Разложение по собственным функциям дифференциального оператора n-го порядка с нерегулярными краевыми f условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

где д(х) = / (2 + х), х Є [0, 2], £г(/, ж) — частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора Л для тех характеристичеких чисел, для которых |Ак | < г, аг (д, х) - частичная сумма ряда Фурье по ( Л 00

системе | -^2е4кпгх | функции д(х) на отрезке х Є [0, 2] для тех к, для которых |4кп| < г. Доказательство. Имеем £г (/,ж) = -2пг / Дл(Л)/(х) ¿А, <гг(/,х) = -2пг / Дол/(х) ¿А, где

| Л | =г |Л|=г

у(х) = Д0Л/(х) есть решение краевой задачи у'(х) — Ау(х) = /(х), у(0) = у(1/2).

Пусть х Є [0, 2]. Тогда Дол/(х) = (ГНо(х)Д2Л(Н-1™,))!, Дл/(х) = (ГН(х, А)w(x, А))і, где (-)і

означает первую компоненту вектора, помещенного в скобки. По лемме 18 имеем

lim

Г—>OQ

[(ГН(x, A)w(x, Л))і — (ГН0(ж)Л2Л(H0 1?m(x)))i] dA

|Л|=г

= 0.

[є, 2 —є]

Тогда £.(/,х) = -51т / (ГНо (х)Л2Л(Н- 1 гт(ж)))1 ¿А + о(1), где о(1) ^ 0 при г ^ ^ равномерно |л|=.

по X е [е, 2 — е] . Н0 — 2лг I (ГН0 (х)Л2Л(Н0 1?т(х)))1 ¿А = а.(/, х) и первое соотношение теоремы

1Л1=Г

получено. Второе соотношение получается аналогично. Теорема доказана. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003). Библиографический список

1. Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами, раз- разложений по собственным функциям интегральных

рывными на ломаных линиях // Мат. сб. 2006. Т. 197, операторов с ядрами, допускающими разрывы произ-вып. 11. С. 115-142. водных на диагоналях // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 10.

2. Корнев В.В., Хромов А.П. О равносходимости С. 33-50.

УДК 517.984.52

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА п-ГО ПОРЯДКА С НЕРЕГУЛЯРНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

О.Ю. Дмитриев

Саратовский государственный университет,

кафедра дифференциальных уравнений и прикладной

математики

E-mail: [email protected]

В работе рассматривается задача разложения по собственным функциям дифференциального оператора n-го порядка с нерегулярными краевыми условиями специального вида. Получены необходимые и достаточные условия разложения по собственным функциям на отрезке [0,1] и внутри него.

Expansions in Eigenfunctions of the n-th Order Differential Operator with Non-Regular Boundary Conditions

O.Yu. Dmitriev

The paper deals with the expansions in eigenfunctions of the n-th order differential operator with non-regular boundary conditions of special type. Necessary and sufficient conditions for existing of such expansions either on the interval [0,1] or inside it are derived.

Рассмотрим на отрезке [0,1] краевую задачу, определенную дифференциальным уравнением

,Н — Ay = 0,

(1)

и краевыми условиями

иг (у) = аг у(го1) (0) + у(г-1) (1) = 0, I = 1,...,п, (2)

где аг - константы, А - спектральный параметр, п = 4к + 1, к е N.

Для случая п = 3 А.П.Хромовым в [1] были получены необходимые и достаточные условия

разложения функции в равномерно сходящийся на (0,1) ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям краевой задачи (1)-(2) с нерегулярными краевыми условиями. Там же были получены теоремы о разложении внутри интервала (0, 1).

© О.Ю. Дмитриев, 2007

О.Ю. Дмитриев. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора____

В [2] автором этот результат был распространен на случай n = 4k + 1. Были получены теорема

о необходимом условии и теорема о достаточном условии разложения функции в равномерно сходящийся на (0,1) ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) краевой задачи (1)-(2) с нерегулярными краевыми условиями.

Данная статья является продолжением этих исследований для разложений внутри интервала (0,1), при этом необходимые условия, полученные в [2], сохраняются. Получение достаточных условий разложения требует изучения поведения функции Грина. Основная трудность состоит в том, что функция Грина G(x,t, Л) краевой задачи (1)-(2) с нерегулярными краевыми условиями имеет экспоненциальный рост при больших |Л|, причем такой рост наблюдается как при t < x, так и при t > x. В [1] и [2] справиться с таким ростом удавалось с помощью специального функционального уравнения, которому должна удовлетворять разлагаемая функция. Рассматриваемая в данной статье ситуация отличается тем, что в связи с уменьшением интервала разложения функциональное уравнение перестает действовать. Поэтому чтобы справиться с экспоненциальным ростом функции Грина, аналогично [1], осуществляется переход к новому оператору, порожденному многоточечной краевой задачей.

2 j - 1

Пусть Л = —рп, ш = exp----------ni, j = 1,... ,n. Тогда если р пробегает сектор S с вершиной в

n

П П . .

начале координат, определяемый неравенствами-------< arg р < —, 0 < |р| < го, то Л пробегает всю

n n

n

комплексную плоскость. В дальнейшем будем предполагать, что р е Б. Положим Ь^ = ^ aj(—и)

г-1

І = 1,...,п. Будем рассматривать такие краевые условия (2), для которых выполняется Ьу = 0, І = к + 1,..., 3к + 1; ЬкЬ3к+2 = 0. В этом случае краевые условия (2) нерегулярны по Биркгофу ([3], с. 66-67).

Аналогично [2] будем рассматривать функциональное уравнение вида

к 4к+1

ф(у,х) = Х! ^у(их) + X! ^У(й'х) + пу(1 - х) = ° (3)

j=1 j=3k+2

Определим многоугольник Т1-а/^еШк системой неравенств:

Ие Uj г < Ие и2к+1а + Ие Uj, з е 7+,

ИеUjг < Ие^2к+1« + Кеизк+2, 3 е J-,

Ие^2к+1г < Иеи2к+1«,

где 7 + = {1, 2,..., к, 3к + 2,..., 4к + 1}, 7- = {к + 1,..., 2к, 2к + 2,..., 3к + 1}.

Разложение внутри интервала (0,1) имеет смысл рассматривать, учитывая результаты [2], на

интервалах = (Иеик(1 — в);в), где в е (7,1], 7 = -——. Кроме того, из [2] следует, что

1 + И,е ик

функциональное уравнение (3) не имеет смысла при в е (7,1 — 7].

Поскольку аналитичность разлагаемой функции /(г), согласно результатам [2], можно предполагать только в области Те, а экспоненциальный рост функции Грина С(х,£,р) тем больше, чем ближе х к концам отрезка [0,1], то для преодоления этой трудности аналогично [1] мы осуществим переход к новому оператору.

Введем в рассмотрение операторы:

¿0 : у(п), и (у) = 0, г = 1,..., п, ¿1 : у(п), V (у) = 1 £г-1 Ф(у,7) = 0, г = 1,..., п.

Операторы ¿о и ¿і имеют одни и те же с.п.ф Обозначим через ¿2 оператор, полу1 = 2Ке<^к, у(г) = и(ад) из оператора ¿1:

Обозначим через L2 оператор, полученный в результате замены w = c(z — 7), c = wk + w3k+2 =

¿2 : и(п), и (и) = ^ ауи(г 1} (с(оу - 1)) + а^к+іи^ 1} (7) = 0, і = 1,...,п,

ІЄ ^+

где «у = (^)і-іЬу, І Є 7+, «І2к+1 = (^2к+і)г-іП, 7 = 2 - с.

Таким образом, задача разложения по с.п.ф. оператора ¿1 сводится к задаче разложения по с.п.ф. оператора ¿2 функции /(ад), аналитичной в области, представляющей из себя треугольник ТХ0, гомотетичный треугольнику = (с(^3к+2 — 1),7,с(^к — 1)) с центром гомотетии в начале координат и

имеющий вершину ж0 на положительной полуоси, причем, 0 < х0 < 7, так как мы рассматриваем тот случай, когда функциональное уравнение (3) не имеет смысла.

Аналогично [3, с. 46-47] имеет место следующее утверждение.

Лемма 1. Резольвента Я л/ оператора Р2 имеет вид (X не является собственным значением оператора Р2):

Да/ =

1

a(p)

Mа f (x) eP^ix eP^nx

U1(MMa/ ) U1(ePWix) . . U1(eP^nx)

Un(Mа / ) Un (eP-ix) . . Un (eP“n x )

Ма/(x) = - —nпЕ Че^'(x_i)/(C) dC, A(p) = det ||Ui(ep-jx)|Ь=1,...,п.

np

j=i

fj(x) eP^i x eP^n x

Обозначим Pj (x,/, p) = U1(/j ) U1 (eP^ix) . ... 1U .e . . . .. )

Un (/j ) Un(ePWix) . . Un(eP^nx)

, где /j(x) = JeP^'(x 5)/(C)dC,

с(шг-1)

Um (fj ) = E «ml J (P^J )m-1ep“i <c<"‘-1)-f> / (C)dC + a„2k+^ (puj )m-1 e« «"«/(£)d£, j = 1,...,

0

leJ + 0

..., n, m = 1,..., n. Тогда, согласно лемме 1, резольвента примет вид

Да / = -

nPn 1 A(P) j=

n

jj

j=

4 pj (x,f P)-

(4)

Распространим (как в [4]) резольвенту Да/ оператора L2 на функции n раз радиально непрерывно дифференцируемые относительно начала координат. Теперь получим нужные нам оценки слагаемых Pj в формуле (4).

Лемма 2. Пусть /(w) регулярна в Txo, непрерывна в Txo, где х0 є (0,7), и радиально продолжена в T^. Тогда

при arg p є [0; п/n] Pj (х, /, p) = O(p”eP*), j = 1,..., 4k + 1,

при arg p є [-n/n; 0] Pj (x, /, p) = O(p”ерж), j = 1,..., 4k + 1,

2p^j — cp^j, i = 1,..., k — 1, 3k + 2,..., 4k + 1,

cpwj(wk — 1), i = k,..., 2k,

^cp4j(^3k+2 — 1), i = 2k + 1,..., 3k + 1,

2p^j — cp^j, i = 1,..., k, 3k + 3,..., 4k + 1,

cpwj(wk — 1), i = k + 1,..., 2k + 1,

^ cp4j(43k+2 — 1), i = 2k + 2,..., 3k + 2.

Доказательство. Пусть arg p є [0; n/n], j = 1,..., k — 1, 3k + 2,..., 4k + 1. Используя радиальное продолжение / в Ty и теорему Коши в области Txo, представим элементы первого столбца Pj (х,/, p) в виде суммы. Затем разложим Pj на сумму нескольких определителей:

n(n 1) n n где а = ^, ¡7 = ш ш = <

j=1

j=i

7 j = <

Pj(x, f p) = p”

x

nej+2fc / eP^'(Y-i)/(C)dC и(epwix)

eP^n x

U (eP“nx)

+

+ E p”

ІЄ J+

+ £ p”

ІЄ J+

е(шг-1)

с(шг-1)xo/7

c(^(-1)xo /7

bi£j-i S eP^j(е(шг-1)-i)/(C) dC U(epwix)

x0

” / e-p^ji

+p e

eP^j xe(x,C) eP^ix

77 (eP^jx) U (eP^ixN

eP^ix eP^nx

7(ePWix) . .. 7(eP^nx

eP^i x eP^nx

U(ePWix) . . . 7 (eP^nx

eP^nx U (eP““x) /(C) dC,

+

+

x

n

1

0

0

ciwj — 1) —

j

0

Научный отдел

О.Ю. Дмитриев. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора

U (u) =

1 U1(u) \ 1 ( a1j\

р-1U2 (u) є, a2j

, є, = , 7, =

V-n+1 Un (u)/ Un-1/ Van, /

/ I 1, X < С

, є(х, С) = < , где є,

’ v ; I 0, х > С J

= (^ )г ^ ^ € J + , «¿2к + 1 = (^2к+1 )* 1П.

Оценим каждый определитель отдельно. Рассмотрим сначала определители вида

0

зР^іХ

е(шг-1)

Ьгє,-г / ep^j (с(^-1)-5)/(С) dC U (e^) ... U (ерш™Х)

с(шг-1)xq/7

Легко получить предварительную оценку этого определителя:

(5)

О ( {1 + |еср^'(шг-1)(1-Х0^)|}|ерж| тах |ер^х-рж* И .

\ г = 1,п /

Поскольку X < Х0 <7, то, по определению Шг, очевидно, что Ив (р<^X — рШг) < 0, % = 1, П.

Чтобы оценить Ив {ер^- (^ — 1)(1 — х0/7) + р<^х — ршг}, рассмотрим все случаи в зависимости от значения и получим, что оценка определителя (5) будет 0(ерж).

Получим оценку следующего определителя:

0

зР^і x

с(шг-1)жо/Y

еР^„х

U(ep^nx)

bi£j-i / eP^'(е(шг-1)-^ f (С) dC U(epWlx) .

Xo

= of{|ecP^j(^-1)(1-xo/7)| + |ecP^j-1)-cp^jxo|}|eP^| max |eP^x-P^Л =

' i = 1,n '

= {1 + |e(cP^j (^i -1)-P^j 7)xo/Y) |} | ecP^j (^-1)(1-Xo/7) ||eP® | max |eP^i x-p®i Л = 0(eP$ ).

' i = 1,n '

Рассмотрим еще один определитель. Сначала вынесем интеграл из первого столбца, затем вычтем первый столбец из (j + 1)-го столбца, разложим определитель по (j + 1)-му столбцу и оценим

0

зР^іХ

Зрш„ Х

n7j+2k / ef^i(Y 5) / (С) dC 7 (еР-іХ ) ... U (еР^та x)

= / (C)e-^^j 5 dC

0

зР^іХ

зР^і Х

єРЗ

зР^п Х

ПЄ,+2к Єр^і y U (єРШі Х ) ... U (єр^і Х ) - ПЄ,+2к Єр^і y ... U (єр^ Х )

= Ы{|e-P^jxo| + |e-P^jY|}{|eP^x||eP*| + |eCP^'(w*-1)||eP*| max |eP^iX-P$i||) =

' ^ i = 1,n, i=j J '

= o({|eP^j(x-xo)| + |eCP^j(^-1)-P^jxo| max |ePWiX-P$i|)|eP* 1) = o(eP*).

' ^ i = 1,n, i=j ' '

Рассмотрим последний определитель. Вычитая первый столбец из (j + 1)-го столбца и раскладывая по (j + 1)-му столбцу, получим:

з-Р^З 5

єр^і Хє(х, С) ЄРШіХ

ц7(єр^і Х) Ц7(єРШіХ )

Єр^3Хє(С, х) 0

зР^пХ

/ (C)dC =

= — у ер“.(х-«)£(е,х)Д(р)/(4)йе = 0(ер*).

о

Аналогично рассматриваются все остальные случаи. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть /(г) регулярна в Та при а є (7;1 — 7]. Тогда на каждом интервале Jв = = (Ив^(1 — в); в) 7 < в < а, функция /(х) разлагается в равномерно сходящийся ряд по с.п.ф. краевой задачи (1)-(2).

Доказательство. Пусть д не является собственным значением оператора Ь2. Обозначим через /і(г) функцию, удовлетворяющую условиям: а) /(г) = /(г) при г є Т^; б) относительно точки х = 7 она п раз радиально непрерывно дифференцируема в Т1-7; в) иі(/1) = 0, і = 1,..., п.

Будем рассуждать аналогично [4]. Распространим на такие функции резольвенту Ї1\/. Пусть Сп = (Л : |Л| = гп | го}. Тогда имеет место следующая формула:

¿Л, z є T

(6)

где функция Р(г) = /}п) (г) — д/1(г) будет регулярна в Те, непрерывна в Тв и непрерывно про-должима в Т1-7. Тогда для Р(г) будет справедлива лемма 2. Следовательно, с учетом леммы 1, РЛР = — прта-1Д(р)0(раерж) = 0(рП-г). Отсюда получаем, что правая часть (6) при п ^ го стремится к нулю равномерно на интервале Jв. Теорема доказана.

Библиографический список

1. Хромов А.П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка // Математика и ее приложения: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 2. С. 17-24.

2. Дмитриев О.Ю. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора п-го порядка с нерегулярными краевыми условиями // Математика и

ее приложения: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 2. С. 70-72.

3. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

4. Хромов А.П. Оператор дифференцирования и ряды типа Дирихле // Мат. заметки. 1969. Т. 6, № 6. С. 759-766.

УДК 517.51

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПО МАТРИЦЕ ЯКОБИ, НОРМИРОВАННОЙ ОДНОРОДНОЙ ФУНКЦИЕЙ

В.В. Егоров

Волгоградский государственный университет,

кафедра математических методов и информатики в экономике

E-mail: [email protected]

Рассмотрена система дифференциальных уравнений f' (ж) = = Ф^'(ж))M(ж) с обобщенными частными производными, где f'(ж) -- матрица Якоби искомого отображения, M -- заданная матричнозначная функция размерности nxn с суммируемыми элементами, Ф -- заданная функция от матриц.

Recovering of a Mapping Via Jacobi Matrix, Normalized Homogeneous Function

V.V. Egorov

Consider system of the differential equations f' (x) = $(/'(x)) x x M(x) with generalized partial derivatives, where f' (x) isa matrix Jacobi of sought mapping, M is a given n x n matrix-value function with integrable elements, $ is a given function of matrices.

Уточним используемые в работе понятия и определения. Пусть Мп — пространство матричнозначных функций, размерности пхп, а Ф : Мп^й1 — заданная функция на этом пространстве. Пусть /=(/1,...,/п): БсРп^Рп — отображение класса ^11ое(Б), р>1, а /'(х) — его матрица Якоби.

/ ' (х)

Введем матрицу М/(х)= , , ,, , которую назовем матрицей Якоби непостоянного отображения /,

Ф(/ (х))

нормированной функцией Ф. В настоящей работе исследована система дифференциальных уравнений в обобщенных частных производных

/'(х) = Ф(/' (х))М (х), (1)

где хєБсРп (Б — односвязная область в йп), /: Б^Дп — искомое отображение, а М: Б ^ Мп и Ф: Мп^Р1 — заданные функции.

Система (1) — обобщение систем, изученных в [1]-[6], что позволило на основе идей работ И.В. Журавлева [1], [2] провести исследование схожим образом, с учетом соответствующих особенностей.

© В.В. Егоров, 2007