Интегральное уравнение первого рода с ядром Грина и метод лаврентьева Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.642.8

Г.В. Хромова

ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО РОДА С ЯДРОМ ГРИНА И МЕТОД ЛАВРЕНТЬЕВА

В данной статье устанавливается сходимость метода Лаврентьева в равномерной метрике применительно к интегральному уравнению с ядром Грина.

Рассмотрим интегральное уравнение:

Аи = [ А(х,г)и(г)(г = /(х), (1)

Л

где А(х, £) — функция Грина дифференциального оператора Ь : 1у = у Н + р2(х)у (п—2)(х) + ... + Рп(х)у (х),

Щу) = 0, (2)

и {(у) — линейно независимые линейные формы относительно у(к)(0), у(к)(1), к = 0, ...,п - 1.

Предполагается, что функции и(х), рк(х), к = 2, ...п, непрерывны, а

Ь

Ранее для приближенного решения уравнения (1) использовались методы регуляризации А.Н. Тихонова, требующие гладкости коэффициентов рк(х) [2,3].

Метод М.М. Лаврентьева, более простой по конструкции, состоит в замене уравнения (1) уравнением (аЕ + А)и = / (а — параметр) и в классической постановке дает сходимость к и(х) при а > 0 в гильбертовых пространствах [4]. В [5] даны необходимые и достаточные условия сходимости метода Лаврентьева в других метриках. Согласно [5] в случае равномерной метрики указанная сходимость будет выполняться

А

когда справедлива оценка

11ТаА11с[0,1] — К, (3)

где Та = (аЕ + Л)-1, К^ константа, те зависящая от а.

Теорема. Если Та = (аЕ + А)-1, то для любой непрерывной и(х) , Ь,

которые не содержат производных, выполняется сходимость

\\Taf — и\\с[01] ^ 0 щи а ^ 0.

При этом для п четного а > 0, если | четно, а < 0, если | нечетно; для п — нечетного можно брать как а > 0, так и а < 0.

Доказательство. В нашем случае имеем

ТаА = —(А-1 + 1Е )-1 = АЯл(А-1)|Л=- 1, а а 1 «

где ЯЛ (А-1) ^ резольвент а опер атора А-1, А — спектральный параметр.

Так как А-1 = Ь, то речь идет об оценке резольвенты дифференциального оператора Ь при условии, что луч А = - а в комплекс ной А-

Ь.

а,

Далее, используем метод возмущений из теории линейных дифференциальных операторов: исследуем сначала дифференциальный оператор Ьо, содержащий в дифференциальном выражении (2) только старшую производную, а затем оцениваем вклад остальных слагаемых из (2). В результате получаем оценку (3).

В [2] показано, что замыкание области определения дифференциального оператора с регулярными краевыми условиями в равномерной метрике состоит из непрерывных функций, указанных в теореме. Отсюда следует утверждение теоремы.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-4383.2010.1) и РФФИ (проект 10-01-00270).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М,: Наука, 1969. 526 е.

2. Хромова Г.В. О регуляризации интегральных уравнений первого рода е ядром Грина // Изв. вузов. Сер. Математика. 1972. Т. 8(123). С. 94-104.

3. Хромова Г.В. Об оценке погрешности метода регуляризации Тихонова для интегральных уравнений е ядром Грина // Веетн. Моек, ун-та. Сер. 15. 1992. № 4. С. 22-27.

4. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962 92 с.

5. Хромова Г.В. О сходимости метода Лаврентьева // ЖВМиМФ. 2009. Т. 49, № 6. С. 958-965.