Об отображении с минимальной емкостью разреза Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Гасымов М. Г., Магеррамов А. М. О кратной полноте системы собственных и присоединенных функций одного класса дифференциальных операторов //Докл. АН Азерб. ССР. 1974. Т. 30, № 12. С. 9-12.

8. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семин. им. И. Г. Петровского. М, : Изд-во Моск. ун-та. 1983. № 9. С. 190-229.

9. Вагабов А. И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов н/Д : Изд-во Рост, ун-та. 1994. 160 с.

10. Рыхлое В. С. Кратная полнота собственных функций обыкновенного дифференциального полиномиального пучка // Исследования по теории операторов : сб. стат. / ВИЦ УрО АН СССР. Уфа." 1988. С. 128-140.

11. Рыхлое В. С. Кратная полнота корневых функций одного класса пучков дифференциальных операторов // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15.

УДК 517.54

К. А. Самсонова

ОБ ОТОБРАЖЕНИИ С МИНИМАЛЬНОЙ ЕМКОСТЬЮ РАЗРЕЗА

Настоящая статья посвящена решению экстремальной задачи о минимальной емкости разрезов в верхней полуплоскости Н = {г € С : О1 г > > 0} и проходящих через заданные точки Ак € Н, к = 1,... ,п. Обозначим через 7к, к = 1,..., п, разрезы в Н, соединяющие точки Ак с ве-

п

щественной осью К. Пусть конформное отображение / : Н \ У 7к —> Н

к=1

имеет гидродинамическую нормировку /(г) = г + ь + 0(|г|-2), |г| ^ то.

п

Тогда число Ь называется «емкостью У 7к относительно Н» [1].

к=1

п

Рассмотрим экстремальную задачу о минимуме емкости У 7к отно-

к=1

Н

п

Теорема. Минимальная емкость У 7к относительно верхней по-

к=1

луплоскости Н для разрезов 71,... , 7п в Н7 соединяющих заданные точки Ак € Н, к = 1,... ,п, с вещественной осью К, достигается только в том случае, когда все 71,... ,7 п являются отрезками, перпендикулярными к К.

Доказательство. Предположим, что кривые 7к задаются параметрическими уравнениями:

7к = {г € С : г = 7к(г), 0 < г < Т}, 7к(Т) = Ак.

Обратная к ](г) функция д := дт отображает Н на Н \ У и удовле-

к=1

творяет дифференциальному уравнению Левнера

(д^ад) —2Лк , ч

= > —¡—^—^т, до(^) = ад е Н, (1)

а ^=1 &М - ик (¿Г

где Л1,..., Лп - положительные чи ела, ^ Лк = 1 [2], аи1,..., ип— пепре-

к=1

рывные управляющие функции на [0, ТГ]. Функции д/, 0 < £ < Т, допускают непрерывные продолжения на Н У К.

Используя результаты работы [3], дадим эквивалентную двойственную формулировку рассмотренной экстремальной задачи: для решения д/(ад) уравнения (1), щ(0) = ак, к = 1,..., п, с заданными соотношениями ), к = 2,... ,п найти шажО:71(Т) = таждт(и(Т)).

Формализуем задачу как задачу оптимального управления. Введем ж1(^) = ^дДад), ж2(£) = ^д/(ад). С помощью обратного уравнения Левнера получим динамическую систему:

^^ Л 2(ик(¿) — х1) к=1

^ = У Л^-22(ико(6) ~ Х1) 2, ,, Х1(0) = 0,

к X + х2 — 2ик(£)ж + ик(¿V

"г2 = У^ Лк^-¡5—^ Х2 ,-, ж2(0) = 0, к = 1,..., п.

(£ к=1 к ж2 + ж2 — 2ик (¿)Ж1 + ик (¿V 2

По принципу максимума Понтрягина оптимальное управление ик(£), к = 1,..., п, поставленной задачи при всех £ > 0 доставляет абсолютный максимум функция Гамильтона:

Н(м, Ф,«*)= ± Лк(+ *£(—^ ик(£) Ф' +

2Ж2

ж2 + ж2 — 2ик (£)ж1 + и2к (£)

2X2 \

+ ^-2—о—77\-к = 1,...,п,

где вектор Ф = (Ф1, Ф2) является решением сопряженной гамильтоновой системы:

(Фх _ _

Ф1(ж2 — X + 2ик (£)ж1 — ик (£)) + Ф2(2г1Ж2 — 2ж2ик (£))

2 ^ Лк" (ж2 + ж2 — 2ик (£)Х1 + ик (£))2

¿Ф2 _ dH

dt dx2

n

^l(2X2Mk(t) - 2x1x2) - Ф2М - x2 - 2uk(t)xi + uk(t)) k-

2 Ak (xl + x2 - 2uk(t)xi + uk(t))2

k = 1,..., n,

с начальными условиями Ф1(0) = £i, Ф2(0) = <^2 и условием трансверсальности Ф1(Т) = 0.

dH d^i dH 0

±ак как —— = —-—, то из условия ——|uk =u* = 0, получаем duk dt duk k

d^ii n и 1

——|uk =u* = 0,k = 1,...,n, что с учетом условия трансверсальности dt

дает ^i(t) = 0. Тогда функция Гамильтона примет следующий вид:

гг ^л _2X2^2_ , 1

H = > Ak-о-~—г^-ovr ,k = 1,..., n.

k=i kx2 + x2 - 2uk(t)xi + uk(t)'

dH

Для нее ——|Ufc=U* = 0 означает, что uk* = xi? то есть первое уравнение duk

dxi

динамической системы —— |u, =u* = 0, откуда следует, что xi(t) = 0, а

dt k

значит, и uk(t) = 0, k = 1,..., n. Ak выбираются так, чтобы выполнялись заданные соотношения ^(т), k = 2,..., n. Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект № Ц-01-91370).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Rohde S., Wong С. Half-plane capacity and conformal radius // Proc. Amer. Math. Soe,, to appear, eprint arXiv:1201.5878.

2. Prokhorov D. V. Reachable set methods in extremal problems for univalent functions. Saratov University, 1993.

3. Schleissinger S. On driving functions generating quasislits in the chordal Loewner-Kufarev equation // Complex Variables and Elliptic Equations, 2014, DOLIO. 1080/17476933.2014.904296