Оценка числа спектров автоматных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Хромова Г.В. О некоторых новых возможностях тихоновской регуляризации //Обратные и некорректно поставленные задачи. Тихонов и современная математика: Тез. докл. Междунар. конф. Москва, 19-25 июня 2006 г. М.: МАКС Пресс, 2006. С. 93-94.

7. Хромова Г.В. О регуляризации одного класса интегральных уравнений первого рода // ЖВМ и МФ. 2005. Т. 45, № 10. С. 1810-1817.

УДК 519.95

П.М. Хрусталев, И.П. Мангушева ОЦЕНКА ЧИСЛА СПЕКТРОВ АВТОМАТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Число автоматов А = (5, X, У, 6, А) в классе (к, т, п)-автоматов, где 6 : 5 х X ^ А : 5 х X ^ У, | = к, |Х| = т, |У| = п, равно (пк)т. В таком широком классе изучение поведения каждого представителя оказывается нецелесообразным. Для классификации автоматов в работе [1] предложено использовать упорядоченные наборы числовых характеристик, называемые спектрами.

В настоящей статье исследуются спектры различимости и спектры достижимости автоматных операторов, рассматриваемые в [1]. Найдены количественные характеристики числа всех спектров для операторов веса г.

Рассмотрим кратко основные результаты [1], на которые опирается статья. Оператор Т представляется бесконечным полным т-ветвящимся деревом, ребра которого помечены символами выходного алфавита У. Последовательности соседних ребер с началом в корне дерева определяют словарное отображение Т : X* ^ У*, сохраняющее длину и начальные отрезки слов.

Для произвольного оператора Т и любого входного слова р £ X* определяется остаточный оператор Тр оператора Т, соответствующий входному слову р:

(V х £ X*)(Тр(х) = Т(рх)).

Сам оператор Т считается остаточным к пустому слову.

На множестве остаточных операторов определяется отношение

к-эквивалентности (~):

Т'£Т'' (Vр £ X*)(|р| = к ^ Т'(р) = Т"(р)).

Содержательно к-эквивалентным операторам соответствуют полные т-ветвящиеся деревья с одинаковой разметкой ребер на первых к ярусах.

Число Ет(к) классов к-эквивалентности выбирается в качестве элемента последовательности Ет(0),Ет(1),Ет(2),..., которая называется спектром различимости оператора Т.

Показано [1], что спектр различимости Ет(к), к = 0,1, 2,..., является неубывающей функцией параметра к, причем Ет(0) = 1, а при к > 1

т(тк-1)

Ет(к) < г = п 1 . (1)

Далее, говорят, что слова рх и р2 остаточно неразличимы оператором Т (обозначают: рх ~ р2(Т)), если им соответствуют неразличимые остаточные операторы, т.е. ТР1 ~ ТР2. В противном случае, слова рх и р2 называют остаточно различимыми.

Спектром достижимости Вт(0),Вт(1),Вт(2),... оператора Т называется функция Вт (к), к = 0,1, 2,..., равная максимальному числу слов длины не больше чем к, которые попарно остаточно различимы.

Показано [1], что Вт (к) есть неубывающая функция числа к, причем Вт (0) = 1, а при к > 1

— 1

Вт (к) < г =-—. (2)

т — 1

Получением верхних оценок (1), (2) и несколькими примерами спектров конкретных автоматов ограничены исследования, представленные в работе [1].

Тем не менее предлагаемый подход к анализу поведения автоматов и их спектральной классификации имеет большой интерес. Важными являются свойства самих спектров, их классы и мощностные характеристики. Заслуживают внимания вопросы, связанные с классификацией спектров по их начальным отрезкам.

В данной статье получена оценка числа спектров, имеющих различные начальные отрезки длины к, при условии ограничения значений спектров величиной г.

Найдем число Д<(г) всех неубывающих последовательностей длины к в алфавите из г символов.

С учетом порядка 1 < 2 < ... < г и того, что Д<(г) = Д>(г), будем строить дерево для к = 1, 2,... невозрастающих последовательностей, оставляя только монотонные продолжения на каждом следующем ярусе (рисунок).

Число Д>(г) всех невозрастающих последовательностей длины к в алфавите {1, 2,... , г} равно числу ребер к-го уровня. Найдем зависимость между числом (г) и числом д>+1(г).

Лемма. Справедливы следующие рекурсивные соотношения:

М>(г) = г

г

м>+1(г) = Ек > 1.

¿=1

Доказательство. Первый ярус дерева (см. рисунок) представляет собой все невозрастающие последовательности длины 1. Их число Д>(г) = г.

Каждая последовательность длины к + 1 (к > 1) получается приписыванием (конкатенацией) к ее первому элементу последовательности длины к. В множестве всех невозрастающих последовательностей первый элемент каждой последовательности является ее максимальным элементом.

Обозначим через М>(г) множество всех невозрастающих последовательностей длины к в алфавите {1, 2,..., г}. Первым элементом в последовательности длины к + 1 в алфавите {1, 2,... ,г} может быть любой из символов 1 , 2, . . . , г. Тогда справедливо

М>+1 (г) = {1}М>(1) и {2}М>(2) и ... и {г}М>(г), (3)

где {¿}М>(г) — конкатенация множеств {г} и М>(г).

Поскольку число элементов в множестве М>(г) и в множестве {г}М> (г)

г

равно д>(г), то из (3) следует равенство Д>+1(г) = ^ М>(г). Что и требова-

¿=1

лось доказать.

Следствие. Для любого 1 < ^ < г справедливо равенство

м>+1(; м>(г).

¿=1

Найдем точную формулу для числа Д>(г).

Теорема. Число всех невозрастающих последовательностей длины к в алфавите из г символов определяется по формуле

м>(г) = кг(г +1)...(г + к — 1).

Доказательство проведем методом индукции по длине к. Для к = 1 формула справедлива, Д>(г) = г.

Предположим, что формула верна для к. Покажем, что она верна для к' = к + 1. По лемме имеем

г г 1

(г) = м>+1(г) = = XI ¡й+1)...(г + к —1).

¿=1 ¿=1к

Используя соотношение из [2, с.139]

I

(к + 1) X)*(* + 1) • • • (* + к - 1) = 1(1 + 1) • • • (1 + к),

г=1

получаем

4(г) = к • к+Гг(г + 1)... (г + (к + 1) - 1) = к1!г(г + 1)... (г + к' - 1). Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Трахтенброт Б.А., Барздинь Я.М. Конечные автоматы (поведение и синтез). М.: Наука, 1970.

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1986.

УДК 517.984

А.А. Чурикова

О БАЗИСЕ РИССА ИЗ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ЯДРОМ, РАЗРЫВНЫМ НА ЛОМАНОЙ

В статье рассматривается вопрос о базисе Рисса из собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) оператора

1

У = А/ = 1 А(х, г)/(г) (1)

о

Считаем, что А(х,г) = 1 при {0 < г < х, 0 < х < 1/2} и {0 < г < 1/2, 1/2 < х < 1} и {1/2 < г < 3/2 - х, 1/2 < х < 1} и А(х,г) = 0 при остальных х и г. При этом предполагаем, что /(х) £ Ь2[0,1].

Таким образом, ядро А(х,г) разрывно на ломаной. Для операторов вида (1) с ядрами, разрывными на произвольных ломаных, в [1] получены теоремы равносходимости. В данной статье устанавливается, что с.п.ф. оператора (1) образуют базис Рисса в Ь2[0,1].

Теорема 1. Если у = Яд(А)/ = (Е - АА)-1А/ (А — спектральный параметр), то имеет место

V(х) = А!^(х) + !>т(х), х £ [0,1/2], (2)