О решении одной неполной обратной задачи Штурма - Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

склейкой локальных расслоений Ak, а ^ Ua по изоморфизмам над пересечениями Ua П Up, определяемыми частичными изоморфизмами. Заметим, что вложения да при этом не склеиваются ни в какой глобальный объект как и локальные тривиализации для расслоений со структурной группой.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 07-01-00046-а, 07-01-91555-ННИС)-а и 08-01-00034-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ершов А.В. Препятствия к вложению расслоений матричных алгебр в тривиальное расслоение // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2009. Т. 9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, С, 27-33,

2. Rossi С.A. The division map of principal bundles with groupoid structure and generalized gauge transformations // arXiv:math/0401182v2 [math.DG]

3. Ershov A.V. Homotopic theory of bundles whose fibers are matrix algebras // J, Math. Sci. 2004. Vol. 123, МЧ. P. 4198-4220.

4. Rossi C.A. Principal bundles with groupoid structure: local vs. global theory and nonabelian Cecil cohomology // arXiv:math/0404449vl [math.DG]

5. Каруби M. К-теория, Введение. M,: Мир, 1981. 360 с.

УДК 517.984

М.Ю. Игнатьев

О РЕШЕНИИ ОДНОЙ НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ

Пусть ^ = {Ап}п=1^ — подмножество спектра краевой задачи:

£у = —у" + д(х)у = А у, Ь — п < х < Ь, (1)

у(Ь — п) = у(Ь) = 0, (2)

где Ь < п/2.

Задача 1. По заданному множеству ^ и значениям потенциала д(х) на [Ь — п, 0} восстановить потенциал на всем отрезке [Ь — п,Ь].

Задача 1 относится к так называемым "неполным"(или "полуобратным") задачам, в которых недостаток спектральной информации компенсируется некоторой априорной информацией об искомом потенциале. Вопросам единственности решения таких задач (и, в частности, задачи 1) посвящено большое число работ различных авторов (см., напр., [1 — 3]). В настоящей статье предлагается конструктивная процедура решения задачи 1.

Обозначим

с(х, А) = соб л/ Ах, в(х,А) =-^—.

А

Всюду далее будем считать, что множество^ удовлетворяет следующему условию.

Условие А. Система функций {й (х, Лп)}п=у-^ полна в Ь2[0, 26].

Пусть Б(х, Л) Б0(х, Л) С0(х, Л) — решения задач Коши для уравнения (1) с начальными условиями Б(6 — Т, Л) = Б0(0, Л) = С(0, Л) = 0 Б'(6--Т,Л) = Б0 (0,Л) = Со(0,Л) = 1

Введем в рассмотрение функцию

р(х, Л) := Б(0, Л)с(х, Л) + Б'(0, л)й(х, Л). (3)

Поскольку потенциал д(ж) известен априори для х € [6 — п, 0], величины Б(0, Л) и Б'(0, Л) также известны априори (для всех Л). Следовательно, функции ^(х, Л) можно считать известными для всех Л и х € [6 — п, 6].

Лемма 1. Рассмотрим краевую задачу:

£у = —у'' + д(х)у = Лу, А < х < В, у(А) = у(В) = 0. (4)

Пусть {Лп}п=у-^ — подмножество спектра задачи (4) такое, что система функций {й (х,Лп)}п=у-^ полна в Ь2[0,а] а < В — А. Пусть Ба(х, Л) — решение задачи Коши, £у = Лу7 у(А) = 0 у'(А) = 1. Тогда система функций {Ба (х, Лп)}п=х^ полна в каждом из пространств Ь2[А,А + а] и Ь2[В — а,В].

Доказательство. Очевидно, без ограничения общности можно считать, что А = 0. Тогда полнота рассматриваемой системы следует из представления Ба(х,Л) = (Е + С)й(х,Л) [4] и полноты системы {й (х,Лп)}п=1^. Таким образом, первая часть утверждения доказана.

Рассмотрим задачу Коши —у'' + д*(х)у = Лу, у(0) = 0 у'(0) = 1, где q*(х) := д(В — х). Обозначим ее решепие через Б*(х, Л). Нетрудно видеть, что Б*(х, Л) = Бв(В — х, Л) где Бв(х, Л) — решение задачи Коши £у = Лу, у (В) = 0 у'(В) = —1. Ясно, что спектр задачи Дирихле с потенциалом q*(х) совпадает со спектром задачи (4). В силу доказанной ранее первой части утверждения леммы система {Б* (х, Лп)}п=1^ полна в Ь2[0,а]. Но это означает, что система {Бв (х, Лп)}п=х-^ полна в Ь2[В — а, В]. Далее, поскольку все Лп — собственные значения задачи (4), имеем Бв (х, Лп) = = (х, Лп). Лемма доказана.

Лемма 2. При выполнении условия А система функций {^ (х,Лп)}п=1-^ полна в Ь2[—6, 6].

Доказательство. Воспользуемся оператором преобразования [4] для Б(х, Л), что с учетом (3) дает

X

Б (х, Л) = ^(х,л)+/ К (х, £)^(£, Л) &г, х € [—6,6]. (5)

Из леммы 1 следует, что при выполнении условия А система {Б (х, Лп)полна в Ь2[—Ь, Ь]. А так как в силу (5) имеем < (х, Лп) = = (Е + К)-1Б (х, Лп), то и система {< (х, \п)}п=1^ полна в Ь2[—Ь, Ь]. Лемма доказана.

Теперь перейдем непосредственно к решению задачи 1. Для этого

х = Ь Л =

= Лп,п = 1, то. Поскольку Лп — собственные значения задачи (1), (2), имеем Б (Ь, Лп) = 0 и (5) в рассматриваемом случае принимает вид

Jf (г)< (г,Лп) йг = -< (Ь, Лп), п = 1, то, (6)

-Ь

где f (г) = К(Ь, г). В силу полноты системы {< (х,Лп)}п=1^ равенством (6) функция f (г) однозначно определяется через входные данные задачи 1.

Далее, зная функцию f (Ь),Ь £ [—Ь,Ь] мы можем свести задачу 1 к классической обратной задаче Штурма — Лиувилля на отрезке [0, Ь] в той или иной постановке. Покажем, как, используя f (Ь),Ь £ [—Ь,Ь]7 найти функцию Вейля [5]:

М <Л> = - Ш. (7)

Величины С0(Ь,Л) и Б0(Ь,Л) могут быть определены с использованием оператора преобразования. С учетом К(Ь,Ь) = f (г) это дает:

So(Ь,Л) = з(Ь,Л)^ f (Ь)з(Ь,Л) йг, (8)

Ь

Со(Ь, Л) = о(Ь,Л)^ f (г)с(г,Л) йг. (9)

-Ь

Таким образом, зная функцию f (Ь)7 мы можем, используя (7) — (9), найти М(Л). Восстановление по функции Вейля М(Л) потенциала д(х)7 в свою очередь, представляет собой хорошо известную обратную задачу, решение которой может быть найдено с помощью классических методов [5]. Окончательно приходим к следующей процедуре решения задачи 1.

Алгоритм 1. Даны, д(х),х £ [Ь — Т, 0^ и = {Лп}п=1то-

1) вычисляем Б(х, Л) для х £ [Ь — Т, 0^ Л £ и;

2)строим функцию <(х,Л) (3), х £ [—Ь,Ь], Л £ и;

Ь

Ь

Ь

3) находим f (t),t G [-6,6], из (6);

4) вычисляем So(b, A); Co(b, A)7 M(A); используя последовательно соотношения (8), (9), и (7);

5) по M(A) восстанавливаем q(x),x G [0,6] [5].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ННС (проекты 07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Hochstadt Н., Lieberman В. An inverse Sturm — Liouville problem with mixed given data // SIAM J. Appl. Math. 1978. Vol. 34. P. 676-680.

2. Gesztesy F., Simon B. Inverse spectral analysis with partial information on the potential, II. The ease of discrete spectrum // Trans. Amer. Math. Soc. 2000. Vol. 352. P. 2765-2787.

3. Horvath M. Inverse spectral problems and closed exponential systems // Ann. of Math. 2005. Vol. 162. P. 885-918.

4. Марченко В.А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. Киев: Наук, думка, 1977.

5. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М,: Физматлит, 2007.

УДК 517.9

В.М. Конюшков

ОБЩИЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Общий алгоритм решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения известен и применяется для нахождения приближенного решения.

В данной статье общий алгоритм переносится на уравнения в частных производных, обосновывается его применение при нахождении приближенных решений задачи Коши для уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа.

Рассмотрим следующую задачу Коши:

u|i = 0, p|i = 0, q |i = 0, ()

где u = u(x, y) p = II, q = dy, / — гладкая кривая па плоскости Oxy, обладающая тем свойством, что каждая характеристика пересекает ее только лишь в одной точке и не касается ее. Функция f (x, y, u, p, q) определена