаева, 9 E-mail: [email protected]

ON MEAN CONVERGENCE OF FOURIER-J AC OBI SERIES

Ibrahimov E. J.

The conditions on coefficients for mean convergence of Fourier-Jacobi series are obtained. The asymptotic formulae for the best approximation in Lebesgue spaces are derived and an asymptotic equality for Valee-Poussin sums is obtained. Some properties of generalized shift function are also studied.

Key words: basis, optimal sequence, Fourier-Jacobi series, Vallee-Poussin sums, generalized shift function.