О сходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, имеющими разрывы производных на диагоналях Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.В. Корнев

УДК 517.984.52

О СХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ЯДРАМИ, ИМЕЮЩИМИ РАЗРЫВЫ ПРОИЗВОДНЫХ НА ДИАГОНАЛЯХ

Рассмотрим интегральный оператор

1—x x

Af (x) = J A(1 — x,t)f (t) dt + aj A(x,t)f (t) dt, (1)

0 0

где A(x,t) n раз непрерывно дифференцируема по x и один раз по t при 0 < t < x < 1, £7A(x,t)|t=x = ös,n—l (s = 0,1,...,n), ös,n—l — символ Кронекера, a — произвольное число, a2 = 1.

Для оператора (1) в [1] установлена равносходимость разложений произвольной суммируемой функции по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) в сравнении с тригонометрическими рядами Фурье, а в [2] для этих разложений доказан аналог теоремы Саса об абсолютной сходимости тригонометрических рядов Фурье. Следующую теорему можно рассматривать как аналог известного признака Жордана - Дирихле сходимости тригонометрических рядов Фурье.

Теорема. Пусть argОр} = 0 и m — одно из чисел 0,1,...,n — 1. Тогда для любой f(x) £ Cm[0,1], у которой f(m)(x) имеет на [0,1] ограниченную вариацию и которая удовлетворяет условиям f (k)(1) = = (—1)kaf (k)(0) (k = 0,1,... ,m), выполняется соотношение

lim ||f(x) — Sr(f,x)||cm[o,i] = 0,

где Sr(f, x) — частичная сумма ряда Фурье функции f по с.п.ф. оператора A, соответствующим характеристическим значениям, модули которых не превосходят r.

Доказательство. Изложим основные моменты доказательства. Введем в рассмотрение простейший оператор A0 вида (1), для которого A(x,t) есть

„ / ч (x — t)n—1

Ao(x,i)=V—br ■

и его резольвенту Фредгольма Я0,л = (E — AA0)—}A0, где E — единичный оператор, A — спектральный параметр. В работе [2] получены формулы для R0 л в удобной для нашей задачи форме.

При достаточно больших |А| для резольвенты Яд = (Е — АА) А спра-

ведлива формула

-1

Яд = Яо,л + Яо,дТ? ( Е - —Ц^ — аЕ)Яо,лТ') х

1 — а2

1 — а2

1(5 — аЕ )Яо,л,

(2)

где В = ¿/¿с, (х) = /(1 - х), Т/(х) = / |ТМ)/Т/(х)

х) =

= / Т(х^)/(*) Т = (Е + Т1)-1 - Е, Т/(х) = / дХпА(х, £)/ оо

Исходя из формул для Яо,л можно показать, что если /(х) £

1 ( ^

£ Ст[0,1], /(0) = /(1) = 0 и V/(т) < го, то при г ^ го справедливы оценки

~ .............|р|9"0(н/Исто,!]),

¿х'

;Яо,д/(х) |ЛА|

с[о,1]

(3)

где =

|А|=г

0, 0 < 5 < т,

й - т, т + 1 < Й < п - 1. Пусть теперь /(х) - произвольная функция из Ст[0,1], удовлетворяющая условиям теоремы. Тогда существует последовательность {/(х)}ГО=1 С С Сп[0,1], сходящаяся к /(х) по норме пространства Ст[0,1], такая, что

/Г(1) = (-1/(0) при 5 = 0,1.....п - 1, и /Г(0) = /(0), /Г(1) =

= / (в)(1) при 0 < 5 < т (к = 1, 2,...).

Представим остаточный член в следующем виде:

/(х) - 5Г(/, х) = [/(х) - /(х)] + /(х) + I Яа/а(х)ЛА] +

|А|=г (4)

+ ¿1 I Ял(/ - /а)ЛА. (4)

|А|=г

Взяв произвольное число д, не являющееся характеристическим значением оператора А, и положив (х) = А-/ - д/(х), представим выражение во второй квадратной скобке в виде

/а (х) +

1

2п£

Яа/а (х)ЛА =

|А|=г

1 [ Яд^ (х)

2п£ У А - д

|А|=г

¿А.

(5)

Используя формулы (2), (3), (5) и учитывая непрерывность (х), можно показать, что

Нш

г—>оо

= Нш

г

/а(х) + ¿1 / Яа/а(х) ¿А

|А|=г

I Яд(/ - /а) ¿А

|А|=г

С т[о,1] = 0.

Ст[о,1]

Из (6) и (4) следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

Замечание. Условия /(к)(1) = (—1)ка/(к)(0) (к = 0,1,... ,т) необходимы, так как этим условиям удовлетворяют с.п.ф. оператора А

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Корнев В.В., Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственнным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях// Мат. сб. 2001. Т. 192, № 10. С. 33-50.

2. Корнев В. В. Абсолютная и равномерная сходимость разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях// Мат. заметки. 2007. Т. 81, вып. 5. С. 713-723.

УДК 518.9

И.А. Кузнецова ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ ТРЕХ ЛИЦ С КОАЛИЦИЯМИ

Теория иерархических игр берет свое начало с работы [1]. Основная особенность иерархической игры состоит в том, что первый (управляющий) игрок обладает правом первого хода, он первым выбирает свою стратегию (часто в виде функции от действий других игроков) и сообщает ее остальным, после чего происходит выбор стратегий управляемыми игроками. Теория иерархических игр двух лиц достаточно развита [2, 3], чего нельзя сказать об играх трех и более лиц.

В настоящей статье предполагается, что первый игрок обладает широкими возможностями по организации обмена информацией между остальными игроками и их способа взаимодействия. В результате действий первого игрока фактически возникает игра второго и третьего игроков. В этой игре игроки 2 и 3, выбирая свои стратегии одновременно, могут вступить в коалицию, поведение в которой существенно зависит от характеристик данной игры и тем самым от действий первого игрока. Предполагается, что первый игрок знает, что второй и третий игроки совместно выбирают свои стратегии таким образом, чтобы образовавшийся исход давал каждому из них не менее того, что тот может обеспечить себе самостоятельно и был неулучшаем для обоих игроков на множестве таких исходов. Для упрощения изложения будем считать, что множества стратегий игроков конечны.

Пусть дана исходная игра Г = (X, У, С, Н) с конечными множествами выборов игроков X, У, Z и их функциями выигрыша ^, С, Н. Первый игрок может организовывать любые правила взаимодействия второго и третьего игроков. Формально это означает, что он может построить любую игру игроков 2 и 3 Г = (У, Z, С, Н, п), где п — отображение У х Z в X х У х Z, обладающее свойствами

V у Е У 3 у Е У V г Е Z рг2п(у,г) = у,

V г Е Z 3 г Е Z V у Е У рг3п(у,г) = г,