CC BY
11
I (0*) = {2,..., n}, что легко приводит к однозначным соответствующим вариантам решения.
Замечание 1. В варианте 2) теоремы, если mp > > (7 — mn/an) / (v — 1/an); mo 0n* < 07 соответственно в варианте 3), если mp < (y — mi/ai) / (v — 1/a)7 mo 9\* < 0.
Замечание 2. При экономической интерпретации задачи считаем mn < mp < ть
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-4383.2010.1) и РФФИ (проект 10-01-00270).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи, М,: Наука, 1980,
УДК 517.54
В.Г. Гордиенко
_ _ __и ______л
О СЕДЛОВОИ ТОЧКЕ ФУНКЦИОНАЛА аз -
В КЛАССЕ 8м
Обозначим через Б - класс голоморфных однолистных в единичном круге Е = {г : |г| < 1} функций
/ (г ) = г + а^2 + ..., (1)
а через Бм, М > 1, — подкласс, состоящий из всех ограниченных функций / Е Б, удовлетворяющих ограничению |/(г)| < М, г Е Е.
Проблема коэффициентов однолистных функций заключается в исследовании множеств значений систем начальных коэффициентов разложения (1). В работе [1] описан характер седловой точки множества У3 = {(Ива2,1та2, Ива3) : / Е Б}, доставляемой функцией
то
*2(*) = Г^ = Е г2"-1 Е Б.
п= 1
В настоящей статье алгоритм, предложенный авторами указанной работы, используется для описания характера седловой точки множества У3(М) = {(Ива2,1т а2, Ив (а3 — аа|)) : / Е Бм, а Е Л}, доставляемой функцией
К2м = г + (1 — 1/М 2)г3 + ...
Функция К2м соответствует точке (0,0,1 — 1/М2) на границе множества У (М) и отображает единичны й круг Е на круг
радиуса M с двумя прямолинейными разрезами. Известно [2], что все функции f Е SM, отображающие единичный круг E па круг радиуса M с двумя кусочно аналитическими разрезами, можно представить в виде f (z) = Mw(z, log M), где w(z,t) = e-t(z + a2(t)z2 + ...) является интегралом обобщенного дифференциального уравнения Левнера:
2
dw л -i-k + w л ,
— = -w J] Ak—-, w|t=o = z, 0 < t < log M, (2)
dt ^^ — w
k=i
с непрерывными функциями щ = Uk(t), k = 1,2, и постоянными
2
числами Ak > 0 k = 1,2, ^ Ak = 1. Кроме того, управляющие
k=l
Uk
скользящего режима. Пусть ak(t), k > 2, определяются разложением (1). Совершим замену переменной t —> 1 — --t и обозначим x1(t) = Re a2(t), x2(t) = Im a2(t), x3(t) = Re (a3 — aa|)- Приравнивая коэффициенты при
z
получим управляемую систему дифференциальных уравнений: dxi
= — 2[A cos u1 + (1 — A) cos u2], x1(0) = 0,
dt
dx2 ~dt
dx3
= 2[A sinui + (1 — A) sinu2], x2(0) = 0,
= —4x1(1 — a)[A cosu1 + (1 — A) cosu2] — 4x2(1 — a)[A sinu1 + dt
+ (1 — A) sinu2] + 2(t — 1)[A cos 2u1 + (1 — A) cos 2u2], x3(0) = 0, (3) 0 < t < 1 — 1/M, 0 < A < 1, с непрерывными управляющими
ФУНКЦИЯМИ U1 и u2.
Обозначим правые части системы (3) через
Agk (t,x,U1) + (1 — A)gk (t,x,U2), x = (ж1,ж2,жз), k = 1,2,3,
3
и составим функцию Гамильтона H(t, x, Ф, u) = ^ gk(t, x, и)Ф&, где Ф =
k=1
= (Ф1, Ф2, Ф3), Ф3 = 1а Ф1 и Ф2 являются решением сопряженной системы дифференциальных уравнений:
d 1 =4(1 — a)[A cos u1 + (1 — A) cos u2],
dt
dФ2
= 4(1 — a)[A sin u1 + (1 — A) sin u2]. (4)
dt
Непрерывные управления и! и и2 удовлетворяют принципу максимума Понтрягина вдоль траектории х(Ь), а векто р Ф(Ь) - условиям трансверсальности Ф^ (1 — 1/М) = 0, ] = 1, 2.
Функции К2м(я) соответствуют значения Л = 1/2, и = п/2, и2 = —п/2 в управляемой системе (3), следовательно, ж!(^) = 0, х2(Ь) = 0 х3(Ь) = 2Ь — Ь2, 0 < Ь < 1 — 1/М. Этим же значениям параметров Л М и и2 отвечают пулевые сопряженные координаты Ф!(Ь) = Ф2(Ь) = 0. Покажем, что точка граничной поверхности множества У3(М), доставляемая функцией К2м(я), является седловой, и исследуем ее характер. Граничные точки множества У3(М) из окрестности точки, доставляемой функцией К2м(я), описываются при помощи варьирования параметров Л = Ф!(0) <^2 = Ф2(0) в системах (3) и (4) с условиями сохранения скользящего режима [2, теор. 1]. Поскольку
Н(0,0, £, и) = —2^! сое и + 2^2 Бт и — 2 сое 2и,
то известно [1], что она достигает максимума в двух точках отрезка [—п; п] лишь при условии <^2 = Ф2(0) = 0. Таким образом, окрестность точки, соответствующей функции К2м(я), параметризуется двумя переменными (р,д) из окрестности точки (0,0), где Л = 1/2+ р и & = Ф!(0) = д.
Пусть (р,д) : (р,д) ^ ж3(1 — 1/М) (0,0) = 1 — 1/М2, где р = Л — 1/2 и д = Ф! (0) в системах (3) и (4). Справедлива следующая теорема.
Теорема. Функция ^м имеет, в точке (0,0) щи, а > 1 локальный минимум по переменному р и локальный максимум по переменному д, при, а < 1 локальный максимум по пер сменному р м локальный минимум по переменному д при выполнении неравенства М > еI-«.
Доказательство. Дифференцируя третье уравнение системы (3) по рд
(р,<7)=(0,0) (И
= 0,
Ы)=(0,0)
и, следовательно, (х3)р(1 — 1/М) = (ж3)?(1 — 1/М) = 0 в точке (р, д) = (0,0). Вычислим теперь частные производные второго порядка
функции FM(p, q) в точке (0,0), получим ¿(жз) pp
dt
¿(жз)
=8(ж1)р(1 - a)(ui)p - 16(ж2)р(1 - а) + 8(t - l)(ui)p ,
(p,q)=(0,0)
(5)
(жз)рр(0) = 0,
dt
wnn=8(xi)q (1 - a)(ui)q + 8(t - 1)(ui)2 , (X3 )qq (0) = 0. (6)
(p,q)=(0,0)
Оптимальная управляющая функция ui удовлетворяет принципу максимума Понтрягина, т.е. при всех (p, q) является корнем уравнения
Hu(t,x, Ф,м) = 0.
pq
. (Ф0р + 2(xi)p(1 - а) . , (^i)q + 2(xi)q(1 - а)
(ui)p = , (ui)q = .
Вычисляя далее частные производные функций xi5 ж2, по
pq
исчисления решения задач на экстремум из равенств (5) и (6) получим утверждение теоремы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Захаров A.M., Прохоров Д.В. Седловые точки множества начальных коэффициентов однолистных функций // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун.-та, 2003. Вып. 5. С. 33-36.
2. Прохоров Д.В. Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций // Мат. сб. 1990. Т. 181, JV2 12. С. 1659-1667.
УДК 517.518.82
С.И. Дудов, Е.В. Сорина
СРАВНЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВНЕШНЕЙ ОЦЕНКЕ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ С ЗАДАЧЕЙ БЛ. СЕНДОВА
Пусть сегментная функция (с.ф.) F(Ь) = [Л(Ь), /2(Ь)] задана на отрезке [с, двумя непрерывными функциями /1(^) и /2(Ь), причём /1(^) < /2(£) при Ь Е [с,Далее под Рп(А,Ь) = а0 +
