Определение границы в локальной гипотезе Хажинского-Тамми для пятого коэффициента Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.54

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦЫ В ЛОКАЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЕ ХАЖИНСКОГО-ТАММИ ДЛЯ ПЯТОГО КОЭФФИЦИЕНТА

В. Г. Гордиенко1, К. А. Самсонова2

1 Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

2Аспирант кафедры математического анализа, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

В статье найдено точное значение М5 такое, что симметризованная функция Пика Рм4 (г) является экстремальной в локальной гипотезе Хажинского-Тамми для пятого коэффициента тейлоровского разложения голоморфной нормированной ограниченной однолистной функции.

Ключевые слова: уравнение Лёвнера, оптимальное управление, принцип максимума Понтрягина.

ВВЕДЕНИЕ

Обозначим через 5 класс всех голоморфных однолистных в единичном круге Е = {г : |г| < 1} функций /(г) = г + а2г2 + ..., а через Бм, М > 1, — подкласс, состоящий из всех ограниченных функций / е 5, удовлетворяющих ограничению \/(г)\ < М, г е Е.

Гипотеза Бибербаха о справедливости неравенства |ап \ < п, п > 2, для / е 5 со знаком равенства только для вращений функции Кёбе, имеющая вид

К (г) = —(1)

(1 - z)2

доказана де Бранжем (L. Branges) [1,2]. Функция Кёбе (1) отображает единичный круг E на комплексную плоскость с разрезом по лучу на отрицательном направлении вещественной оси с вершиной в точке w = -1/4.

Ещё до доказательства де Бранжа предпринимались удачные попытки оценки начальных коэффициентов в классе S. Что касается оценок в классах SM, то они были менее успешными. Так, Пик (G. Pick) [3] доказал, что

2

max | а,21 =2 — —, fesM 2 M'

M > 1.

(2)

Максимум в (2) достигается только для вращений функции Пика

Рм (г) = МК-1( КШ = £ Рп (М)гп. (3)

^ ' п= 1

Функция Пика (3) отображает Е на круг радиуса М с центром в начале координат и с разрезом вдоль отрезка на отрицательном направлении вещественной оси.

Точная оценка третьего коэффициента в классах 5м также известна для всех М > 1. В частности, [4]

тах |аз| = 1 — ——г, М < е,

1 /2

со знаком равенства только для вращений функции Пика Рм2 = [Рм2 (г2) .

К настоящему времени точные оценки четвёртого коэффициента в классах 5м найдены не для

всех

1 /3

M > 1, однако для M, близких к 1, функции PM3(z) = [PM3 (z3)] остаются экстремальными в этой задаче. Именно, Шиффер (M. Schiffer) и Тамми (O. Tammi)[5] доказали, что

2 ( 1 \ 34

max Ы = - 1 — , M < —,

f es™ 1 4 3\ M3 J1 - 19'

со знаком равенства для вращений функции PM3. Такие результаты вдохновили Хажинского и Тамми сформулировать гипотезу о том, что для каждого n > 2 существует Mn > 1 такое, что для всех M G (1, Mn) и всех функций f G S справедливы неравенства

nM1 — M^) (4)

со знаком равенства для вращений функции PMn(z) = [PMn(zn)]1/n. Гипотеза Хажинского-Тамми была доказана Северским (L. Siewierski) [6,7] и Шиффером и Тамми [8]. Из результата Шиффера и Тамми [5] следует, что M4 = 34/19.

Доказательство гипотезы Хажинского-Тамми тем более решает локальную проблему, которую можно сформулировать как существование чисел M* > Mn, n > 2, таких, что для всех M G (1,M,*) и всех функций f G SM неравенства (4) справедливы в некоторой окрестности функции PMn. В работе [9] предложен алгоритм нахождения значений M*.

В настоящей работе находится значение M5*. Задача сводится к определению локального максимума функции многих переменных в заданной точке, удается выписать целевую функцию и все её частные производные до второго порядка. Значение M5* даётся как корень некоторого уравнения. Целевая функция и её частные производные служат решениями задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, их значения аналитически не выписываются, но могут быть вычислены приближённо. Основной результат содержится в теореме, в которой найдено число M5*. Попутно устанавливается, что вдоль одного из направлений точка граничной гиперповерхности dV5(M) множества значений V5(M) = {(о2,о3, о4, Reа5) : f G SM}, доставляемая функцией PM4(z), имеет угловой характер.

Теорема. Число M5* > 1 определяется условием, что для всех M g (1,M*) матрицы (30) удовлетворяют условиям (31), где элементы матриц (30) являются значением в точке t = 1 —1/M решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений (20)-(22) и (26)-(29), правые части которых определяются посредством формул (23)-(25).

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

Функция

P,,r,(z) = z + ,

2 V M4 У

доставляет граничную точку AM = (0,0,0,1/2(1 — 1/M4)) множеству

V,(M) = {(0,2,0,3,0,4, Re05) : f G SM} , M > 1.

PM 4 (z ) = z + 1 (l — -M z5 + z G E

Поскольку функция PM4 отображает единичный круг E на круг радиуса M с четырьмя прямолинейными разрезами, то точка AM является внутренней точкой части dV54(M) граничной поверхности dV5(M) множества V5(M) [10]. Все точки части dV54 (M) доставляются функциями f G SM, отображающими E на круг радиуса M с четырьмя кусочно аналитическими разрезами. Известно [10], что все такие функции f можно представить в виде

f (z) = Mw(z, log M), (5)

В. Г. Гордиенко, К. А Самсонова. Определение границы в покапьной гипотезе Хажинского-Тамми <аЫ^Ш^е^л где

w(z,t) = e-t (z + а2 (t)z2 + ...) (6)

является интегралом обобщённого дифференциального уравнения Лёвнера:

dw ^, + w . ,

= — wVAfc-—-, w|t=o = z, 0 < t< log M, (7)

at ' eiuk — w

k=1

с непрерывными функциями uk = uk(t), k = 1,..., 4, и постоянными числами Ak > 0, k = 1,..., 4,

4

EAk = 1.

k=1

Кроме того, управляющие функции uk удовлетворяют необходимым условиям оптимальности скользящего режима в экстремальной задаче о достижимости граничной поверхности dV54(M). Опишем эти условия подробнее. Пусть ak(t), k > 2, определяются разложением (6). Совершим замену переменной t ^ 1 — e-t и обозначим ak(t) = x2k-3(t) + ix2k-2(t), k = 2,..., 5. Подставляя (6) в (7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, после произведённой замены переменной получим следующие дифференциальные уравнения:

4

X i (t) = —2^} Ak cos , X (0) = 0, k=1 4

X2 (t) = 2^ Ak sin Uk, (0) = 0,

k=1

4

X 3 (t) = — Ak [2(x1 cos Uk + x2 sin uk) + (1 — t)cos2uk ], ж3(0) = 0, k=1

4

X4 (t) = 2 ^^ Ak [2(x1 sin uk — x2 cos uk) + (1 — t)sin2uk ], x4(0) = 0, (8)

k=1

4

X 5 (t) = —Ak [(2X3 + x1 — X2 )cos Uk + 2(^4 + X1^2)sin Uk + k=1

+3(1 — t)(x1 cos 2uk + x2 sin 2uk) + (1 — t)2 cos 3uk], x5(0) = 0,

4

X6(t) = 2 ^^ Ak [(2x3 + — X) sin uk — 2(x4 + x2)cos uk — k=1

—3(1 — t)(x2 cos 2uk — sin 2uk) + (1 — t)2 sin3uk], x6(0) = 0,

4

X7(t) = —22^ Ak [2((X5 + Ж1Ж3 — X2Ж4) cos Uk + (X6 + Ж1Ж4 + X2X3)sin Uk) + k=1

+3(1 — t)((x3 + X — x2) cos 2wk + (x4 + 2x1x2) sin 2wk) +

+4(1 — t)2(x1 cos3wk + x2 sin3wk) + (1 — t)3cos4wk], x7(0) = 0.

Экстремальная задача Хажинского-Тамми о максимуме Re a5 в классе SM для M, близких к 1, формализуется теперь как

X7(1 — 1/M) ^ max (9)

для решений системы (8). Запишем функцию Гамильтона этой экстремальной задачи:

4

H(t, X, Ф, u, A) = — 2 ^^ Ak [cos UkФ1 — sin UkФ2 + (2(x1 cos Uk + x2 sin Uk) + (1 — t) cos 2"Uk)Ф3— k=1

— (2(x1 sin Uk — X2 cos Uk) + (1 — t) ■ sin2Uk)Ф4 + ((2x3 + X — X2) cos Uk + 2(x4 + X2) sin Uk + +3(1 — t)(X1 cos 2Uk + x2 sin2Uk) + (1 — t)2 cos 3wk)Ф5 — ((2ж3 + X — X) sin Uk — —2(x4 + x2) cos Uk — 3(1 — t)(X2 cos 2wk — sin2wk) + (1 — t)2 sin3wk)Ф6+ +(2((x5 + X3 — x2x4) cos Uk + (x6 + x1x4 + x2X3) sinUk) + 3(1 — t)((X3 + — x2) cos 2Uk+

+(x4 + 2x1 x2) sin2Uk) + 4(1 — t)2(x1 cos 3wk + x2 sin3Uk) + (1 — t)3 cos4Uk)Ф7], (10)

где и = (« ,«2, из ,«4), А = (А1, Л2, Аз, А4), А^ > 0, к = 1,..., 4, ^ к=1 А^ = 1, х = (х1 , ...,хг )т удовлетворяет системе (8), а Ф = (Ф15..., Ф7)т, Ф7 = 1, удовлетворяет сопряжённой системе дифференциальных уравнений:

4

Ф1 (t) = 2 ^^ Ak [2 cos ukФ3 — 2 sin ukФ4 + (2xi cos uk + 2x2 sin uk + 3(1 — t) cos 2uk)Ф5+ k=1

+(2x1 sin uk + 2x2 cos uk — 3(1 — t) sin 2uk)Ф6 + 2x3 cos uk + 2x4 sin uk + +6(1 — t)(x1 cos 2uk + x2 sin2uk) + 4(1 — t)2 cos 3uk],

4

Ф2 (t) = 2 ^^ Ak [2 sin uk Ф3 + 2 cos ukФ4 + (2x1 sin uk — 2x2 cos uk +3(1 — t) sin 2uk)Ф5 — k=1

— (2x2 sin uk — 2x1 cos uk — 3(1 — t) cos 2uk)Ф6 — 2x4 cos uk + 2x3 sin uk —

—6(1 — t)(x2 cos 2uk — x1 sin2uk) + 4(1 — t)2 sin3uk], (11)

4

Ф3 (t) = 2 ^^ Ak [2 cos ukФ5 — 2 sin uk Ф6 + 2x1 cos uk + 2x2 sin uk + 3(1 — t) cos 2uk],

k=1 4

Ф4(t) = 2 ^^ Ak [2 sin ukФ5 + 2 cos uk Ф6 + 2x1 sin uk — 2x2 cos uk + 3(1 — t) sin2uk], k=1

44

Ф 5 (t) = 4^ Ak cos Uk, Ф 6 (t) = 4^ Ak sin Uk

5(

k=1 k=1

и условиям трансверсальности:

Ф^ (1 — 1/M )=0, j = 1,..., 6. (12)

Оптимальная управляющая функция u* = (u*,u*,u3, u4), соответствующая экстремальной функции f* g SM в (9), удовлетворяет принципу максимума Понтрягина [11]

maxH(t,x, Ф, u, A) = H(t,x*, Ф*,u*,A), 0 < t < 1 — 1/M, (13)

u,A

где (x*, Ф*) является решением систем (8) и (11) с u = u* в их правых частях. Следовательно, при положительных значениях A1, A2, A3, A4 каждая из координат u1, u*, u*, u4 является корнем уравнения

Huk (t,x, Ф, u, Ak )=0, k = 1,..., 4, (14)

где x = x*, Ф = Ф*, а Ak — это один из векторов (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) или (0,0,0,1). Наличие четырёх различных на [0, 2п) значений u1, u2, u*, u* координат оптимального управления u* характеризует оптимальный скользящий режим.

Функции PM4, локально экстремальной в задаче (9) для 1 < M < M5*, соответствуют координаты u* = п/4, u2 = 3п/4, u* = 5п/4, u4 = 7п/4 оптимального управления u* и значения параметров A1 = A* = A3 = A4 = 1/4. Условия трансверсальности (12) приводят к начальным условиям Ф^;(0) = 0, k = 1,...,6. Проварьируем эти начальные данные, положив Ф1 (0) = а1, Ф2(0) = a2, Ф3(0) = a3, Ф4(0) = a4, Ф5(0) = a5, Ф6(0) = a6. Сохранение скользящего режима в момент t = 0 для варьированных значений Ф(0) означает равенство между собой коэффициентов при A1, A2, A3, A4 функции Гамильтона (10) при t = 0 в точке u* = u*(а1, а2, a3, a4,a5, a6). Имеем:

H(0, x(0), Ф(0), u*, A) = —2

—1 1 1 1

A1 I + 7 ^2 + ^4 + 7 ^5 + 72+

1 1 1 1 1 1 1 1

72a1 + 71a2 — a4 — 72a5 + 72 aV + 4 72a1 — 72a2 + a4 — 72a5 — 72(

—1 1 1 1

+ 472a1 — 72a2 — a4 + 72a5 — 72a6

+ Г1 || (a1, a2, a3, a4, a5, a6)|| ,

где r1 ^ 0 при a1, a2, a3, a4, a5, a6 ^ 0. Приравнивая здесь коэффициенты при A1, A2, A3, A4, получаем соотношения между координатами Ф(0)

a1 = a5 + Г2||(a1, a2)||, a2 = —a6 + Г3||(a1, a2)||, a4 = 0,

где r2, r3 ^ 0 при a1, a2 ^ 0. Полагаем так же a3 = 0.

Таким образом, вариация вектора начальных данных Ф(0) в экстремальной задаче (8)-(13), сохраняющая скользящий режим, имеет вид

(Ф1 (0), Ф2(0), Ф3(0), Ф4(0), Ф5(0), Ф6(0)) = (a1 ,a2, 0, 0,a1, —a2) + o ((a1, a2)), (a1,a2) ^ 0. (15)

Для решения локальной экстремальной задачи в окрестности функции PM4 следует подвергнуть сравнению все те функции f G SM, которые доставляют точки части dV54 (M) из окрестности точки AM. Все такие функции пред ставимы по (5) интегралами (6) дифференциального уравнения Лёвнера (7) с непрерывным управлением u, удовлетворяющим принципу максимума Понтрягина (13), начальными данными Ф(0) в (11) из окрестности точки (0,0,0,0,0,0,1), сохраняющими согласно (15) скользящий оптимальный режим, и параметрами A = (A1,A2, A3, A4) из окрестности точки A* = (1/4,1/4,1/4,1/4). Следовательно, задача нахождения точной границы в локальной проблеме Хажинского-Тамми сводится к следующему. Задача 1. Пусть

FM : (Ф(0), A) ^ xr(1 — 1/M)

является функцией, которая всякому начальному данному Ф(0) и параметру A в экстремальной задаче (8)—(13) со скользящим оптимальным режимом сопоставляет значение xr(1 — 1/M). Положим

(Ф1 (0), Ф2(0), Ф3(0), Ф4(0), Ф5(0), Ф6(0)) = (a1 ,a2, 0, 0,ab —a2) + o((a1, a2)), (a1 ,a2) ^ 0. (16) A = (1/4 + a3,1/4 + a4, 1/4 + a5,1/4 — a3 — a4 — a5), a = (a1, a2,a3,a4,a5), (17)

согласно чему FM = FM(a). Требуется найти значение M5* > 1 такое, что для всех M g (1,M5*) функция FM(a) достигает локального максимума в точке a = 0.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

Система дифференциальных уравнений (8) при u = u* и A = A* имеет решение xk (t) = 0, k = 1,...,6, x*(t) = 0. Аналогично система дифференциальных уравнений (11) с теми же u = u* и A = A* и с нулевыми начальными условиями в точке t = 0 имеет решение Ф* (t) = 0.

Так как Huk(t,x*, Ф*, u*, Ak) = 0, то уравнения (14) однозначно определяют аналитические неявные функции uk = uk(t,x, Ф) в окрестности точки (x*, Ф*), uk(t,x*, Ф*) = uk, k = 1, 2,3,4. Если в правые части систем (8) и (11) подставить u = u(t,x, Ф) = (u1 (t,x, Ф),^(t,x, Ф),u3(t,x, Ф), u4(t,x, Ф)), то их решение (x, Ф) аналитически зависит от начальных данных и параметра A. Таким образом, (x, Ф) в задаче 1 имеет производные по a до второго порядка. Следовательно, тем же свойством обладает и управление u = u(t,x(a), Ф^)) = u(a). Поэтому функция FM(a) имеет производные до второго порядка, и для исследования её на локальный максимум применимы классические средства дифференциального исчисления.

Начнём с вычисления частных производных первого порядка функции FM(a),

FM = (xr)aj (1 — 1/M), j = 1,..., 5.

Дифференцирование последнего уравнения системы (8), в котором A4 = 1 — A1 — A2 — A3 приводит к формулам

d(xjt)Qj = —2 ^ Ak [2(((x5)aj + x3(x1)aj + x1 (x3)a,- — Ma,- x4 — x2 (x4)a,- ) cos uk — k=1

— (x5 + x1x3 — x2x4)sin uk (uk)a3 + ((x6)a3 + (x1 )aj x4 + x1 (x4)a3 + (x2)a3 x3 + x2 (x3)a3 ) sin uk +

+ (x6 + x1 x4 + x2x3) cos uk (uk)a,- ) + 3(1 — t)(((x3)a,- + 2x1 (x1 )a,- — 2x2 (x2)a3 ) cos 2uk — — 2(x3 + x2 — x2 ) sin 2uk (uk )a3 + ((x4 )a3 + 2(x1)a. x2 + 2x1(x2 )a3 ) sin 2uk +

+ 2(Х4 + 2xiX2)cOs2Uk (ufc) +4(1 - t)2 ((xi COS 3ufc - 3xi sin 3uk (ufc+ (x2)a3- sin3ufc +

+3x2 cos3uk(ufc)a.) - 4(1 - t)3 sin4uk(ufc)a.], (x7)-• (0) = 0, j = 1, 2, (18)

d(x7 )c

4

dt

k=i

-2^ Ak [2(((Хб)а,- + Хз (Xi)aj + Xi (хз )a3- - May X4 - X2(x4)ay ) COs "

Uk -

-(X5 + X1X3 - X2X4) sin Uk (Uk)a3 + ((Xe)a3 + (xi)a3 X4 + xi(x4)a3 + (X2)a3 X3 + X2 (хз)а3 ) sin Uk + + (X6 + X1X4 + X2X3) COS Uk (Uk)aj ) +3(1 - t)(((x3)a,- + 2xi (xi)a,- - 2X2(X2)a3 ) COS 2Ufc-

-2(X3 + X2 - x2 ) sin 2Uk (Uk )a3 + ((X4 )a3 + 2(xi)a3 X2 + 2xi(x2)a3 ) sin 2Uk + + 2(X4 + 2xiX2) COs 2Uk (Uk)a3 ) +4(1 - t)2 ((xi )a,- COs3Uk - 3xi sin 3Uk (uk)a3 + (X2)a3 sin3Uk + +3X2 COs 3Uk(Uk)a3 ) - 4(1 - t)3 sin4Uk (Uk)a3 ] - 2[2(x5 + XiX3 - X2X4)(COs Uj-2 - COs U4) + +2(x6 + xix4 + x2x3)(sinuj-2 - sin u4) + 3(1 - t)((x3 + xi - x2)(cos 2uj-2 - cos 2u4)+ +(x4 + 2xix2)(sin2uj-2 - sin2u4)) + 4(1 - t)2(xi(cos3uj-2 - cos3u4) + x2(sin3uj-2 - sin3u4))+

+(1 - t)3(cos4uj-2 - cos4u4)], (x7)a3 (0) = 0, j = 3,4, 5. (19)

Из (18), (19) непосредственной подстановкой проверяем, что

"d(x7)a3] .

-;—3 =0, j = 1,..., 5.

- dt J a=0

Значит, (x7 )a3 (1 - 1/M)|a=0 = FM (0) = 0, j = 1,..., 5. Следовательно, выполняются необходимые условия локального экстремума функции FM(a) в точке a = 0.

Теперь вычислим частные производные второго порядка функции FM(a) в точке a = 0. С этой

целью продифференцируем уравнения (18), (19) в точке a = 0 и найдём

1 4

- J^[2((x5)a3. sin Uk (Uk)aj + (X5)a¡ sin ^ (Uk)a3 ) - 2((x6)a3 COs ^ (Uk)a¡ +

d(x7) _dt

a3 a¡

0 2

a=0 k=i

+ (x6)a¡ COs Uk (Uk )a3 ) + 6(1 - t)((x3 )a¿ sin2uk (Uk )a; + Маг sin2uk (Uk )a3 ) + + 12(1 - t)2 ((Xi)aá sin 3Uk (Uk)aj + (xi )a¡ sin3Uk (Uk)a3 - (X2)a3 COs 3Uk (Uk)a¡ --(X2 )aj COs3Uk (Uk )a3 ) - 16(1 - t)3(Uk )a3 (Uk )a¡ ], (x7 )a3 a; (0) = 0, j, l = 1, 2. (20)

d(x7)ay a¡

dt

/a3 a¡ '

4

= ^ E[2((x5)a3 sin Uk (Uk)a¡ + (X5)a¡ sin Uk (Uk)a3 ) - 2((X6)a3 COs Uk (Uk)a; + a=0 k=i

+ (x6)a¡ COs Uk (Uk )ay ) + 6(1 - t)((x3 )a¿ sin2^ (Uk )a; + (X3)a¡ sin2^ (Uk )a3 ) + + 12(1 - t)2 ((xi)aá sin3Uk (Uk)aj + (xi )a; sin3Uk (Uk)a3 - (X2)a3 COs 3Uk (Uk)a; --(X2)aj COs3Uk(Uk)a3 ) - 16(1 - t)3(Uk)a3 (Uk)a¡] - 4(x5)a3 (cos uj— - COs U4)--4(x6)a3 (sinU*-2 - sinu4) - 6(1 - t)(x4)a3 (sin2u1—2 - sin2U4)--8(1 - t)2((xi)a3(cos3u¡—2 - cos3u4) + (x2)a3(sin3u¡—2 - sin3u4)),

(X7)a3ai (0)=0, j = 1, 2, l = 3, 4, 5. (21)

d(x7)ay a¡

dt

0 2

a=0 k=i

1 ¿[2((x5)a¿ sin Uk (Uk )aj + (X5)a¡ sin uk (Uk)a3 ) - 2((x6 )a3 COs uk (Uk )a; +

+ (x6)a¡ COs Uk (Uk )a3 ) + 6(1 - t)((x3 )a¿ sin2uk (Uk )aj + (X3)a¡ sin2uk (Uk )a3 ) + + 12(1 - t)2 ((Xi)a¿ sin3uk (Uk)aj + (Xi)aj sin3uk (Uk)a3 --(X2)a3 COs 3uk (Uk )aj - (X2)a¡ COs 3uk (Uk )a3 ) - 16(1 - t)3(Uk )a¿ (Uk )aj ]--4((x5)a¡ (cos u4-2 - cos u4) + (x6)ai (sin U*-2 - sinu4) + (x5)a3 (cos u1-2 - cos u4)+ + (x6)a3 (sinu1-2 - sinu4)) - 6(1 - t)((x4)ai (sin2u*-2 - sin2u4)+ + (x4)ay (sin2u1-2 - sin2u4)) - 8(1 - t)2((xi)ai (cos3u*-2 - COs3u4) + (x2)ai (sin3u*-2 - sin3u4) + + (xi )a¿ (cos3u*-2 - COs3u4) + (x2 )a¿ (sin3u*-2 - sin 3u4 )), (X7)a3 a; (0) = 0, j, l = 3, 4, 5. (22)

Все частные производные по координатам вектора a в правых частях формул (20)-(22) вычисляются в точке a = 0.

3

Тождество (14) с произвольными (ж, Ф) из окрестности точки (ж*, Ф*) определяет неявные функции uk = uk(t, ж, Ф), k = 1,..., 4. Для вычисления частных производных управлений uk продифференцируем это тождество по a и получим:

+ HufcФФа, + Hufcuk (uk)aj =

откуда находим выражения для частных производных

k = 1,..., 4, j = 1,..., 5,

(Ufc )а,- = -

HUk x xa3

k = 1,..., 4, j = 1,..., 5.

(23)

Из (10) при a = 0 непосредственно находим:

Hufcufe = -32(1 - t)3, Hufcxi =24(1 - t)2 sin3uk, Hufcx2 = -24(1 - t)2cos3uk, Hufcхз =12(1 - t)sin2uk, Яиьx4 = 0, Hufcx5 = 4sinuk, #ufcx6 = -4cosuk, Hufc Ф1 = 2 sin uk, Hufc ф2 = 2cos uk, Я^Фз =4(1 - t)sin2uk, HUfc Ф4 = 0, Huk ф5 =6(1 - t)2 sin3uk, Huk ф6 =6(1 - t)2 cos3uk, k = 1,..., 4.

(24)

Подставляя (24) в (23), элементарными средствами сможем вычислить все 20 частных производных (23) при а = 0 как линейные функции относительно (хр)аз. и (Фр)а3, Р = 1,... 6.

Таким образом, правые части системы 15 различных дифференциальных уравнений (20),(21),(22) для частных производных второго порядка целевой функции представляют собой полиномы второго порядка относительно 60 частных производных первого порядка (хр)а, (Фр)а3, ] = 1,..., 5, р = 1,..., 6, вычисленных в точке а = 0. В свою очередь, для вычисления частных производных первого порядка функций х и Ф по координатам вектора а в точке а = 0 продифференцируем уравнения систем (8) и (11) по а. Некоторое облегчение вызывается интегрированием двух последних уравнений системы (11) в сравнении с двумя первыми уравнениями системы (8). Именно

Ф5(£) = ах - 2x1 (г), Фб(г) = -а2 + 2x2(г).

откуда находим 10 соотношений

(Фб)а1 =1 - 2(xi)ai , (Фб)а3- = -2(xi )а. , j = 2,..., 5, (Фб)а2 = -1 + 2(ж2)а2 , (Фб)а = 2(ж2L , j = 1, 3, 4, 5.

(25)

Вычислим оставшиеся частные производные, и для координат фазового вектора получим системы дифференциальных уравнений:

d(xi )t

dT

d(x2 )c dt

1

a=0 k=1

4

a=0

2 J^sin uk (uk)а3 , (ж1 )aj (0) = ° ^cos uk (uk )aj , (X2 )aj (0) = 0,

k=1

d(x3), dt

J^((xi)aj cos uk + (X2)aj sin uk - (1 - t) sin 2uk (uk)a¿), (жз)ау (0) = 0, a=0 k=1

4

X^((x1 )aj sin uk - (X2)aj cos uk), (Ж4)a,- (0) = 0,

d(x4)c

dt

d(x6 )

dt

a=0

(26)

a=0 k=1 4

1 J^[2((X3)aj cos uk + (Ж4)a¿ sin uk) + 3(1 - t)(x2)a¿ sin 2uk -

k=1

dt

-3(1 - t)2 sin 3uk (uk )aj ], (Хб)а3 (0) = 0, 1 4

- ^[2((жз)aj sin uk - (X4)aj cos uk) + 3(1 - t)^)^ sin 2uk +

a=0 k=1

2 _ o..*

+3(1 - t)2 cos 3uk (uk )аз ], (Жб)аз (0) = 0, j = 1, 2,

+ Hufc ФФа

4

3

4

3

3

)а3

¿г

а=0 ^=1

4

¿(Хз)с

а=0 к=1 4

ик («к)а3 - 2(С08 «*—2 - СОБ ), (Ж1)а3 (0) = 0, 1 ^СОБ «к («к)а3 + 2(Б1П и* —2 - Б1п и*), (Ж2)а3 (0) = 0,

а=0

Е((Ж1 )а3 С0Й «к + (Х2)аз БШ «к - (1 - ¿) БШ 2«к («к)а3 ), (хз)а3 (0) = 0,

к=1

¿(х4)а3

¿(Х5 )а3

а=0

к=1

)а3 БШ «к - (Х2)а3 СОБ «к) + 2(1 - ¿)(э1п 2и*—2 - БШ 2«*),

Ыа3 (0) = 0,

14

- Е[2((Жз)а3 СОБ «к + (Х4)а3 БШ «к) + 3(1 - ¿)(Ж2 )а3 Б1п 2«к -

(27)

а=0 к=1 2

-3(1 - £) в1п3«к («к )а3 ] - 2(1 - г) (СО8 3и*—2 - СОБЗИ* ) (х5 )а3 (0) = 0, ¿(Х61 ^[2((хз)а3 й1п «к - (Ж4)ау СОБ «к) - 3(1 - ¿)(Ж1 )а3 СОБ 2«к +

а=0 к=1

*

+3(1 - £)2 СОБЗ^к («к)а ] +2(1 - ^)2 (81п3и* — 2 - в1п3«4) (ж6)а3. (0) =0, ^ = 3,4, 5.

Подставляя значения «* = п/4, = 3п/4, = 5п/4, «4 = 7п/4, в третье уравнение системы (26), получим:

"¿(Ж4)а

¿г

= 0, (Х4)а, (0) = 0.

а=0

Это означает, что изменение координат вектора Ф(0) не вызывает изменения координаты х4 фазового вектора, следовательно, вдоль направления Тша3 точка = (0,0,0,1/2(1 - 1/М4)) граничной поверхности дУ5(М), доставляемая функцией РМ4(^), имеет угловой характер.

Для координат сопряжённого вектора имеем следующие системы дифференциальных уравнений:

¿(Ф1)

1)а3

¿г

а=0 к=1 2

14

2 ^[2(хз)а3 СОБ «к + 2(х4)а3 БШ + 6(1 - ¿)(Ж2)а3 БШ 2«к -

-12(1 - *)2 81п3«к («к )а3 ], (Ф1)а! (0) = 1, (Ф1 )а2 (0) = 0,

¿(Ф2 )а,-

14

2 ^[-2(^4)а3 СОБ «к + 2(хз)а3 БШ «к + 6(1 - ¿)(Ж1 )а3 БШ 2«к +

а=0 к=1 2

¿(Фз )а,-

а=0

+ 12(1 - *)2 С083«к («к )а3 ], (Ф2)а! (0) = 0, (Ф2 )а2 (0) = 1,

14

2 ^[2(Ж1 )а3 СОБ «к + 2(Х2)а3 БШ «к - 3(1 - £) БШ 2« * («к)а3 ], (Фз)а3 (0) = 0,

к=1

¿(Ф4 )а3

= 0, (Ф4)а3 (0)=0, ^ =1, 2,

(28)

а=0

¿(Ф1)

1)а3

¿г

а=0

14

2 5^[2(хз)а3 СОБ «к + 2(х4)а3 БШ «к + 6(1 - ¿)(Ж2)а3 Б1п 2«к -

к=1

-12(1 - ¿^81п3«к («к )а3 ] +8(1 - г)2 ^08 3^—2 + ) , (Ф1 )а3 (0) = 0,

¿(Ф2 )а,-

а=0

1 Е[-2(Ж4)а3 СОБ «к + 2(хз)а3 БШ «к + 6(1 - ¿)(Ж1 )а3 Б1п 2«к +

к=1

+ 12(1 - г)2 С0Б3«к («к )а • ] +8(1 - г)М Б1п3« 2 +

'

(Ф2)а, (0) = 0,

4

4

<Фз )a3 dt

= 1 cos uk + 2(x2 )a3 sin - 3(1 - t)sin2u* (Ufc )a3 ], (Фз)а,- (0) = 0,

a=0 k=1

d^4 )a

dt

= 6(1 - t)(sin 2u*-2 + 1), (Ф4)a3 (0) =0, j = 3, 4, 5.

(29)

a=0

Дифференциальные уравнения (26)-(29) с функциями )аз из (23) образуют систему 50 линейных дифференциальных уравнений, распадающуюся на несколько независимых подсистем. В частности, подсистемы относительно (хх)^ , (х5)а3 , (Ф1) а3 , 3 =2, 3 и (Х2)а3 , (хб)а3 , (Ф2)а3 , 3 = 1, 5, являются линейными однородными системами с нулевыми начальными условиями. Это приводит к 12 вырожденным нулевым решениям. Нулевые решения имеют и подсистемы относительно (х3)аз, (Фз)оу, 3 = 1,..., 5. Остальные независимые подсистемы допускают понижение порядка. Тем не менее мы не будем пытаться отыскать решение подсистем в квадратурах.

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ

Локальная экстремальная задача в теореме сведена к решению задачи 1, т. е. к отысканию значения М5* > 1 такого, что для всех М е (1,М*) функция Рм(а), соответствующая локальной экстремальной задаче (9), достигает локального максимума в точке а = 0. Как было показано, необходимое условие экстремума

(Х7)a, (1 - 1/M)|a=0 =

dFM (a)

= 0, j = 1,..., 5,

a=0

выполняется для всех М > 1. Поэтому остается лишь проверить достаточное условие экстремума функции Рм(а), зависящей от пяти координат вектора а, которое заключается в том, что при а = 0 квадратичная форма, порождённая квадратной матрицей А = Д(М) с элементами (х7)азаг(1 — 1/М), 3,1 = 1,..., 5, отрицательно определена.

Для М > 1 обозначим:

Am (M ) =

( (Х7)aia! (1 - 1/M) . . . (X7)aiam (1 - 1/M) \

V(x7)am ai (1 - 1/M ) ... (X7 )am am (1 - 1/M )/

m = 1,..., 5.

(30)

a=0

Согласно критерию Сильвестра матрица Д(М) отрицательно определена тогда и только тогда,

когда

(-1)m det Am(M) > 0,

m = 1,..., 5.

(31)

Элементы матрицы A(M) являются значением в точке t = 1 — 1/M решения (ж7)а.ai(t), (xp)a.(t), (ФР)a3 (t), j, l = 1,..., 5, p = 1,..., 6 задачи Коши для системы дифференциальных уравнений (20)-(22) и (26)-(29), в которых частные производные (uk)aj, k = 1,..., 4, j = 1,..., 5, задаются формулами (23), (24).

Численное интегрирование полученных систем дифференциальных уравнений с использованием пакета MAPLESOFT Maple 15 и проверка критерия Сильвестра (31) приводят к значению M5* = 2.06263 .... Это доказывает теорему.

Библиографический список

1. Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture. LOMI Preprints E-5-84. 1984. P. 1-21.

2. Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture // Acta Math. 1985. Vol. 154, № 1-2. P. 137-152.

3. Pick G. Über die konforme Abbildung eines Kreises auf ein schlichtes und zugleich beschranktes Gebiet // S.-B. Kaiserl. Akad. Wiss. Wien. Math., Naturwiss. Kl. Abt. II a. 1917. B. 126. P. 247-263.

4. Schaeffer A. C., Spencer D. C. The coefficients of schlicht functions // Duke Math. J. 1945. Vol. 12. P. 107125.

5. Schiffer M., Tammi O. On the fourth coefficient of bounded univalent functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. Vol. 119. P. 67-78.

6. Siewierski L. Sharp estimation of the coefficients of bounded univalent functions near the identity // Bull. Acad. Polon. Sci. 1968. Vol. 16. P. 575-576.

7. Siewierski L. Sharp estimation of the coefficients of bounded univalent functions close to identity // Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.). 1971. Vol. 86. P. 1-153.

8. Schiffer M., Tammi O. On bounded univalent functions

which are close to identity // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI Math. 1968. Vol. 435. P. 3-26.

9. Прохоров Д. В., Гордиенко В. Г. Определение границы в локальной гипотезе Хажинского-Тамми // Изв. вузов. Математика. 2008. № 9. С. 59-68.

10. Прохоров Д. В. Множества значений систем функ-

ционалов в классах однолистных функций // Мат. сб. 1990. Т. 181, № 12. С. 1659-1677.

11. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелид-зе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. : Наука, 1969. 384 с.

Determination of the Boundary in the Local Charzynski-Tammi Conjecture

for the Fifth Coefficient

V. G. Gordienko, K. A. Samsonova

Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, [email protected], [email protected]

In this article we find the exact value of M5 such that the symmetrized Pick function PM4(z) is an extreme in the local Charzynski-Tammi conjecture for the fifth Taylor coefficient of the normalized holomorphic bounded univalent functions

Keywords: Lowner equation, optimum control, Pontryagin maxsimum principle.

References

1. Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture. LOMI Preprints E-5-84, 1984, pp. 1-21.

2. Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture. Acta Math., 1985, vol. 154, no 1-2, pp. 137-152.

3. Pick G. Über die konforme Abbildung eines Kreises auf ein schlichtes und zugleich beschranktes Gebiet. S.-B. Kaiserl. Akad. Wiss. Wien. Math., Naturwiss. Kl. Abt. II a, 1917, B. 126, pp. 247-263.

4. Schaeffer A. C., Spencer D. C. The coefficients of schlicht functions. Duke Math. J., 1945, vol. 12, pp. 107125.

5. Schiffer M., Tammi O. On the fourth coefficient of bounded univalent functions. Trans. Amer. Math. Soc., 1965, vol. 119, pp. 67-78.

6. Siewierski L. Sharp estimation of the coefficients of bounded univalent functions near the identity. Bull. Acad. Polon. Sci., 1968, vol. 16, pp. 575-576.

7. Siewierski L. Sharp estimation of the coefficients

Y^K 517.984

of bounded univalent functions close to identity. Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.), 1971, vol. 86, pp. 1-153.

8. Schiffer M., Tammi O. On bounded univalent functions which are close to identity. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI Math., 1968, vol. 435, pp. 3-26.

9. Prokhorov D. V., Gordienko V. G. Definition of the boundary in the local Charzynski-Tammi conjecture. Russ. Math. (Izvestiya VUZ. Matematika), 2008, vol. 52, no. 9, pp. 51-59.

10. Prokhorov D. V. Sets of values of systems of functionals in classes of univalent functions. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1992, vol. 71, no. 2, pp. 499-516.

11. Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkre-lidze R. V., Mischenko E. F. Matematicheskaya teoriya optimal'nykh protsessov [The Mathematical Theory of Optimal Processes], Moscow, Nauka, 1969, 384 p. (in Russian).

АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ЖОРДАНА-ДИРИХЛЕ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ЯДРОМ, ИМЕЮЩИМ СКАЧКИ НА ЛОМАНЫХ ЛИНИЯХ

О. А. Королева

Старший преподаватель кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

Найдены достаточные условия (условия типа Жордана-Дирихле) разложения функции /(ж) в равномерно сходящийся ряд по собственным и присоединенным функциям интегрального оператора, ядро которого терпит скачки на сторонах квадрата, вписанного в единичный квадрат. Как известно, для такого разложения необходимо, чтобы /(ж) была непрерывна и принадлежала замыканию области значений интегрального оператора. Оказывается, если /(ж) ктому же функция ограниченной вариации, эти условия являются и достаточными.

Ключевые слова: теорема Жордана-Дирихле, резольвента, характеристические числа, собственные и присоединенные функции.