Обратные узловые задачи для операторов Штурма-Лиувилля на дереве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 2. Пусть функция u(x) G C1 [0,1] : max |u''(x)| ^ H и п§(x):

\u§ — u\\L [0 1] ^ Ô , тогда имеет место двусторонняя оценка:

p

< C162 Р+1,

1

-C1ô 2p+1 < 2 1

r^!1(ô)1us— u'

C[0,1]

p

где alpha(ô) = C26sfc, C2 = ((PgHn) 2p+\ C = (2HC2 + B), B

a = -Pa p—1 ■

21/P(q+1)1/q ;

Доказательство. Заметим, что

1

1) 2)

Tp1

ra1

= max

Lp [0,1]^C[0,1]

0

1/q

f rr(11(x,t) dtj = Ba—1—1/p;

T> — u

TV — u

C [0,1]

Hx2

3) пусть u0(x) = , тогда

2

с [0,1]

^ 2aH:

T^u' — u'

с [0,1]

>

Т1а1щ — u0

= Ha.

x=0

Учитывая l)-3) и используя метод, описанный в [4], получаем требуемую двустороннюю оценку.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромова Г.В. О дифференцировании функций, заданных е погрешностью// Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: Межвуз, сб. науч. тр. Саратов, 1984. Вып. 6. С. 53-58.

2. Сендов Бл. Модифицированная функция Стеклова// ДБ АН Comptes rendus de l'Académie bulgare des Sciences. 1983. T. 36, №3. C, 315-317,

3, Шишкова E.B. Построение расширенных операторов, дающих приближение к функции и ее производным на отрезке// Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз, сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та. 2005. Вып. 3. С. 125-134.

4. Хромова Г. В. Об оценках погрешности приближенных решений уравнений первого рода// ДАН. 2001. Т. 378, №5. С. 605-609.

3

УДК 517.984

В.А. Юрко

ОБРАТНЫЕ УЗЛОВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ НА ДЕРЕВЕ

В статье исследуется обратная узловая задача для дифференциальных операторов Штурма - Лиувилля на звездообразном дереве со стандартными условиями склейки во внутренней вершине и условиями Дирихле в граничных вершинах. Обратная узловая задача заключается в восстановлении оператора по заданным узлам (нулям) собственных функций. Для данного класса операторов доказана теорема единственности и приведена конструктивная

процедура решения обратной узловой задачи. Отметим, что эта задача тесно связана с обратными спектральными задачами (см. [1, 2] и литературу в них).

Рассмотрим компактный звездообразный граф Т в Ит с множеством вершин V = {^о,..., уг} и множеством ребер Е = {в\,..., ег}, где ... ,уг -граничные вершины, г>о - внутренняя вершина, и е^ = -и0], г = 1,г. Не нарушая общности считаем, что длина каждого ребра равна 1. Каждое ребро е^ е Е параметризуем параметром х е [0,1]. Для нас удобно выбрать следу-югцюю ориентацию: х = 0 соответствует граничным вершинам ..., а х = 1 соответствует внутренней вершине у0.

Интегрируемая функция У на Т может быть представлена в виде У (х) = {Уг(х)}г=т7, х е [0,1], где функция у«(х) определена па ребре е^. Пусть Я(х) = {^(х)},;=х7 - интегрируемая вещественнозначная функция на Т; Я называется потенциалом. Рассмотрим следующее дифференциальное урав-Т

-Уг"(х) + Яг(хЫх) = АУ*(х) г = (1)

где А - спектральный параметр, функции у^(х),у^(х), г = 1,г, абсолютно непрерывны на [0,1] и удовлетворяют следующим условиям склейки во внутренней вершине -и0:

г

Уг(1) = Уз(1), г,; = 17, Еу!(1) = 0. (2)

¿=1

Условия склейки (2) называются стандартными или условиями Кирхгофа. В электрических сетях (2) выражает закон Кирхгофа, при колебаниях упругих сетей (2) выражает баланс напряжений и т.д.

Рассмотрим краевую задачу В = В (д) на Т для уравнения (1) с условиями склейки (2) и краевыми условиями Дирихле в граничных вершинах ... , уг:

У«(0) = 0, г = 177. (3)

Пусть $г(х, А), г = 1, г, - решение уравнения (1) на ребре е^ с начальными условиями $¿(0, А) = 0 <¿(0, А) = 1. При каждом фиксированном х е [0,1] функции <(^(х,А), г = 1,г, V = 0,1, являются целыми по А порядка 1/2. Кроме того, функция 5^(х, А) является единственным решением интегрального уравнения

Я(х, А) = ^ + Г' А) ¿е, (4)

р Л р

где А = р2. Известно (см. [2]), что имеет место представление

<г(х,А) = ^ + /Х Кг(х,е)^ ¿е, (5)

р ./0 р

где Кг(х,£) - гладкая функция, не зависягцяя от А. Используя (4) и (5), получаем асимптотические формулы для <(х,А) и <г-(х, А) при |А| ^ то равномерно по х е [0,1]:

* Í* x

sin px cos px '

Si(x,A) =-^---ф) dt+

P 2p2 Л

+ A Г «.(t)cos p(x - 2t) dt + O( exp(|/m P|x)), (6) 2p2 Л V p3 7

A) = cos px+

+ ^ Г Ф) dt - f f *(t)sin p(x - 2t) dt + o( exp(|/m P|x)). (7) 2p Jo 2p J 0 v p 7

Функция

A(A):= £ Щ П S(1,A) (8)

¿=1 n ' y k=1

является целой no A порядка 1/2, и ее нули совпадают с собственными значениями краевой задачи B. Подставляя (6) и (7) в (8), вычисляем

Л/Л. (sinpV-1 sinrp f1 ^ .. ,

A(A) = ^-^J cos p + -2pr/0 2^) dt

(r — 1)sinr-2 pcos2 p í1 /ч 7 (exp(r|1mp|)\ -^-pJq E^i(t) dt + o( P(pr pI^ , (9)

Используя (9), известным методом (см., например, [2, гл.1]) находим, что краевая задача B имеет счетное множество собственных значений {Ani}n>1 ¿=17. Все собственные значения вещественны и имеют асимптотику

pn1 := V^ = (n - 2)п + o(~) , n ^ то, (10)

pn» := VAn = nn + O^n^, n ^ то, i = 2,r. Для определенности возьмем An := An1 и изучим их подробнее. Положим

1 р1 г

и :=1 L (t) dt. (11)

r i=1

r ./0

Подставляя (10) в (9) и используя соотношение A(An) = 0, получаем следу-ющюю асимптотическую формулу:

p„ := ^=(я-1)п+2^+, n -то. (12)

103

Используя (6) и (12), вычисляем асимптотику для компонент собственных функций при n ^ то равномерно по x G [0,1]:

pnSi(x, An) = sin (n - 2)nx - ^ cos (n - 2)nx + og) , (13)

где

ßi(x) = / qi(t) dt - их. (14)

Jo

Зафиксируем % = 1, г. Существует N0 такое, что при всех п > N функция Si(x, Ап) имеет ров но п—1 (простых) нулей внутри интервала (0,1), а именно: 0 < хП < • • • < хП—1 < 1. Точки Х^ := {хП} называются узловыми точками на ребре е-1 относительно собственных значений {Ап}.

Зафиксируем % = 1, г. Рассмотрим обратную узловую задачу восстановления потенциала ^(х) па ребре е^ по заданному множеству Х-1 узловых точек или по некоторой его части. Обозначим

з := 3

ап :

п — 1/2'

Учитывая (13), получаем следующюю асимптотическую формулу для узловых точек при п ^ то равномерно по 3

1 раП 1

ХП = аП + 2л~2 ( ^ ^ — + о(-2) . (15)

Отметим, что при каждом фиксированном i = 1, г множество Xi является всюду плотным на (0,1). Не ограничивая общности считаем, что и = 0 (этого можно добиться сдвигом: qi(x) ^ qi(x) — и, X ^ X — и). Используя (15), приходим к следующему утверждению.

Теорема 1. Зафиксируем i = 1, г и x £ [0,1]. Пусть X0 С Xi является всюду плотным на (0,1). Пусть {Х™} £ X0 выбраны так, что lim Хщ = x. Тогда существует конечный предел

J -f 1

9(х) := ^ 2п2п(х%(п- 2)- ), (16)

причем

»X

9i(x)= qi(t) dt. (17)

o

Сформулируем теперь теорему единственности и приведем конструктивную процедуру регцения обратной узловой задачи. Для этого наряду с В рассмотрим краевую задачу В = В (д) того же вида, но с другим потенциалом. Условимся, что если некоторый символ обозначает объект, относящийся

X

к задаче B, то а будет обозначать аналогичный объект, относящийся к задаче B.

Теорема 2. Зафиксируем i = 1,r. Пусть X0 С Xj - всюду плотное на (0,1) подмножество узловых точек. Пусть X0 = X0. Тогда, (¿(ж) = (/¿(ж) поочти всюду на (0,1). Таким образом, задание X0 однозначно определяет потенциал (¿(ж) на ребре в{. Функция (¿(ж) может быть построена по формуле

(¿(ж) = ^(ж),

г<?е #«(ж) вычисляется по (17).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ННС (проекты, 07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Yurko V.A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory, Inverse and Ill-posed Problems Series, Utrecht: VSP, 2002,

2, Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач, М,: Физматлит, 2007,