Научная статья на тему 'Обратная задача спектрального анализа для матричного уравнения Штурма Лиувилля'

Обратная задача спектрального анализа для матричного уравнения Штурма Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
247
54
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ШТУРМА ЛИУВИЛЛЯ / ОБРАТНЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ / МЕТОД СПЕКТРАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ / MATRIX STURM LIOUVILLE OPERATORS / INVERSE SPECTRAL PROBLEMS / METHOD OF SPECTRAL MAPPINGS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бондаренко Н. П.

Исследуется обратная спектральная задача для матричного уравненияШтурма Лиувилля на конечном интервале. Приведены свойства спектральных характеристик, получена конструктивная процедура решения обратной задачи и необходимые и достаточные условия ее разрешимости.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The inverse spectral problem is investigated for the matrix Sturm Liouville equation on a finite interval. The article provides properties of spectral characteristics, a constructive procedure for the solution of the inverse problem along with necessary and sufficient conditions for its solvability has been obtained.

Текст научной работы на тему «Обратная задача спектрального анализа для матричного уравнения Штурма Лиувилля»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.984

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

Н.П. Бондаренко

Саратовский государственный университет,

кафедра математической физики и вычислительной математики

E-mail: BondarenkoNP@info.sgu.ru

Исследуется обратная спектральная задача для матричного уравнения Штурма-Лиувил-ля на конечном интервале. Приведены свойства спектральных характеристик, получена конструктивная процедура решения обратной задачи и необходимые и достаточные условия ее разрешимости.

Ключевые слова: матричные операторы Штурма - Лиувилля, обратные спектральные задачи, метод спектральных отображений.

The Inverse Problem of Spectral Analysis for the Matrix Sturm - Liouville Equation N.P. Bondarenko

Saratov State University,

Chair of Mathematical Physics and Calculus Mathematics E-mail: BondarenkoNP@info.sgu.ru

The inverse spectral problem is investigated for the matrix Sturm - Liouville equation on a finite interval. The article provides properties of spectral characteristics, a constructive procedure for the solution of the inverse problem along with necessary and sufficient conditions for its solvability has been obtained.

Key words: matrix Sturm - Liouville operators, inverse spectral problems, method of spectral mappings.

ВВЕДЕНИЕ

В статье исследуется обратная спектральная задача для матричного уравнения Штурма - Лиувилля. Обратные задачи состоят в восстановлении операторов по их спектральным характеристикам. Скалярный случай достаточно хорошо изучен, основные результаты представлены в работе [1].

Матричный случай, представляющий собой обобщение скалярного, является существенно более трудным для исследования. В работах [2-4] представлены различные постановки обратных спектральных задач в матричном случае и доказаны соответствующие теоремы единственности. В статье [5] приведена конструктивная процедура восстановления, но только для частного случая простого спектра. В работе [6] были получены необходимые и достаточные условия для случая с существенным ограничением, заключающимся в асимптотической простоте спектра. Кроме того, метод, использованный в [6], не дает конструктивной процедуры решения.

В данной работе изучается самосопряженный матричный оператор Штурма - Лиувилля в общем случае, без априорных ограничений на спектр. Исследуются свойства характеристик, получены необходимые и достаточные условия разрешимости спектральных об-

ратной задачи. Приведена конструктивная процедура решения, представляющая собой модификацию алгоритма, описанного в [5].

Основным методом исследования является развитие идей метода спектральных отображений [1].

Рассмотрим краевую задачу Ь(д(х),Л, Н) для матричного уравнения Штурма - Лиувилля:

¿у := -у'' + ф(х)у = ау, х е (о,п), (1)

и (У) := У '(0) - ЛУ (0) = О, V (У) := У '(п) + НУ (п) = 0.

Здесь У(х) = [ук(х)]к=1~т — вектор-столбец, А — спектральный параметр и ф(х) = [О,-к(х)]7->к=т-т, причем (х) е Ь2(0,п) — комплекснозначные функции. Матрицу ф(х) в дальнейшем будем называть потенциалом. Краевые условия задаются матрицами Л = [Л7-кк=1~т, Н = [Н7к, где 7 и Н7к — комплексные числа. В данной работе будем рассматривать самосопряженный случай, когда ф = д*, л = Л*, Н = Н*.

Пусть ^(х, А) = [^7-к(х, А)],- к=тт является решением уравнения (1) при начальных условиях ^(0, А) = /т, (0, А) = Л, где /т — единичная т х т матрица. Функция Д(А) := det[V(^)] называется характеристической функцией краевой задачи Ь. Функция Д(А) является целой по А и имеет не более чем счетное множество нулей. Нули характеристической функции совпадают с собственными значениями краевой задачи Ь с учетом кратностей и являются вещественными.

Пусть и = и* — некоторая матрица размера т х т. Будем говорить, что задача Ь(д(х),Л, Н) принадлежит классу А(и), если она имеет потенциал из Ь2(0, п) и Л+Н +1 /0П ф(х) йх = и. Без ограничения общности можно считать, что Ь е А (и), и е Б = {и : и = diag{и1,... ,ит},и1 < ■ ■ ■ < ит}. Выполнения этого условия можно добиться применением к задаче Ь унитарного преобразования.

Для формулировки основной теоремы нам потребуются следующие две леммы, которые будут доказаны в разд. 1.

Лемма 1. Пусть Ь е А(и), и е Б. Краевая задача Ь имеет счетное множество собственных значений {Апд}п>0 При этом

и«

Рпд = У/ Апд = П +---1--, {кпд}п>0 е ¿2; 5 = 1, т. (2)

пп п

Пусть Ф(х, А) = [Ф7к(х, А)],, к=1т — решение уравнения (1) при условиях и(Ф) = /т, V(Ф) = 0т (0т — нулевая т х т матрица). Положим М(А) := Ф(0, А). Матрица М(А) = [М,к(А)], , к=1"т называется матрицей Вейля задачи Ь. Матрица-функция М(А) мероморфна по А и имеет простые полюса в точках {Апд} (см. разд. 1).

Положим апд := Ке8Л=Лта<г М(А). Величины Л := {Апд, апд}п>0 д=1~т будем называть спектральными данными задачи Ь.

Пусть {АПкдк }к>0 — все различные собственные значения из набора {Апд}п>0 д=тт> Обозначим дк := qfc, к > 0, «Пд = 0т, (п, д) е {(пк, Ок )}к>0, 1 = т1 < ... < тр+1 = т + 1, = ... = иТОз+1-1 =: , 5 = 1,р (р — количество различных чисел среди {ид). Пусть

( ч тз + 1 -1 _

«п = Е аПд, 5 = 1,р.

Лемма 2. Пусть Ь е А (и), и е Б. Тогда справедливо соотношение

2

аП8) = -Г(8) + —; {к(8)}п>0 е ¿2; 5 = 1,р, (3)

пп

где

Г (8) = Г , __^

,к 7,к = 1,т' ,к

Г (8) =[Г (8) ] _ Г (8) = |1; т8 < 3 = к < т8 + 1 - 1;

Г = [Г 7к ]7,к = 1,т, Г7к = 1 п

I 0, иначе.

Рассмотрим следующую обратную задачу.

Задача 1. По заданным спектральным данным Л построить д, Л и Н.

Будем говорить, что величины {Апд,апд}п>0 д=1~т е Яр, если Апд = Акг всегда соответствуют

3 = «кг.

Основным результатом данной работы является

а

Теорема 1. Пусть ш е Б. Для того чтобы величины (Лпд, апд}п>0,д=т;т е ^ были спектральными данными краевой задачи Ь е А(ш), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) верны асимптотические формулы (2) и (3);

2) все Лт вещественные, ат = (апд)*, ат > 0 при всех п > 0, q = 1,т и ранги матриц ат равны кратностям Лпд;

3) для любого вектора-строки 7(Л), который является целой функцией и имеет асимптотику 7(Л) = O(exp(|Im л/Л|п)) при |Л| ^ ж, из выполнения условия 7(Лпд)апд = 0 при всех п > 0, q = 1, т следует, что 7(Л) = 0.

Необходимость условий теоремы 1 будет доказана в разд. 1, достаточность — в разд. 3. В разд. 2 приведена конструктивная процедура решения обратной задачи 1.

I. НЕОБХОДИМОСТЬ

Используя определение М(Л), нетрудно показать, что

М (Л) = -(V М)-тУ (Б), (4)

где Б(х, Л) — матричное решение уравнения (1) при начальных условиях Б(0, Л) = 0т, Б'(0, Л) = 1т.

Лемма 3. Все полюса матрицы Вейля М(Л) простые и ранги вычетов совпадают с кратно-стями соответствующих собственных значений задачи Ь.

Доказательство. Пусть Л0 — собственное значение задачи Ь кратности к, Ут, У2, ... , Ук — линейно независимые собственные вектор-функции, соответствующие Л0. Нетрудно видеть, что Уд(х) = ^(х, Л0)Сд, q = 1, к, где векторы Сд линейно независимы. Выберем векторы Ск+Т, . .., Ст так, чтобы матрица С = [СТ,...,Ст] была невырожденной, и рассмотрим функцию У (х, Л) = ^(х, Л)С. Очевидно, что (V(^))-Т = С(V(У))-Т. Представим V(У(х, Л)) в виде

V (У (х, Л)) = [(Л - Ло )^т (Л),..., (Л - Ло № (Л), ^к+т (Л),..., Wm (Л)],

где Wq(Л) = ^(д-(Х0Л)), q = 1Л Wq(Л) = V(У9(Л)), q = к + 1,т.

Ясно, что Wq(Л) — целые функции и det W(Л) = det[WТ(Л),..., Wm(Л)] = 0 при Л из достаточно малой окрестности Л0 (поскольку иначе кратность собственного значения Л0 была бы больше к). Нетрудно видеть, что

det V(У(х, Л)) = (Л - Л0)к det W(Л),

(V(Y(x, А)))-1 =

X1 (Л) Xk(А) X (А) X *

\-Т-, • • • , Т-T-,Xfc + 1 (А) • • • ,Xm (А)

А — Ао А — Ао

где Хд(Л) аналитичны в некоторой окрестности Л0 (£ обозначает транспонирование). Используя (4), получаем

ао = Res M(А) = - Res (V(<(x, А)))-1 V(S(x, А)) =

A=Aq A=Aq

= - Res C

A=Aq

X^, • • •, X^, Xk+1 (А), • • •, Xm(А)! * V(S(x, А)) = А - Ао А - Ао

it

= -C [Xl(Ао), • • •, Xk(Ао), 0, • • •, 0]r V(S(x, Ао)) = -XV(S(x, Ао))-

Отсюда видно, что полюса матрицы Вейля простые и rankао < k. Докажем противоположное неравенство. Заметим, что

Res (V(<(x, А)))-1 V(<(x, А)) = 0m = XV(<(x, Ао))•

a=aq

Пусть —(x, Ао) — решение уравнения (1) при А = Ао, удовлетворяющее условию V(-—) = X*. Разложим —(x, Ао) по фундаментальной системе решений уравнения (1):

—(x, Ао) = <(x, Ао)A + S(x, Ао)B, XX* = XV(—(x, Ао)) = XV(<(x, Ао))A + XV(S(x, Ао))B = -аоВ

С одной стороны, векторы Xq(A0) линейно независимы (это следует из detW = 0), и поэтому rankXX* = k. С другой стороны, ranka0B < ranka0. Получаем ranka0 > k, завершая тем самым доказательство леммы. □

Лемма 4. Пусть A0, Ai — собственные значения задачи L, А0 = Ai, и а = lies M(А), i = 0,1.

Тогда справедливы соотношения

п п

а*о J r*(x,A0)r(x,A0) dxa0 = a**, a* j r*(x,A0)r(x,A1) dxa1 = 0m. 00

Из первого соотношения, в частности, следует, что a0 = a* > 0.

Доказательство. Введем обозначения: I*Z := —Z'' + ZQ(x), V* (Z) := Z'(n) + Z(n)H, (Z,Y) := Z'Y — ZY', где Z = [Zfc]k=1> - вектор-строка. Тогда (Z,Y)ж=п = V* (Z)Y(n) -— Z(n)V(Y). Кроме того, если Y(x, A) и Z(x, ц) удовлетворяют уравнениям IY(x, A) = AY(x, A) и I*Z(x, ц) = цZ(x, ц) соответственно, то dx (Z, Y) = (A — p)ZY. В частности, если A = ц, то (Z, Y) не зависит от x.

Так как A0 — вещественное число, r*(x, A0) удовлетворяет уравнению I*Z = A0Z. Следовательно,

(Г*(x,A0), r(x, A))|П _

Г-Ж

I

p*(x,A0)p(x, А0) dx = lim /о А^Ао А — Aq

= lim V* № (x, Aq))p(x,A) — p*(x, Aq)V(p(x,A))

л^Ао A — Ао

Из (4) и леммы 3 вытекает

V(p(x, Aq))ао = — lim (А — Aq)V(p(x, A))(V(p(x, А)))-1 V(S(x, А)) = 0m.

А^Ао

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Аналогично a*V* (p* (x, А0)) = 0m. Следовательно, вычисляем

п

a* í p*(x, Ао)p(x,Ao) dxao = a*p*(п,Ао) lim V(p(x'А)) lim (А — Ао)(V(p(x, А)))-1 V(S(x,A)) = J А^Ао А — Ао Л^Ло

о

= a*p*(n,Ao)V(S(x, Ао)) = —a*(p*(x,Ao),S(x,Ao))*=п = —a*(p*(x,Ao),S(x, Ао))x=o = a*.

Второе соотношение получаем аналогично. □

Доказательство леммы 1. Так же как и в скалярном случае (см. [1, с. 13]) можно получить асимптотику pnq = n + O(n-1), n ^ <x>. Перейдем к уточнению этой оценки.

Обозначим p := л/Л, Re p > 0, т := Im p. Нетрудно показать, что V(p) = —p sin pn • Im + и cos pn +

+ K(p), где k(p) = 1 j Q(t) cos p(n — 2t) dt + o(p ехр(|т|n)).

o \iJ /

Введем линейные отображения zn(p), переводящие круги {p : |p — n| < C/n}, в которых при

фиксированном достаточно большом C лежат pnq, в круг {z : |z| < R}: p = n + ^П^.

При |z| < R имеем

V(p) = ( —1)n (и — Zn (p)Im + Kn(zn(p))). (5)

Используя представление для x(p), получаем, что кп(z) = o(1), n ^ ж>, причем сходимость равномерная по z в круге {z : |z| < R}. Кроме того, для любой последовательности {zn}n>0 С {z : |z| < R} {Kn(z<n)}n>0 G l2, причем ^-n^n)|2 < L, L — некоторая константа. Следовательно,

n>0

A(p2) = ±f (zn (p))+ gn (zn (p)),

где f (z) = det(w — zlm), gn(z) = o(1), n ^ ж (сходимость равномерная при |z| < R), выбор знака ± зависит только от n. Фиксируем 0 < ö < 1/2 min — ui | и введем в рассмотрение контуры

Yq = {z : |z — | = ö}. Очевидно, что при достаточно больших n верно неравенство |f(z)| > |gn(z)|

на 7д, и по теореме Руше аналитические функции Д(рП(г)) и /(г) имеют одинаковое количество нулей внутри 7д (рп — обратное отображение к гп). Таким образом, имеем:

к

Рид = у/Апд = П +--1 +--1, Кпд = о(1), П ^ ГО, <? =1,Ш.

ПП П

Подставим полученную формулу в (5):

V (<£) = (-1)п (и - ^д /ш - ПКпд /т + Кп (гп (Рид))).

Так как {кп(гп(рпд))} е 12, отсюда нетрудно получить, что {кпд} е 12. □

Доказательство леммы 2. 1. Пусть ММ"(А) — матрица Вейля задачи ¿(<5,5, Н5), такой что <(х) = 2и, 5 = Н = 0. Тогда = 2/(5), 5 = 17р.

Введем контуры 7П= {А : |А — (п2 + 2и(в) )| = Д}, Д = 1 шт |ид — Учитывая формулу (2), по основной теореме о вычетах получаем:

— (М(А) — М(А)) ¿А = £ аПд — £ йПд = «П0 — -/(5), п > п*, 5 = ТТР

,, д=ш3 д=ш3

7п

Нетрудно показать, что М,-к(А) = — Дк, где

Д(А)

Д^(А) = ёе^У(^1),..., V(р,—), V(Бк), V(^^+1),..., V(у>ш)]. Используя это представление, находим:

М-к (А) — (А) = Д(А)Д *(А) —>(А)Д(А), . к = ^ (6)

зкК } ]кК } Д(А)Д(А) ^

Воспользуемся отображениями гп, введенными при доказательстве леммы 1: р = п + ^П^ • Если А е 7Пв), то 0 < < |гп(р) — ид| для всех д = 1,т и |гп(р) — и(в) | < <52. Следовательно, верна оценка для Д(А), полученная при доказательстве леммы 1 (предел равномерный по А): Д(А) = ±/(гп(р)) + о(1), А е 7П5), п ► го. Аналогично можно оценить

Д]к(А) = ± ^ ПКИ)) + о(1) при 3 = к, Д]к(А) = о(1) при 3 = к,

/(гп(Р)) гп(р) — и

А е 7Пв), п ^ го, з, к = 1,т.

Сходимость остаточных членов равномерна по А, выбор знака ± зависит только от п. Аналогичные соотношения верны для Д(А) и Д^(А).

Подставляя полученные оценки в (6) и учитывая, что С1 < |/(гп(р))| < С2 при А е 7Пв), в итоге получаем:

М0к(А) — М0к(А) = о(1), з, к = 1,т, А е 7П5), ^ I (М(А) — М(А)) ¿А = о(1), «0° = 2/(5) + пП5), пП5) = о(1), п ^го.

2. Далее через {кп} будем обозначать различные последовательности из 12. Используя асимптотику

X

^ , , этрх С этр(х — , ^/ехр |т|х\ . . ,

<^(х,А)=ео8 рх ■ /ш + <1(х)-—+ -^--^ + О ) , |р| ► го, х е [0, п],

Р 2Р Р 0

где Qi (x) = h + J Q(t) dt, нетрудно показать, что

о

<£*(ж, Anq)^(x, An) dx = 2Im + ^^ ' Anq - An =

Применяя лемму 4, получаем:

anq ^ 2 ^m + I anq an

nq nq

n > 0, q = 1, m.

Ясно, что ||апд|| < С, п > 0, д = 1,т (здесь и далее ||а|| = тах^к |). Следовательно,

2«Пд = «пд + Кт• Аналогично выводим апдап = , та < д, I < т5+1 - 1, д = I, 5 = 1,р. Таким образом,

2

(ш3 + 1-1 \ п тз + 1 -1 к т3 + 1-1 к к

^ У апд ) о ^ "у (апд) + п ^ у апд + п а,г + "

д=ш3 / д=т3 д=т3

n

Подставим в полученное равенство результат пункта 1:

2 (-1(s) + nis)Y = 21(s) + +

2 уп у П

Kn

n

(1m - 21(s) )niJ*) = 2(4<'))2 + ^

Отсюда вытекает n(s) = Кг' и доказательство леммы завершено. □

Доказательство теоремы 1 (необходимость). Выполнение первых двух условий доказано в леммах 1-4.

Пусть y(A) — функция, описанная в условии 3. Вспомним, что V(^(x, Anq))anq = 0m. Так как rank V (<p(x,An q)) +rank a n q = m и y (A n q )a n q =0, то y (An q) = Cn q V (<p(x,A n q)), т.е. строка y (A n q) является линейной комбинацией строк матрицы V(^(x, Anq) (Cnq — строка коэффициентов). Рассмотрим функцию f (A) = y(A)(V(^(x, A)))-1. (V(^(x, A)))-1 имеет простые полюса в точках A = Anq, поэтому вычисляем:

Res f (A) = y(Anq) Res (V(^(x,A)))-1 = Cnq lim V(<p(x,A)) lim (A - Anq)(V(^(x,A)))-1 = 0.

Л — Xnq Л— ^nq Л—Л—

Следовательно, f (A) — целая функция. Можно показать, что

||(V(^(x, A)))-11| < C|p|-1 exp(-|r|п), p e G

-1

где = {р : |р — к| > 5, к = 0, ±1, ±2,... }, 5 > 0. Отсюда заключаем, что ||/(А)|| < С в . По принципу максимума модуля для аналитических функций полученная оценка верна во всей комплексной плоскости. По теореме Лиувилля, /(А) = 0 и, следовательно, 7(А) = 0. □

Заметим, что в скалярном случае выполнение условия 3 следует из первых двух условий теоремы 1 (см. [1, с. 72]). Однако в матричном случае это условие существенно и не может быть опущено, что показывает следующий пример.

Пример 1. Пусть т = 2, А01 = А02, Ап1 = Ап2 = п2, п > 1,

ао1 = ao2 =

0

1

п

00

an1 = an2 =

, n > 1.

Приведенные величины {Апд,апд} удовлетворяют условиям 1-2 теоремы 1. Покажем, что они не удовлетворяют условию 3 и, следовательно, не могут быть спектральными данными задачи Условия 7(Апд)апд = 0, п > 0, д = 1,т в данном случае можно переписать в виде 7(А) = [71(А),72(А)], 71(А01) = 71(А02) = 71(п2) = 0, 72(п2) =0, п > 1. Ясно, что если мы положим 71(А) = 0, 72(А) = 81Гррэт, то получим противоречие с условием 3.

x

п

n

n

2. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ 1

Предположим, что нам известны спектральные данные Л задачи Ь е А(ш). Обозначим

х

П(х,Л,ц) = = '^ИЖ^Л) Я. (7)

Л — ц ]

о

Выберем модельную краевую задачу Ь = Ь(^(х), К, Н) е А(ш) (например, можно взять х) = Пш, К = 0т, Н = 0т). Условимся, что если некоторый символ 7 обозначает объект, относящийся к задаче Ь, то символ 7 будет обозначать аналогичный объект, относящийся к Ь. Положим

т р т3 + 1 — 1 р т3 + 1 — 1

С'п ^ ] \p-nq - Рид 1 + ^ ] ^ ] \p-nq - Ритв 1 + ^ ] ^ ] \Рид - Ритв 1 + ^ ] д=1 в=1 д=тв в=1 д=т3 в=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

/ те \ 1/2 те

Согласно леммам 1 и 2 О := ( ^ ((п + 1)Сп)2 I < го, Си < го.

в \ ' / . II и и |

=о =о

Обозначим Л и д0 = Л и д, Л и д1 = Л и д, Р и д0 = Ри д, Р и д1 = Ри д, а 'и д0 = (х'п д, (х'п д1 = Й 'и д, ' и дг (х) = = '(Х,Ли дг ), 'и дг (х) = '(х, Ли дг) , Рк^,идг (х) = а'щ Б(х, Ли дг ,ЛкЦ ), Рк^,идг (х) = (Хщ Б(х,Ли дг ,ЛкЦ ),

п,к > 0, д,1 = 1, т, г,] = 0,1.

Стандартным образом (см. [1, с. 62]), используя лемму Шварца, можно доказать следующее утверждение.

Лемма 5. При х е [0, п], п,к > 0, г, в = 1, т, тг < д < тг+1, т3 < I < т3+1, %,] =0,1 имеют место оценки:

II' и дг (х) || < С, II' и тг 0 (х) - ' и тг 1 (х) |, ||' и дг (х) - ' и тг г(х)Ц < ССи,

т3+1—1

У^ (Рк10,и тг 1(х) — Рк11,и тг 1 (х))

\Fklj, и дг (х) У <

С

\п - к\ + 1

1=тв

<

ССк

\п - к\ + 1'

||Fklj,nдг (х) Рк^,итг г (х) У , ^Рк^^тг 0(х) Рк^,итг 1 (х) У < т3+1—1

ссп

^ ^ (Рк10,идг(х) Рк10,итг г (х) Рк11,идг(х) + Рк11,итг г (х)) 1=тв т3+1—1

У^ (Рк10,итг0(х) - Рк10,итг 1 (х) - Рк11,итг0(х) + Рк11,итг 1 (х))

\п - к\ + 1' ССи С к

<

1=тв

\п - к\ + 1' ССи Ск

<

|п - к| + 1

Аналогичные оценки верны также для фидг (х), Рщ^^х).

Лемма 6. При п > 0,д =1,т, г = 0,1 справедливо соотношение

те т

Фидг(х) = 'идг(х) + ^ ^('кЮ (х)Рк10,идг (х) - 'к11(х)Рк11,идг (х)). (8)

к=01=1

Доказательство леммы 6 см. в работе [5]. При любом фиксированном х е [0, п] соотношения (8) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно 'идг(х), п > 0, д = 1,т, г = 0,1. Но ряд в (8) сходится лишь «со скобками». Поэтому неудобно использовать (8) в качестве основного уравнения обратной задачи. Ниже мы преобразуем (8) к линейному уравнению в соответствующем банаховом пространстве последовательностей.

Введем обозначение хи := С-1 при Си = 0 и хи =0 при Си = 0. Пусть V — множество индексов и = (п,д,г), п > 0, д = 1,т, г = 0,1. При каждом фиксированном х е [0,п] определим вектор-строку

-0(ж) = (ж)]и€у и матрицу Л(ж) = , V = (к, ), и = (п, д,г), по формулам

^пш, 0(х) Хп (^пш80(х) ^пш, 1(х)) ^пш, 1(х) ^пш, 1(х)? "0пдг(х) Хп (^пдг(х) ^пш, г(х))?

Ш3+1-1 ш,+1-1

0,пшг0(х) ^ ^ (^"кю,пшг0(х) 1(х))? 0,пшг 1 (х) Ск: ^^ 1(х)

fcg W , / I I I

1—ms 1 —ms

ms+x-1

Rk ms 0,nqi (x) = XnCk (Fk10,nqi(x) - Fk10,nmri(x)),

1—ms

Rk1j,nmr0 (x) = (-1)j XnCk (Fkj,nmr0 (x) - Fkj,nmr 1 (x)), Rkj,nmr 1 (x) = (- 1)jCkFkj,mr 1(x),

Rk1j,nqi (x) — ( XnCk (Fk1j,nqi (x) Fk1j,nmri (x))

ms+x-1

Rkms1,nmr0 (x) Xn (Fk10,nmr0 (x) Fk10,nmr 1(x) Fk11,nmr0 (x) + Fk11,nmr 1(x))

l—m

ms+x-1

Rkms 1,nqi(x) Xn (Fk10,nqi(x) Fk10,nmr i(x) Fk11,nqi(x) + Fk11,nmr i(x))

1—ms

ms+x-1

Rk ms 1,nmr

1(x)= (Fk10 1(x) - Fk 1,nmr 1(x)),

1—ms

n, k > 0, r, s = 1,p, ms < l < ms+1, mr < q < mr+1. Аналогично определяются -i~(x), R(x) заменой в предыдущих определениях ^nqi(x) на t~nqi(x) и

Fk1j,nqi (x) на Fkij,nqi (x).

В силу леммы 5

~ ~ cCk

||"0nqi (x)|, ||^~nqi(x)| < C, ||Rkj,nqi (x) ||, ||Rkj,nqi (x) || < _ ^ + 1 , (9)

где C не зависит от x, n, q, i, k, l, j

Рассмотрим банахово пространство B ограниченных последовательностей вида а = [au]uey с

нормой ||а||в = sup ||аи||, где аи, u e V — m х m матрицы. Будем рассматривать R(x) и R(x) при uev

фиксированном x e [0, п] как операторы, действующие из B в B. Из (9) вытекает, что при каждом x e [0, п] оператор / + R(x) (I — единичный оператор) является линейным ограниченным оператором.

Можно показать (аналогично [3]), что при каждом фиксированном x e [0,п] вектор -0(x) e B удовлетворяет уравнению

<~(x) = ^(x)(/ + R(x)) (10)

в банаховом пространстве B, и это уравнение однозначно разрешимо. Уравнение (10) называется основным уравнением обратной задачи.

Используя решение основного уравнения, можно построить ^nqi(x) по формулам

^nms1(x) — "0nms1 (x) ^nms0(x) — ^nms 1(x) + Cn"0nms0(x), (11)

^nqi(x) = ^nmsi(x)+ Cn^nqi(x), n > 0, s = 1,p, ms <q<ms+b i = 0,1,

и затем восстановить потенциал Q(x) и коэффициенты краевых условий h и H, используя соотношения

Q(x) = Q(x) + e(x), h = h - £0(0), H = H + £0(n), (12)

где £0(x) = £ (-1)j ^kij (x)akij(x) £(x) = -2£0(x). (k,i,j)ev

Таким образом, мы получили следующий алгоритм решения обратной задачи 1. Алгоритм 1. Пусть даны спектральные данные Л краевой задачи L e A(a>).

1. Выбираем L e A(a>) и вычисляем t~(x) и R(x).

2. Находим -0(x) из уравнения (10) и вычисляем ^nqi(x).

3. Строим Q(x), h и H по формулам (12).

3. ДОСТАТОЧНОСТЬ

Пусть задан набор {Апд,апд}п>0 д=т~т е Яр, удовлетворяющий условиям теоремы 1. Выберем задачу Ь е А(и), построим -0(х), Л(х) и рассмотрим уравнение (10).

Лемма 7. При каждом фиксированном х е [0, п] оператор Г + Л(х), действующий из В в В, имеет ограниченный обратный, и основное уравнение (10) имеет единственное решение -0(х) е В.

Доказательство. Достаточно доказать, что однородное уравнение в(х)(Г + -й(х)) = 0, где в(х) = [ви(х)]ие^, ви(х) — матрицы т х т, имеет только нулевое решение.

Обозначим 7пШз 1 (х) = впшд(х), 7пш3 0 (х) = 7пш3 1 (х)+ Спвпт3 0 (х) , 7пдг(х) = 7пш3 г (х) + Спвпдг (х) , п > 0, 5 = 1,р, т8 < 5 < т8+ь % = 0,1. Тогда 7пдг (х) удовлетворяют соотношениям

те т

7пдг(х) + V] У^ТШ (х)-?^к10,пдг (х) - 7ш(х)-РШ,пдг (х)) = 0т, П > 0, (13)

к=о г=1

и справедливы оценки

IlTnqi(x)||< с(x), n > 0, q = l,m, (14)

||7nms0 (x) - 7nms 1 (x)||, ||Ynqi (x) - 7nms i(x)||< C (x)£n, s = 1,p, ms <q<ms+1.

Построим матрицы-функции 7(x, А), Г(х, А) и B(x, А) по формулам

7(*,А) = - £ f [Y» (x)ak,0 (^k'°(x)f(x'A)> - 7ш (*К„ А)> ], (15)

Г^Т-;1 А - Аш А - Аш -1

k=0 t = 1

(x,A, = -V V km (xW (^kw(x)' Ф(^А)> (^(x),

!(x,А) = - |Гш(x)«ki0-а - Ак10--Yrn(x)am-А _ Аш-J' ( )

k=01 = 1

B(x, А) = y*(x, Ä)r(x, А).

В силу (7) функция y(x, А) является целой по А при каждом фиксированном x. Функции r(x, А) и B(x, А) являются мероморфными по А с простыми полюсами Ап^. Согласно (13) имеем: Y(x, Апдг) = Ynqi(x). Вычислим вычеты функции B(x, А) относительно ее полюсов, для простоты предполагая, что {А„,90} П {А^} = 0:

Res B(x, А) = Y*(x, А„,90)y(x, А„,90)anq0, Res B(x, А) = 0m.

^ — ^nqü ^ — ^nqi

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рассмотрим контурный интеграл 1N(x) = 2П1 / B(x, А) ¿А, где rN = {А : |А| = (N + 1/2)2}. Покажем, что при фиксированном x е [0, п] lim 1N(x) = 0m.

N ^те

В самом деле, из (7) и (15) вытекает

те p ms + x-1

-Y(x, А) = Y1 Y1 Y1 [ym0^K/w^x А Аш) - Ym^Km^x А

те p ms + x-1

-Y (x, I Y/10 (x)ak10D(x, А, А/10 ) - Yfc11 (x)aknD(x,

k=0 s = 1 1=ms те p ms+x—1

0 (x) - Yfcms 1 (x)) Y1 "kWD(x, А, А/10) + Yfcms 1 (x)«/S) (D(x, А, 0)

^ s

k=0 s = 1 1=m

ms+i—1 1

^^^fcms 1))+ Ykms 1 (x)(a/S) - «kS))D(x, А, 1)+ Ykms1 (x) ^ X

1=ms j=0

ms+i—1 1

X(D(x, А, Аш ) - D(x, А, А/^ j)) + ^ y~y(Yfc1j (x) - Ykms j (x))«kijD(x,

1=ms j=0

:(D(x, А, А/j) - D(x, А, А/ms j)) + ^ ^(Yfcij(x) - Y/ms j(x))a/jD(x, А, А/^)J

1=ms j

Используя оценки леммы 5, (3) и (14), получаем

те

||Y(x, А)| < C(x)exp(|r|x^ ,-^ГХТ, Re Р > 0.

/=0 |р k| + 1

Аналогично из (16) получаем при достаточно большом р* > 0:

а

||Г(*,А)||< ехрНф^

k=0

|р - k| + 1'

Reр > 0, |р| > р*, р е G

Тогда

IIB(x, А)| <

C (x)

Е

Ck

<

C (x)

|р| Vi=01р - + V " 1р13 '

Ае Г

N •

Из полученной оценки вытекает lim /n (x) = 0m.

N

С другой стороны, вычисляя интеграл /n(x) по основной теореме о вычетах, заключаем, что

(x)Yfcw (x)«kw = 0m •

k=0q=1

Так как аш = a*l0 > 0, отсюда следует Y*l0(x)Yfcw(x)akio = 0m и y(x, Аш)«ш = 0m, k > 0, l = 1,m.

Поскольку y(x, А) — целая функция по А, y(x, А) = O(exp(|r|x)) при каждом фиксированном x е [0, п], согласно условию 3 теоремы 1, y(x, А) = 0m. Поэтому Ynqi(x) = 0m при всех n > 0, q = 1,m, i = 0,1, т. е. однородное уравнение имеет только тривиальное решение. □

Далее приведем общую схему доказательства достаточности условий теоремы 1. Доказательства лемм 8-10 аналогичны описанным в [1, п. 1.4.2].

Пусть -0(x) = (x)]ueV — решение основного уравнения (10). Лемма 8. При n > 0, q = 1,m, i = 0,1, справедливы соотношения

^nqi(x) е C1 [0,п], II^iViK C(n + 1)V, v = 0,1 x е [0,п], У^пдг (x) - (x)| < С^Пп H^iqi (x) - Äqi (x) У < C0, x е [0, п],

где

Пп := E

1

vfc=0

(k + 1)2(|n - k| + 1)2

Построим матрицы-функции (х) по формулам (11). Тогда в силу леммы 8 справедливы соотношения

II^(x)||< C(n + 1)V, v = 0,1,

|Ьпдг(х) - <^пдг(х)У < , (х) - (Пдг (х) У < 5 = 1, Ш (17)

||(пш,0 (х) - ^пш, 1(х)||, ||(п9г(х) - (пш,г(х)||< С£п, 5 = 1,р, Ш5 <д<Шв + 1.

Далее, построим функции ((х, А) и Ф(х, А) по формулам

• / <(«7 (х), ((х, А))

((х,А) = ((х,А) - (-1)7(х)ак7--,

^ хч ^ ^ /147 { \ ' (х),ф(х,А)) Ф(х, А) = Ф(х, А) - ^ (-1)7№ (хКг7-3——-,

а также краевую задачу £(ф(х),Л,, Н), используя соотношения (12). Ясно, что ((х, Апд^) = (пдг(х).

Применяя оценки (17), можно показать, что компоненты е0(х) абсолютно непрерывны и компоненты е(х) принадлежат (0,п). Следовательно, верна Лемма 9. (х) е £2(0, п), к = 1,ш. Лемма 10. Справедливы соотношения

1(пдг(х) = Апдг(пдг(х), 1((х, А) = А((х, А), 1Ф(х, А) = АФ(х, А), ((0, А) = /ш, ('(0, А) = й, и(Ф)= /ш, V(ф) = 0ш.

2

оо m

Для завершения доказательства теоремы осталось показать, что набор {Лпд,апд} совпадает со спектральными данными построенной краевой задачи Л, Н). По лемме 10 матрица-функция Ф(х, Л) является решением Вейля задачи Получим выражение для матрицы Вейля:

M(Л) = Ф(0, Л) = JWf(A) -

Е

(k,i,j)ev

Vhij (0)akij

(<P*kij (x), ф(Х,Л))х=0

ЛЛ

kij

те m

k=0l=1

ki0

ki1

Л — Tkii Л — Tkii

Используя равенство (см. [2]) М(Л) = ^7 л^л'1 , приходим к соотношению М(Л) = ^7 л^л'0 •

Отсюда вытекает, что {Лш} являются полюсами матрицы Вейля М(Л), а {«ш} — вычетами относительно этих полюсов. Заметим, что кратности собственных значений также совпадают с количествами одинаковых чисел в наборе {Лш}, потому что эти количества равны рангам вычетов {«ш}. Теорема 1 полностью доказана. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Национального научного совета Тайваня (проекты 10-01-00099, 10-01-92001-ННС). Библиографический список

1. Юрко, В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач / В.А. Юрко. - М.: Физматлит, 2007. - 384 с.

2. Yurko, V.A. Inverse problems for matrix Sturm -Liouville operators / V.A. Yurko // Russian J. of Math. Physics. - 2006. - V. 13, № 1. - P. 111-118.

3. Carlson, R. An inverse problem for the matrix Schrodinger equation / R. Carlson // J. of Math. Analysis and Applications. - 2002. - № 267. - P. 564-575.

4. Malamud, M.M. Uniqueness of the matrix Sturm -Liouville equation given a part of the monodromy matrix

УДК 519.853.3

О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ОБ АСФЕРИЧНОСТИ ВЫПУКЛОГО КОМПАКТА

С.И. Дудов, Е.А. Мещерякова

Саратовский государственный университет, кафедра математической экономики E-mail: DudovSI@info.sgu.ru

Рассматривается конечномерная задача о минимизации отношения радиуса описанного шара заданного выпуклого компакта (в произвольной норме) к радиусу вписанного шара за счет выбора единого центра этих шаров. Предлагается подход к построению численного метода её решения. На каждом шаге итерационного процесса требуется решать задачу выпуклого программирования, целевая функция которой является разностью радиуса описанного шара и, с некоторым варьируемым положительным множителем, радиуса вписанного шара. Показано, что эта вспомогательная задача, в случае, когда сам выпуклый компакт, а также шар используемой нормы являются многогранниками, сводится к задаче линейного программирования.

Ключевые слова: выпуклый компакт, асферичность, субдифференциал, аппроксимация.

and borg type results / M.M. Malamud // Sturm -Liouville theory. Past and present. - Birkhauser; Basel, 2005. - P. 237-270,

5. Yurko, V.A. Inverse problems for the matrix Sturm - Liouville equation on a finite interval / V.A. Yurko // Inverse Problems. - 2006. - № 22. - P. 1139-1149.

6. Chelkak, D. Weyl - Titchmarsh functions of vector-valued Sturm - Liouville operators on the unit interval / D. Chelkak, E. Korotyaev // J. of Functional Analysis. -2009. - V. 257, iss. 5, 1 September. - P. 1546-1588.

On a Approximate Solution of the Problem of Aspherical Convex Compact Set

S.I. Dudov, E.A. Mesheryakova

Saratov State University, Chair of Mathematical Economy E-mail: DudovSI@info.sgu.ru

We examine a finite-dimensional problem of minimizing the ratio radius of the ball given a compact convex set (in an arbitrary norm) to the radius of the inscribed sphere through the choice of a common center of these balls. The article offers an approach to building the numerical method of its solution. At each step of the iterative process it is required to solve the problem of convex programming, target function of which is the difference between the radius of a circumscribed sphere, and scalable, with some positive factor, the radius of the inscribed sphere. It is shown that this auxiliary problem, in case of convex compact, and the ball of the used norm being polyhedral, can be reduced to a linear programming problem.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Key words: compact convex set, asphericity, subdifferential, approximation.

те m

те m

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.