О локально экстремальном свойстве функции пика Текст научной статьи по специальности «Математика»

5, Galaev S. V. Contact structures with admissible Finsler metrics Physical Interpretation of Relativity Theory: Proceedings of International Meeting (Edited by M.C. Duffy, V.O. Gladyshev, A.N. Morozov, P. Rowlands), Moscow, 4 - 7 July 2011. Moscow : BMSTU, 2012. P. 80-87.

6. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М. : МПГУ, 2003.

УДК 517.54

В. Г. Гордиенко, К. А. Пилясова

О ЛОКАЛЬНО ЭКСТРЕМАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ

ФУНКЦИИ ПИКА

Обозначим через 8м, М > 1, класс голоморфных однолистных в единичном круге Е = {г : |г| < 1} функций

/ (г ) = г + а2г2 + ..., (1)

удовлетворяющих ограничению |/(г)| < М, г € Е.

В настоящей статье устанавливается свойство граничной поверхности дУ5(М) множества значений У5(М) = {(а2,а3,а4, Ява5) : / € Бм} в окрестности точки Ам = (0,0, 0,1/2(1 — 1/М4)), достовляемой симм-метризованной функцией Пика

2z2

Pm4 (z) = J-. -, z G E.

W 11 M4(M2(1 + z4) + ^(1 + z4)2 - 4z4)

Следующая теорема развивает и дополняет результат работ [1],[2,],[3]. Теорема. Точка Am = (0,0, 0,1/2(1 - 1/M4)) граничной поверхности dV5(M), доставляемая функцией PM4(z), вдоль направления Ima3 имеет угловой характер.

Доказательство теоремы.

Функции f G SM, доставляющие точки граничной поверхности dV5(M) отображают E на круг радиуса M с не более чем четырьмя кусочно аналитическими разрезами. Известно [4], что все такие функции можно представить в виде f (z) = Mw(z, log M), где

w(z, t) = e-t(z + a2(t)z2 + ...) (2)

является интегралом обобщённого дифференциального уравнения Лёв-нера

4

dw sr^ л etUk + w . л ,

= -wy^Xk—-, w |t=o = z, 0 < t < log M, (3)

f J Piuk — 1П

dt ^ eiUk — w

k=1

с непрерывными функциями uk = uk(t), k = 1,...,4, и постоянны-

4

ми числами Ak > 0, k = 1,...,4, Ak = 1. Кроме того, управ-

k=i

ляющие функции Uk удовлетворяют необходимым условиям оптимальности скользящего режима. Пусть ak (t), k < 5, определяются разложением (2). Совершим замену переменной t ^ 1 — e-t и обозначим ak(t) = x2k—3(t) + ix2k—2(t), k = 2,..., 5. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в равенстве (3), после произведённой замены получим управляемую систему дифференциальных уравнений. Рассмотрим уравнение относительно x4(t) этой системы

4

x4(t) = Ak[2(x1 sinuk — x2 cosuk) + (1 — t)sin2uk], x4(0) = 0, (4)

k=i

0 < t < 1 — 1 /M.

Следуя принципам оптимизационного формализма, введём вектор множителей Лагранжа Ф = (Ф1,..., Ф7)т и запишем функцию Гамильтона

4

H(t, x, Ф, u, A) = —22 ^^ Ak[cosukФ1 — sinukФ2 + (2(x1 cosuk+

k=i

+x2 sinuk) + (1 — t) cos 2uk)Ф3 — (2(x1 sinuk — x2 cosuk) + (1 — —t) sin2uk)Ф4 + ((2x3 + x2 — x2) cosuk + 2(x4 + x1x2) sinuk + 3(1 — —t)(x1 cos2uk + x2 sin2uk) + (1 — t)2 cos3uk )Ф5 — ((2x3 + x2— —x2) sin uk — 2(x4 + x1x2) cos uk — 3(1 — t)(x2 cos 2uk — x1 sin2uk)+ +(1 — t)2 sin3uk)Ф6 + (2((x5 + x1x3 — x2x4) cosuk + (x6 + x1x4+ +x2x3) sinuk) +3(1 — t)((x3 + x2 — x2) cos 2uk + (x4+ +2x1x2) sin 2uk) + 4(1 — t)2(x1 cos 3uk + x2 sin 3uk) + +(1 — t)3 cos 4uk )Фт], (5)

где u = (u1 ,U2,U3,U4), A = (A1,A2,A3,A4), Ak > 0, k = 1,...,4,

4

y^Ak = 1, x = (x1,...,x7)T удовлетворяет системе (4), а Ф = k=1

= (Ф1,..., Ф7)т, Ф7 = 1, удовлетворяет сопряжённой системе дифференциальных уравнений и условиям трансверсальности Ф^ (1 — 1/M) = = 0,j = 1,..., 6.

Оптимальная управляющая функция u* = (u1,u2,u3,u|), соответствующая экстремальной функции f * G SM в (5), удовлетворяет принципу максимума Понтрягина [5]

maxH(t,x, Ф,u, A) = H(t,x*, Ф*,^^), 0 < t < 1 — 1/M,

u,A

где (ж*, Ф*) является решением системы (4) и сопряжённой системы с и = и* в их правых частях. Следовательно, при положительных значениях А}, А2, Аз, каждая го координат и*,и2,и3, и4 является корнем уравнения

Ник (£,ж, Ф, и, Ак) = 0, к = 1,..., 4, (6)

где ж = ж*, Ф = Ф*, а Ак — это один из векторов (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0) или (0,0,0,1). Наличие четырёх различных на [0,2п) значений и}, и2, и3, и4 координат оптимального управления и* характеризует оптимальный скользящий режим.

Функции Рм4 соответствуют координаты и} = п/4, и2 = 3п/4, и3 = 5п/4, и| = 7п/4 оптимального управления и* и значения параметров А* = А2 = А3 = А| = 1/4. Условия трансверсальности приводят к начальным условиям Фк(0) = 0, к = 1,..., 6. Проварьируем эти начальные данные, положив Фк(0) = , к = 1,..., 6. Сохранение скользящего режима в момент £ = 0 для варьированных значений Ф(0) означает равенство между собой коэффициентов при А*, А2, А3, А4 функции Гамильтона (5) при £ = 0 в точке и* = и*(а*, а2, а3, а4, а5, аб).

Приравнивая коэффициенты А*, А2, А3, А4, ния между координатами Ф(0)

«1 = «б + г*||(а*, а2)||, «2 = —аб + Г2||(а*,а2)||, «4 = 0,

где г*,г2 ^ 0 при а*, а2 ^ 0. Полагаем так же а3 = 0.

Таким образом, вариация начальных данных вектора Ф(0), сохраняющая скользящий режим, имеет вид

(Ф*(0), Ф2(0), Ф3(0), Ф4(0), Фб(0), Фб(0)) = (а*, а2, 0,0, а*, — а2) + +о((а*,а2)), (а*,а2) ^ (0,0).

Система дифференциальных уравнений (4) при и = и* и А = А* имеет решение ж^(£) = 0, к = 1,...,6, ж£(£) = 0. Аналогично система дифференциальных уравнений сопряжённой системы с теми же и = и* и А = А* и с нулевыми начальными условия ми в точке £ = 0 имеет решение Ф*(£) = 0.

Так как Ик(£, ж*, Ф*, и*, Ак) = 0, то уравнения (6) однозначно определяют аналитические неявные функции и^ = и^(£,ж, Ф), в окрестности точки (ж*, Ф*), ик(£,ж*, Ф*) = ик, к = 1, 2,3,4. Если в правые части системы (4) и сопряжённой системы подставить и = и(£, ж, Ф) = = (и*(£, ж, Ф), и2(£, ж, Ф), и3(£, ж, Ф), и4(£, ж, Ф)), то их решение (ж, Ф) ана-

А.

(х, Ф) имеет производиые по а до второго порядка. Следовательно, тем же свойством обладает и управление и = п(Ь, х(а), Ф(а)) = и(а).

Продифференцируем систему (4) поа^, ] = 1, 2. Тогда для уравнения относительно х4{Ь) имеем

d(xi)aj

dt

п = Еk=1((x1)«j sin Uk - (x2)«j C°S uk +

a=0

+(1 - t)cos2uk(Uk)a) Ma. (0) = 0,j = 1, 2.

Подставим значения uf = n/4, U = 3n/4, u3 = 5n/4, u| = 7n/4, получим

d(x4)a

dt

= 0, (x4)«j (0) = 0.

a=0

Это означает, что изменение координат вектора Ф(0) не вызывает изменения координаты x4 фазового вектора, следовательно, вдоль направления Ima3 точка Am = (0,0,0,1/2(1 — 1/M4)) граничной поверхности dV5(M), доставляемая фупкцией Pm4(z), имеет угловой характер, что завершает доказательство теоремы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Charzynski Z., Janowski W. Domaine de variation des coefficients A2 et A3 des functions univalentes borness//Bull,Soe,Sei,et Lettre.:Lodz,1959x1.3,v.10,№ 4.

2. Гордиенко В. Г. Множество значений начальных коэффициентов ограниченных однолистных функций// Известия вузов. Сер. Математика. 1988. JV2 8. С. 14-21.

3. Захаров Л. Л/.. Прохоров Д. В. Седловые точки множества начальных коэффициентов однолистных функций// Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 33 - 36.

4. Прохоров Д. В. Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций// Мат. сб. 1990. Т. 181, № 12. С. 1659 - 1667.

5. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимального управления. М : Наука, 1969. 308 с.