О расслоениях со структурным группоидом матричных подалгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.В. Ершов

УДК 515.14

О РАССЛОЕНИЯХ СО СТРУКТУРНЫМ ГРУППОИДОМ

МАТРИЧНЫХ ПОДАЛГЕБР

Введение. Напомним основные определения и результаты из [1]. Через Homaig(Mk(C), Mki(C)) обозначим пространство всех унитальных *- гомоморфизмов из Mk (C) в Mki (C). Оно является однородным пространством

PU(kl)/(Ek 0 PU(l))

группы PU(kl). Пусть Ak ^ X — локально тривиальное Mk(C)-расслоение (таким образом, его структурная группа есть PGLk(C) или ее деформационный ретракт PU(k)). Homaig(Mk(C), Mki(C))-расслоение, полученное из Ak ^ X послойным применением функтора Homaig (..., Mki (C)), обозначим через HM (Ak) ^ X.

Группоид Gk,i определяется следующим образом: множество объектов G0 i состоит го унитальных ^-подалгебр, изоморфных Mk (C), в фиксированной алгебре Mki (C) (называемых в дальнейшем "k - подалгебрами "), а множество морфизмов (собственно Gk,i) — из всех унитальных ^-гомоморфизмов между соответствуюгцими k - подалгебрами. Топология на объектах и морфизмах определяется естественным образом: G0 i можно отождествить с однородным пространством Grk,i := = PU(kl)/(PU(k) 0 PU(l)) — "матричным грассманианом", параметризующим k-под алгебры в Mki(C), а Gk,i — с пространством Hk, i(Ak,i), где

Ak,i ^ Grk,i (1)

— тавтологическое Mk (^-расслоение над Grk,i (его стой над x G Grk,i есть подалгебра в Mki(C), соответствующая этой точке).

Будучи группоидом, Gk,i задано вместе со структурными мор-физмами: «source» и «target» s,t: Gk,i ^ G°k i5 композицией

m: Gk i x Gk i ^ Gk i, единицей e: Gk i ^ Gk i и обращением

,sGh * , , , ,

i: Gk,i ^ Gk,i, которые удовлетворяют известным соотношениям [2]. По причинам, которые обсуждались в [3], нас будет интересовать слу-(k, l) = 1.

Понятия действия группы и главного расслоения со структурной груп-G

группоид G [2, 4]. Точнее (левое), действие G па пространстве Y, снабженном отображением ("моментом") т: Y ^ G0 — это непрерывное отображе-

ние G x Y ^ Y, удовлетворяющее некоторым естественным условиям.

s G0 т

Главное (левое) ©-расслоение с базой X — это такое ©-пространство Р с моментом т: Р ^ ©0 и ©-инвариантной проекцией п: Р ^ X, что отображение

© х Р ^ Р х Р, ((#, р), = т(р)) ^ (рр, р)

в ©0 т п X п

является гомеоморфизмом. В частном случае, когда© = С, мы возвращаемся к обычным определениям, поскольку группу можно рассматривать как группоид с одноточечным пространством объектов.

Легко видеть, что расслоение вида п: Нк, /(Ак) ^ X имеет естественную структуру главного ©к, /-расслоения (момент определяется как

Н ^ Н((Ак)х) с Мы(С), Н е Нм(Ак), п(Н) = х,

а действие задается с помощью композиции гомоморфизмов алгебр).

Пусть ^ ВРи(к) — универсальное Мк(С)-расслоепие. В [1] показано, что Нк,/(АЦШ^) ^ ВРи(к) — универсальное главное ©к,/ - расслоение. В частности, отсюда следует, что всякое главное ©к,/ - расслоение имеет вид Нк,/(Ак) ^ X для некоторого (определенного однозначно с точностью до изоморфизма) Мк (С)-расслоения Ак.

С

С

С

того, определена естественная эквивалетность между классами изомор-С

©к,/

Локальное описание ©^-расслоений. Тривиалъное ©к:/-расслоение над X — расслоение, индуцированное из

Нк,/(Ак,/) ^ Сгк,/ (2)

(см. (1)), с помощью некоторого отображения X ^ Сгк,/. Обоснованием этого является очевидный факт, что (2) имеет каноническое сечение х ^ Ымк х, где Мк, х — к-подалгебра, отвечающая точке х е Сгк, / (напомним, что для группы С главное С-расслоенне тривиально ^ оно имеет сечение, причем последнее определяет тривиализацию, и наоборот). В частности, в случае группоидов существуют неизоморфные тривиальные главные расслоения [2].

Таким образом, задать тривиализацию ©^-расслоения Нк,/(Ак) ^ X — то же самое, что задать отображение /: X ^ Сгк,/? такое что Ак = = f *Ак,/? пли, что то же самое, тройку (Ак, д, X х Мк/(С)), где д: Ак ^

^ X х (C) — отображение расслоений надХ, являющееся на каждом слое унитальным * -гомоморфизмом матричных алгебр.

Напомним, что автоморфизмы тривиального главного G-расслоения над X можно отождествить с непрерывными отображениями X ^ G. В случае группоида Gk,i отображепне v: X ^ Gk, i определяет композиции f := s о v, f' := t о v: X ^ Grk,i, отвечающие некоторым тройкам (три-виализациям рассматриваемого G^-расслоения) (Ak, д, X х Mki(C)) и (A'k, д', X х Mki(C)), причем v задает изоморфизм между подрасслоени-ями ) и ) в X xMki(C). В [1] последние назывались частичными изоморфизмами между тройками, поскольку не всегда такой изоморфизм может быть продолжен до автоморфизма всего тривиального расслоения.

Теперь, зная что такое тривиальное расслоение и его автоморфизмы, мы можем перейти к склеиванию глобального расслоения из локальных

X

пространство, U := {Ua}aGA _ его открытое покрытие.

Определение. 1-коцикл {gae со значения ми в Gk,i (пли просто

Gk, г^о^кл) — набор таких непрерывных отображений gae: Ua П Ue ^ ^ Gk l что

1) и компонируемы на Ua П U^ П UY, т.е. Vx G Ua П U^П П UY t(gae(x)) = s(geY(x))^e s и t — отображения «sourc» и «target» для группоида Gk, i;

2) = ga7 на Ua П Ue П U7 (в частноети, (x) G Im(e), два = = i(gae) гДе e и i _ единица и обращение для группоида Gk,i.

На множестве Gk, i-коцпклов очевидным образом определяется отношение эквивалентности (когомологичности), обобщающее соответствующее понятие для групповых 1-коциклов [4].

Теперь склеивание глобального G^-расслоения из локальных тривиализаций может быть описано следующим образом. Тривиализа-ция над Ua — тройка (Ak,a, да, Ua х Mki(C)) или просто отображение fa: Ua ^ Grk,^. Рассмотрим G^-коцикл {ga^}а,веА? такой что s(g«e) = faи t(g«e) = feVa, в G А. Коцикл {g«e}а,вел определяет частичные изоморфизмы из (Ak,a, да, Ua х Mki (С))|иаПив в (Ak,e, Дв, Ue х Mki(C))|UariUe для всex а, в G А, которые согласуются на тройных пересечениях. Таким образом, различные тривиализации, возникающие над двойными пересечениями, склеиваются с помощью частичных изоморфизмов.

Напомним, что всякое G^-расслоение над X имеет в ид Hk,i (Ak) для некоторого Mk (С)-расслоения Ak ^ X. Как восстановить Ak по полученному локальному описанию? Ответ довольно очевиден: Ak получается

склейкой локальных расслоений Ak, а ^ Ua по изоморфизмам над пересечениями Ua П Ue, определяемыми частичными изоморфизмами. Заметим, что вложения да при этом не склеиваются ни в какой глобальный объект как и локальные тривиализации для расслоений со структурной группой.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 07-01-00046-а, 07-01-91555-ННИ(Э-а и 08-01-00034-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ершов А.В. Препятствия к вложению расслоений матричных алгебр в тривиальное расслоение // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2009. Т. 9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3. С. 27-33.

2. Rossi С.A. The division map of principal bundles with groupoid structure and generalized gauge transformations // arXiv:math/0401182v2 [math.DG]

3. Ershov A.V. Homotopic theory of bundles whose fibers are matrix algebras // J. Math. Sci. 2004. Vol. 123, МЧ. P. 4198-4220.

4. Rossi C.A. Principal bundles with groupoid structure: local vs. global theory and nonabelian Cecil cohomology // arXiv:math/0404449vl [math.DG]

5. Каруби M. К-теория, Введение. M,: Мир, 1981. 360 с.

УДК 517.984

М.Ю. Игнатьев

О РЕШЕНИИ ОДНОЙ НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ

Пусть ^ = {Ап}п=1^ — подмножество спектра краевой задачи:

£у = —у" + д(х)у = А у, Ь — п < х < Ь, (1)

у(Ь — п) = у(Ь) = 0, (2)

где Ь < п/2.

Задача 1. По заданному множеству ^ и значениям потенциала д(х) на [Ь — п, 0} восстановить потенциал на всем отрезке [Ь — п,Ь].

Задача 1 относится к так называемым "неполным"(или "полуобратным") задачам, в которых недостаток спектральной информации компенсируется некоторой априорной информацией об искомом потенциале. Вопросам единственности решения таких задач (и, в частности, задачи 1) посвящено большое число работ различных авторов (см., напр., [1 — 3]). В настоящей статье предлагается конструктивная процедура решения задачи 1.

Обозначим

с(х,А) = совл/ Ах, в(х, А) =-^—.

А