CC BY
26
Таким образом, у первого игрока существуют стратегии, обеспечивающие ему получение выигрыша, не меньшего шах(К13, М13, Ь1). Легко показать, что больший выигрыш он гарантированно получить не может. Следовательно, верно равенство 7(Г) = шах(К13, М13, Ь1), что и требовалось доказать.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Меньшиков И. С. Игра трёх лиц с фиксированной последовательностью ходов // ЖВМ и МФ. 1975. Т. 15, № 5. С. 1148-1156.
2. Кукушкин Н. С. Бескоалиционные игры трёх лиц с фиксированной иерархической структурой // ЖВМ и МФ. 1979. Т. 19, № 4. С. 896-911.
3. Кузнецова И. А. Иерархические игры трёх лиц с коалициями // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2007, Вып. 9, С, 41-43,
4. Кузнецова И. А. Об одном классе бескоалиционных иерархических игр трёх лиц // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2008, Вып. 10. С. 34-36.
УДК 517.984
В. П. Курдюмов, А. П. Хромов
БАЗИСНОСТЬ РИССА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С РАЗРЫВНЫМИ ЯДРАМИ
В настоящей статье рассматривается вопрос о базисах Рисса вЬ2[0,1] из собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) интегрального оператора
пX п1
А/ = а Al(x,t)f(t)dt +/ А2(1 - (1)
«V 1—х
где а2 = 1, ¿даА1(х^) ¿даА2(х,^ при 0 < к + I < 2 , причем, если
к + I = 2, то к = I = 1, непрерывны при I < х ^ > х), А1(х, х — 0) = = А2(х,х + 0) = 1.
Оператор (1) и более общего вида интегральные операторы, допускающие разрывы самих ядер или их производных, впервые рассматривались одним из авторов в [1]. В дальнейшем исследованию таких операторов было посвящено много работ (например, [2-4]). В частности, в [4] был рассмотрен вопрос о базисности Рисса в Ь2[0,1] с.п.ф. оператора
п1— X
л/ = А(1 — х^)/(2) Jo
В этой статье разработан метод, основанный на представлении резольвент сопутствующих интегродифферепциальпых операторов через специальные интегральные операторы простой структуры, называемые элементарными. Оператор (1) — существенно более сложный, чем (2), и базисность Рисса его с.п.ф. доказывается за счет дальнейшего развития метода из [4].
Сведем оператор (1) к оператору в пространстве вектор-функций размерности 2. Введем оператор
А/ = Г А(ж,£)/(£)^, (3)
/(ж) = (Л (ж), /2(ж))т (Т - знак транспорирования),
А( .) = ( ае(ж,£)А1 (ж,£) е(ж,£)А2(1 - ж, 1 - £) \ Л(ж1£) = ^ е(£,ж)А2(ж,£) ае(^,ж)А1(1 - ж, 1 - £)у ,
где е(ж, £) = 1 при ж > £(ж, £) = 0 при ж <
Теорема 1. Если у = А/ то у = А/ 7 где /(ж) = (/1(ж),/2(ж))т7
Л(ж) = /(ж); /2(ж) = /(1 - ж); у (ж) = (У1(ж),У2(ж))Т, У1(ж) = у(ж), у2(ж) = у(1 - ж). Обратно, еели у = А/ и /1(ж) = /2(1 - ж)7 то у1(ж) =
= у2(1 - ж) м у1 = А/ь
Представление (3) важно тем, что А(ж, £) терпит разрыв лишь па линии £ = ж.
Теорема 2. Имеет место представление А-1у (ж) = В-1у (ж) + а1(ж)у (0) + а2(ж)у (1) + а3(ж)у (ж) + / а(ж,£)у
Л
у (ж)
Мо у (0) + М1 у (1) = 0; (4)
В = А(ж,ж - 0) - А(ж,ж + 0) = ^ -1 а а*(ж)(г = 1, 2, 3), а3(ж) -
непрерывные матрицы-функции; матрица а (ж, £) непрерывна по ж и£, где могут быть разрывы первого рода, а(ж, ж+0), а(ж, ж-0) непрерывны;
м=(10) .М.=(00).
52
о
Теорема 3. Если Л таково, что при, /(ж) = 0 интегро-дифференциаль-ная система
А-1у (ж) - Лу(ж) = /(ж)
с условием (4) имеет только нулевое решение, то Я\(А) = (Е-ЛА)-1А (Е - единичный оператор) существует и Я\(А)/ = у^ж), где у1(ж) -
у (ж)
Введем обозначения: Д(ж) = РГ-1а,;(ж)Г(г = 1,2,3) где Р =
= Лад^ -ы), ш = Г = (^ат-1!- а + «);
Н(ж, Л) = Н0(ж) + Л-1Н1(ж^, где Н0(ж) = Лгад(^1(ж), ^2(ж)), ^¿(ж) = = ежр (— /0Х^¿¿(ж) - диагональные элементы матрицы Рз(ж), тт / \ / 0 г2(ж) \
Н1(ж) = I г (ж) 0 1" кодиагональная матрица, являющаяся решением матричного уравнения
Н0(ж) + Рз(ж)Но(ж) + (Н1(ж)Р - РН1(ж)) = 0;
Рг(ж, Л) = Н-1 (ж, Л)Д(ж)Н(г - 1, Л)(г = 1, 2);
Рз(ж, Л) = Л-1Н-1(ж, Л) [н1 (ж) + Рз(ж)Н1(ж)
ЖЛ(ж,£) = Н-1(ж,Л)Ж(ж, £)Н(£, Л), где N (ж, £) = РГ-1а(ж,£)Г;
т(ж,Л) = Н-1(ж, Л)т(ж),
где т(ж) = РГ-1/(ж);
М0Л = М0Н(0,Л), М1,л = М1Н(1,Л),
где М0 = М0Г, М1 = М1Г.
Теорема 4. Если у(ж, Л) = (у^ж, Л), у2(ж, Л))Т - решение системы
у'(ж) + Р1(ж, Л)у(0) + Р2(ж, Л)у(1) + Рз(ж, Л)у(ж)+
+ / ЖЛ(ж,£)у(£)Л£) - ЛРу(ж) = т(ж, Л), 0
и (у) = М0ЛУ (0) + М1ЛУ (1) = 0,
то
22 РЛ(А)/ = ^^ ^(ж)у^(ж, Л) + Л-1 ^^ г^-(ж)у^-(ж, Л).
¿=1 ¿=1
53
Обозначим Оо = (ш + а)к2(1), 01 = (и — а)Н1(1). Тогда 0о01 = 0. Обозначим через область, получающуюся из комплексной Л-плоскости удалением всех нулей функции О0 + 01б2А^ вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 5. Представим Я\(А)/ при Л, принадлежащих границам кружков Г к из определения в виде конечной линейной комбинации с ограничеппыми по Л коэффициентами простейших интегральных так называемых элементарных операторов.
Лемма 1. Пусть J - любой конечный набор достаточно больших, по модулью целых чисел. Тогда
А
большие по модулю, простые.
Лемма 3. Система с.п.ф. оператора, А* полна, в Ь2[0,1]. Стандартными рассуждениями с помощью лемм 1-3 получается следующий основной результат.
А
1. Хромов А. П. Об обращении интегральных операторов е ядрами, разрывными на диагоналях // Мат. заметки. 1988. Т. 64, № 6. С. 932-942.
2. Корпев В. В., Хромов А. П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 10. С. 33-50.
3. Хромов А. П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линиях // Мат. сб. 2006. Т. 197, № 11. С. 115-142.
4. Курдюмов В. П., Хромов А. П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования // Мат. заметки. 2004. Т. 76, № 1. С. 97-110.
где || • || - норма в Ь2[0,1], постоянная С не зависит, от набора 3.
¿2[0, 1]-
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
