CC BY
34
which are close to identity // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI Math. 1968. Vol. 435. P. 3-26.
9. Прохоров Д. В., Гордиенко В. Г. Определение границы в локальной гипотезе Хажинского-Тамми // Изв. вузов. Математика. 2008. № 9. С. 59-68.
10. Прохоров Д. В. Множества значений систем функ-
ционалов в классах однолистных функций // Мат. сб. 1990. Т. 181, № 12. С. 1659-1677.
11. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелид-зе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. : Наука, 1969. 384 с.
Determination of the Boundary in the Local Charzynski-Tammi Conjecture
for the Fifth Coefficient
V. G. Gordienko, K. A. Samsonova
Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, [email protected], [email protected]
In this article we find the exact value of M5 such that the symmetrized Pick function PM4(z) is an extreme in the local Charzynski-Tammi conjecture for the fifth Taylor coefficient of the normalized holomorphic bounded univalent functions
Keywords: Lowner equation, optimum control, Pontryagin maxsimum principle.
References
1. Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture. LOMI Preprints E-5-84, 1984, pp. 1-21.
2. Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture. Acta Math., 1985, vol. 154, no 1-2, pp. 137-152.
3. Pick G. Über die konforme Abbildung eines Kreises auf ein schlichtes und zugleich beschranktes Gebiet. S.-B. Kaiserl. Akad. Wiss. Wien. Math., Naturwiss. Kl. Abt. II a, 1917, B. 126, pp. 247-263.
4. Schaeffer A. C., Spencer D. C. The coefficients of schlicht functions. Duke Math. J., 1945, vol. 12, pp. 107125.
5. Schiffer M., Tammi O. On the fourth coefficient of bounded univalent functions. Trans. Amer. Math. Soc., 1965, vol. 119, pp. 67-78.
6. Siewierski L. Sharp estimation of the coefficients of bounded univalent functions near the identity. Bull. Acad. Polon. Sci., 1968, vol. 16, pp. 575-576.
7. Siewierski L. Sharp estimation of the coefficients
Y^K 517.984
of bounded univalent functions close to identity. Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.), 1971, vol. 86, pp. 1-153.
8. Schiffer M., Tammi O. On bounded univalent functions which are close to identity. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI Math., 1968, vol. 435, pp. 3-26.
9. Prokhorov D. V., Gordienko V. G. Definition of the boundary in the local Charzynski-Tammi conjecture. Russ. Math. (Izvestiya VUZ. Matematika), 2008, vol. 52, no. 9, pp. 51-59.
10. Prokhorov D. V. Sets of values of systems of functionals in classes of univalent functions. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1992, vol. 71, no. 2, pp. 499-516.
11. Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkre-lidze R. V., Mischenko E. F. Matematicheskaya teoriya optimal'nykh protsessov [The Mathematical Theory of Optimal Processes], Moscow, Nauka, 1969, 384 p. (in Russian).
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ЖОРДАНА-ДИРИХЛЕ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ЯДРОМ, ИМЕЮЩИМ СКАЧКИ НА ЛОМАНЫХ ЛИНИЯХ
О. А. Королева
Старший преподаватель кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
Найдены достаточные условия (условия типа Жордана-Дирихле) разложения функции /(ж) в равномерно сходящийся ряд по собственным и присоединенным функциям интегрального оператора, ядро которого терпит скачки на сторонах квадрата, вписанного в единичный квадрат. Как известно, для такого разложения необходимо, чтобы /(ж) была непрерывна и принадлежала замыканию области значений интегрального оператора. Оказывается, если /(ж) ктому же функция ограниченной вариации, эти условия являются и достаточными.
Ключевые слова: теорема Жордана-Дирихле, резольвента, характеристические числа, собственные и присоединенные функции.
Рассмотрим интегральный оператор:
1
у = А/ = / А(х,Ь) /(Ь) йЬ. (1)
о
Обозначим А1 (х,Ь) = А(х,Ь), если {0 < Ь < 1/2 - х, 0 < х < 1/2}, А2(х,Ь) = А(х,Ь), если {1/2 + х < < £ < 1,0 < х < 1/2}, А3(х,Ь) = А(х,Ь), если {0 < Ь < -1/2 + х, 1/2 < х < 1}, А4(х,Ь) = А(х,Ь), если {3/2 - х < Ь < 1, 1/2 < х < 1}, А5(х,Ь) = А(х,Ь), если {1/2 - х < Ь < 1/2 + х, 0 < х < 1/2} и {-1/2 + х < Ь < 3/2 - х, 1/2 < х < 1}.
Предположим, что А (х,Ь), г = 1,..., 5 непрерывно-дифференцируемые в своих областях, причем А5(х, 1/2-х + 0)- А1 (х, 1/2-х-0) = а, А5(х, 1/2+х-0)- А2(х, 1/2+х + 0) = Ь, А5(х, -1/2 + х + 0)-- А3(х, -1/2 + х - 0) = с, А5(х, 3/2 - х - 0) - А4(х, 3/2 - х + 0) = й, где а, Ь, с, й — постоянные. Частный случай оператора (1) впервые рассматривался в статье [1]. Рассмотрим следующий оператор:
Г1/2
г = Вд = В(х, Ь)д(Ь) йЬ, 0 < х < 1/2, (2)
о
где г(х) = (^1 (х),^2(х),^з(х),^4(х))т, д(х) = (д1 (х),д2(х),^з(х),^4(х))т, В(х,Ь) =
/ 0 А(х, 1/2 - Ь) А(х, 1/2 + Ь) 0 \
А(1/2 - х,Ь) 0 0 А(1/2 - х, 1 - Ь)
а(1/2 + х, ь) 0 0 а(1/2 + х, 1 - ь)
\ 0 А(1 - х, 1/2 - Ь) А(1 - х, 1/2 + Ь) 0 /
Теорема 1. Если у = А/, то г = Вд, где г1(х) = у(х), г2(х) = у(1/2 - х), г3 (х) = у(1/2 + х), ^4(х) = у(1 - х), д1(х) = /(х), д2(х) = /(1/2 - х), дз(х) = /(1/2 + х), д4(х) = /(1 - х). Обратно, если г = Вд и д1 (х) = д2 (1/2 - х), д3 (х) = д4(1/2 - х), то г1 (х) = г2(1/2 - х), г3 (х) = г4(1/2 - х) и у = А/, где /(х) = д1(х), при х е [0,1/2]; /(х) = д3(-1/2 + х), при х е [1/2,1] и у(х) = г1 (х), при х е [0,1/2]; у(х) = г3(-1/2 + х), при х е [1/2,1]. Доказательство представлено в [2].
Замечание. Представление типа (2) не единственно. Наше же представление хорошо тем, что компоненты матрицы В(х,Ь) терпят разрывы лишь на линии Ь = х.
В статье [2] также найдены необходимые и достаточные условия существования оператора В-1. В дальнейшем будем предполагать, что В-1 существует.
Теорема 2. Для оператора В-1 справедливо представление
1/2
В-1 г(х) = Рг'(х) + а1 (х)г(0) + а2(х)г(1/2) + а3(х)г(х) + J а(х,Ь)г(Ь) йЬ, (3)
о
1/2
5г(0) + Тг(1/2)+ ^ а(Ь)г(Ь) йЬ = 0. (4)
о
где аг(х), г = 1,3, а3(х), а(х) — непрерывные матрицы-функции, каждая компонента матрицы
1/2
а(х,1) имеет такой же характер гладкости, что и компоненты Вх(х, Ь), 5 = Е + / В(0, Ь)а1 (Ь) йЬ,
о
1/2
Т = / В(0, Ь)а2 (Ь) йЬ — постоянные матрицы 4 х 4.
о
Доказательство повторяет доказательство теоремы 10 в статье [1].
1. Получим интегродифференциальную систему для резольвенты Рд = (Е - ЛА)-1 А оператора А. Пусть г = (Е - ЛВ)-1 Вд. Тогда г - ЛВг = Вд. Отсюда по теореме 2 из (3), (4) получаем:
Рг'(х) + а1(х)г(0) + а2(х)г(1/2) + а3(х)г(х) + /У г - Лг(х) = д(х), (5)
1/2
5г(0) + Тг(1/2) + У а(Ь)г(Ь) йЬ = 0, (6)
о
1/2
где N г = / а(х,Ь)г(Ь) йЬ. о
Теорема 3. Если РЛ существует, то РЛ/ = ^(х), где
■и(х) = г1(х) при х е [0,1/2] и -и(х) = г3(х - 1/2) при х е [1/2,1], (7)
г1, г3 — первая и третья компоненты вектора г(х), удовлетворяющего системе (5), (6). Обратно, если Л таково, что однородная краевая задача для (5), (6) имеет только нулевое решение, то РЛ существует и определяется по формуле (7). Доказательство повторяет лемму 1 из статьи [3].
Рассмотрим систему (5), (6). Минимальный многочлен матрицы Q = Р-1 совпадает с характеристическим многочленом и равен Л4 - Л2(й2 - 2Ьс + а2) + (Ьс - ай)2. Значит, выполняется:
Лемма 1. При условии ё = а, (й + а)2 -4Ьс = 0 матрица Р-1 подобна диагональной Б = diag(w1, ,^4), причём = -, = -ш1, = <^2. Пусть матрица Г такая, что Г-1 Р-1Г = Б. Выполним в (5), (6) замену г = Гг. Получим:
г'(х) + Р1 (х)г(0) + Р2(х)г(1/2) + Р3(х)г(х) + /г(х) - ЛБг(х) = т(х), (8)
С1/2
МоГг(0) + М1 Гг(1/2) + Г / о(ь)г(ь) йь = 0, (9)
о
где Рг(х) = БГ-1аг(х)Г, N = БГ-1ЖГ, т(х) = БГ-1 д(х), О(Ь) = а(Ь)Г, Мо = 5Г, М1 = ТГ.
В дальнейшем при изучении системы (8), (9) затруднение вызывает матрица Р3 (х). Поэтому дадим её дальнейшее преобразование.
Лемма 2. Существует матрица-функция Н(х, Л) = Но(х) + Л-1 Н1 (х) с непрерывно-дифференцируемыми компонентами матриц Н0(х), Н1 (х), причем Н0(х) невырождена при всех х и диагональная, такая, что преобразование г = Н(х, Л)и приводит систему (8), (9) к виду
V'(х) + Р1 (х, Л)г>(0) + Р2(х, Л)-и(1/2) + Р3(х,Л)-и(х) + ^-и(х) - ЛБ-и(х) = т(х,Л), (10)
р 1/2
и (V) = Mолv(0)+ М^(1/2)+ / 0(Ь,ЛМЬ)^Ь, (11)
ио
где Р1 (х, Л) = Н-1 (х, Л)Р1 (х)Н(0, Л), Р2(х, Л) = Н-1 (х, Л)Р2(х)Н(1/2, Л), Р3(х, Л) = Л-1 Н-1(х, Л) х х [Н2(х) + Р3(х)Н2(х)], Nл = Н-1 (х,Л^Н(х, Л), Мол = МоН(0, Л), М1Л = М1Н(1/2, Л), 0(Ь,Л) = = 0(Ь)Н(Ь, Л), т(х, Ь) = Н-1 (х, Л)т(х).
Доказательство такое же, как и леммы 16 в статье [1]. Рассмотрим систему
и' (х) = ЛБи(х) + т(х), (12)
, 1/2
ио(и) = МоНо(0)и(0) + М1Но(1/2)и(1/2) + 0(Ь)Но(Ь)и(Ь) йЬ = 0, (13)
о
Будем считать, что Яе Л^1 > Яе Л^2 > 0.
Так же, как в статье [1], получаем, что для решения и(х) системы (12), (13) имеет место представление
, 1/2
и(х) = и(х, Л) = -У(х, Л) Д-1 (ЛИ иох(д(х, Ь, Л))т(Ь)йЬ + длт(х), (14)
о
где У (х, Л) = diag(eЛшlX,..., вЛш4Х), Д(Л) = и (У (х, Л)), иох означает, что и применяется по х, д(х,Ь, Л) = diag(дl(х,Ь, Л),... ,д4(х,Ь,Л)),
Г-е(Ь,х)еЛ^(х-^, при Яе^ 0, л(х, Ь, Л) = < . , ^
[г(х,Ь)еЛ^(х-^, при Яе ^ 0,
. . |1, при г ^ х, . . [1/2 . л. .. ,
£(х,г) = < дЛт(х) = д(х,г,А)т(г) т.
I 0, при г > х, 70
Лемма 3. В Б$0 [2] при больших |А| компоненты матрицы У(х, А) Д-1 (А) имеют оценку 0(1) равномерно по х е [0,1/2].
Доказательство. Доказательство следует из оценок (27), (28) из статьи [2] для решения и(х,А) = Яохт системы (12),(13). Лемма 4. Имеет место
Нш
т^ж
/ [Н(х, А)у(х, А) - Но(х)Яох(Н-1 т(х))] ¿А
\Л\=г
= 0,
где у(х,А) — решение задачи (10), (11), У ■ ||ж — норма в Сж.
Доказательство аналогично доказательству леммы 11 в статье [2]. Лемма 5. При х е [0,1/2]
2- [ Ях/ёА =( - ГНо(х)Яох(Н-1 БГд) ¿Л + о(1),
\Л\=г 4 \Х\=г
1
где (■)1 — первая компонента вектора, о(1) ^ 0 при г ^ ж равномерно по х е [0,1/2]. При х е [1/2,1]
- 2П / Ял/¿А =( - 2^1 ГНо(х)Яох(Но-1 БГд) ¿Л + о(1), \Л\=г ^ \Л\=г ' 3
где (-)3 — третья компонента вектора, о(1) ^ 0 при г ^ ж равномерно по х е [1/2,1]. Доказательство. По теореме 3 и лемме 4 аналогично теореме 4 из статьи [2].
2. Будем считать, что компоненты т(х) принадлежат С[0,1/2] П V[0,1/2]. Рассмотрим подробно ЯоЛт при этом условии.
Лемма 6. Имеет место формула
1/2
11
иох(д(х, г, А))т(г) ¿г = - ^МоНо(0)^-1 д(0,1/2, А)т(1/2) + -^ИоНо(0)£-1 х
о
1/2
11
хд(0, 0+, А)т(0) + ^ИоНо(0)^-М д(0, г, А) ёт(г) - Но(1/2)Б-1 д(1/2,1/2 - 0, А)т(1/2)+
о
1/2
11
+ -И1Но (1/2)Б-1 д(1/2, 0, А)т(0) + — И1 Но (1/2)Б-1 д(1/2,г,А) ¿т(г)-АА
о
1/2 1/2 1/2 - А У П(г)Но(г)Б-1 т(г) ¿г + ^ П(т)Но(т)Б-1 ¿т ^ д(т,г,А) ¿т(г)+
о о о
1/2 1/2
+А У п(т)Но(т)Б-1 д(т, 0, А)т(0) ¿т - А J П(т)Но(т)Б-1д(т, 1/2,А)т(1/2)6т. оо Доказательство. В самом деле, имеем:
1/2 1/2 J иох(д(х, г, А))т(г) ¿г = ИоНо(0) J д(0, г, А)т(г) ¿г+
оо
1/2 1/2 1/2
+И1 Но (1/2) J д(1/2, г, А)т(г) ¿г + J 0(т )Но (т )dт J д(т,г,А)т(г) ¿г =
о о о
ж
1/2 1/2 = - -МоНо(0)Б-1 У д^ (0, Ь, Л)т(Ь) йЬ - ЛМ1 Но (1/2)Б-1 У д^ (1/2, Ь, Л)т(Ь) йЬ-
оо
1/2 т 1/2 1/2
Л У ВДНо (т)йгБ-^ д^ (т, Ь, Л)т(Ь) йЬ - ^ 0(г)Но (т) йтБ-1 У д^ (т,Ь,Л)т(Ь) йЬ. о о о т
Применив формулу интегрирования по частям, получим требуемое. Лемма доказана. Рассмотрим теперь дЛт(х) из равенства (14). Лемма 7. Справедлива формула
1/2
дЛ т(х) = - Л Б-1т(х) + Л Б-1 д(х, 0, Л)т(0) - Л Б-1 д(х, 1/2,Л)т(1/2) + Л Б-1 У д(х,Ь,Л) йт(Ь).
о
Доказательство. Имеем:
1/2 х 1/2
дЛт(х) = У д(х,Ь,Л)т(Ь) йЬ = J д(х, Ь, Л)т(Ь)йЬ + J д(х,Ь,Л)т(Ь) йЬ.
о о х
К каждому интегралу применим формулу интегрирования по частям и получим требуемое. Лемма доказана.
Значит, решение системы (12), (13) принимает вид
1/2
11
Ролт = /1 + /2 - -У(х, Л)Д-1 (Л)МоНо(0)Б-1 д(0,Ь,Л) йт(Ь) - -У(х, Л)Д-1 (Л)х
о
1/2 1/2 хМ1 Но (1/2)Б-1 У д(1/2, Ь, Л) йт(Ь) - Л У (х,Л)Д-1 (Л) У 0(Ь)Но(Ь)Б-1 т(Ь) йЬ-оо 1/2 1/2 1/2
- Л У(х,Л)Д-1 (Л) У 0(т)Но (т)Б-1 йт У д(т, Ь, Л) йт(Ь) - -У (х,Л)Д-^ 0(т)х
о о о
1/2
хНо(т)Б-1 д(т, 0, Л)т(0)йт + 1У(х, Л)Д-1 / 0(т)Но(т)Б-1 д(т, 1/2, Л)т(1/2) йт-
где
1/2
-1 Б-1т(х) + 1 Б-1д(х, 0, Л)т(0) - 1 Б-1 д(х, 1/2, Л)т(1/2) + 1Б-1 / д(х,Ь,Л) йт(Ь), (15) Л Л Л Л
1
/1 = -У(х, Л)Д-1 МоНо(0)Б-1 д(0,1/2, Л)т(1/2)+
+ 1 У(х, Л)Д-1 М1 Но(1/2)Б-1 д(1/2,1/2 - 0, Л)т(1/2) - 1 Б-1д(х, 1/2, Л)т(1/2), Л о Л
1
/2 = -ТУ(х,Л)Д-1МоНо(0)Б-1 д(0, 0+,Л)т(0)-Л
-1У(х, Л)Д-1М1Но(1/2)Б-1 д(1/2, 0, Л)т(0) + 1 Б-1 д(х, 0, Л)т(0). Л о Л
Рассмотрим в (15) некоторые слагаемые. Лемма 8. Имеет место формула
1/2
11
/1 = -У (х, Л)Д-1 М1 Но (1/2)Б-1 т(1/2) - -У (х,Л)Д-1 / 0(Ь)Но (Ь)х
хУ(г, А)У-1 (х, А)П-1 д(х, 1/2, А) ¿гт(1/2). Доказательство. В самом деле, за счет перестановочности диагональных матриц
11 = 1 у(х, А)Д-1 Ю-1 т(1/2), А0
где I = Ио Но (0)д(0,1/2, А) + И1 Но (1/2)д(1/2,1/2 - 0, А) - До У-1 (х,А)д(х, 1/2, А). Рассмотрим подробно I:
I = ИоНо(0)^(-е-Лш11/2, -в-Лша 1/2, 0, 0) + И1 Но(1/2)^(0, 0,1,1)--ИоНо(0)У(0, А)^(е-Лш1х, в-Лш2х, в-Лшзх, в-Лш4х)^(-еЛш1 (х-1/2), -вЛш2(х-1/2), 0, 0)--И1 Но(1/2)У(1/2, А)^(в-Лш1 х, в-Лш2х, в-Лшзх, в-Лш4х)^(-вЛш1 (х-1/2), -еЛш2(х-1/2), 0, 0)-1/2
- У 0(г)Но (г)У (г, А)У-1 (х, А)д(х, 1/2, А) dг = Ио Но (0)[^(-в-Лш11/2, -в-Лш21/2, 0, 0)+ о
+^(1,1,1,1)^(в-Лш1х, в-Лш2х, в-Лшзх, в-Лш4х)^(вЛш1(х-1/2), еЛш2(х-1/2), 0, 0)] +
+И1 Но(1/2)[diag(0, 0,1,1) + ^(вЛш11/2, вЛш21/2, вЛшз1/2, вЛш41/2) х х^(е-Лш1х, в-Лш2х, е-Лшзх, в-Лш4х)^(вЛш1(х-1/2), еЛш2(х-1/2), 0, 0)]-
1/2
- У 0(г)Но(г)У(г, А)У-1 (х, А)д(х, 1/2, А) ¿г = ИоНо(0)[^(-е-Лш1 /2, -в-Лш2/2, 0, 0)+ о
+diag (в-Лш1 /2, в-Лш2/2, 0, 0)] + MlHо(1/2)[diag(0, 0,1,1) + diag(1,1,0, 0)]-1/2
- У 0(г)Но(г)У (г, А)У-1 (х, А)д(х, 1/2, А) ¿г.
о
Первое слагаемое обращается в ноль, и мы получили требуемое. Лемма доказана. Лемма 9. Имеет место формула
1/2
11
12 = ^У(х, А)Д-1 ИоНо(0)£-1 т(0) + ^У(х, А)Д-1 / 0(г)Но(г)х
о
хУ (г, А)У-1 (х, А)П-1 д(х, 0, А) ¿г т(0).
Доказательство аналогично доказательству леммы 8. Значит равенство (15) приобретает вид
Яох т = 1У (х, А)Д-1 Ио Но (0)П-1 т(0) + 1У (х, А)Д-1 И1Но(1/2)П-1т(1/2) + 1У (х, А)Д-1 х А о А о А о
1/2 1/2 х [ 0(г)Но(г)^-1 т(г) ¿г - 1У (х,А)Д-1 ИоНо(0)П-1 / 0(г)Но(г)д(0,г, А) ¿т(г)-
А
оо
1/2 1/2
- А У (х, А)Д-1 И1Но(1/2)£-1 у 0(г)Но(г)д(1/2,г, А^т(г) - А У (х, А)Д-^ 0(т )х
оо 1/2 1/2
хНо (т ^тП-1 / д(т,г,А) ¿т(г) + А П-1 / д(х,г,А) ¿т(г) - А У (х, А)Д-1 [/1 + /2 ], (16)
где
1/2 1/2 11 = [ 0(г)Но(г)У(г,А)У-1(х,А)д(х, 1/2, А) ¿гП-1 т(1/2) - [ 0(г)Но(г)д(г, 1/2, А) ¿гП-1 т(1/2),
1/2 1/2 /2 = 0(Ь)Но(Ь)У(Ь,Л)У-1 (х, Л)д(х, 0,Л)йЬБ-1 т(0) + У 0(Ь)Но(Ь)д(Ь, 0,Л)йЬБ-1 т(0).
оо
Лемма 10. В равенстве (16) Д = /2 = 0. Доказательство. Рассмотрим, например, Д:
1/2
/1 = J 0(Ь)Но(Ь)/йЬБ-1 т(1/2), о
где / = У(Ь, Л)У-1 (х, Л)д(х, 1/2, Л) - д(Ь, 1/2, Л). В свою очередь,
/ = *, вЛша*, еЛшз*, ел^4*) ■ ^(е-^, е-Л^2х, е-Лшзх, в-Л^4х) х
х^(-вл^(х-1/2), -еЛшз(х-1/2), 0, 0) - ^(-еЛш1 (*-1/2), -вл^2(*-1/2), 0, 0) = = (*-1/2), -ел-2(*-1/2), 0, 0) + diag(eЛшl(t-1/2), еЛш2(*-1/2), 0, 0) = 0.
Аналогично равенство устанавливается и для /2. Лемма доказана. Равенство (16) теперь приобретает вид
11
Ролт = - У (х, Л)Д-17 - - Б-1т(х) + Ол т(х), (17)
Л Л
где
1/2
7 = МоНо(0)Б-1 т(0) + М1 Но(1/2)Б-1 т(1/2) + У 0(Ь)Но(Ь)Б-1 т(Ь) йЬ,
о
1/2
Олт(х) = --У(х,Л)Д-1МоНо(0)Б-1 / 0(Ь)Но(Ь)д(0,Ь,Л) йт(Ь)-
о
1/2
- - У (х, Л)Д-1 М1 Но (1/2)Б-^ У 0(Ь)Но (Ь)д(1/2, Ь, Л) йт(Ь)-
о
1/2 1/2 1/2
- - У (х, Л)Д-1 У 0(т )Но (т )йтБ-1 У д(т, Ь, Л) йт(Ь) + - Б-1 У д(х,Ь,Л) йт(Ь).
0 0 о
Вернемся к лемме (5). Рассмотрим РоЛт при т(х) = Н-1(х)БГд(х). Лемма 11. Если т(х) = Н-1 (х)БГд(х) и д(х) удовлетворяет условию (6), то
Ролт = -1 Б-1т(х)+Ол т(х). (18)
Л
Доказательство. Рассмотрим 7 в равенстве (17) при т(х) = Н-1 (х)БГд(х):
7 = Мо Но (0)Б-1 Н0-1 (0)БГд(0) + М1Но(1/2)Б-1Н0-1 (1/2)БГд(1/2)+ 1/2
^У 0(Ь)Но(Ь)Б-1 Н-1 (Ь)БГд(Ь) йЬ.
о
Подставим Мо = 5Г, М1 = ТГ, О(Ь) = а(Ь)Г из леммы (1) и воспользуемся перестановочностью диагональных матриц Б-1 и Но(х), получим:
1/2
7 = 5д(0)+ Тд(1/2)+У а(Ь)д(Ь) йЬ.
о
Так как д(х) удовлетворяет условию (6), то 7 = 0. Лемма доказана.
Лемма 12. В 5до при больших |А|
(Охт)(х) ¿А
\Л\=г
Доказательство. Имеем:
где теперь
Охт(х) = /1 + /2 + /з + /4,
1/2
/1 = - А У (х, А)Д-1Ио Но (0)п-1 у 0(г)Но (г)д(0,г, А) ¿т(г),
о 1/2
/2 = - дУ(х, А)Д-1 И1 Но(1/2)п-м 0(г)Но(г)д(1/2,г, А) ¿т(г),
1/2 1/2 1/2 /з = - А У (х,А)Д-1 /" 0(т )Но (т ^тП-1 / д(т,г,А) ¿т(г), /4 = А П-1 / д(х,г,А) ¿т(г).
Рассмотрим первое слагаемое:
-1
1/2
/1 = - А У (х, А)Д-1 ИоНо(0)П-^ diag(-e-w, -в-Лш2*, 0,0) ¿т(г) = - А У (х, А)Д
о
1/2
хИоНо(0)П-^ (-в-Лш1 * ¿ть -в-Лш2Мт2, 0, 0)Т. о
Так как (лемма 3) компоненты матрицы У(х, А)Д-1 имеют оценку 0(1), то после перемножения компоненты вектора /1 имеют вид
1/2
1/2
11 + 12 = А / 0(1)в-Лш1* ¿т1 + 0(1)в-Лш2Мт2,
где 0(1) — разные ограниченные функции. Тогда, для произвольного х е [0,1/2]
1/2
|Л|< |в-Лш1 *||dml
о
Зададим сколь угодно малое £. Тогда существует 6 = 6(£) такое, что У (т1) < £. Значит,
о
1/2
1/2
|111<1 I |е-Л-1* ||dml | + - I |в-Лш1 *||dml |<- / |dml | + С [ |е-Лш1<д1 |dml| <
о
1/2
<
СУ(т1) + Г 1е-ЛШ1'IV(т1) < ^ + С^*I,
где через с обозначены разные константы. Также оценивается 12:
С С
112 | < - £ +- |в-Л"251
0
г—>ж
ж
5
д
5
Значит,
\h < +c 1е-Лша * i-
Аналогично оцениваются I2, I3, • Тогда / (0Лш)(ж) dA
|Л|=г
< Се / |dA| + С |e-w||dA| = пе + С 0,
Т J Т J Т г^ж
ж |Л|=г |Л|=г
в силу произвольности £. Лемма доказана.
Теорема 4. Если /(х) е ДА, где ДА — замыкание по норме С[0,1] области значений оператора А и /(х) е V[0,1], то
(х) - 6у (/,х)||ж -► 0г — ж
Доказательство. Известно [4], что ДA состоит из непрерывных функций, удовлетворяющих условию (6). Рассмотрим Sr (f, x) По лемме (5) для x G [0,1/2]:
Sr(f,x) = -2Л1 J = ( - 2b J ГЯо(x)Roa(H0-1 Drg) + 0(1).
|Л|=г ^ | Л | =r ' 1
По (18) имеем:
Sr(f'X)^2niГНо(x) j ЛD-1 m(x)d^ - |гЯо(x)^- / ^лт(х^л) + o(1) =
^ | Л | =r ' 1 ^ | Л |=r ' 1
= (rHo(x)D-1 m(x))i - irHo(x)2- J Олш^Л j + o(1).
^ | л |=r ' 1
Так как m(x) = H—1 (x)Drg(x), то
Sr (f,x) = f(x) - irHo(x)2- J + o(1).
^ | Л |=r ' 1
Для x G [1/2,1] получаем аналогичное равенство с (-)3 вместо (■)1. В силу леммы 12 теорема доказана. Библиографический список
1. Хромов А. П. Интегральные операторы с ядрами, раз- торов с ядрами, допускающими разрывы производных рывными на ломаных линиях // Мат. сб. 2006. Т. 197, на диагоналях // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 10. C 33-50. № 11. C 115-142. DOI: 10.4213/sm1534. DOI: 10.4213/sm601.
2. Королева О.А., Хромов А.П. Интегральный оператор 4. Королева О.А. О сходимости средних Рисса разложе-с ядром, имеющим скачки на ломаных линиях // Изв. ний по собственным и присоединенным функциям ин-Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. тегрального оператора с ядром, имеющим скачки на ло-Информатика. 2012. Т. 12, № 2. C. 6-13. маных линиях // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Ма-
3. Корнев В.В., Хромов А. П. О равносходимости разло- тематика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, жений по собственным функциям интегральных опера- ч. 2. C. 63-67.
An Analogue of the Jordan-Dirichlet Theorem for the Integral Operator with Kernel Having Jumps on Broken Lines
O. A. Koroleva
Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, [email protected]
In this paper the sufficient conditions (conditions such as Jordan-Dirichlet) expansion function f (x) in a uniformly convergent series of eigenfunctions and associated functions of the integral operator whose kernel is suffering jumps on the sides of the square, inscribed in the unit square. As is known, this expansion requires to f (x) is continuous and belong to the closure of the integral values operator. It turns out that if f (x) also is a function of bounded variation, these conditions are also sufficient.
Keywords: Jordan-Dirichlet theorem, resolvent, eigenvalues, eigenfunctions and associated functions.
References
1. Khromov A. P. Integral operators with kernels that are discontinuous on broken lines. Sbornik: Mathematics, 2006, vol. 197, no. 11, pp. 1669-1696. DOI: 10.4213/sm1534.
2. Koroleva O A., Khromov A. P. Integral operator with a kernel that has jumps on broken lines. Izv. Sarat. Univ. N.S. Ser. Math. Mech. Inform., 2012, vol. 12, iss. 2, pp. 613 (in Russian).
3. Kornev V. V., Khromov A. P. Uniform convergence
of expansions in eigenfunctions of integral operators with kernels that can have discontinuities on the diagonals. Sbornik: Mathematics, 2001, vol. 192, no. 10, pp. 1451— 1469. DOI: 10.4213/sm601.
4. Koroleva O A. On Convergence of Riesz Means of the Expansions in Eigen and Associated Functions Integral Operator with Kernel Having Jumps on Broken Lines. Izv. Sarat. Univ. N.S. Ser. Math. Mech. Inform., 2013, vol. 1, iss. 2, pp. 63-67 (in Russian).
УДК УДК 501.1
К ЗАДАЧЕ О ЦЕЛОСТНОСТИ ¿-ФУНКЦИИ АРТИНА
В. Н. Кузнецов1, В. В. Кривобок2, Д. С. Степаненко3
1 Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
2Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
3Ассистент кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
В работе определяется класс Ь-функций Артина, которые являются мероморфными функциями, полюсы которых лежат на критической прямой Ие 5 = 1/2 и совпадают с нулями Z-функций Дедекинда некоторых числовых полей.
Ключевые слова: Ь-функция Артина, теорема Брауэра.
ВВЕДЕНИЕ
Пусть К — нормальное расширение числового поля к степени п и С — группа Галуа этого расширения. Пусть {М(д)}де^ — представление группы С в группу матриц размерности п х п и х — характер этого представления:
х(д) = ЯрМ(д), д е С,
где Яр М(д) означает след матрицы М(д).
Х-функция Артина определяется следующим образом:
L(s,x)= |k) = [
I - M
K |k
P
N (p-s )
-1
где p — неразветвленный простой идеал поля k,
K/k
P
— автоморфизм Фробениуса (т. е. образующий
" K/k "
I - M
P
N (p-s )
элемент, связанный с расширением классов вычетов по модулю р), а
характеристический многочлен матрицы M(g) при А = N(p)-s. Отметим некоторые свойства L-функции Артина [1,2].
1. L(s,x) регулярна при а > 1.
2. Если расширение K|к абелево, а х — простой характер, то определение функции L(s,x) за вычетом множителей, относящихся к разветвленным простым идеалам, совпадает с L-функцией Дирихле.
3. Пусть О — промежуточное поле между K и к, являющееся нормальным над к. Пусть H = Gal(K|О) так, что H — нормальный делитель в G и G|H = Gal(0|k).
Тогда каждый характер х группы G|H можно очевидным образом рассматривать как характер группы G, причем L(s,x, K|k) = L(s,x, О|к).
4. Предположим, что х — непростой характер в G, а именно х = Xi + Х2. Тогда
L(s,X) = £(з,х1 Жз,х2).
