О сходимости средних Рисса разложений по собственным и присоединенным функциям одного интегрального оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

п

ства f Dn(s) ds < 2п получаем оценку

1

\i>N(T)\ < cf | f (i,r)| d£,

0

где константа С зависит только от x и t.

Правая часть неравенства (11) является суммируемой на [0, t] функци-

T

переходе получаем формулу (5). Теорема доказана.

Работа выполнена в рамках проект,ной части госзадания Минобр-науки РФ (проект № 1.1520.20Ц К).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромов А. П., Корпев В. В. Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения е суммируемым потенциалом // Докл. РАН, 2016, Т. 468, 5, С, 505-507,

2, Бари Н. К. Тригонометрические ряды, М, : Гос. изд-во физ.-мат, лит., 1961, УДК 517.95, 517.984

O.A. Королева

О СХОДИМОСТИ СРЕДНИХ РИССА РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

Исследование равносходимости спектральных разложений представляет собой развивающееся направление, начало которого было положено в работах В. А. Стеклова, Е. Гобсона, А. Хаара для случая дифференциального оператора Штурма Лиушыля и Я. Д. Тамаркина, М. Стоуна для дифференциального оператора произвольного порядка с произвольными краевыми условиями, удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа. М. Стоун показал, что если краевые условие регулярны, то имеет место равносуммируемость па любом отрезке [а,Ь] С (0,1) средних Рисса порядка Z (Z > 0)

где Я\ - резольвента оператора.

А. П. Гуревич и А. П. Хромов при исследовании суммируемости по Риссу разложений по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) интегральных операторов вводили в рассмотрение обобщенные средние Рисса следующего вида:

- ¿г / д (Л,г)

Некоторые являются обобщением средних Рисса вида (*). В настоящей работе найдены необходимые и достаточные условия равномерной сходимости обобщенных средних Рисса разложений по с.п.ф. интегрального оператора, ядро которого терпит скачки на сторонах квадрата, вписанного в единичный квадрат. Частный случай такого оператора впервые рассматривался в [1].

Рассмотрим интегральный оператор:

У = А/ = А (ж,*) /(*) (1)

Обозначим:

А^ж,*) = А(ж,*), если {0 < * < 1/2 - ж, 0 < ж < 1/2}, А2(ж, *) = а(ж,*), если {1/2 + ж < * < 1, 0 < ж < 1/2}, А3(ж, *) = а(ж,*), если {о < * < -1/2 + ж, 1/2 < ж < 1}, А4(ж, *) = а(ж,*), если {з/2 - ж < * < 1, 1/2 < ж < 1}, А5(ж, *) = а(ж,*), если {1/2 - ж < * < 1/2 + ж, 0 < ж < 1/2} и {-1/2 + ж < * < 3/2 - ж, 1/2 < ж < 1} .

Предположим, что А^(ж,£), г = 1, 5 непрерывно-дифференцируемые в своих областях, причем А5(ж, 1 - ж + 0) - А1(ж, 1 - ж - 0) = а, А5(ж, 1 + ж - 0) - А2(ж, 2 + ж + 0) = Ь, А5(ж, -1 + ж + 0) - Аз(ж, -1 + ж - 0) = с, А5(ж, § - ж - 0) - А4(ж, § - ж + 0) = (, где а, Ь, с, ( - постоянные.

Рассмотрим следующий оператор:

1

/*2 1

г = Вд = В(ж,*)д(*) 0 < ж <2

где г(ж) = д(ж) = (д1(ж),д2(ж),#з(ж),д4(ж))т,

В(ж,^) =

/ 0 А(ж, 1/2 - ¿) А(ж, 1/2 + ¿) 0 ^

А(1/2 - ж,£) 0 0 А(1/2 - ж, 1 - ¿)

А(1/2 + ж, г) 0 0 А(1/2 + ж, 1 - ¿)

\ 0 А(1 - ж, 1/2 - ¿) А(1 - ж, 1/2 + ¿) 0

Имеет место теорема

Теорема 1. Если у = А/7 то г = Вд7 где г1(ж) = у (ж), г2 (ж) = = у(1/2 - ж), гз(ж) = у(1/2 + ж), г4(ж) = у(1 - ж). д1(ж) = /(ж), д2(ж) = = /(1/2 - ж), дз(ж) = /(1/2 + ж), д4(ж) = /(1 - ж). Обратно: если г = Вд и д1 (ж) = д2(1 /2 - ж), д3(ж) = д4(1 /2 - ж)7 то г1(ж) = г2(1/2 - ж), г3(ж) = г4(1/2 - ж) и, у = А/; где /(ж) = д1(ж) при, ж Е [0,1/2]; /(ж) = д3(-1/2 + ж) щи, ж Е [1/2,1] м у(ж) = г1(ж) прм ж Е Е [0,1/2]; у (ж) = г3(-1/2 + ж) при ж Е [1/2,1].

В [2] также доказаны необходимые и достаточные условия существования оператора В-1. В дальнейшем будем предполагать, что В-1 существует.

Также имеет место

Теорема 2. Для оператора В-1 справедливо представление В-1г(ж) = Рг'(ж) + а1(ж)г(0) + а2(ж)г ( М +

+а3(ж)г(ж) + / а(ж,£)г(£) (3)

Л

1 /2

Бг(0)+ Тг(-) + / а(*)г(г) ^ = 0. (4)

2 ,/0

где а^(ж), г = 1,3, а3(ж), а(ж) - непрерывные матрицы-функции, каждая компонента матрицы а(х,Ь) имеет такой же характер гладкости,

что и компоненты Вж(ж,^);

1 1

2 2

Б = Е + / В(0,£)а1(£) ¿¿,Т = / В(0,£)а2(£) - постоянные матрицы 00

4 х 4.

Получим интегродифференциальную систему для резольвенты Яд = = (Е - АА)-1А оператора А. Пусть г = (Е - АВ)-1Вд. Тогда г - АВг = = Вд. Отсюда по теореме 2 из (3), (4) получаем

Рг'(ж) + а1(ж)г(0) + а2(ж)г(~) + а3(ж)г(ж) + ТУг - Аг(ж) = д(ж), (5)

2

(0) + Тг(1) + Г а(ф(¿) ^ = 0, (6)

где ТУ г = / а(х,£)г (£) Имеет место теорема: о

Теорема 3. Если Я\ существует, то Ял/ = V(х), гс^е

г>(х) = (х) при, х Е [0, -], г>(х) = г3 (х — - ) при х Е [-, 1], (7)

2 \ 2 / 2

, г3 - первая и третья компоненты вектора г(х), удовлетворяющего системе (5), (6). Обратно, если Л такое, что однородная краевая, задача для (5), (6) имеет только нулевое решение, то Ял существует и определяется по формуле (7).

Лемма 1. При условии ^ = а, (^ + а)2 — 4Ьс = 0 матрица Q = Р—1 подобна диагональной Б = ¿¿ад(ы1 , ¡х>4)7 причём ¡х>3 = — ы2, ¡х>4 =

= —, = Пусть матрица Г такая, что Г-1Р—1Г = Б. Выполним в (5), (6) замену г = Гу получим

У(х)+Р1(х)г(0)+Р2(х)у + Рз(х)г(х)+Ту(х) —ЛБу(х) = т(х), (8)

1 /2

МоГг(0) + М1Гу(-) + Г/ ОДЗД ^ = 0, (9)

2о

где Рг(х) = БГ—Ч(х)Г7 N = БГ—т(х) = БГ—1д(х)7 ОД = а(*)Г, Мо = М1 = ТГ.

Лемма 2. Существует матрица-функция Н(х, Л) = Н0(х) + + Л-1Н1(х) с непрерывно-дифференцируемыми компонентами матриц Н0(х), Н1(х^7 причем, Н0(х) невы,рождена, при, всех х и диагональная такая, что преобразование У = Н(х, Л)и приводит систему (8), (9) к виду

и'(х) + Р1(х, Л)^(0) + Р2(х, Л)^0 + +Р3(х, Л)г»(х) + Жди(х) — ЛБи(х) = т(х, Л),

и(V) = Мол^(0) + М1л^0 + /2 П(*, ЛМ*)^.

Рассмотрим систему

и'(х) = ЛБи(х) + т(х), 33

ЦоИ = МоНо(0)и(0) + М1Яо(2)^2) + /2 "(^)НоС^)и(^) ^ = 0. (11)

Будем считать, что ЯеА^ > ЯвА(х>2 > 0. Для решения и(х, А) = ЯоЛш системы (10),(11) имеют место формула (25) и оценки (28) в [2]. Пусть д(А,г) удовлетворяет следующим требованиям:

1)д(А, г) непрерывна по А в круге |А| < г и аналитична по А в |А| < г при любых г > 0;

2)3 С > 0, такая что |д (А, г)| < С при всех г > 0 и |А| < г;

3)д(А,г) ^ 1 при г ^ то и фиксирован пом А;

4)3 в > 0, такая что

п , (о ((2 + г)в), -2 < г <0

д(А,г)=< (( )в) ,где^ = атд^.

10((| - <РУ) , 0 < Г < 2

В качестве обобщённых средних Рисса будем брать интегралы

Л(/,х) = —^ I д^ОЛл/^

|Л|=г

где Лл/ = (Е — АА)-1А/ - резольвента Фредгольма.

Теорема 4 (формула остаточного члена). Пусть /(х) - непрерывная функция на [0,1] , /о(х) - непрерывно-дифференцируемая функция на [0,1]7 принадлежащая, области значения оператора. Тогда, если на окружности |А| = г нет собственных значении, оператора А, то

/(х) — ^(/, х) = /(х) — /о(х) + (1 — д(о, г)) • /о(х) +

+2ЛТ [ д(А,г)¿А — л(/ — /о,х), |Л|=г А

где /о = А^о

Теорема 5. Соотношение

Ит ||/(х) + Jr(/,х)||с[о 11 = 0

имеет место тогда и только тогда, когда

а)/(х) е С[0,1],

б) д(х) удовлетворяет (6)7 то есть

1 2

(0) + Тг(1) + ^ а(ф(¿) ^ = 0. о 34

Теорема 6. Соотношение

Ит ||/(х) + Л(/,х)Ус[о 1] = 0

Г—7>00 1 ' J

имеет место тогда и только тогда, когда /(х) Е Аа, где Аа - замыкание области значений оператора А.

Следствие. Аа состоит из функций, удовлетворяющих условиям а) и б) из теоремы 5.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромов А. П. Интегральные операторы е ядрами, разрывными на ломаных линиях // Мат. еб. 2006. Т. 197, № 11. С. 115-142.

2. Королева О. А., Хромов А. П. Интегральный оператор е ядром, имеющим скачки на ломаных линиях // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 12, № 1. С. 33-50.

УДК 519.2

И. А. Кузнецова

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ С ПОСТЕПЕННЫМ

МНОГОШАГОВЫМ УТОЧНЕНИЕМ ИНФОРМАЦИИ ПЕРВОГО ИГРОКА О ВЫБОРЕ ВТОРОГО

Иерархические игры - это модели конфликтных ситуаций с неравноправными участниками, в которые первый игрок может организовывать обмен информацей между игроками [1-4]. Оптимальные способы организации такого обмена при точном знании первым игроком выбора второго и при наличии ограничений на информированность рассмотрены соответственно в [5] и [6], там же приведены определения иерархической игры, её квазиинформационного расширения и наибольшего гарантированного результата. В данной работе оптимальный способ организации обмена информацией находится для случая постепенного многошагового уточнения информации первого игрока в выборе второго.

Пусть Г = (X, У, д) - иерархическая игра. Рассмотрим систему

{X а.1...а.г} (а1,...,а^)бА1 х... х а,..., {х )еА1Х...хА п

{Ув1 }р1ЕВ1, ..., {Ув1..А'}(в\-Фз)ЕВ1Х...ХБЛ , ..., {Ув1...вп}(в1...вп)еВ1Х...хВп