Регуляризация задачи численного дифференцирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

где (р(Ь) — непрерывна. Это следует из того, что уравнение

X

х) + ! Лх(х,г)ч>(г)(И = г (х) о

имеет единственное решение.

Теперь подставим Г(х) в (6) и перейдем от производной по всему аргу-

х

х

1 (в!(х) - ! (1 - х))= [ А(х, г)ч>(г)йг + с. (7)

в2 -1

о

Запишем (7), заменив х на 1 — х, сложим полученное равенство с равенством (7), умноженным на в? учтем, что !(х) удовлетворяет краевому условию и получим, что !(х) Е Я(А). Отсюда и из [4] следует утверждение теоремы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-0100003) и гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромова Г.В. О сходимости методов регуляризации // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Мат-лы 8-й Межд, Казан, летней науч. шк.-конф. Казань, 2007. Т. 35. С. 264-265.

2. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АНСССР. 1962. 92 с.

3. Корпев В.В., Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Мат. сб. 2001. Т. 192. № 10. С. 33-50.

4. Хромова Г.В. О регуляризации интегральных уравнений первого рода с ядром Грина // Изв. вузов. Сер. Математика. 1972. Т. 8 (123). С. 94-104.

УДК 518:517.948

Е.В. Шишкова

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

В [1] для к раз непрерывно дифференцируемой па отрезке [а, Ь] функции и(х) вводятся в рассмотрение семейства интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами:

, ХТд1 ((г - х)2 - а2]к ,

т1аки = ак ———- и(г)(г, (I = 0,к)

х—а

где а > 0 — параметр, ак =

(-1)к (2 к + 1)!

, позволяющие находить прп-

(к!)222к+1

ближепия к /-й производной функции и(х) во внутренних точках отрезка \а,Ъ].

В данной статье, используя идею из [2], дается модификация этих операторов, позволяющая восстанавливать функцию вместе с производными до /-го порядка включительно на всем отрезке [а, Ъ], и находятся точные по порядку оценки решения задачи численного дифференцирования на некотором классе функций.

1. Теорема 1. Пусть и(х) £ С1 [а,Ъ], тогда для операторов

2а о—^ +х

о—а

Т1ак и = (-1)1 ак

д1 ({г

х

ь-х+а а)2 - а2

ь—а /

дг1

-и(г)(г,

2а а-х +х

о—а 1

имеет место сходимость:

Тии - и(1)

—>

С [а,ь]

0 щи а ^ 0

Доказательство. Учитывая, что Т^к 1 = Т0к 1 = 1 имеем

Тки - и(1)

Тки(1) - и(1)

< (2а) ^ 0

при а ^ 0, где ы/(а) — модуль непрерывпости 1-й производной функции и(х)

Таким образом, в качестве регуляризаторов задачи численного дифференцирования на отрезке [а, Ъ] можно брать операторы Т1ак.

Замечание: В [3] построены расширенные операторы оператора Т^, восстанавливающие производные на всем отрезке, при этом на восстанавливаемую функцию и производные накладываются граничные условия. В данной статье этих ограничений удается избежать.

2. Рассмотрим следующую постановку задачи численного дифференцирования: построить равномерное приближение к производной непрерывно дифференцируемой на отрезке [0,1] функции и(х) по извести ому ^-приближению и§(х) функции и(х) в метрике пространства Ьр[0,1] (р ^ 1): \\щ - и\\ъ [0 1] ^

Рассмотрим оператор Т^ при к = 1, I = 1, а = 0 Ъ =1:

Т и = -31 а1и = 2«з

х(1-2а)+2а

(г - (1 - 2а)х - а)и(г)(г.

х(1-2 )

к

Теорема 2. Пусть функция u(x) G C1[0,1} : max lu"(x)l ^ H и п§(x):

|u — u\\L [0 1] ^ Ô , тогда имеет место двусторонняя оценка:

p

< C162 Р+1,

1

-C1ô 2p+1 < 2 1

TcÎ(J)1ua — u'

C [0,1]

p

где alpha(ô) = C26sfc, C2 = (iPgHr) ^ C1 = (2HC2 + B), B

a = -Pa p—1 ■

21/P(q+1)1/q ;

Доказательство. Заметим, что

1

1) 2)

rp1 ra1

= max

Lp [0,1]^C[0,1]

0

1/q

f rr<11(x,t) dtj = Ba—1—1/p;

TLu — u

?>' — u

C [0,1] Hx2

3) пусть u0(x) = , тогда

2

с [0,1]

^ 2aH:

?>' — u

C [0,1]

>

Т1а1щ — u0

= Ha.

x=0

Учитывая l)-3) и используя метод, описанный в [4], получаем требуемую двустороннюю оценку.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хромова Г.В. О дифференцировании функций, заданных е погрешностью// Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: Межвуз, сб. науч. тр. Саратов. 1984. Вып. 6. С. 53-58.

2. Сендов Бл. Модифицированная функция Стеклова// ДБ АН Comptes rendus de l'Académie bulgare des Sciences. 1983. T. 36, №3. C. 315-317.

3. Шишкова E.B. Построение расширенных операторов, дающих приближение к функции и ее производным на отрезке// Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2005. Вып. 3. С. 125-134.

4. Хромова Г. В. Об оценках погрешности приближенных решений уравнений первого рода// ДАН. 2001. Т. 378, №5. С. 605-609.

3

УДК 517.984

В.А. Юрко

ОБРАТНЫЕ УЗЛОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ НА ДЕРЕВЕ

В статье исследуется обратная узловая задача для дифференциальных операторов Штурма - Лиувилля на звездообразном дереве со стандартными условиями склейки во внутренней вершине и условиями Дирихле в граничных вершинах. Обратная узловая задача заключается в восстановлении оператора по заданным узлам (нулям) собственных функций. Для данного класса операторов доказана теорема единственности и приведена конструктивная