Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях с почти контактной метрической структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Условие монотонности Н^ (а) > Не (а), приводящее ввиду (5),(6) к решению задачи (1), вытекает из теоремы 3 (достаточно положить Н := Не (а) и переобозначить а := а). Перебор базисов закапчивается с выполнением (6).

Обозначим М := {к е 0, N : у2,к - У\,к = шахк€{о,ж} (У2,к - У1,к)}, | М| - количество элементов во множестве М.

Замечание.

Одним из достаточных условий единственности решения задачи (1) является |М | > п + 1. В таком случае, в качестве начального базиса целесообразно брать а е ]к е М, к = 0,п + 1 \ {т}. Тогда решение задачи (1) будет найдено уже на первой итерации алгоритма.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ( проект НШ - гринтЛ'0 4383.2010.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Выгодчикова И. Ю. Об условной задаче наилучшего приближения сегментной функции алгебраическим полиномом // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 12-15.

УДК 514.764

С. В. Галаев, А. В. Гохман

ОБОБЩЕННЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ С ПОЧТИ КОНТАКТНОЙ МЕТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

Вводятся понятия геодезической пульверизации связности над гладким распределением и обобщенной гамильтоновой системы, в терминах которых дается инвариантное описание движения механической системы со связями.

В работе [1] В. В. Вагнер привлекает развитые им ранее геометрические методы для изучения конкретных динамических систем со связями. Используя специальные системы координат, Вагнер записывает уравнение движения неголономной системы при отсутствии внешних сил в следующем виде:

Агрп Агра Агра Агуь Агрс

и/о; Ц/фА; и/ьО и/ьО и/ьО , ,

~Ж = - а ~dt, + Ъс = ' ( )

В настоящей статье мы показываем, что кривые, определяемые уравнениями (1), являются проекциями интегральных кривых векторного поля, называемого нами геодезической пульверизацией связности над распределением. В статье рассматривается векторное расслоение (Б, п, X),

тотальное пространство О которого является гладким распределением контактной метрической структуры (^,£,п,д)? заданной на многообразии X [2]. На многообразии О определяется геодезическая пульверизация связности над распределением, являющаяся аналогом геодезической пульверизации, заданной на пространстве касательного расслоения ТХ, и имеющая ясную физическую интерпретацию - проекции интегральных кривых геодезической пульверизации связности над распределением совпадают с допустимыми геодезическими (траекториями движения механической системы со связями). Хорошо известно, что в случае, когда О = ТХ, геодезическая пульверизация совпадает с гамильтоновой системой, естественным образом возникающей на касательном расслоении риманова многообразия. Существует несколько подходов к определению аналога гамильтоновой системы - контактного гамильтонова векторного поля на многообразии с почти контактной метрической структурой (см. [2]). Введенная в этой статье обобщенная гамильтонова система тесно связана с геодезической пульверизацией связности над распределением и в некоторых случаях совпадает с известными типами контактных га-мил ьтоновых векторных полей.

Пусть X - гладкое многообразие нечетной размерности п, ^(Х) - СТО(Х) - модуль гладких векторных полей наХ. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса С

Пусть (О, д, Л, О1) — контактная метрическая структура (см. [2]), заданная на многообразии Х. Карту К(ха) (а, в, 7 = = 1,...,п) (а,Ь,с,е = 1 ,...,п — 1) на многообразии Х будем называть адаптированной к распределению О, если О1 = Брап(-г^).

Теорема 1. Всякая внутренняя линейная связность определяет связность над распределением,, и обратно, связность над распределе-О

О, если имеет место равенство С1(ха,хп+а) = Гс(жа)жп+С.

Контактное гамильтоново векторное полем (см. [2]) определяется на многообразии с почти контактной метрической структурой посредством равенства ¿и^п = — где гладкая функция / называется гамильтонианом.

Равенство ¿и^п = — выполняется лишь при условии £/ = 0, что эквивалентно обращению в ноль производных дп/ в адаптированной карте. В работах [3, с. 180; 4, с.30] контактное гамильтоново векторное поле рассматривается как векторное поле, удовлетворяющее следующим условиям: ¿иП = !, ¿и^п = (£/)п — !

Ниже дано определение обобщенной гамильтоновой системы - анало-

га контактного векторного поля для случая почти контактной метрической структуры. Предварительно докажем теорему.

Теорема 2. Пусть ш — допустимая симплектическая струк-

Х

а) ш(х, 7) = 0; Ь) гкш = п — 1; с) (ш = 0, / - гладкая функция на многообразии Х. Тогда существует единственное векторное полей на Х, удовлетворяющее условиям:

1 ¿иП = &, 2 ¿иш = )П — ¿1.

Доказательство. Воспользуемся адаптированными координатами. Имеем: п = 9п = ¿хп + Гп(ха,м = иаеа + ипеп,7 = дп, £/ = дп/,ш = = шаЪ(ха ® (1хъ, = еа!(ха + дп#п

Таким образом, равенства 1, 2 перепишутся соответственно в виде:

1/ ип = &; 2/ШЪаМ = еа!

Искомым векторным полем, таким образом, является поле, однозначно определяемое в адаптированных координатах равенством

и = ШаСёс!ёа + дп!дп. □ (2)

Назовем векторное поле (2) обощенной гамильтоновой системой (ОГС), а функцию / — обощенным гамильтонианом. ОГС в соответствии с (2) раскладывается в сумму м = щ + М2, где щ = шасес/еа, и2 = дп&дп. Если дп! = 0 и ш = ¿п, то щ является контактным гамиль-тоновым векторным полем в смысле [2].

Векторное поле 5 Е Г(О) па многообразии О назовем полупульверизацией, если выполняется следующее условие: ) = V, V Е О. Локальное представление поля 5 в адаптированных координатах имеет вид 5(ха, хп+а) = хп+ада — хп+аГпдп + 5п+адп+а. Интегральные кривые поля 5 определяются системой уравнений, равносильной системе

{¿2жа _ оп+а(ха Фха)

фЬ2 = ° (х , ^^ ), (3)

¿X" = _гпфх^ (3)

ФЬ Г а ¿Ь .

Полупульверизацию 5 будем называть пульверизацией, если она удовлетворяет дополнительному условию [С, 5] = 5?, где (7 = хп+адп+а.

Теорема 3. Всякая внутренняя линейная, связность Г^с определяет пульверизацию Б, координатное представление которой 5 имеет вид

С = хп+аба, где ба Е НО, п^(ёа) = ва, 6а = да — Гпдп — 0Ъадп+Ъ-

Из теоремы 3 следует, что уравнения (3) для геодезической пульверизации совпадают с уравпепиеми (1) и, таким образом, оказывается справедливой следующая теорема.

Теорема 4. Проекции интегральных кривых геодезической пульверизации S совпадают с геодезическими внутренней линейной связности.

Пусть D — распределение почти контактной метрической структуры и Гс — коэффициенты внутренней симметричной метрической связно-

D

отношению к D) симметрическую форму G [5], которая, в свою очередь, позволяет задать лагранжеву динамическую систему — обобщенную га-мильтонову систему.

Пусть Л = dn+aTdxa, где T = |gabxn+axn+b — допустимая (по отношению к D) 1-форма. Тогда форма Q = dЛ оказывается допустимой сим-

D

ра является K-контактной [6]. В более общем случае имеем равенство Q = ш + ш, где ш — допустимая форма. В качестве обо щепного гамильтониана рассмотрим функцию T — C Т. Имеет место

Теорема 5. Обощенная гамильтонова система, определяемая формой ш и обобщенным гамильтонианомТ — CT, совпадает с векторным полем C + (eT)e, где S — геодезическая пульверизация.

Доказательство. Нам нужно доказать, что выполняются условия

j(X) = eT, iX ш = (eT )rj — dT, (4)

где X = C + (eT)e. В адаптированных координатах мы имеем Q = ebT. adxh Л dxa + T. a. bQn+b Л dxa + dnT. aQn Л dxa, и, следовательно, ш = 6bT. adxbЛ dxa + T. a-b®n+bЛ dxa, где точкой обозначается производная по слоевым координатам. Проводя необходимые вычисления, убеждаемся в справедливости (4).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 1941. Вып. 5. С. 301-327.

2. Pitis G. Hamiltonian Fields and Energy in Contact Manifolds // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. 2008. Vol. 5, №1, P. 63-77.

3. Eberard D. В., Maschke M., Van Der Schaft A. J. An extension of hamiltonian systems to the thermodynamic phase space: towards a geometry of nonreversible processes // Reports on mathematical physics. 2000. Vol. 60. № 2. P. 175-198.

4. Crasmareanu M. Completeness of hamiltonian vector fields in jacobi and contact geometry // U.P.B. Sci. Bull. Series A, 2011. Vol. 73, № 2. P. 23-36.

5, Galaev S. V. Contact structures with admissible Finsler metrics Physical Interpretation of Relativity Theory: Proceedings of International Meeting (Edited by M.C. Duffy, V.O. Gladvshev, A.N. Morozov, P. Rowlands), Moscow, 4 - 7 July 2011. Moscow : BMSTU, 2012. P. 80-87.

6. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М. : МПГУ, 2003.

УДК 517.54

В. Г. Гордиенко, К. А. Пилясова

О ЛОКАЛЬНО ЭКСТРЕМАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ

ФУНКЦИИ ПИКА

Обозначим через 8м, М > 1, класс голоморфных однолистных в единичном круге Е = {г : |г| < 1} функций

! (г ) = г + а2г2 + ..., (1)

удовлетворяющих ограничению |/(г)| < М, г € Е.

В настоящей статье устанавливается свойство граничной поверхности дУ5(М) множества значений У5(М) = {(а2,а3,а4, Ява5) : ] € Бм} в окрестности точки Ам = (0,0, 0,1/2(1 — 1/М4)), достовляемой симм-метризованной функцией Пика

2z2

Pm4 (z) = J-. -, z G E.

W 11 M4(M2(1 + z4) + ^(1 + z4)2 - 4z4)

Следующая теорема развивает и дополняет результат работ [1],[2,],[3]. Теорема. Точка Am = (0,0, 0,1/2(1 — 1/M4)) граничной поверхности dV5(M), доставляемая функцией PM4(z), вдоль направления Ima3 имеет угловой характер.

Доказательство теоремы.

Функции f G SM, доставляющие точки граничной поверхности dV5(M) отображают E на круг радиуса M с не более чем четырьмя кусочно аналитическими разрезами. Известно [4], что все такие функции можно представить в виде f (z) = Mw(z, log M), где

w(z, t) = e—t(z + a2(t)z2 + ...) (2)

является интегралом обобщённого дифференциального уравнения Лёв-нера

4

dw sr^ л etUk + w . л ,

= — -, w|t=o = z, 0 < t < log M, (3)

f J Piuk — 1П

dt ^ eiUk — w

k=1