Гомотопические снопы расслоений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.145.23/.27

A.B. Ершов1, Т. Шик2

1 Московский физико-технический институт (государственный университет) 2 Математический институт Геттингенского университета Георга-Августа

Гомотопические снопы расслоений

Целью данной работы является определение скручивающих коциклов для высшей скрученной ^-теории. Для этого мы обобщаем подход к определению скрученной К-теории, основанный на понятии снопа расслоений (bundle gerbe). В работе определяется понятие гомотопического снопа расслоений, связанного с гомотопическим коциклом со значениями в моноиде эндоморфизмов прямого предела матричных алгебр. На множестве таких объектов над фиксированной базой X определяется отношение стабильной эквивалентности, классы которого находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопическими классами отображений X ^ BBU([- ] в локализацию распетлива-ния BU(.

Ключевые слова: скрученная ^-теория, векторное расслоение, матричная алгебра, классифицирующее пространство, сноп расслоений, топологический моноид.

1. Введение

1.1. Скручивания топологической Х-теории

Комплексная ^-теория — это 2-периодическая обобщенная теория когомологий, представляемая Q-спектром {Кп}п>о, где

Z х BU, если п четно; U, если п нечетно.

Таким образом, Ко — ^^-кольцевое пространство, и соответствующее пространство единиц есть Z/2Z х BU®. Скручивания К(X) (где X — компактное пространство) классифицируются гомотопическими классами отображений:

X ^ B(Z/2Z х BU®) ~ K(Z/2Z, 1) х BBU®. (1)

Ввиду изоморфизма спектров BU® = K(Z, 2) х BSU® [5,9] скручивания классифицируются элементами группы H 1(Z/2Z, 1) х Н3(Х, Z) х [X, BBSU®].

Скручивания, отвечающие первым двум множителям H 1(Z/2Z, 1) х H3(Х, Z), изучались М. Каруби [4], П. Донованом и М. Каруби [3], а также Дж. Розенбергом [8] в случае элементов конечного порядка и М. Атиа и Г. Сигалом [1] в общем случае. Наша цель — развить геометрический подход к скрученной ^-теории, отвечающей элементам конечного порядка из HS(X, Z) х [X, BBSU®].

Эта задача распадается на две части: во-первых, дать геометрическое определение скручивающим коциклам и, во-вторых, определить соответствующую скрученную ^-теорию и проверить выполнение необходимых свойств. Данная работа посвящена первой части этой программы — геометрическому определению скручивающих коциклов, роль которых играют так называемые «гомотопические снопы расслоений».

Последнее понятие родственно понятию снопа расслоений, введенному в работе [6]. Сноп расслоений можно рассматривать как геометрическое представление элемента из H3(Х, Z) (соответствие задается классом Диксмье—Дуади), подобно тому как комплексное линейное расслоение дает геометрическое представление элемента H2(Х, Z) (соответствие задается первым классом Чженя). Для скручивания конечного порядка a G H3(Х, Z) соответствующая ^-теория может быть определена следующим образом: выбирается сноп расслоений (L, Y) с классом Диксмье—Дуади, равным а, и затем рассматривается симметризация коммутативного моноида, состоящего из классов изоморфизма конечномерных модулей над данным снопом с операцией прямой суммы [2].

1.2. Проективные коциклы и снопы расслоений

Конструкции и результаты о гомотопических коциклах и гомотопических снопах расслоений, излагаемые в следующих разделах, во многом аналогичны теории проективных коциклов и «обычных» снопов расслоений, которую мы кратко напоминаем ниже в удобной для нас форме. Подробности см. в [2,6,7].

Зафиксируем некоторое положительное число к > 1 и рассмотрим проективную унитарную группу PU(fc) := U(fc)/U(1) — фактор-группу U(k) по центру. Пусть

1 = U(k) х C — PU(fc) (2)

U(l)

— каноническое линейное расслоение над PU(fc), ассоциированное с главным U(1)-расслоением

U(1) — U(k) — PU(k). (3)

Пусть X — компактное хаусдорфово пространство, U = {Ua} — его хорошее открытое покрытие (все непустые конечные пересечения Uao...ak := Uao П ... П Uak стягиваемы), Y := ]J Ua. Пусть также задан некоторый проективный коцикл (д, Ы) := {gaß},

9aß : Uaß — PU(k).

Эти данные определяют некоторый сноп расслоений (L(g), Y), где линейные расслоения Laß := д* ß §k, l — Uaß определены как обратные образы канонического линейного расслоения l, причем произведение

&aßj : Laß ® Lß1 Lai над тройными пересечениями Uaß7 определяется с помощью группового умножения

fik: U(k) х U(k) — U(k)

(ср. (3)). В частности,

где

ßl($к, i)= i И 1, (4)

ßk : PU(fc) х PU(fc) — PU(fc)

— умножение в группе и И обозначает внешнее тензорное произведение. Очевидно, произведение в ассоциативно над четырехкратными пересечениями, то есть диаграммы

Laß ® Lßj ® LjS -^ LaJ ® LjS

idLaß ®eßlS

eais (5)

Laß ® LßS ---Las

коммутативны над Uaß-yS-

Сноп (L(g), Y) имеет характеристический класс со значениями в Н3(Х, Z) (причем его порядок делит к) — класс Диксмье—Дуади; напомним его конструкцию. Так как U — хорошее покрытие, то можно выбрать сечения aaß эрмитовых линейных расслоений Laß — Uaß, равные то модулю единице в каждом слое. Тогда над Uaß-f имеем

&aßj(&aß ® ) = ^aßj

для некоторых функций \aß-y: Uaß-y — U(1) и, используя условие ассоциативности (5), получаем, что Л = {\aß^} — 2-коцикл Чеха с коэффициентами в U(1) — пучке ростков U(1)

S: Н2(Х, U(1)) — Н3(Х, Z)

(являющийся изоморфизмом, так как М — тонкий пучок, и, значит, Нг(Х, М) = 0 для г > 1) в длинной точной последовательности когомологий, ассоциированной с короткой точной последовательностью пучков

0 ^ Z ^ М —;► ) и(1) ^ 1,

определяем класс Диксмье—Дуади БО(Ь(д), У) как <5([А]) где [Л] е Н2(X, и(1)) — класс когомологий коцикла Л. Этот класс — препятствие (причем единственное) к существованию подъема проективного коцикла {дар} ДО и(й)-коцикла. Снопы расслоений с одним и тем же классом Диксмье—Дуади называются стабильно эквивалентными.

По Ри(&)-коциклу {дар} строится главное Ри(й)-расслоение над X, и таким образом получается взаимно однозначное соответствие между множеством Н 1(Х, РЦ(&)) и множеством классов изоморфизма главных Ри(й)-расслоений с базой X. Существует гомотопическое описание последнего множества: каждое главное Ри(й)-расслоение над X классифицируется некоторым отображением X ^ БРи(й), единственным с точностью до гомотопии, то есть существует естественная по X и РЦ(&) биекция множеств Н 1(Х, РЦ(&)) = [X, БРи(й)], где [X, У] обозначает множество гомотопических классов отображений X ^ У.

Мы также имеем точную последовательность пучков

1 ^ ]1) ^ Ц^) ^ РЦ(&) ^ 1, (6)

отвечающую точной последовательности групп (3), и соответствующий кограничный гомоморфизм 5к: Н 1(Х, РЦ(&)) ^ Н2(Х, и(1)). Нетрудно показать, что каждый элемент конечного порядка в Н2(Х, и(1)) = Н3(X, Z) принадлежит образу 5к для некоторого к. Другими словами, произвольный сноп расслоений с классом Диксмье—Дуади конечного порядка стабильно эквивалентен некоторому снопу, полученному применением приведенной выше конструкции к некоторому проективному коциклу. Из точности последовательности когомологий, связанной с последовательностью (6), также следует, что сноп (Ь(д), У) стабильно тривиален тогда и только тогда, когда соответствующий проективный коцикл д является образом унитарного коцикла при гомоморфизме Н 1(Х, ](к)) ^ Н 1(Х, РЦ(й)), или, на языке классифицирующих пространств, когда классифицирующее отображение X ^ БРЦ(й) для соответствующего главного Ри(й)-расслоения поднимается до некоторого отображения X ^ БЦ(&) в расслоении

СР ~-^ БЦ(Л)-^БРЦ(й). (7)

2. Топологический

МОНОИД Рт^то

Заметим, что в приведенной в предыдущем параграфе конструкции снопов расслоений с помощью проективных коциклов использовался тот факт, что группы РЦ(&) являются базами нетривиальных линейных расслоений 1 (можно показать, что любое линейное расслоение над X, имеющее конечный порядок в группе Ргс(Х) = Н 1(Х, и(1)) = Н2(Х, Z), является обратным образом 1 для некоторого к), причем имеет место изоморфизм (4). Мы хотим показать, что данную конструкцию можно существенно обобщить, заменив группу Ри(&) на некоторый топологический моноид Еги^ ^.

2.1. Пространства унитальных гомоморфизмов матричных алгебр

Зафиксируем пару натуральных чисел {к, I}. Пусть Рг^™ ^ обозначает пространство унитальных *-гомоморфизмов матричных алгебр Ноша|й(М^т(С), Мк1т+п(С)). Напомним, что группа *-автоморфизмов комплексной матричной алгебры Мп(С) есть РЦ(п), поэтому на Бт^т^ определены левое действие группы Р](к1т+п) и правое действие группы Р]](к1т). Более того, Бг^™является однородным пространством группы Р]](к1т+п).

Предложение 1. Существует изоморфизм однородных пространств

^Тк1т,1п = Ри(Ыт+п)/(Ек1т ® РИ(1п)), (8)

где Еп обозначает единичную матрицу, а «®» — кронекеровское произведение матриц. Доказательство является простым следствием теоремы Нетер—Сколема. □ В частности, при I = 1 имеем = РИ(&).

2.2. Канонические векторные расслоения над пространствами FrЫm)гn

Заметим, что в представлении (8) пространства как однородного пространства

проективные унитарные группы можно заменить на унитарные:

Егк1т>1п = и(Ыт+п)/(Ек1т ® и(П). (9)

Из этого представления вытекает, что Ег^т ^ является базой главного И(Р)-расслоения

И(Р)-^И(к1т+п)-. (10)

Пусть

§к1т 1п = И(кГ+п) х С1" ^ Егк1™ 1п и(1п)

— векторное Сгп-расслоение, ассоциированное с (10). В частности, для I = 1 мы возвращаемся к линейному расслоению гдк, \ ^ РИ(&) (ср. (2)).

Имеет место изоморфизм Мт(Мп(С)) = Мтп(С). Сопоставление гомоморфизму

Ъ: МЫт (С) ^ Мк1т+п (С)

гомоморфизма

М1 (Ъ): М1(Мк1т (С)) ^ М1(Мк1т+п (С))

определяет вложение

Сопоставление гомоморфизму

Ъ: Мк1т (С) ^ Мк1т+п (С)

его композиции с

г: Мк1т+п (С) ^ Мк1т+п+1

(С), г(Т)= Е1 ® Т

определяет вложение

Ьт,п+1 : Егк1т,1п ^ Егк1т,1п+1.

Предложение 2. Имеем

1'т+1,п(^к1т+1,1п ) = $к1т,1" , Ь*т,п+ 1($к1т ) = $к1т,1" ® [l},

где [I] обозначает тривиальное Сг-расслоение.

□

Операция композиции унитальных *-гомоморфизмов матричных алгебр определяет отображение

: Яота19(Мк1т+п(С), Мк1т+п+г(С)) х Яота1д(МЫт(С), Мк1т+п(С)) ^ ^ Нота1д(Мк1т (С), Мк1т+п+г (С)),

то есть

Предложение 3. В предыдущих обозначениях имеем (ср. (4)):

□

2.3. Топологический МОНОИД Рт^то /то

Используя пространства Ег^т^п и вложения ьт+ 1,п, ¿т,п+1, ш, п € М, мы можем образовать прямой предел Ег^то,^ := Н^^ п Егыт ,1п- Введенные в предыдущем пункте отображения г задают на пространстве Ег^то,^ структуру топологического моноида.

Далее мы предположим, что (к, I) = 1. Данное условие обеспечивает нестягиваемость Е~ыто,гто: можно показать, что при этом условии

jz/kz,

I0,

, .„„, если г нечетно; (Fr ) = ,

0, если г четно.

Более того, его гомотопический тип не зависит от выбора I > 1, (к, I) = 1. В частности, ^о(Ег^|то,|то) = 0, и, значит, моноид группоподобен. Кроме того, он имеет структуру С\¥-комплекса, а значит, вложение единичного элемента является корасслоением.

Моноид Егыто,гто имеет фильтрацию

/ т тг-оч п Ьп, п п

= ЕгЫто, 1 ^ Еск1то,1п ^ Егк1тоА2П ^ ...

Замечание 1. Моноид Ег^то,^ удобно представлять как бесконечный телескоп, то есть

U(FrfcZ^ jm х I)/

r=0

где I := [0, 1], по отношению эквивалентности (h, 1) ~ (im,n(h), 0) гдe h G Fr^^m.

Умножение в Fr индуцирует отображения (ср. (11))

^п, п := ^п : Frkl™,ln х Frkl™,ln ^ Frkl^,l2".

Заметим, что Frki™,in является базой векторного Сг™-расслоения чье ограниче-

ние на подпространство Fr^m^n с FT^^^n есть r&kim,in (СР- Предложение 2). Более того (ср. Предложение 3),

) = flkl^J" ^ "dkl™ ,1" . (12)

Мы также имеем изоморфизм (ср. Предложение 2)

in,n(tikl^,l2n) = ® [ln\. (13)

Таким образом, умножение в моноиде Fr^^,^ отвечает тензорному произведению векторных расслоений подобно тому, как умножение в проективной унитарной группе отвечает тензорному произведению линейных расслоений (см. (4)). Посмотрим теперь, каким будет аналог снопов расслоений в данном случае.

3. Гомотопические снопы расслоений 3.1. Гомотопические коциклы

В случае группоподобного топологического моноида M роль 1-коциклов играют гомотопические коциклы, (которые мы будем называть НТС от англ. «Homotopv Transition Cocvcle»), основные свойства которых изучены в работе [10]. Так же, как в случае групп и «обычных» 1-коциклов, их (подходящим образом определенные) классы эквивалентности находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопическими классами отображений в классифицирующее пространство BM моноида M. Далее мы рассматриваем случай M = Как раньше, Uao,..an := Uao П ... П Ua„.

Определение 1. Гомотопический коцикл (д, U) со значениями в моноиде —

набор отображений

9а0...ат : Ua0...am х I™ 1 ^ ,

заданных для всех т > 1, которые согласованы в следующем смысле: если а = (од ... ОДт), = (ОДо ... ОД ... ОДт) и (е, г)(1т-1) — грань и = е (е = 0 или 1), то для г = 1,... ,т — 1

9о\иа х(1, г)(/т-1) = 9о1, 9а\иа х(0, г)(/т-1) = 9а0...а19а1...ат .

Если расшифровать приведенное определение, то, во-первых, мы имеем набор отображений дар: иар ^ Н? и™, ¡о, затем гомотопий : иар1 х I ^ ЕгЫо,¡о между 9.33937 и д.7, а также гомотопий : и.378 х 12 ^ Е ио, Iо, которые заполняют квадрат

9а

9а/3937 д~/6 -^ 9а7

9а

У

9а[5 д/36

9а~(5

9 а

9.8,

и т.д. до бесконечности.

Без потери общности можно предположить, что дар: иар ^ Б^ыо, ¡п с о, ¿о для некоторого п (одновременно для всех элементов покрытия), и вообще

9а0...аг : иа0...аг х Г"-1 ^ о, рп , Г > 1.

Для тройных пересечений определим отображения 9.3937: и.337 ^ Ей оо ¿2п , заданные как

КОМПОЗИЦИИ

и,

diag

а/37

и,/37 х и,/7

9а[3 х9р~(

Ег к,о, 1п х Ег к1о, 1п Егк1 о, рп . (14)

Тогда над тройными пересечениями мы имеем гомотопии да/7: иа/7 х I ^ Егыо, рп, такие

9а/7\Uap~y х{0} = 9,33937, 9а37\Uap-y х{1} = ^п,п О 9,7, (15)

где ("п,п: Е?к1о, ¡п ^ Н?к1 о, рп — вложение. Заметим, что отображения ьп,п о д.7ж да7 отождествляются как отображения иа1 ^ Ег^о,¡о (ср. Замечание 1).

Над четырехкратными пересечениями и.,376 мы получаем диаграмму из гомотопий:

9а

, 3 3 7 7 9аР 9/^6

( п, п О , 7 ) 7 = 2 п, п О ( , 7 7 ) ^2п, п °9 а~(5

9а 3(Ьп,п О 936) = Ь2п,п О (9а3936

(16)

,{2п, п О 1п,п О д.ё = 1п, 2п О д.ё,

Ч-2п,п°9а3Г

где ьп, 2п: РГыо, ¡п ^ Егыо, рп и т.п., которая получается из рассмотрения коммутативной диаграммы:

^п, п х id Ьп, п х id Ег к1о, 1п х Ег к1о, 1п х Е к1°, 1п -^ Е к1 о, 12п х Е к1°, 1п -<■-Гг.

idх|lп,

Е ыо,Iп х Е к1 о, 12п id х ¿п, п

Е ыо,¡п х Ег ыо,¡п

№п, 2п

№2п,п

■ Егыо 1 Зп

^2п, п

к1 о ^п х ЕгЫ о 1п

№п, п

2 п, п

Ег

№п, п

п, 2 п

Ег

к о, 2 п

к о, 2 п

Ег к о, п

Следующее условие гомотопического коцикла состоит в том, что существует гомотопия

9.376 : и.378 х I2 ^ Егк1 о, рп ,

такая что

9.378\иа31ц х/х{0} = 9.37978\Ua3~fS х1, 9.378\иа31ц х/х{1} = ^2п,п О 9а38\иар1&х1,

9а337&\иа31ц х{0}х/ = 9.39378\иа/1& х1, 9.378 \ иар*у1 х{1}х/ 1'2п,п О д.7/8\иа31^х1. Далее мы имеем гомотопии над пятикратными пересечениями и т.д.

Посмотрим теперь, к какому аналогу понятия снопа расслоений приводят гомотопические коциклы.

п, п

п, п

3.2. Гомотопические снопы расслоений

В начале работы мы видели, что снопы расслоений естественно возникают из проективных коциклов. Рассматривая НТС (g, U) как аналог проективного коцикла, можно определить понятие гомотопического снопа расслоений (HBG, от англ. Homotopv Bundle Gerbe) (£(з), Y) рассматривая обратные образы канонического расслоения над моноидом.

Выше были определены канонические векторные С' -расслоения "^ki™ im —у Fr^™ ¡m. НТС (g, U) — это, во-первых, набор отображений да@ : Uap — Fr ki^j™. Таким образом, мы имеем набор векторных С™-расслоений := д*^,i™) — над попарными пересечениями Ua р.

Далее, в определение НТС входит также набор отображений да^1 : U.*з1 х I — FrH™, р™, которому соответствует набор векторных С2™-расслоений := д*а^1 ($ki™, i2™ ) — Uap~( х I таких, что

Îa ,e1 \ual3l х{0} = Îafi ® Îfi"! \uafi.1 И ^^ х{1} = ® [Г]\ив

07'

что следует из (15), (14), (12) и (13). В силу последнего свойства можно рассматривать как гомотопию над иа/з-у между расслоениями £а/з ® и ® [1п].

Продолжая дальше, имеем набор отображений да^1 з: иаз^ х 12 — Ргы оо 13п И СООТВ6Т-СТВуЮ1цИ^ набор вект0рНЫХ С3п-расслоений := о/зп) — иа/3уб х 12 таких,

что

(аЗ/6\иа /з7^х{0}х/ = ((а/ ® ^3/6 )\иа13^ х1; \иа/1бх1х{0} = ((а// ® )\иа/ х1;

СаЗ/6х{ 1}х / = ® [^П])\^а/з7« х1; СаЗ/6х/х{1} = (Са/б ® х1,

и т.п. «Граничные» условия изображаются диаграммой

СаЗ ® Сз/ ® ^® ¡¡,/6 ® [Iп]

0 07«

^76 ™]

^аЗ ® ^ ® [ *^ ® [ *2П],

которая получается из диаграммы (16).

Тем самым мы пришли к следующему определению.

Определение 2. Гомотопическим снопом расслоений (£, У) называется набор Стп-векторных расслоений

е -^тт х Тт-1

Я,ао...ат — тао...ат х 1 ,

заданных для всех т > 1, которые согласованы в следующем смысле: если а := (а0 ... ат), := (ао .. .сц ...ат) и (е, г)( 1т-1) — грань и = е (е = 0 или 1) то для г = 1,... ,т — 1

Са\иа х(1, г)(/™-!) = ® [ln], &\иа х (0, г)(/т-!) = ^а0...аг ® ^аг...ат .

4. Стабильная теория

4.1. Стабильная тривиализация гомотопических коциклов

Следующий вопрос, на который нужно ответить, — какие НВС считать тривиальными? Для «обычного» снопа расслоений (Ь(д), У) условие тривиальности эквивалентно тому, что соответствующее главное Ри(й)-расслоение происходит из и(й)-расслоения, см. (7). Естественным обобщением этого на случай рассматривамых нами НВС является условие редуцируемости структурного моноида до структурной группы, где имеется в виду вложение топологических моноидов

и( кI~) - Етыо,, (17)

получающиеся как прямой предел отображений \](к1т) — Ргыт,1п (ср. (9)). По техническим причинам нам удобно разложить эту редукцию на два шага: во-первых, сначала до проективной унитарной группы Р\](к1^), а уже затем до унитарной группы ]](к1^).

Определение 3. Пространство Сг^т^п, параметризующее унитальные *-подалгебры, изоморфные М^™(С), в фиксированной матричной алгебре М^т+п(С), называется матричным грассманианом.

Простым следствием теоремы Нетер—Сколема является его представление

Сш^п = Р]](кГ+п)/(Р]](кГ) ® Ри(Р))

как однородного пространства группы Р\](к1т+п) всех *-автоморфизмов алгебры М^1т+п (С).

Через Сг^^,^ обозначим прямой предел п &?к1т,1п матричных грассманианов

&?ыт,1п относительно отображений, индуцированных унитальными *-гомоморфизмами матричных алгебр.

Имеется действие моноида РТы^,^ на матричном грассманиане Сгопределенное на конечномерных подпространствах отображениями

<Р : Ргк1т+",1Р Х Сгк1т,1п — Сгк1т,1п+р , ф(Ъ, Ак1™ ) = Ъ(Ак1т ) С М^т + п+р (С)

для гомоморфизма Ъ € РтЫт+п,гр = Ноша|й(МЫт+п(С), Мк1т+п+Р(С)) и подалгебры Ак1т С Мк1т+п(С). В частности, имеем коммутативную диаграмму

Ргк1т+п+р ,1Ч Х Ргк1-т + п ,1Р Х Сгк1т ,1п -РТ^т+п + р Х СгЩт^п+р

У

Ргк1т+п,1^+ч Х Сгк1т,1п -^ Сгк1т,1п+Р+ч.

Далее используются соглашения и обозначения, введенные после Определения 1. Определение 4. Проект,иеной стабильной тривиализацией1 НТС (д, и) назовем следующие данные: набор отображений Ъа: иа — Сг^^, гомотопии да@Ър ~ Ъа, т.е. отображения

Ъа/3 : иа/з Х I — Сгк1ж,рп

такие, что

Ъа(3 \иар х{0} = 9а/3 Ъ(3, Ъа(3 \иа/3 х{1} = ° Ъа,

где ип п обозначает

вложение Сгк1^,1-п —у Сг^ю,рп, а да(зЪ/з композицию

и а/3 — и а/3 Х ир -> Х Сгк1^,1п — Сгк1^,12п;

далее гомотопии отвечающие квадратам

Яа/З

9 а/39/37 Ъ1-да/з (ь

п, п ° Ъц ) = ° (9а13 Ъ(3 )

12п,п°ка13

(Ьп,п ° да7)Ъ7 = ^2п,п ° (9а~(Ъ7) " Ь2п,п ° 1п,п ° Ъа = 1п, 2п ° Ъа,

то есть

4 п,п°Ьа1

Ъа(3~{ : Х 12 — Сгы^> ,1'А

1Мы используем здесь термин «стабильный», чтобы избежать смешения с понятием тривиального -коцикла, см. [10]. Условие стабильной тривиальности существенно слабее условия тривиальности: ниже мы покажем, что оно эквивалентно тому, что гомотопический , -коцикл эквивалентен проективному коциклу, который не обязательно тривиален.

такие, что

Ъа/3~(\иаМ х1 х{0} = 9»^Ъ7, Ъа/3~(\иаМ х1 х{1} = ^2п,п ° ЪаР, х{0}х/ = 9аР , х{1}х/ = ^2п, п ^О.^ 1

И Т П

В общем случае для всех т > 0 имеем отображения

Ъа0...ат : иао...ат X I — Ог к1ж ,1(т+1)п такие, что для г = 1,... ,т

Ъа0...ат\иао...ат х(0^)(1т) = 9а0...а1 Ъа1...ат , Ъа0...ат\иао...ат х(1,г)(/т) = 1тп,п ° Ъ«о...а4...ат .

НТС, для которого существует проективная стабильная тривиализация, называется проек-тивно стабильно тривиальным.

Расширение структурной группы РИ(к1т) до структурного моноида Етыж^ю описывается в терминах классифицирующих пространств следующим образом. Пусть

— ВРИ(кГ)

— универсальное Мы™(С)-расслоение. Применяя к нему послойно Ноша|й(..., М^т+п(С)) как функцию от первого аргумента, получаем некоторое Егк1т,1п-расслоение

Нк1т,1п(А^™) — ВРИ(к1т). (18)

Нетрудно показать, что имеет место гомотопическая эквивалентность

Нк1^,1п (А^т ) ~ Огк1т,1п ,

причем такая, что диаграмма

Егк1т+",1Р х Нк1т ,1п ) -^Нк1т,1"+Р (Ак1™" )

коммутативна. При переходе к пределу при т, п — те из (18) получается главное Егыж,гж-расслоение над ВРИ(Ите), действие моноида на тотальном пространстве которого отождествляется при гомотопической эквивалентности с его действием на Ог^^ж. Оно классифицируется некоторым отображением

ВРИ(к1— ВЕгк1ж}1ж, (19)

получающемся при распетливании гомоморфизма моноидов РИ(к1^) — Ег^ж^ж, аналогичного (17). Очевидно, (19) является расслоением с гомотопическим слоем Ог^ж^ж, которое имеет также следующую интерпретацию. Предложение 4. Пусть

ЕЕг^ж ¡ж —у ВЕг^ж ¡ж

— универсальное главное Ег^ж,¿^-расслоение. Тогда имеет место гомотопическая эквивалентность

ЕЕгЫж,гж х Ог^^ж ~ ВРИ(к1~).

Ргк1ж,1ж

Более того, расслоение

Ог^ж ¿ж-5- ЕЕг^ж ¡ж х Ог^ж Iж-^ ВЕг^ж ¡ж

(20)

эквивалентно расслоению

^ БРи(Ы~) ^ БЕг^то,^. (21)

Замечание 2. Нетрудно показать, что расслоение (21) эквивалентно расслоению

БРи(/~) ^ БРи(Ы~) ^ БЕг^то,^.

Доказательство. Заметим, что пространство ЕЕг^то ¡то х Сг^то ¡то совпадает с

гомотопическим фактором пространства Сг^то^то по действию моиоида Ег^то,^. Поэтому, согласно сказанному в абзаце перед доказываемым Предложением, существует гомотопическая эквивалентность

ЕЕг&гто,1то х Сгк1то,1то — Нк1то,1то )/Егк1то,1то ,

Ртыто,1то

а последнее пространство, как мы видели, есть БРи(й^). Второе утверждение теперь очевидно. □

Следствие 1. НТС со значениями в Ег^то, Iто проект,ивно стабильно тривиален тогда и только тогда, когда он эквивалентен некоторому проективному коциклу (со значениями в группе Р](Ыт) для некоторого т е N.

Доказательство. Заметим, что из Определения 4 следует, что стабильная проективная тривиализация НТС — то же, что отображение из кубической геометрической реализации симплициального множества, связанного с открытым покрытием Ы пространства X (и го-мотопически эквивалентной X), в тотальное пространство расслоения (20). Оно отвечает

подъему классифицирующего отображения X ^ БЕг^то,¡то, определенного (с точностью

□

Для того чтобы вместо проективной определить унитарную тривиализацию, нужно заменить НыI«) пространствами Н^р(Епё^^)), где ^ Б](Ыт) — универсальное векторное С -расслоение. Пусть Ни то, х то (Епё(<^то)) — их прямой предел при т, п ^ ж. Заметим, что Н^то,¡то )) ^ Б](к1^) — отавное Ег^то,¿то-расслоение, в

частности, на его тотальном пространстве свободно действует моноид Ег и то, I то. Если обозначить

Сгк1т, 1п :=Нк1т, 1п )), Сгк1то, 1то :=Нк1то, 1то )),

то будут иметь место аналоги предыдущих результатов (в частности, Предложения 4) с заменой Сгито,Iто на Сгыто,¡то и проективных унитарных групп на соответствующие унитарные. Теперь, используя действие моноида Егито,¡то на Сгыто,¡то (как на главном Егыто,¡то-расслоении), получаем определение стабильно тривиального НТС (д, и) (ср. Определение 4).

Посмотрим, что произойдет в унитарном случае, если положить I = 1. В этом случае расслоение (ср. (20))

Н, ^Епё^Г™)) ^ ЕЕ^, 1 х Н, ^Епё^Г™)) ^ БЕгд;, 1

Рть, 1

гомотопически эквивалентно расслоению (7). Так как Ег^, 1 = РЦ(&) — группа, то НТС со значениями в Ег д., 1 эквивалентен строгому коциклу, и мы возвращаемся к теории классических снопов расслоений, отвечающих проективным коциклам. В частности, такой коцикл стабильно тривиален тогда и только тогда, когда он эквивалентен некоторому унитарному коциклу.

4.2. Стабильная тривиализация гомотопических снопов расслоений

Посмотрим, как стабильная тривиализация НТС может быть описана в терминах соответствующих НЕЮ. Во-первых, заметим, что над матричным грассманианом Сгыт, р определено тавтологическое Мит (С)-расслоение (над точкой х € Сг^т, ¡п «висит» подалгебра в Мыт+п(С), параметризуемая этой точкой). Это расслоение является подрасслое-нием тривиального расслоения Сг^т, ¡п х Мыт+п (С) (причем каждый слой является уни-тальной подалгеброй). Беря его послойный централизатор, получаем некоторое М1п(С)-Сг к т, п. С п

расслоение ]к1 т,Iп ^ Сгк1т,¡п. Для отображений

( : Егк1 т + п, 1Р х Сгк1т, 1п ^ Сгк1 т, Iп+р , Ег к о, о Сг к о, о

(Р*(Як1 т, 1п+Р ) = "&к1 т+п, 1Р И Г]к1т, 1п .

Определение 5. Стабильная тривиализация для НВС (£, У) состоит из следующего набора данных. Во-первых, это набор векторных Сп-расслоений ^ и., затем набор векторных С1 п-расслоений ].3 ^ и.3 х I таких, что

].3\иарх{0} = (.3 ® ]3, ].3\иарх{1} = г. ® [Г]; затем набор векторных С1 Зп-расслоений г.37 ^ и.37 х I2 таких, что

Щ37\иаР1 х/х{0} = С.37 ® г7 , 'Л.37\иаР1 х/х{1} = ^3 <8> [1п];

г.37\иац7х{0}х/ = С.3 ® г37, г.37\иац7х{1}х/ = г.7 ® [ln], и т.д. На т + 1-м шаге имеем набор векторных С1 (т+1)п-расслоений

гаo...ат ^ и.^^.т х I

таких, что для г = 1,... ,т

г]аo...ат\иа0... ат х (0, %)(1т) = ^0... ® г]аi...ат ; г]аo...ат\иа0...ат х(1, г)(1т) = ^(¡..^....т .

Заметим, что при I = 1 (и замене гомотопического коцикла строгим) мы возвращаемся к обычной тривиализации соответствующего снопа расслоений (Ь, У): напомним [2], что это — набор линейных расслоений ^ и изоморфизмов Ь.3 ® ]3 наД и.3.

4.3. Стабильная эквивалентность

Понятия стабильной тривиальности гомотопических коциклов и снопов позволяют определить соответствующую стабильную эквивалентность. Для этого заметим, что помимо операции, отвечающей композиции гомоморфизмов (которая приводит к операции в моноиде), на пространствах Егк г¡т ¡п есть еще операция

Егкг 1т,1п х ЕгкЧР,1Ч ^ Егк г+«1т+Р,1п+ч ,

индуцированная тензорным произведением матричных алгебр. После перехода к прямому пределу она определяет гомоморфизм моноидов

Егкг1°,1° х Егк111о,1о ^ Егкг+В1о,1о .

Возникает соответствующая операция тензорного произведения на гомотопических коциклах и гомотопических снопах. Два НТС назовем стабильно эквивалентными, если они

становятся эквивалентными после тензорного умножения на стабильно тривиальные НТС; аналогично для HBG. В результате мы получаем группу классов стабильной эквивалентности НТС (и HBG) относительно операции, индуцированной тензорным произведением.

Данное отношение эквивалентности аналогично отношению эквивалентности на проективных коциклах, возникающему из операции «тензорного произведения» проективных групп

PU(kr) X PU(ks) — PU(kr+s), классы эквивалентности которого соответствуют подгруппе fc-кручения

Вгк(X) = coker{[X, BU(fc')] — [X, BPU(fc')]} = im{[X, BPU(fc')] — [X, K(Z, 3)]}

в топологической группе Брауэра Br(X) = H¡3ors(X, Z).

Следующая теорема обобщает сформулированный результат.

Теорема. Группа классов стабильной эквивалентности HBG, получающихся из гомотопических Frfcr , -коциклов (г G Nj; естественно изоморфна группе

coker{[X, BU(k'l')] — [X, ]}

(ср. (21)), а также образу «отображения Диксмье^Дуади» (см. Замечание 2):

im{[X, ] — [X, BBU(Í')]}.

Доказательство. Согласно [10], классы (обычной) эквивалентности НТС со значениями в моноиде Fr^rнаходятся в естественном взаимно однозначном соответствии с гомотопическими классами отображений X — BFr^r¡<x, ¡<x,. Используя «унитарный» аналог Следствия 1, нетрудно показать, что два НТС стабильно эквивалентны тогда и только тогда, когда их классифицирующие отображения X —у BFr^r¡<x> ¡<х> отличаются на некоторое отображение X — BU(krI'). □

Таким образом, HBG с введенным отношением стабильной эквивалентности дают геометрическое представление элементов [X, BBU(Í')], принадлежащих (после локализации по I) второму множителю в (1), отвечающему «высшим» скручиваниям в ^-теории.

Из результатов статьи идея рассматривать коциклы со значениями в моноиде принадлежит первому автору, которому также принадлежат результаты главы 2, S 3.1 и Определение 2. Важные Определения 4 и 5 предложены вторым автором, а их интерпретация в терминах действия моноида — первым, которому также принадлежат Предложение 4 и теорема

S 4.3. Благодарности

Работа первого автора была поддержана грантом РФФИ №11-01-00057-а. Литература

1. Atiyah M., Segal G. Twisted K-theory // Ukr. Mat.Visn. - 2004. - V. 1, N 3. - P. 287-330.

2. Bouwknegt F., Carey A.b., Mathai V., Murray M.K., Stevenson D. Twisted K-theory and K-theory of bundle gerbes // Commun. Math. Phys. - 2002. - V. 228. - P. 17-49. '

3. Donovan F., Karoubi M. Graded Brauer groups and K-theory with local coefficients // Pub. Math. IHES. - 1971. - N 38. - P. 5-25.

4. Karoubi M. Algèbres de Clifford et K-théorie // Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. — 1968. — V. 4. - P. 161-270.

5. Madsen I., Snaith V., Tornehave J. Infinite loop maps in geometric topology // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1977. - V. 81, X 3. P. 399-430.

6. Murray Michael K. Bundle gerbes //J. bond. Math. Soc. - 1996. - V. 54. - P. 403-416.

7. Murray Michael K., Stevenson Daniel Bundle gerbes: stable isomorphism and local theory // J. Lond. Math. Soc. - 2000. - V. 62. - P. 925-937.

8. Rosenberg J. Continuous-trace algebras from the bundle theoretic point of view //J. Austral Math. Soc. Ser. A. - 1989. - V. 47, X 3. P. 368-381.

9. Segal G.B. Categories and cohomologv theories // Topology. — 1974. — V. 13. — P. 293-312.

10. Wirth James, Stasheff Jim Homotopv Transition Cocvcles // Journal of Homotopv and Related Structures. - 2006. - V. 1, N 1. - P. 273-283.'

Поступим в редакцию 12.06.2012.