Асимптотические свойства многочленов ˆpƒ,ƒ n (x), ортогональных на произвольных сетках в случае целых ® и Текст научной статьи по специальности «Математика»

На рис. 1 схематично показаны базисные коциклы на торе; значение коцикла на тех рёбрах, которые пересекает пунктирная линия, равно единице, а на остальных — нулю. Рассмотрим теперь умножение базисных коциклов

Учитывая, что $ о = ◦ мы, согласно формуле умножения получим (см. рис. 2)

(а — ß )($) = а (V2'0) ■ ß (w?'1) - а ($V22'0) ■ ß (V2'1) =0 ■ 0 - (-1) ■ (-1) = -1.

Таким образом, ß — а — базисный элемент двумерных когомологий тора. Далее,

(ß — а)($) = ß (W2'0) ■ а (Vv,2'1) - ß (W22'0) ■ а (W2'1) =1 ■ 1 - 0 ■ 0 = 1.

Итак, в кольце когомологий H*(T2, Z) есть две образующие а, ß. Причём выполнены соотношения: а — ß = -ß — а, а это, в свою очередь, означает, что кольцо когомологий тора с коэффициентами в кольце целых чисел есть внешняя алгебра, т.е. H* (T2, Z) = Az [а, ß ].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведём итог сказанному. Мы связали с каждым полукубическим множеством X Е D+Ens и некоторым кольцом R, некоторое градуированное кольцо когомологий H*(X;R). Если в R существует единичный элемент, то такой же элемент существует и в H*(X; R), и если R коммутативно, то H* (X; R) косокоммутативно.

Библиографический список

1. Хусаинов, А. А. О группах гомологий полукубиче- 2. Хилтон, П. Теория гомологий / П. Хилтон, С. Уайли.

ских множеств / А. А. Хусаинов // Сиб. мат. журн. - - М.: Мир, 1966. - 452 с.

2008. - Т. 49, № 1. - С. 224-237. http:// www.emis.de/ 3. Маклейн, С. Гомология / С. Маклейн. - М.: Мир,

journals/SMZ/2008/01/224.html 1966. - 544 с.

УДК 517.5

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ (x), ОРТОГОНАЛЬНЫХ НА ПРОИЗВОЛЬНЫХ СЕТКАХ В СЛУЧАЕ ЦЕЛЫХ а И в

А.А. Нурмагомедов

Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, Махачкала, лаборатория теории функций и приближений E-mail: [email protected]

В этой работе исследуются асимптотические свойства многочленов (x), ортогональных с весом (1 - xj)а(1 + xj)eAtj на произвольных сетках, состоящих из конечного числа N точек отрезка [-1,1]. А именно установлена асимптотическая формула, в которой при возрастании n вместе с N, асимптотическое поведение этих многочленов близко к асимптотическому поведению многочленов Якоби.

Ключевые слова: многочлен, ортогональная система, сетка, вес, весовая оценка, асимптотическая формула.

Asymptotic Properties of Polynomials pO.'^ (x), Orthogonal on Any Sets in the Oase of Integers a and ■>

A.A. Nurmagomedov

South Mathematical Institute of Vladikavkaz Science Center of the RAS, Mahachkala,

Laboratory of the Theory of Functions and Approximations E-mail: [email protected]

Asymptotic properties of polynomials (x), orthogonal with weight (1 - xj )a (1 + xj) Atj on any finite set of N points from segment [-1,1] are investigated. Namely an asymptotic formula is proved in which asymptotic behaviour of these polynomials as n tends to infinity together with N is closely related to asymptotic behaviour of the Jacobi polynomials.

Key words: polynomial, ortogonal system, set, weight, weighted estimate, approximation formula.

ВВЕДЕНИЕ

Последовательность многочленов, ортогональных на конечном множестве точек действительной прямой Л, впервые была введена и исследована в целом ряде работ П. Л. Чебышева в связи с задачами математической статистики. В работах А. А. Маркова, Шарлье, М. Ф. Кравчука, Мейкснера, Хана

и других изучались системы ортогональных многочленов дискретного переменного, различающиеся выбором сетки и веса. В частности, подробно исследовались разностные свойства дискретных аналогов классических многочленов Эрмита и Лагерра — многочленов, соответственно, М.Ф. Кравчука и Мейкснера.

Дальнейшее развитие теории многочленов, ортогональных на дискретных системах точек, связано с работами Хана, Вебера и Эрдейи, А.Ф. Никифорова, В. Б. Уварова, С. К. Суслова и многих других математиков и физиков. Были получены многочисленные приложения многочленов, ортогональных на дискретных системах точек в генетике, теории кодирования, квантовой механике, математической статистике и т.д.

Большая часть этих приложений приводят к задаче об асимптотических свойствах и весовых оценках ортогональных многочленов. Целенаправленное ее изучение было проведено в работах И. И. Ша-рапудинова. Задача состояла в том, чтобы получить такие оценки для остаточных членов асимптотических формул, из которых и известных весовых оценок для классических многочленов Якоби, Лагерра и Эрмита вытекали бы неулучшаемые по порядку при п ^ ж весовые оценки для многочленов Чебышева, Мейкснера и Кравчука, стремясь одновременно к тому, чтобы эти оценки оставались верны при минимальных ограничениях на рост степени п в зависимости от числа точек сетки N.

В монографии (см. [1, гл. 3, § 3.7, теорема 3.7.1]) И. И. Шарапудиновым для ортонормированных на равномерной сетке О = {0,1,..., N — 1} многочленов Чебышева т^'М (х) доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть а и в — целые неотрицательные числа, а > 0. Тогда имеет место асимптотическая формула

т-а'3 —

(х) = (х)+<м (х),

для остаточного члена и^'М(х) которой при 1 < п < aN1/2 справедлива оценка

| <М(х) |< с(а,в,а)

VI — х + -

-а-1/2

VI + х + -

—в —1/2

где Рпа'3 (х) — ортонормированный многочлен Якоби.

Нам удалось перенести эту теорему на произвольный случай.

Пусть а, в — целые неотрицательные числа, Тм = {tj}М=0 — дискретное множество (сетка), состоящее из конечного числа различных точек отрезка [—1,1]: —1 = Ь0 < < ... < —1 < = 1. Рассмотрим также еще одну сетку Хм = {х0,х1,... ,хм—1}, состоящую из N точек Xj, где

Через

Xj = к±1т., ^ = о, 1,...,ы — 1.

Ркв (х) = Рак'в (х; Тм) (к = 0,1,..., N — 1)

(0.1)

обозначим последовательность многочленов, образующих ортонормированную систему на сетке Хм в следующем смысле (0 < п,т < N — 1):

N — 1

(К'в ,рт3) = £ (1 — Xj )а (1+Xj гги13 ^ ^ = бпт,

(0.2)

j=0

где Д^- = tj+1 — tj,з =0,1,..., N — 1. Для определенности будем считать, что старший коэффициент многочлена рП3(х) положителен, т.е.

р"3 (х) = кпхп + Ьп—1 хп—1 + ■ ■ ■ + Ьо, кп > 0.

(0.3)

В настоящей работе исследуются асимптотические свойства многочлена ра'3(х) при п, N ^ ж. Ниже нам понадобится обобщение на интегральные метрики известного неравенства В. А. Маркова для производных алгебраических многочленов. А именно пусть дп(х) — произвольный алгебраический многочлен степени п, 0 < г < п. Тогда имеет место [2] оценка

дПг)(х) йх < с(г)п2г / |?п(х)| йх,

2г

(0.4)

—1

—1

п

п

п

1

1

где c(r), c(a, в), • • •, c(a, в, • • •, Y) — положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров, вообще говоря, различные в разных местах. Через мы обозначим наименьшую константу в неравенстве (0-4), т.е.

шг = inf

I ^ (x) -i

dx

п2г I 1?п(ж)| ¿ж -1

где нижняя грань берется по всем алгебраическим многочленам дп(ж) степени п, не равными нулю тождественно.

Далее, пусть (ж) — ортонормированный многочлен Якоби, 6N = тах Д^-.

В данной работе установлены:

1) асимптотическая формула

Рапв (ж)= (ж)+ (ж), в которой для остаточного члена (ж) при 1<п<а6-1/2 имеет место оценка

|иа;в(ж)|<с(а, в, а, 6)5Nп5/2

/ \ 1/4 где 0 < а < (2Й) , ь > 0.

2) весовая оценка

V1 - x + 1 —a —1/2 V1 + x + 1 —в —1/2

n n

\Рп,в(x)\<c(a, в, а, b) (¿nn5/2 + 1

V1 - X + -

— a —1/2

л/1 + X + -

—в —1/2

Здесь следует отметить, что данная работа есть обобщение ранее полученного нами результата [3]

V-1

с=0

и аналог работы [4] в случае, когда конечная последовательность многочленов {р^(ж)}д|=01 образует

ортонормированную систему на сетке Tv в смысле (0.2).

1. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ

Мы здесь приведем некоторые сведения о многочленах Якоби. Определим многочлены Якоби (ж) (п = 0,1, 2,...) с помощью обобщенной формулы Родрига:

(—1)п 1 5п

Р*"' (ж) = 1ППГ Щ {к(ж)ст"(ж)}

где а, в — произвольные действительные числа, а(ж) = 1 — ж2, к(ж) = к(ж; а, в) = (1 — ж)а(1 + ж)в. Если а, в > —1, то многочлены Якоби образуют ортонормированную систему с весом к(ж), т.е.

k(x)pn' (x)pm' (x) dx ha nmt

-1

где

в = 2а+в+1 Г(п + а + 1)Г(п + в + 1) п' = п!(2п + а + в + 1)Г(п + а + в + 1)'

(п = 1, 2,...).

Ниже нам понадобятся следующие свойства многочленов Якоби [5]: производная

и, следовательно,

иа,в

-1

dr dx5

(x) =

(n + a + в + -)r pa+r,e+r

2r

(x) (0 < r < n),

где (a)o = 1, (a)v = а(а + 1) • • • (а + v - 1),

(-•1)

n

n

1

весовая оценка (-1 < х < 1)

(х)| < с(а,вИ л/Г—ж + -) (л/Г+ж +-

-в-.

в частности,

(х)| < с(а, в)(- - х)-2-4 (0 < х < 1 - п-2)

\/П|С'в(х)| < с(а,в)па+2

а | в 1

\/П|Рп'в(x)| < с(а,в)(1 + х)-2-4 (х)| < с(а,в)пв+2

(1 - п-2 < х < 1) ,

(-1 + п-2 < х < 0 , (-1 < х < -1 + п-2)

симметрия

(-х) = (-1)п Рпв'а(х).

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

Мы здесь докажем некоторые утверждения, которые нам понадобятся в дальнейшем. Лемма 2.1. Пусть функция /(х) дважды непрерывно дифференцируема на [а, Ь], а = ¿0 < ¿1 < < ... < -1 < = Ь, = ¿¿+1. - , х, = + )/2, ^ = 0,1,..., N - 1. Тогда имеет место следующее равенство:

6 м-1

/(х) ¿х = £ /(х,)Д, + гм(/),

(2.1)

,=0

в котором для остаточного члена гм (/) имеет место оценка

|гм(/)|< 862м |/''(¿)|

(2.2)

Доказательство. Имеем

6 м-1 ¿3 + 1

J /(х) ¿х = ^^ J /(х) ¿х.

а '=0 ¿3

Далее, воспользовавшись формулой Тейлора, мы можем записать

¿3 + 1 ¿3 + 1

/ / (х) ¿х =

/(х,) + /'(х,)(х - х,) + / (х - ¿)/''(¿) ^

¿х = / (х, )Д£, + /' (х,) / (х - х, )^х+

¿3 + 1 X ¿3 + 1 X

+ J !(х - ¿)/''(¿) ¿¿¿х = /(х, )Д, + ^ У (х - ¿)/''(¿) ¿¿¿х.

¿3 Х3 ¿3 Х3

Повторный интеграл в равенстве (2.3) запишем следующим образом:

¿3 + 1 X х3 X ¿3 + 1 X

3 = J !(х - ¿)/''(¿) (Ц(1х = ^ !(х - ¿)/''(¿) (И(1х + ^ !(х - ¿)/''(¿) СЙ ¿х = 3 + 72. Рассмотрим сначала 31:

(2.3)

31 = / I (х - ¿)/''(¿) ¿х = - /''(¿) / (х - ¿) ¿х = ^ - ¿)2/"СО (2.4)

— а-

а

6

а

3+1

X

¿

¿

¿

X

3

3

3

3

¿

3

¿3 X

¿

¿

¿

33

3

3

Займемся теперь J2:

J2 =

(x - t)f''(t) dt dx = f ''(t) dt / (x - t) dx = ^ (tj+1 - t)2f(t) dt. (2.5)

Из (2.4) и (2.5) имеем

I J I< I Ji I + I J2 I< ^I f''(t) | dt.

(2.6)

Тогда из (2.3) и (2.6) находим

N-1

f (x) dx = £ f (xj)Atj + rN(f),

j=0

где

IrN (f)I =

N-1 x

J] / /(x - t)f''(t) dtdx

j=0

1

<

N-1 + !

J If''(t)I dt = 8S% J If''(t)I dt.

j=0 tj a

Лемма 2.1 доказана.

В качестве следствия леммы 2.1 отметим следующее утверждение.

Следствие 2.1. Пусть функция /(х) дважды непрерывно дифференцируема на [-1,1], — 1 = ¿0 < < ¿1 < ■ ■ ■ < -1 < ¿м = 1. Д^ = — , х/ = (¿^+1 + )/2, з =0,1,..., N — 1. Тогда имеет место следующее равенство:

1

N-1

f(x) dx = £ f(xj)Atj + rN(f),

(2.1')

-1 ]=0

в котором для остаточного члена гм (/) имеет место оценка

1

IrN(f)I< 8¿N J If''(t)I dt. -1

(2.2')

Лемма 2.2. Пусть а, в > -1,

х1 = шт{х] : —1 + п < х/ < 1 — п }, х2 = тах{х/ : —1 + п < х/ < 1 — п }.

Тогда для нормированного многочлена Якоби Р^13(х) = }-1/2(х) имеет место следующая формула:

£ (1 - xj)а(1 + xj)в(xj))2Atj = 1 - rn,N,

в которой

Доказательство. Мы имеем

Irn,N I < c(a,e)^Nn3

— 1+n-

1=/(1 - x)a(1+ x)e (x))2 dx = / (1 - x)a (1+ x)e (P^ (x))2 dx+

-1

-1

1 —n

(2.7)

(2.8)

+ / (1 - x)a(1 + x)e(x))2 dx + / (1 - x)a(1+ x)e(P^(x))2 dx = /1 + /2 + /3.

(2.9)

— 1+n -

1 — n-2

3+1 x

3+1

3 + 1

3 + 1

t

x О x

x

x

33

3

3

3+1

t

b

a

b

t3 x

33

1

2

1

2

Вначале оценим Д. В силу (1.5) имеем

—1+п-2 —1+п-2

/1 = J (1 - х)а(1 + х)в(Р^(х))2 йх < У (1 + х)в йх < с(а,в)п-1. (2.10)

-1 -1

Далее, из (1.4) мы находим, что

1 1

/з = J (1 - х)а(1 + х)в(Р^(х))2 йх < с(а,в)п2а+^ У (1 - х)а йх < с(а,в)п—1. (2.11)

1—п-2 1—п-2

Теперь перейдем к оценке интеграла /2. Полагая /(х) = (1 — х)а(1 + х)в(Р"'в(х))2 = }—1 х х (1 — х)а(1 + х)в(Р"'в(х))2, воспользуемся леммой 3.1. Тогда

1 —п

2

(1 - х)а(1 + х)в(Р^(х))2 йх = ^ (1 - х,-)а(1 + х,-)в(Р£'в(х,))2 Д^- + гпN, (2.12)

— 1+ п"

где гп= г^((1 - х)а(1 + х)в(Ра'в(х))2), и, стало быть,

(х)) ), и,

1 — п-

-2

|гп^| < 84 I |{(1 - х)а(1+ х)в(Рпа'в(х))2}''| йх. (2.13)

-1+ -2

Далее, в силу (1.1) имеем

{(1 - х)а(1 + х)в(Р^(х))2}'' = }—1 {(1 - х)а(1 + х)в(Р£'в(х))2}}'' = = }—1 Мх)(1 - х)а—2(1 + х)в—2(Рпа'в(х))2 + (1 - х)а—1(1 + х)в—1 ^(х){(Рпа'в(х))2}'+ +(1 - х)а(1 + х)в{(Р£'в(х))2}''} = }—1 {р(х)(1 - х)а—2(1 + х)в—2(Р£'в(х))2+ +(п + а + в + 1)(1 - х)а—1(1 + х)в—1 ^(х)Рпа'в(х)Рпа+11'в+1 (х)+

+2(1 - х)а(1 + х)в(П + " + в +1 Р"+11'в+1(х^2 +

+ (П + а + в +1)2(П + а + в + 2) (1 - х)а (1 + х)в Ра'в (х)Рпа_+2'в+2 (х)},

где <р(х) = (в - а)2 + 2(в - а)[1 - (а + в)х] + (а + в)(а + в - 1)х2, ^(х) = 2[в - а - (а + в)х]. Поэтому в силу (1.3) получим (0 < х < 1 - п—2)

' х)а—2 (

{(1 - х)а(1 + х)в(Р^(х))2}'' < с(а, в)[| р(х) | (1 - х)а—2(д/П | Ра'в(х) |)2+ +п | ^(х) | (1 - х)а—1 | Рпа'в(х) | | Рпа+11'в+1(х) | +п2(1 - х)а (^П-Г | Рпа+11'в+1 (х) |) 2 +

+п2(1 - х)а^п | Ра'в(х) | 2 | Р"+22'в+2(х) | ] < с(а, в)[| р(х) | (1 - х)а—2 ((1 - х) — а — ^ + +п | ^(х) | (1 - х)а—1 (1 - х) — а — 4 (1 - х) — ^ — 4 + +п2(1 - х)а ((1 - х) — ^ — 4У + п2(1 - х)а(1 - х)—а — 4 (1 - х)—^ — 4] < < с(а, в) [| р(х) | (1 - х)—5/2 + п | ^(х) | (1 - х)—2 + п2(1 - х)—3/^ .

Отсюда, в свою очередь, имеем

1-— -2| |

'{(1 - х)а(1 + х)в(х))2}'' йх < + ^2 + ^з, (2.14)

= с(а, в) | р(х) | (1 — х)-5/2 йх < с(а,в)п3, (2.15)

где

1-п-2

а,Р) ! I ¥>(ж) I (1 -х)

0

1 — п 2

^2 = с(а,в)п У | ^(х) | (1 — х)-2 йх < с(а,в)п3, (2.16)

о

1 —п-2

* = ^)п2 / (1 -х)-3/2< с(а-в)п3. (2-17)

о

Из (2.14)-(2.17) находим

1—п-2

3

{(1 — х)а(1 + х)в(Р^(х))2}'' йх < с(а,в)п3.

Случай —1+ п 2 < х < 0 равенством (1.6) приводится к рассмотренному. Следовательно,

1 —п-2

{(1 — х)а(1+ х)в(Р^(х))2}'' Йх < с(а, в)п3. (2.18)

1+п

Сопоставляя (2.18), (2.9)-(2.13), приходим к утверждению леммы 2.2. □

52

Лемма 2.3. Пусть а, в — целые неотрицательные числа и ш2¿Мп4 < 1/2. Тогда для ортонор-

мированного многочлена (0.3) имеет место следующая формула:

—1

У (1 — х)а(1 + х)в(х))2 Йх = 1 + Рп,м, 1

в которой

2^2^^ п4

|Дп."1 < Г—^^• (2'19)

Доказательство. В силу следствия 2.1

N -1

/ (1 — х)а(1 + х)в(х))2 йх = £ (1 — х/)а(1 + х])в(х/))2 Д] + Рп,м, (2.20)

где Рп,м = гм((1 — х)а(1 + х)в(Р!'в(х))2) и стало быть в силу (2.2')

—1

|Рп,м| < 1 ¿2/ |{(1 — х)а(1+ х)в(х))2}''| йх. (2.21)

-1

Далее, из неравенства (0.4) следует, что

—1 — 1

11{(1 — х)а(1 + х)в(х))2}''1 йх < 16^2п4 I(1 — х)а(1 + х)в(х))2 йх. (2.22)

-1 -1

Сопоставляя (2.21) и (2.22), получим

—1

|Рп,м| < 2^2п4 У (1 — х)а(1 + х)в(х))2 йх. (2.23)

-1

о

1

Кроме того, из (2.20) и (2.23) следует, что

1 1 У (1 - х)а(1 + х)в(р^'в(х))2 ¿х < 1 + 2^2¿Мп4 I(1 - х)а(1 + х)в(р^'в(х))2 ¿х. (2.24) -1 -1

Если теперь ^¿Мп4 < 1/2, то из (2.24) получаем

1

У (1 - х)а(1 + х)в(рЗа-в(х))2 ¿х < 1 - 28Т2п4 . (2.25)

-1

А теперь из (2.23) и (2.25) непосредственно следует оценка (2.19). Лемма 2.3 доказана.

Лемма 2.4. Пусть а, в — целые неотрицательные числа, ¿м = 0(п-2), кп — старший коэффициент многочлена ра'в(х), а Ап — старший коэффициент многочлена Якоби _Ра'в(х). Тогда имеет место неравенство

1 < ^ < --12 ^1/2. (2.26)

1 + с(а, вММп3 А п " (1 - 2^2п4)1/2 ' Доказательство. Легко заметить, что

АП = 1-1-, (2.27)

/ (1 - х)« (1+ х)в (Р^ (х))2 ¿х -1

где (х) — многочлен Якоби с единичным старшим коэффициентом. Если ра'в(х) — многочлен из последовательности (0.1), то

кп = ЕМ=о1 (1 - х, )а (1+х, )в (Ра,в (х, ))2 д, ' (2.28)

где (х) — многочлен из последовательности (0.1) с единичным старшим коэффициентом. Далее, в силу (2.27) и (2.28) получим:

к? 1 1 , , _п. =_> _ (2 29)

АП АП ЕМ=01(1 - х,)а(1 + х,)в(р£'в(х,))2Д*^ЕМ=-о1 (1 - х,)а(1+ х,)в(Рпа'в(х,))2Д, ' ■ ; Последнюю сумму в неравенстве (2.29) представим в виде

N-1

£(1 - х,)а(1 + х,)в(РРп'в(х,))2 = £ + + = 01 + 02 + 0з. (2.30)

,=0 — 1 <X3 <-1+п-2 X* <x* 1-n-2<x1• <1

Оценим а1. В силу весовой оценки (1.5) мы имеем

01 = £ (1 - х,)а(1 + х,)в(С'в(х,))2Д*, < с(а, в) £ (1 + х,)в(пв+1/2)2Д*, <

-1<x3• <-1+п-2 -1<x3• <-1+п-2

< с(а,в)п2в+1 £ (1 + х,)в< с(а,в)п2в+1п-2в £ <

-1<Xo• <-1+п-2 -1<Xo• <-1+п-2

< с(а, в)п

£ (^+1 - ) + (¿р+1 - ¿р) -1<¿j + l <-1+п-2

< с(а, в)п(п-2 + ¿м) < с(а, в)п-1, (2.31)

где р = тах

- 1<Xo• <-1+ п -2

Теперь оценим 03. В силу (1.4) мы находим, что

аз =¿2 (! - Xj)"(! + Xj)в(Рп'в(Xj))2Atj < c(a,ß) £ (1 - x,)а(na+1/2)2At

1—n-2<Xj<1

< c(a, ß)n2a+1 < c(a, ß)n

c(a, ß) (1 — X) (n

1—n-2 <Xj <1

£ (1 — Xj)а Atj < c(a,ß)

1—n-2 <X j <1

j<

c(a, ß)n2a+1 n 2а

£ At

1 —n-2 <x j <1

У^ (tj + 1 — tj ) + (tq —1 — tq)

1—n-2<tj + i <1

где q = min j.

1 —n-2 <Xj <1

Сопоставляя (2.29)-(2.32) и (2.7)-(2.8), имеем

< c(a, ß)n(n—2 + ¿n) < c(a, ß)n—1, (2.32)

; <

-1

>

АП " 1 + с(а, п3 ' Отсюда, в свою очередь, следует левая часть неравенства (2.26).

Для доказательства правой части этого неравенства, воспользуемся интегральным неравенством Коши - Буняковского. Тогда получим

= / (1 — x)a(1 + (x)P^'e(x) dx <

-1

1/2

1/2

< ( у (1 — x)a(1+ x)e(pa'e(x))2 dx

(1 — x)a(1+ x)e(P^(x))2 dx <

(1 — 2^2¿Nn4)1/2 '

Лемма 2.4 доказана.

3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ра'3 (х)

Здесь мы получим асимптотическую формулу для многочленов ра'3(х), ортонормированных на Хм в смысле (0.2).

( \ 1/4

Теорема 3.1. Пусть а и в — целые неотрицательные числа, Ь > 0, 0 < а < (ь ) . Тогда

имеет место асимптотическая формула:

\2Ж2 у

ра,в (x) = (x)+(x),

в которой для остаточного члена и>аМ (х) при 1 < п < а5—1/2 справедлива оценка

I u^'N(x) |< с(а, ß, a, 6)<5Nn5/2

л/1 — x +

— а —1/2

л/1 + x +

—в —1/2

Доказательство. Оценим следующий интеграл

(3.1)

(3.2)

(1 — x)a(1 + x)e{(x)} dx = /(1 — x)a(1+ x)e{(x) — Ра'в(x)} dx

-1

-1

= / (1 — x)a(1+ x)e(x))2 dx — 2 / (1 — x)a(1+ x)e(x)pa'e(x) dx+

-1

-1

+j (1 — x)a(1+x)e (ра'в (x))2 dx = /1+/2+/3. -1

1

1

А

n

1

1

1

1

1

1

n

n

1

1

1

1

1

Ясно, что /i = 1, /2 = — 2kn/An. В силу леммы 2.3 имеем

2 „4

/3 < 1 +

2^2 n 1 — n4

Тогда

(1 — x)a(1+ x)e{(x)}2 dx <

-1

C(a,en3 n4 , .24 /О OA

Т—77N2 3 + 1-о N2 4 <c(a,e,a,b, ^2Mvn. (3.3)

1+ c(a,e)ojv n3 1 — 2ш2 n4 N

Из неравенства (3.3), используя теорему 7.71.1 работы [5], легко получить утверждение теоремы 3.1. □

Сопоставляя (3.1), (3.2) с (1.2), приходим к следующему утверждению.

(л-ь \1/4

Теорема 3.2. Пусть а и в _ целые неотрицательные числа, Ь > 0, 0 < а < ( ,

— 1

1 < п < а^2, —1 < х < 1. Тогда существует постоянная с(а, в, а, Ь) > 0 такая, что

(x) | < с(а, в, a, b) (¿vn5/2 + 1)

V1 — x +

-а-1/2

V1 + x +

-0-1/2

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00143-а).

В заключение выражаю благодарность моему научному руководителю И. И. Шарапудинову за поставленную задачу, а также за ряд полезных замечаний.

Библиографический список

1. Шарапудинов, И. И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам / И.И. Шарапудинов. - Махачкала: ДНЦ, 2004. - 276 с.

2. Даугавет, И. К. О некоторых неравенствах для алгебраических многочленов / И. К. Даугавет, С. З. Ра-фальсон // Вестн. Ленинград. ун-та. - 1974. - № 19. -С. 18-24.

3. Нурмагомедов, А. А. Об асимптотике многочленов, ортогональных на произвольных сетках / А. А. Нурмагомедов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. - 2008. - Т. 8,

вып. 1. Сер. Математика. Механика. Информатика. -С. 25-31.

4. Нурмагомедов, А. А. Асимптотика многочленов

ортогональных на произвольных сетках / А. А. Нурмагомедов // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию: Сб. докл. VI Междунар. конф. «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». - Владикавказ, 2008. - С. 200-211.

5. Сеге, Г. Ортогональные многочлены / Г. Сеге. - М.: Физматгиз, 1962. - 500 с.

УДК 517.54

ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ЧАСТНОГО ВИДА УРАВНЕНИЯ ЛЕВНЕРА

Д.В. Прохоров, А.М. Захаров

Саратовский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: [email protected]

Приводится решение в квадратурах частного случая уравнения Левнера для полуплоскости.

Ключевые слова: уравнение Левнера, интегрируемость, сингулярное решение.

Integrability of a Partial Case of the Lowner Equation

D.V. Prokhorov, A.M. Zakharov

Saratov State University, Chair of Mathematical Analysis E-mail: [email protected]

We give a quadrature solution to the partial case of the Lowner equation for the upper half-plane.

Key words: the Lowner equation, integrability, singular solution.

1

1

1

n

n