О сходимости методов регуляризации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г.В. Хромова

УДК 519.642.8

О СХОДИМОСТИ МЕТОДОВ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

В данной статье получены необходимые и достаточные условия, при которых два известных метода регуляризации, разработанных в классической постановке для гильбертовых пространств, могут быть использованы для получения равномерных приближений к решениям уравнений первого рода.

1. Рассмотрим уравнение первого рода

Ли = /, (1)

где Л — линейный ограниченный оператор, действующий в пространстве С [а, Ь], Л-1 существует, но неограничен, и семейство регуляризирующих операторов Яа:

а) Яа = (аЕ + Л)-1 соответствует методу Лаврентьева [1];

б) Яа = (аЕ + Л*Л)-1Л* — соответствует методу регуляризации Тихонова нулевого порядка гладкости [2].

Как известно, эти методы в их классических постановках применяются для нахождения приближенных решений уравнения (1) в гильбертовых пространствах. При этом а > 0, а в случае а) Л = Л* > 0.

Область сходимости любого метода регуляризации определяется соотношением

||ЯаЛи — и|| ^ 0 при а ^ 0. (2)

Отметим, что некоторые условия сходимости (2) в равномерной метрике для указанных методов в иной, чем здесь, постановке приведены в [3-6].

В дальнейшем будем считать, что параметр а принимает не обязательно положительные значения, а любые, при которых существует оператор Яа, а в случае а) оператор Л — произвольный линейный ограниченный.

Теорема 1. Если и = Лу, где V Е Ь2[а,Ь\, Л = Л в случае а) и Л = Л*Л в случае б), то для сходимости (2) в равномерной метрике необходимо и достаточно, чтобы

аЯа лу

^ 0 при |а| ^ 0. (3)

С [а,Ь]

Доказательство вытекает из представления

ЯаЛ = —ЛЯл (Л-1) ,

Л=—1/а

где Яа(Л-1) — резольвента оператора Л—1, Л — спектральный параметр, и формулы Гильберта для резольвенты, примененной к функции V.

Из теоремы 1 и теоремы Банаха — Штейнгауза вытекает

Следствие. Для сходимости (2) в равномерной метрике на замыкании области значений оператора А в равномерной метрике необходимо и достаточно, чтобы при достаточно малых значениях |а| выполнялась оценка

ЦЯ*А||см ^ К, (4)

где константа К не зависит от а.

2. Пусть в уравнении (1) оператор А имеет вид

X

Аи = J А(х,Ь)и(Ь)(Ь, (5)

0

где А(х,Ь) удовлетворяет условиям: АХ(х,Ь)(уАХ(х,Ь) = дХА(х,Ь)^, АХ существуют и непрерывны, А(х,х) = 1.

Регуляризация уравнения (1) с оператором (5) иным, чем в данной статье, методом и при более жестких предположения о ядре А(х, Ь) рассматривалась в [7].

Теорема 2. Если в уравнении (1) оператор А имеет вид (5), Яа = (аЕ+ +А)-1, а > 0, то для любой непрерывной функции и(х), удовлетворяющей условию п(0) = 0, имеет место сходимость (2) в равномерной метрике.

Схема доказательства:

1) строится интегро-дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция у = Яа(А-1)щ 2) резольвента оператора А-1 оценивается через резольвенту Я\(Ьо), где Ь0 : 10у = у', у(0) = 0; 3) доказываются оценки (3), (4); 4) находится замыкание области значений оператора А в равномерной метрике; 5) применяется теорема 1 и следствие из нее.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100003).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СОАН СССР. 1962. 92 с.

2. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 49-52.

3. Иванов В.К. Об интегральных уравнениях Фредгольма первого рода // Дифференциальные уравнения. 1967. Т. III, № 3. С. 410-421.

4. Худак Ю.И. О регуляризации решений уравнений первого рода // ЖВМ и МФ. 1966. Т. 6, № 4. С. 766-769.

5. Саадабаев А. Оценка погрешности приближенного решения интегрального уравнения первого рода в равномерной метрике // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе: ИЛИМ, 1988. № 21. С. 5-15.

6. Хромова Г.В. О некоторых новых возможностях тихоновской регуляризации //Обратные и некорректно поставленные задачи. Тихонов и современная математика: Тез. докл. Междунар. конф. Москва, 19-25 июня 2006 г. М.: МАКС Пресс, 2006. С. 93-94.

7. Хромова Г.В. О регуляризации одного класса интегральных уравнений первого рода // ЖВМ и МФ. 2005. Т. 45, № 10. С. 1810-1817.

УДК 519.95

П.М. Хрусталев, И.П. Мангушева ОЦЕНКА ЧИСЛА СПЕКТРОВ АВТОМАТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Число автоматов Л = (5, X, У, 6, Л) в классе (к, т, п)-автоматов, где 6 : 5 х X ^ Л : 5 х X ^ У, | = к, |Х| = т, |У| = п, равно (пк)т. В таком широком классе изучение поведения каждого представителя оказывается нецелесообразным. Для классификации автоматов в работе [1] предложено использовать упорядоченные наборы числовых характеристик, называемые спектрами.

В настоящей статье исследуются спектры различимости и спектры достижимости автоматных операторов, рассматриваемые в [1]. Найдены количественные характеристики числа всех спектров для операторов веса г.

Рассмотрим кратко основные результаты [1], на которые опирается статья. Оператор Т представляется бесконечным полным т-ветвящимся деревом, ребра которого помечены символами выходного алфавита У. Последовательности соседних ребер с началом в корне дерева определяют словарное отображение Т : X* ^ У*, сохраняющее длину и начальные отрезки слов.

Для произвольного оператора Т и любого входного слова р Е X* определяется остаточный оператор Тр оператора Т, соответствующий входному слову р:

(V х Е X*)(Тр(х) = Т(рх)).

Сам оператор Т считается остаточным к пустому слову.

На множестве остаточных операторов определяется отношение

к-эквивалентности (~):

Т'£т" (Vр е X*)(|р| = к ^ Т'(р) = Т"(р)).

Содержательно к-эквивалентным операторам соответствуют полные т-ветвящиеся деревья с одинаковой разметкой ребер на первых к ярусах.

Число Ет(к) классов к-эквивалентности выбирается в качестве элемента последовательности Ет(0),Ет(1),Ет(2),..., которая называется спектром различимости оператора Т.