Седловые точки множества коэффициентов однолистных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

/(>•('„) + P*)**, VP€(0,30), geB(x'-y(t0),s). Отсюда, если учесть, что f(y(ta)) = А., имеем

f\y(t0),g)>0, VgeB(/-y(f0),e). Теперь легко сделать вывод, что

. ПуЫх-УОоЪ^У/Ы'оЪ + УиЫ'о)),

то есть ни одно из условий теоремы не выполняется. □ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ruhinov A. Abstract Convexity and Global Optimization. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000.

2. Демьянов В.Ф., Малоземов B.H. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

УДК 517.54

А. М. Захаров, Д. В. Прохоров

СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ МНОЖЕСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ*

Пусть S класс голоморфных однолистных r единичном круге U функций

/(z) = z + a2z2 + ..., zeU. (1)

Проблема коэффициентов однолистных функций заключается в исследовании множеств значений систем начальных коэффициентов разложения (1). Настоящая статья посвящена описанию характера седловой точки множества V3 = {(Rea2,Ima2,Rea3): / доставляемой функцией

(2) = Т~~2~XZ2n_1 6 S .

1 - z п=1

Функция К2 соответствует точке (0,0,1) на границе множества V3 [1, с. 205]. Все граничные точки множества У3 являются граничными точками множества достижимости управляемой системы, порождённой уравнением Левнсра [2]. Поэтому они могут быть найдены при помощи процесса оптимизации. Те из граничных точек, которые описываются скользящим оптимальным режимом, выражаются как значение (х,(i),jc2(i),x3(/)) решения управляемой системы дифференциальных уравнений [2]

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (фант 01-01-00123) и гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследовании (проект HII1-1295.2003.1).

33

—- = -2[^со8ы, +(1-Х)СО5М2], х,(0) = 0,

с/г

^. = 2[А.8ши, +(1-Х.)8ти2], х2(0) = 0,

<11

сЬс

--¿Ц^СОЗЫ! + (1 - А.)С05М2] - 4х2[А,5ти1 + (1 - Л.)51ПЫ2] +

л

+ 2(/-1)[ХСО5 2н, +(1-Я.)СО5 2И2], х3(0) = 0, (2)

где ()<Г <1, 0< X <1, с непрерывными управляющими функциями щ и и2.

Обозначив правые части системы (2) через

Xgk(t,x,u1) + (l-X)gk(l,x,u2), х = (хих2,х3), к =1,2,3,

з

составим функцию Гамильтона Н (1,х,хУ,и) ='£gk(t,x,u)ЧJk, где

*=1

"У =(Ч/1,Чу2,Ч'з), НКз =1, а Ч^] и % являются решением сопряжённой системы дифференциальных уравнений сЛР

-- = 4[Х.С08Ы[ + (1 - А.)С05И2],

Л

—— = 4[Х.Б1П Ы] +(1-А.)81пм2]. (3)

<Ь

Непрерывные управления и, и н2 удовлетворяют принципу максимума Понтрягина вдоль оптимальной траектории х(г).

Точке (0,0,1) на границе множества У3, доставляемой функцией К2, соответствуют значения X = 1/2, и1 = л/2 и и2 = -л/2 в системе (2), откуда следует, что дс,(/) = = 0 и х3(г) = 2<-/2, 0</<1. Этим значениям параметров А., И) и и2 отвечают нулевые сопряжённые координаты Ч',(Г) = Ч/2(0 = 0. Условие (У, (1),У2(1),(1)) = <0,0,1) означает [3], что в точке (0,0,1) на границе множества К3 вектор (0,0,1) является нормалью к граничной поверхности множества У3. Точка (0,0,1)€У3, доставляемая функцией К2, не может быть локально экстремальной для функционала ¿(/) = Яеа3, а только седловой, поскольку функция К2 отображает единичный круг и на плоскость с двумя разрезами, тогда как экстремальные функции имеют в качестве образа круга II плоскость с одним разрезом [4].

Исследуем характер седловой точки (0,0,1)еК3. Граничные точки множества К3 из окрестности точки (0,0,1) описываются при помощи варьирования параметров А., = 4^(0) и Е,2 = в системах (2), (3) с

условиями сохранения скользящего режима [2].

ЛЕММА 1. Условие достижения максимума функции Гамильтона //(ОД £,м)> Е, = Ч'(0), в двух точках на отрезке [-л, л] возможно лишь при

£2=У2(0) = 0.

Доказательство леммы 1 проводится элементарными средствами, поскольку Я(0,0, Е,,ы) является тригонометрическим многочленом второго порядка относительно и.

Таким образом, согласно лемме 1 окрестность точки (0,0,1) на границе множества У3 параметризуется переменными (р,ц) из окрестности точки (0,0), где X = 1/2 + р и ^ = % (0) = ц.

Для (р,д) из окрестности точки (0,0) рассмотрим функцию Р: (р,Я)^х3(1), ^(0,0) = 1, где р = Х-1/2 и ц = (0) в системах (2), (3). Функция F является локальным параметрическим представлением граничной поверхности множества У3. Седловой характер точки (0,0,1) еУ3 описывается следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 2. Функция имеет в точке (0,0) локальный максимум по переменному р и локальный минимум по переменному ц.

Доказательство. Дифференцируя третье уравнение системы (2)

пор и ц в точке (0,0), находим, что

(р.ЧН о,о)

= 0,

(р,<?М о,о)

А

откуда следует, что (*3)р(0 = (х3)д(0 = 0 в точке {р,ц) = (0,0).

Вторично дифференцируя третье уравнение системы (2) по р и ц в точке (0,0), находим, что

3/рр

Ш

¿1

= 8<*,),(«,)„-Щ*г)р +8(Г-1)(«1)2Р, (Х3)рр(0) = 0, (4)

(Р,Ч)=(0,0)

= (*З)«(0) = 0. (5)

(р,чмт

Для нахождения частных производных (и,)р и (м,)ч воспользуемся принципом максимума Понтрягина. Оптимальное управление н1 при всех (/;,<?) является корнем уравнения Ни (г.х.Т,«) = 0. Дифференцируя функцию Гамильтона Н по р и ц, из последнего уравнения находим, что

---4(7-1) 40-1) ■ (6)

Осталось найти частные производные функций х1г х2, Ч*, по переменным р и q.

Сравнивая первые уравнения систем (2) и (3) с начальным условием Т, (0) = заключаем, что

^=-2*!+«?, (7)

откуда следует, что (Ч^р^) = —2(х1)р(?). Подставляя это значение в (6),

находим, что («1)р(/) = 0. Дифференцируя второе уравнение системы (2) по р, получим дифференциальное уравнение

= 4, (*2)р(0) = 0,

(Р,Г,И0,0)

Л

которое приводит к вычислению частной производной (х2)/,(г) = 4/. Подставляя найденное выражение в (4), элементарными вычислениями находим, что = —32. Отрицательное значение частной производ-

ной (х3)рр(1) при нулевой частной производной (дг3)р(1) = 0 означает наличие локального максимума функции Г по переменному р в точке (р,д) = (0,0).

Аналогично из равенства (7) следует, что (Ч',)^) = -2(дг,)ч(/) + 1.

Подставляя это значение в (6), находим, что («Од (0 =--—-

4(Г-1)

Дифференцируя первое уравнение системы (2) по q, получим дифференциальное уравнение

dt

(р.чнт 2С

(*i),(0) = 0,

которое приводит к вычислению на отрезке [0,1] частной производной (*,) (r) = (-Iog(l-f))/2. Подставляя найденное выражение в (5), элементарными вычислениями находим, что

(*з)от (0 = 210g2 (1 - /) + i loga - 0. (8)

Положительное значение частной производной (jc3)qq(0 для всех t, как угодно близких к 1, при нулевой частной производной (*3)9(1) = 0 означает наличие локального минимума функции F по переменному q в точке (p,q) - (0,0), что заканчивает доказательство теоремы 2.

Замечание. Из формулы для частной производной (xl)q(t) и (8) следует, что граничная поверхность множества V3 не является гладкой в точке (0,0,1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.

2. Прохоров Д.В. Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций // Мат. сб. 1990. Т. 181, № 12. С. 1659 - 1677.

3. Прохоров Д.В. Геометрические методы в проблеме коэффициентов аналитических функций // Изв. Сарат. ун-та. Новая серия. Саратов, 2001. Т.1, вып. 2. С. 43 - 55.

4. Duren P. Univalent functions. N.Y.; Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1983.