CC BY
35
Теперь перейдем к изучению спектральности оператора C.
Теорема 5. Пусть операторы A попарно коммутируют, причем оператор A1 квазинильпо-тентен, а оператор An ограниченно обратим. Тогда a(C) = h(a((I — A0)-1 An)), причем если (I — A0)-1 An — спектральный оператор с разложением единицы Е(•), то C есть спектральный оператор с разложением единицы E1 (•) = (5ijЕ^))^-=1, где E1 (•) = E(h(•)), а h(z) — некоторая однозначная ветвь функции ^Z.
Доказательство теоремы непосредственно следует из теоремы 2.
Автор выражает благодарность профессору А.М. Ахмедову за постановку задачи и обсуждение полученных результатов.
Библиографический список
1. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. операторы и их приложения. Баку, 1989. C. 3-15. Спектральные операторы. T. III. М.: Мир, 1974. 6. Ахмедов А.М. Спектральность полиномиальных опе-
2. Dunford N. Spectral operators // Pac. J. Math. 1954. раторных пучков // Линейные операторы и их приме-V. 4. P. 321-354. нения. Баку, 1986. C. 5-10.
3. Stampfli J.G. Roots of scalar operators // Proc. Amer. 7. Ismailov M.I. On spectrum property of matrix Math. Soc. 1962. V. 13. P. 796-798. operators in Banach space // Proceedings of IMM of NAS
4. АллахвердиевДж.Э, Ахмедов А.М. Некоторые клас- of Azerb. 2006. V. XXV (XXXIII). P. 47-52.
сы обобщенных спектральных операторов и их прило- 8. Исмайлов М.И. Исследование спектра и спектраль-
жения // Мат. сборник. 1990. Т. 67, № 5. C. 43-63. ности некоторых матричных операторов в банаховом
5. Ахмедов А.М. Некоторые спектральные свойства пространстве // Вестн. Бакин. ун-та. Сер. физ.-мат. на-обобщенных спектральных операторов // Линейные ук. 2007. № 2. С. 36-43.
УДК 517.984
О БАЗИСАХ РИССА ИЗ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ЯДРАМИ, РАЗРЫВНЫМИ НА ЛОМАНЫХ ЛИНИЯХ
В.П. Курдюмов
Саратовский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики E-mail: KurdyumovVP@info.sgu.ru
Доказана базисность Рисса собственных и присоединенных функций интегрального оператора, ядро которого терпит разрывы первого рода на ломаных линиях, образованных из сторон и диагоналей квадратов, полученных разбиением единичного квадрата 0 < x, t < 1 на четыре равных квадрата.
Ключевые слова: интегральный оператор, краевые условия, регулярность, базисность Рисса, собственные функции, собственные значения.
On Riesz Basises of Eigenfunctions of Integral Operators with Kernels Discontinuous on Broken Lines
V.P. Kurdyumov
Saratov State University,
Chair of Differential Equations and Applied Mathematics E-mail: KurdyumovVP@info.sgu.ru
For the integral operator, which kernel has jump discontinuities on the sides and diagonals of the four equal subsquares of the unit square 0 < x,t < 1, Riesz basisness of its eigen and associated functions is proved.
Key words: integral operator, boundary conditions, regularity, Riesz basisness, eigenfunctions, eigenvalues.
В настоящей работе рассматривается вопрос о базисности Рисса в пространстве Ь2 [0,1] собственных и присоединенных функций с.п.ф. интегрального оператора:
1
У = А/ = 1 Л(х,Ь)/ (1)<И, (1)
о
ядро которого терпит разрывы первого рода на некоторых ломаных в единичном квадрате 0 < х,1 < 1.
В работах [1-3] интегральный оператор (1) изучался, когда ядро (или его некоторые производные) имело разрывы на линиях Ь = х и Ь = 1 — х. В работе [4] проведено исследование равносходимости по с.п.ф. оператора А ив тригонометрический ряд, когда ядро терпит разрывы на ломаных линиях, образованных из сторон и диагоналей квадратов, полученных разбиением единичного квадрата на п2 равных квадратов; показано, что исследование оператора (1) может быть для произвольного п сведено к исследованию интегрального оператора В в пространстве вектор-функций той же размерности.
Здесь рассматривается случай п = 2, как и в работе [4] получаем оператор
1/2
= В^ = У В(х,*)0(ЬЖ х е [0,1/2] ,
(2)
где ¿(х) = (х),)(х))т, ^(х) = (х),52(х))т, Т — знак транспонирования, (х) = у (^г-1 + х), 9к(х) = / + х), В(х,Ь) = (Вг,- (х,Ь))2, Вгз (х,Ь) = А{+ х, ¿-1 + Ь).
Считаем, что компоненты Вг,(х,Ь) матрицы В(х,Ь) имеют вид Вг,(х,Ь) = Вг1 (х,Ь) + Вг2(х,Ь), где
аХ+ЖВ1, (дё^тВг2 ) (к +1 < 2, причем, если к +1 = 2, то к = I = 1) непрерывны, кроме, быть может, линии Ь = х, (Ь + х = 1/2). При подходе к каждой такой линии с любой стороны Вг1 (х,Ь) и Вг2 (х,Ь) принимают постоянные значения. Кроме того, считаем, что дХВг1(х, х ± 0), дХВг2 (х, 1/2 — х ± 0), дХВ?(х,^), ^ = 1, 2, ^ = 0,1, непрерывно дифференцируемы.
Обозначим Р = В(х,х — 0) — В(х,х + 0), Р = В(х, 1/2 — х — 0) — В(х, 1/2 — х + 0). Как и в
работе [4, с. 131] предполагаем, что блочная матрица
обратима и, кроме того, считаем
V Р Р )
выполненными условия леммы 14 из работы [4], гарантирующие существование оператора В-1.
Лемма 1 [4, теорема 11]. Если Яа(А) = (Е — АА)-1 А (Е — единичный оператор, А — спектральный параметр) существует, то
Яа (А)/ =
¿1
(х),
х е [0,1/2],
¿2(х — 1/2), х е [1/2,1],
(3)
где ¿1(х), ¿2 (х) — первые две компоненты вектора у(х) размерности 4, удовлетворяющего следующей системе:
фу' (х) + Р1 (х)у(0) + Р (х)у(1/2) + Рз (х)у(х) + NN у — Ау(х) = т(х),
(4)
1/2
Моу(0) + М1у(1/2) + I а(Ь)у(Ь)^ = 0,
(5)
-1
где ф = , причем = , — блочные матрицы,
«4 (х)
Р (х) = Нх) «2 (х^ РР2 (х)=( 0 0 ^ Р3(х)=( «3 (х)
Р (х) ^ 0 0 ), Р2(х) ^2(1/2 — х) «1 (1/2 — х))' Рз(х) ^4(1/2 — х) «з(1/2 — х)/
1/2
а(х,Ь)
^ = о л^м^, *(.М) = у, мро = 0} Мр1 = (Т Б>
Р(Ь) = ( «(Ь) 0 ), тр(х) = (#Т(х),дт(1/2 — х))Т, непрерывные матрицы-функции а(х), а(х,Ь), аг(х)
(г = 1,...,4) и постоянные матрицы Б и Т (все размерности 2 х 2) определены в работе [4, теорема 10].
Верно и обратное: если А таково, что однородная краевая задача для системы (4)-(5) имеет только нулевое решение,то яа(А)/ существует и определяется по формуле (3).
Предположим, что все собственные значения матрицы ф различны, отличны от нуля и пусть Г — неособая матрица, диагонализирующая ф-1, то есть Г-1 ф-1 Г = Р. Выполним в (4)-(5) замену
у(ж) = Гг(ж) (теперь г(ж) получает новый смысл и имеет размерность 4), тогда система (4)-(5) переходит в систему
г'(ж) + Р1 (ж)г(0) + Р2(ж)г(1/2) + Рз(ж)г(ж) + Тг - ЛРг(ж) = т(ж), (6)
1/2
Мог(0)+ М1 г(1/2)^У = 0, (7)
о
где Р (ж) = РГ-1 Р (ж)Г, N = РГ-1 ТУГ, т(ж) = РГ-1 т(ж), ВД = ВДГ, Мо = МоГ, М1 = М1Г.
Лемма 2 [4, лемма 16]. Существует матрица Н (ж, Л) = Но (ж) + Л-1 Н1 (ж) с непрерывно дифференцируемыми компонентами матриц Но (ж), Н1 (ж), причем Но (ж) невырождена при всех ж, диагональная и такая, что преобразование г = Н(ж, Л)г> приводит систему (6)-(7) к виду
■у'(ж) + Р1 (ж, Л)г>(0) + Р2(ж, Л)г>(1/2) + Рз(ж, Л)-и(ж) + ТлV - ЛР^(ж) = т(ж, Л), (8)
1/2
и(^) = Мо (Л>(0)+ М1 (ЛМ1/2) + у^(*,ЛМ*)^ = 0, (9)
о
где Р1 (ж, Л) = Н-1 (ж, Л)Р1 (ж)Н(0, Л), Р2 (ж, Л) = Н-1 (ж, Л)Р2 (ж)Н(1/2, Л), Рз (ж, Л) = Л-1 Н-1 (ж, Л) х х [Н1 (ж) + Рз (ж)Н1 (ж)], N = Н-1(ж,Л)ТН(ж, Л), Мо (л) = МоН(0, Л), М1 (Л) = М1Н(1/2, Л), Л) = ОДН(¿, Л), т(ж, Л) = Н-1 (ж, Л)т(ж).
Лемма 3. Если г>(ж, Л) = (^1(ж, Л),..., г>4(ж, Л))Т является решением задачи (8)-(9), то
4 1 4
Ял (А)/ = £ 71^ Н (ж)^ (ж, Л) + (ж)^ (ж, Л), ж е [0,1/2],
3=1 3=1
4 1 4
Ял (А)/ = £ 72з Н (ж - 1/2)^з (ж - 1/2, Л) + Л ^ (ж - 1/2)^- (ж - 1/2, Л), ж е [1/2,1], з=1 3=1
где 7г)3- — элементы матрицы Г, Н3 (ж) — диагональные элементы матрицы Но(ж), г3 (ж) = = Е 71 кгк3, г3 (ж) = Е 72кГкз (ж), Гкз — элементы матрицы Н1 (ж).
к=3 к=3
Доказательство следует из леммы 1, введенной замены у (ж) = Гг(ж) и леммы 2. Проведем необходимое исследование системы (8)-(9). Рассмотрим
ы'(ж) = ЛР^(ж) + т(ж), (10)
и м = 0, (11)
где и(•) берется из (9), а т(ж) — произвольная вектор-функция с компонентами из £2[0,1/2]. Нетрудно получается следующее утверждение.
Лемма 4. Элементы матрицы Р симметричны относительно начала координат. Кроме того, все они расположены на двух разных прямых, проходящих через начало координат, если выполняется условие
ч2 1
Ие -1 = 2+ И + —, (12)
52 И
и на одной прямой, если
-2 1
Ке -2 = 2+ И + —, И = 1, (13)
где -1 = д21 + 2д12д21 + д22 - дп - 2д12д21 - д22, -2 = det Q, -3 = (-1 - 4-2)1/2, (д^) — компоненты матриц Ql(Q2), м = (-1 + -з)(-1 - -з)-1.
Пусть ы3- (^ = 1,..., 4) — элементы матрицы Р. Обозначим
[ел^х, ReЛшп < 0, , [е(ж,;£)ел^ReЛы7- < 0,
(ж,Л)=^ л / 3_ , д3 (ж,*, Л) = ^ 1 ; л ' 3
3 |ел^(х-1/2), ReЛы3 > 0. 3 1-е(;£,ж)ел^, ReЛ^- > 0,
д(х, Ь, Л) = diag (^(х, Ь, Л),..., д4(х, Ь, Л)), где е(х, Ь) = 1 при Ь < х, е(х, Ь) = 0 при Ь > х. Так же как в работе [4, лемма 1] получается
Лемма 5. Для решения ы(х) = ы(х, Л) задачи (10)—(11) имеет место формула
ы(ж,Л) = gAm(x) - V(x, А)Д-1 (Л)Ф(т,Л),
1/2
где gxm(x) = f g(x, t, A)m(t)dt, V(x, Л) = diag (ai(x, Л),..., (х,Л)), Д(Л) = U(V(x,A)),
0
1/2
Ф(т, Л) = f Ux(g(x,t, Ux означает, что U применяется к g(x,t, Л) по x.
0
По лемме 4 собственные значения матрицы D расположены либо на двух, либо на одной прямой, проходящих через начало координат. Рассмотрим каждый их этих случаев подробно.
Пусть сначала имеет место (12), тогда числа oj (j = 1,..., 4) расположены на двух прямых, проходящих через начало координат. Для определенности считаем o1 = —o4, o2 = —o3, arg oj = aj, 0 < aj < n (j = 1,2), argo3 = a2 + n, argo4 = a1 + n, 0 < a1 < a2 < n + a1 < n + a2. Через dj (j = 1,...,4) обозначим лучи с центром в начале координат: argdj = П> — argoj.
Построим еще лучи j, j' (j = 1,...,4) с центром в начале координат: arg j
= arg
+ ;
arg j' = arg dj — £j, где £j > 0, достаточно мало и, например, при j = 1 выбирается из условий, чтобы при Л, принадлежащих сектору S1 = Z/1Od1, выполнялось неравенство Re Ло2 < Re Ло1 (тогда ReЛо2 < ReЛо1 < 0 < ReЛо4 < ReЛо3), а при Л £ S1 = d1 Ol'/ выполнялось ReЛо2 < ReЛо4 (тогда Re Ло2 < Re Ло4 < 0 < Re Ло1 < Re Ло3). Аналогично определяются £j (j = 2, 3,4) для секторов Sj = jOdj и Sj = djOlj'. Рассмотрим каждый из секторов Sj (секторы Sj рассматриваются аналогично).
Лемма 6. В секторе S1 для матрицы Д(Л) при больших |Л| имеет место представление
Д(Л) =
i [ац] [«12 ] o(1)
[«21] [«22 ] 0(1)
[63^^ ] o(1) [Ьзз]
V^e^1 ] o(1) [643]
[«14 e^1 ]\ [«24 e^1 ]
[b34 ]
[644 ]
где ß = Л/2, «j (6j) — компоненты матрицы K0 (L0),
Ko = РГ11 + ТГ21 Sr12 + ^ Ho(0),
Lo =
0
0
ТГ11 + S Г21 ТГ21 + S Г22
Ho (1/2),
Г^- — блоки матрицы Г, [«] = « + o(1). Доказательство. Имеем
Д(Л) = До (Л) + Д1 (Л), 1/2
(14)
где До (Л) = Мо (Л)У (0, Л) + М1 (Л)У (1/2,Л), Д1 (Л) = / (Ь,Л)йЬ. Для До (Л) имеет место
о
формула
До (Л) = Ко V (0, Л) + £о V (1/2, Л) + Л-1 (К V (0, Л) + ¿1V (1/2, Л)),
где К1 и ¿1 — постоянные матрицы. Так как при Л £ 5: Re Л^2 < ReЛы1 < 0 < Re Л^4 < ReЛ^3, то V(х, Л) = diag (еЛш1 ж,еЛш2Ж, еЛшз(ж-1/2), ел^4(ж-1/2)) = diag (еЛш1 ж, ел^2ж, е~Лш2(ж-1/2), е-Лш1 (ж-1/2))
Далее, по лемме 4 из работы [5] все элементы Д1 (Л) есть о(1). Поэтому утверждение леммы следует из (14).
Следствие. Для det Д(Л) при Л £ 51 имеет место асимптотическая формула
где
00 =
«11 «12 «21 «22
Ьзз 634
643 644
det^) = [01 ] + [01 ]e2^, 01 = —
«12 «14 «22 «24
631 633 641 643
Аналогично получаются следующие утверждения.
Лемма 7. Имеют место асимптотические формулы:
detA(A) = [60] + [©1]e2^2, А £ S2,
где ©О = -
«12 «14 «22 «24
bsi
&41
bss
b43
61 =
'О
«13 «23
s
«14 «24
bs1
b41
bs2
b42
det А(А) = [©О] + [©1]e2^4, А £ Ss,
где 60 =
«13 «14 «23 «24
bs1 b41
Ь32 b42
«11 «21
«13 «23
©1 = -
det А(А) = [©4] + [©4]e2^3, А £ S4
b32 b34 b42 b44
где ©О = -
«11 «13 «21 «23
b32 b34 b42 b44
, ©1 =
Лемма 8. Пусть выполнено условие (12
«11 «12 «21 «22 и
b33 b34 b43 b44.
4
П©0 ©1 = °
(15)
j=1
Тогда все собственные значения краевой задачи (10)—(11) расположены в двух полосах, границы которых параллельны лучам ^ (7 = 1, 2) и вне 5-окрестностей собственных значений (5 > 0 и достаточно мало) справедлива оценка
| det А(А)| > с,
(16)
где с > 0 и не зависит от 5.
Доказательство. Так как собственные значения задачи (10)-(11) являются нулями detA^), то утверждение леммы следует из следствия к лемме 6 и леммы 7.
Пусть теперь имеет место (13), тогда числа oj (j = 1,...,4) расположены на одной прямой, проходящей через начало координат. Считаем, что o1 = —o4, o2 = —и пусть arg o1 = arg o2 = a, 0 < a < n, |o11 > |o21. Обозначим через d1 луч с центром в начале координат, arg d1 = 2 — a, d2 — продолжение этого луча. Лучи d1 и d2 разбивают А-плоскость на два сектора. Обозначим через S0 тот из секторов, который расположен от луча d1 в направление против часовой стрелки.
Лемма 9. Для det А(А) при А £ S0 имеет место асимптотическая формула:
det А(А) = [©о] + [©1 ]e2^ + [©2]e2^2 + [©э]е
+Ш2 )
+ [©4 ]e
где ©j — комплексные числа, причем ©0 =
«11 «12 «21 «22
Доказательство аналогично доказательству леммы 6. Лемма 10. Пусть выполнено (13) и условие
©с ©4 = 0.
b33 b43
b34 b44
, ©4 =
«13 «14 «23 «24
b31 b32 b41 b42
(17)
Тогда все собственные значения краевой задачи (10)—(11) расположены в некоторой полосе, симметричной относительно начала координат, границы которой параллельны лучу причем в любом прямоугольнике единичной длины этой полосы (то есть две стороны являются границами полосы, а две другие стороны отстоят друг от друга на единицу) число собственных значений ограниченно числом, не зависящим от прямоугольника; и вне их 5-окрестностей справедлива оценка (16).
Доказательство следует из леммы 9 и [6, гл. 3, § 1, теорема 7].
В дальнейшем считаем, что А £ Бс (тогда И,е А^1 < И,е А^2 < 0 < И,е А^3 < И,е А^4), выполняются условия (13) и (17) (случай, когда А £ Б^ (7 = 1,...,4) и выполняются условия (12) и (15) рассматривается аналогично, с естественными изменениями и использованием рассуждений из работы [3]).
Тогда в лемме 5 = ^ (еЛш1 (х-4), ел^2(х-4), 0,0) при х > Ь; 0(х,Ь,А) = diag (0,0, -е-Л^2(х-4),
-е-ЛШ1 (х-0) при х < Ь; V(х, А) = ^(ст (х, А), ^(х, А), Ст2(1/2 - х,А),СТ1 (1/2 - х,л)).
Лемма 11. Для Ф(т, А) из леммы 5 имеет место представление: Ф(т, А) = (Ф1 (т, А),..., Ф4(т, А))Т, где Ф,(т, А) являются линейными комбинациями с ограниченными по А при |А| до-
1/2
статочно больших коэффициентами интегралов / ст(Ь, А)т, (^ = 1,..., 4), где ст(Ь, А) —
о
1/2
любая из функций ст, (Ь, А), ст, (1/2 - Ь, А) Ц = 1, 2); и интегралов $ ст(Ь, А)^)^, где <р(Ь) — любая
о
1/2— 1/2
из функций / а(Ь,т)т,(т)^т, / т)т,(т)^т; а(Ь,т) — любая из функций с(т + Ь), ^(т + Ь);
о г
Ь(Ь,т) — любая из функций с(т — Ь), ^(т — Ь); с(Ь)(^(Ь)) — компоненты матрицы По(¿)(П1 (Ь)); По (Ь) + А-1^1 (Ь) = П(Ь,А). Доказательство очевидно.
Введем следующие обозначения: {А : |Ие Аы1| < Д} — полоса из леммы 10; П = (А^1 : |Ие А^11 < Д, 1т А^1 > 0}; Ак — нули detД(А) из леммы 9. Удалим из П все точки Аквместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 5. Получившуюся область обозначим П(5) и через П1 (5) обозначим часть П(5), когда И,е Аы1 < 0.
Лемма 12. Если Аы1 е П1 (5) и |А| достаточно велико, то существует единственное решение ы(х, А) = Я1Лт задачи (10)—(11), для компонент которого имеют место представления:
(#1Л т)1 = I еЛш1(х-^ т^Ь + Ж (т,А)еЛш1 х, (Я1Л т)2 = ^ ел"2 (х-^ т2 + ^(т^е^2 х, оо 1/2
(^1Лт)з = - У е-Лш2(х-^тз+ Жз(т, А)е-Л"2(х-1/2),
X 1/2
(#1Лт)4 = - У е-Лш1(х-^т4+ Ж4(т, А)е-Лш1 (х-1/2),
X
где Ж,- (т, А)(? = 1,..., 4) — линейные комбинации тех же интегралов, что и в лемме 11 с ограниченными по А коэффициентами.
Утверждение леммы следует из лемм 5 и 11, если учесть, что в силу леммы 10 элементы матрицы Д(А) ограничены по А.
Лемма 13. Если А — то же, что и в лемме 12, то существует единственное решение г>(х, А) задачи (8)—(9), которое представимо в виде конечной линейной комбинации с постоянными коэффициентами следующих векторов:
Д1Л д(х), Я1ЛМЛ Я1Л д(х), А Я1Л ?(х), А ^1лМлд(х), Я1Л Р (х)^(хо,А), Я1Л Р (х)р(хо ,А),
Й1ЛМлЙ1ЛР(х)^(хо, А), Я^Мл^лР(х)р(хо, А), АР(х)^(хо, А), АР(х)1(хо, А),
АЯ1ЛР(х)Мл^(хо, А), АЯ1лР(х)Млр(хо, А), АМлР(х)^(хо, А), АМлР(х)р(хо, А),
АЯ1лМлЯ1лР(х)^(хо, А), АЯ1лМлЯ1лР(х)1(хо, А), Ад^МлЯ1ЛР(х)р(хо, А), О (М) ,
где #(х) — любой из векторов ^ (х) (г = 1, 2), д1 (х) = Я-1 (х)т(х), д2(х) = -Я-1(х)Я1 (х)Я-1 (х) х х т(х); Мл — любой из операторов М^л (г = 0,1,2,3), Мол = N ¿л, М1Л = (Я2(х) + ^2)ЬЛЯ1Л, М2л = N1 ¿лЯ1Л, Мзл = N2¿лЯ1л; N1 = Но-1 (х)^Но(х), ¿л = (Е + Я1ЛРз(х,А)+ ^)-1, N2 = Но-1 (х)^Н(х) - Н1(х)Но-1 (х^Яо(х)), Я2(х) = Но-1 (х)[Я1 (х) + Рз(х)Я1 (х)], Р(х) — любая из матриц Я2 (х), Р, (х) (г,^ = 1, 2); Рг1 (х) = Яо-1(х)Рг (х)Яог, Рг2(х) = Яо-1 (х)Рг (х)Ян -- Яо-1 (х)Я1 (х)Я-1 (х)Рг (х)Яог, Яо1 = Яо(0), Я11 = Я1 (0), Яо2 = Яо (1/2), Я12 = Я1 (1/2); ^(хо,А) = а(А)Я1л^(х)|х=хс, Р(хо, А) = а(А)Я1лМлЯ1Л^(х)|х=хс, 1(хо, А) = а(А)Я1лМлд(х)|х=хс,
а(А) — некоторые, возможно, различные квадратные матрицы с ограниченными по А коэффициентами, ж0 — любое из чисел 0, 1/2, || • || — норма в £2[0,1].
Доказательство осуществляется использованием рассуждений из работы [4, с. 138-139]. Лемма 14. Пусть а(ж, А), а(£,т), 6(£,т) — функции из леммы 11, 0(ж) — одна из некоторого конечного набора функций из С[0,1]. Тогда каждая компонента вектор-функции
Я1Ад(ж) представима в виде линейной комбинации с постоянными коэффициентами операх 1/2
торов / еА^'(х_^Т1 // е_А^'О^Т/= 1, 2) и с ограниченными по А коэффи-
0 х
1/2
циентами операторов а (ж, А)/ а(^,А)Т2 / где Т1 / (ж) — один из операторов 0(ж)/(ж),
0
0(ж + 1/2)/(ж + 1/2), 0(1/2 - ж)/(1/2 - ж), 0(1 - ж)/(1 - ж), Т2/(ж) — один из операторов
1/2-х 1/2
/ а(ж, £)Т1 // 6(ж,^)Т1 /при всевозможных 0(ж), а(ж, А), а(£, А) и операторах Т1 и Т2.
0х
Доказательство. По определению компоненты вектор-функции (ж) (^ = 1, 2) можно представить в виде (д*(ж))* = а**(ж)/(ж) + в**(ж + 1/2)/(ж + 1/2) + ^(1/2 - ж)/(1/2 - ж) + (1 - ж)/(1 - ж), где а**(ж), в**(ж), (ж), 7**(ж) — непрерывные функции. Взяв в лемме 12 в качестве т*(ж) = а**(ж)/(ж) + в**(ж + 1/2)/(ж + 1/2) + (1/2 - ж)/(1/2 - ж) + 7^(1 - ж)/(1 - ж) и обозначив через 0(ж) любую из этих непрерывных функций, получим утверждение леммы.
Пусть ^ = в, в > 0 и ы1 = й, тогда а(ж, А) из леммы 11 есть одна из функций вА^х, евА^х, е_вА^(х_1/2), е-А^(х-1/2). Обозначим а"(ж, А1, к) = а(ж, А)|^=А1 ; ы(ж,^,А1, к) — одну из функций: е(ж^)еА^х_4), е(ж, ¿)евА^(х_^), е(;£,ж)е_А^х_*), при Ай = А1 + гк. Пусть А*д = /01/2 А(ж,*,А1 ,к)д(^, где А(ж,£, А1;к) = ^(ж)а(ж, А1, к)а(¿,А1, к) или А(ж,^, А1, к) = ^(ж)ы(ж,^,А1, к), а ^(ж) совпадает либо с 1, либо с одной из функций Д*(ж), г*(ж), г*(ж) (^ = 1,...,4) (г*(ж) и г*(ж) (^ = 1,...,4) — определены в лемме 3); М*д = /01/2 М(ж, А1, к)д(^)^, где М(ж, А1, к) = М(ж, А)|А^=А1 , М (ж,£, А) есть Мк* (ж,£, А) при некоторых к,^; М** (ж,£, А) (к,^ = (1,..., 4) являются компонентами интегрального оператора МА; Т — любой из операторов Т (г = 1, 2) из леммы 14, р(ж) — любой элемент матрицы Р(ж) из леммы 13.
Пусть Ай £ П1 (5), Ай = А1 + гк и А1 принадлежит ограниченной области. Лемма 15. Если /(ж) £ £2[0,1], то при больших |А| и ж £ [0,1/2]
яа(а)/|а^=А1 = ^(ж, А1, к; /) + О (М) ,
где П(ж,А1, к; /) — есть конечная сумма с ограниченными по А1 и к коэффициентами всевозможных операторов: А* ТР, А* М* А* ТР, * А* Т/, * А* М* Т/, А* р(ж)(А* Т/)|х=хо, А* М* А* р(ж)(А* Т/)|х=хо, А* р(ж)(А* М* А* Т/)к=хо, А* М* А* р(ж)(А* М* А* Т/)к=хо, * А* р(ж) х х (А* Т/) |х=хо, 1 А* р(ж)М* (А* Т/) |х=хо, * А* М* р(ж) (А* Т/) ^, 1 А* М* А* р(ж) (А* Т/) ^,
* А* р(ж)М* (А* М* А* Т/) |х=хо, 1 А* М* р(ж) (А* М* А* Т/) к=хо, * А* М* А* р(ж) (А* М* А* Т/) |х=хо,
* А* р(ж)(А* М* Т/)|х=хо, 1 А* М* А* р(ж)(А* М* Т/)|х=хо • Причем, если ядро оператора А* совпадает с ^(ж)ы(ж,£, А1, к), то коэффициенты при А*Т/ не зависят от А1 и к.
Здесь, если в любом из перечисленных операторов операторы А* повторяются, то они могут иметь разные значения. Например, для оператора А*М*А*Т/: оператор А*, стоящий до М*, может иметь ядро ^(ж)ы(ж,£, А1, к), а оператор А*, стоящий после М*, — ядро ^(ж)а(ж, А1, к)а(£, А1, к), где а (ж, А1, к) = е(А1 +^)х, а(£, А1, к) = e_в(Аl+ifc)(í_1/2), функции ^(ж) для операторов А*;, стоящих до и после М*, могут не совпадать. То же самое касается и операторов М*, если они повторяются. Доказательство следует из лемм 3, 12-14. Нетрудно получается следующий результат. Лемма 16. Справедливы следующие оценки:
ж
Е|А*Т/|х=хо|2 < С||/1|2, (18)
*=1
ж
]Г|А*М*А*Т/|х=хо|2 < С||/1|2. (19)
*=1
Здесь в (18) ядра операторов Лк отличаются только параметром к, в (19) ядра операторов, стоящих перед Мк, отличаются лишь параметром к и таким же свойством обладают ядра операторов после Мк; и те и другие при данном к могут различаться; ядра операторов Мк отличаются только параметром к; Т/ — один и тот же оператор; постоянная С не зависит от Х1.
Так же, как и в работе [7, с. 81] представим полуполосу П в виде объединения конечного числа различных групп равных между собой прямоугольников, границы которых Гк (к = 1,2,...) (при возрастании к контуры удаляются от начала координат) состоят из отрезков, лежащих на прямых И,е Ad = ±к, и из отрезков, параллельных вещественной оси длины 2к. Контуры Гк принадлежат П(5) и для каждого Гк одной конкретной группы существует натуральное Ьк, что Гк = Г + Ик, где Г — некоторый фиксированный прямоугольный контур из этой группы. Аналогично построение проводится и для полуполосы {Xd : |И,е Ad| < к, 1т Ad < 0}. Построенные в ней контуры обозначим Гк (к = -1, -2,...).
Лемма 17. Пусть 7 — любой конечный набор достаточно больших по модулю целых чисел. Тогда имеет место оценка
[ К$ (Л^А < С, кег*Гк *
равномерная по 7.
Доказательство следует из рассуждений в леммах 8 и 9 из работы [3] и из лемм 15, 16.
Лемма 18. Система с.п.ф. оператора Л полна в Ь2[0,1].
Доказательство. Пусть / е Ь2[0,1] ортогональна всем с.п.ф. оператора А, Л* — оператор, сопряженный к А. Тогда Я\(Л*)/ — целая функция по А. Из ограниченности при Аи1 е П(5) операторов М\ и из лемм 3, 12, 13 следует оценка Я\(Л)/ = 0(1) и, следовательно, Я\(Л*)/ = 0(1). Отсюда следует, что Ях(Л*)/ не зависит от А, поэтому / = 0 почти всюду.
Используя леммы 17 и 18 так же как в работе [8, с. 62-63] получаем основной результат.
Теорема 1. Если выполнены условия (13) и (17), то система с.п.ф. оператора Л образует базис Рисса со скобками в Ь2[0,1]. При этом в скобки нужно объединять те с.п.ф., которые отвечают Ак, когда Акd попадает в Г8 при каждом в.
Аналогично и с использованием рассуждений из работы [3] получается
Теорема 2. Если выполнены условия (12) и (15), то система с.п.ф. оператора Л образует базис Рисса в Ь2 [0,1].
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-2970.2008.1).
Библиографический список
1. Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Мат. заметки. 1998. Т. 64, № 6. С. 932-942.
2. Корнев В.В., Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Мат. сборник. 2001. Т. 192, № 10. С. 33-50.
3. Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования // Мат. заметки. 2004. Т. 76, № 1. С. 97-110.
4. Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на диагоналях // Мат. сборник. 2006. Т. 197, № 11 . С. 115-142.
5. Хромов А.П. Теорема равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов //
Мат. сборник. 1981. Т. 114(156), № 3. С. 378-405.
6. Расулов М.Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964.
7. Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора с многоточечным краевым условием // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 80-82.
8. Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций дифференциально-разностного оператора с интегральными краевыми условиями // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 61-63.
