CC BY
19
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 3 (2016). С. 126-134.
УДК 515.168.5+517.986.32
ГОМОТОПИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ, АССОЦИИРОВАННЫХ С ДЕЙСТВИЯМИ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП НА МНОГООБРАЗИЯХ С КРАЕМ
А.Ю. САВИН, Б.Ю. СТЕРНИН
Аннотация. Для действия дискретной группы G на гладком компактном многообразии М с краем рассматривается класс операторов, порожденный псевдодифференциальными операторами на М и операторами сдвига, ассоциированными с действием группы. Для эллиптических операторов из этого класса устанавливается классификация с точностью до стабильных гомотопий и показывается, что группа стабильных гомотопических классов таких задач изоморфна К-группе скрещенного произведения алгебры непрерывных функций на кокасательном расслоении внутренности многообразия и группы G, действующей на этой алгебре автоморфизмами.
Ключевые слова: эллиптический оператор, гомотопическая классификация, k-теория, скрещенное произведение, g-оператор.
Mathematics subject classification (2010): Primary 58J32; Secondary 58J40, 46L80, 35S15
1. Введение
Проблема индекса в эллиптической теории состоит в том, чтобы выразить индекс эллиптического оператора в терминах топологических инвариантов символа оператора и многообразия, на котором он определяется [1]. Важную роль при этом играет получение гомотопической классификации операторов, т.е. вычисление группы (стабильных) гомотопических классов эллиптических операторов на многообразии. Польза от этого вычисления состоит в том, что гомотопические инварианты операторов и, в частности, индекс, являются функционалами на этой группе гомотопических классов.
Гомотопическая классификация была впервые получена на гладком замкнутом многообразии в [1], где было показано, что группа стабильных гомотопических классов эллиптических операторов изоморфна топологической К-группе с компактными носителями КС(Т*М) кокасательного расслоения многообразия. Затем гомотопическая классификация была получена для многих других интересных классов эллиптических операторов. Так, в [2] показано, что гомотопическая классификация классических краевых задач на многообразии с краем получается в терминах группы КС(Т*М°), отвечающей внутренности М° = М \ дМ многообразия с краем. Получена также гомотопическая классификация эллиптических операторов в алгебре Буте де Монвеля на многообразии с краем [3, 4]. Гомотопическая классификация также была получена для многих классов многообразий
A.Yu. Savin, B.Yu Sternin, Homotopy classification of elliptic problems associated with discrete group actions on manifolds with boundary.
© Савин А.Ю., Стернин Б.Ю. 2016.
Работа частично поддержана грантами РФФИ (проекты 15-01-08392 и 16-01-00373), Минобрнауки РФ соглашение № 02.а03.21.0008, а также грантом Немецкого научно-исследовательского общества.
Поступила 18 мая 2016 г.
с особенностями [5]-[7]. Рассматривались приложения классификации: к вычислению препятствий типа Атьи-Ботта [8] к существованию эллиптических задач на многообразиях с особенностями; к описанию двойственности Пуанкаре на многообразиях с особенностями и др. [9]-[13].
Имеется интересный класс эллиптических задач, ассоциированных с действиями групп на многообразиях (см. монографии и обзоры [14]-[17] и цитированную в них литературу). Для этих задач на гладком замкнутом многообразии была получена гомотопическая классификация в терминах Х-группы К0(С0(Т*М) х С) скрещенного произведения алгебры непрерывных функций на кокасательном расслоении Т*М и группы С, действующей на этой алгебре автоморфизмами. Последняя Х-группа может быть вычислена в топологических терминах для многих групп С, благодаря отображению (изоморфизму) Баума-Конна [18].
Цель работы — получить гомотопическую классификацию эллиптических псевдодифференциальных операторов, ассоциированных с действием дискретной группы на многообразии с краем. Отметим, что теория общих псевдодифференциальных операторов на многообразии с краем исследована в работах [19]-[21]. В данной работе мы опираемся на описание соответствующей С*-алгебры таких операторов, данное в работе [22]. Мы показываем, что группа стабильных гомотопических классов таких эллиптических задач изоморфна К-группе К0(С0(Т*М°) х С) скрещенного произведения, отвечающего внутренности многообразия.
2. Постановка задачи
2.1. Псевдодифференциальные операторы на многообразии с краем. В этом пункте мы напоминаем основные сведения о структуре алгебры псевдодифференциальных операторов на многообразии с краем из работы [22]. Пусть М — гладкое компактное многообразие с краем X = дМ. Мы будем считать, что выбрана некоторая воротниковая окрестность и края, т.е. диффеоморфизм
и ~ X х [0,1), (1)
при котором край X переходит в подмногообразие X х {0}. Далее в качестве локальных координат в окрестности края будем выбирать (у, ¿), где у — координаты на X, а £ е [0,1).
Через Ф(М) с ВЬ2(М) обозначим С*-алгебру псевдодифференциальных операторов нулевого порядка на М, вообще говоря, без свойства трансмиссии [22], действующих в пространстве Ь2 на многообразии. Алгебру Калкина обозначим через Е = Ф(М)/К,. Здесь и ниже через К, мы обозначаем идеал компактных операторов. Напомним необходимые нам сведения об алгебре Е, которые установлены в цитированной работе. Имеется символьное отображение
а = (аш, аь) : Е С (Б *М) 0 С (Б *Х, В12(1+)), (2)
компоненты которого называются внутренним и граничным символом соответственно. При этом С*-алгебра граничных символов, которую обозначим через
Еь = 1таь С С (Б *Х, ВЬ2(Ж+)),
имеет следующую дополнительную символьную структуру: на ней определено отображение внутреннего символа
а'ш : Еь С(в*М\х);
меллиновского символа
ам :ЕЬ С(X х I); имеет место точная последовательность С *-алгебр
0 С (Б *Х, Мо) Еь С (X х I) 0,
где м0 с ВЬ2(Ж+) — идеал, состоящий из граничных символов с нулевым меллиновским символом. Отметим, что граничные символы, отвечающие этому идеалу, удовлетворяют условию трансмиссии, а сам этот идеал совпадает с идеалом, рассмотренным в [3] в теореме 2. В частности, в цитированной работе установлено, что этот идеал имеет тривиальные К-группы:
к*(м о) = 0. (3)
В локальных координатах (у,Ь) в окрестности края граничный символ получается из оператора замораживанием его коэффициентов в точке края и применением преобразования Фурье у ^ г/. При этом получается оператор в пространстве с координатами который представляет собой семейство с параметрами ^ операторов, действующих в пространстве ¿2-функций на полупрямой с координатой Это семейство и есть граничный символ.
Далее, меллиновский символ ом (я) граничного символа а Е Еь определяется следующим образом. Граничный символ а является семейством операторов на полуоси Тогда нуль 0 е рассматривается как коническая точка и меллиновский символ есть просто конормальный символ рассматриваемого оператора в этой точке. Другими словами, у оператора а замораживаются коэффициенты в нуле и делается преобразование Мелли-на Ь ^ р. При этом граничный символ переходит в оператор умножения на функцию от переменной р, которая и есть по определению меллиновский символ оператора.
2.2. С-псевдодифференциальные операторы на многообразии с краем. Предположим дополнительно, что задано действие дискретной группы С на М диффеоморфизмами. Мы будем предполагать, что группа является аменабельной [23]. С действием группы на многообразии ассоциирован класс нелокальных операторов, которые называются С-операторами [17, 24]. Дадим определение этих операторов в рассматриваемой ситуации.
Группа С действует на многообразии и, следовательно, действует при помощи соответствующих замен переменных автоморфизмами на С*-алгебре С(М) непрерывных функций на многообразии М, а также на алгебре Ф(М) псевдодифференциальных операторов. С действием на алгебре Ф(М) ассоциировано С *-скрещенное произведение [16],[24]
Ф(М) х С.
В силу аменабельности группы скрещенное произведение определено однозначно. Элементы этой С*-алгебры являются семействами {Ид}дес псевдодифференциальных операторов Ид Е Ф(М), параметризованных группой С. Такому семейству мы сопоставим так-называемый С-оператор
О = £ Пди9 : Ь2(М) Ь2(М), (4)
дес
где
ид : и(х) |—> ^ ——(х)^ и(д-1х)
— унитарное представление группы при помощи взвешенных операторов сдвига в пространстве Ь2(М). Здесь ^ — форма объёма на М, определяющая скалярное произведение в пространстве Ь2(М). При этом сумма в (4) корректно определена для финитных по д семейств и продолжается на всё скрещенное произведение в силу универсального свойства скрещенных произведений (подробнее см. [17, 24]), и таким образом определено представление
Ф(М) х С —► ВЬ2(М) {Од} П = £_ Бдид
скрещенного произведения в пространстве L2(M). Для получаемых операторов вводится понятие символа
a(D) = [a(Dg)}geG е Е х G,
условие эллиптичности формулируется как условие обратимости символа в указанной алгебре (в цитированных работах вводятся также и более явные характеризации этого условия), показывается, что эллиптические операторы являются фредгольмовыми.
Кроме скалярных операторов (4), можно также рассматривать и соответствующие матричные операторы. Заметим, однако, что гомотопическую классификацию более естественно проводить в терминах более широкого класса операторов, чем операторы (4) или даже матричные операторы, который является аналогом операторов, действующих в сечениях расслоений (см. [1] в классическом случае). А именно, мы рассматриваем класс операторов вида
D : ImPi —► ImP2, ImP1>2 с L2 (М, CN), (5)
действующих между образами матричных проекторов
Pi,2 е Matw (С(M) х G)
(т.е. выполнены соотношения (Р1)2 = Р]_, (Р2)2 = Р2) с компонентами из алгебры С(М) х G, причём
D е Matw(Ф(М) х G)
— матричный оператор с компонентами из скрещенного произведения Ф(М) х G. Проекторы Р-]_,Р2 и операторы D удовлетворяют соотношению
P2DP1 = DPi,
которое означает, что оператор D переводит образ проектора Р1 в образ проектора Р2. Для операторов вида (5) естественно вводится понятие символа и эллиптичности и справедлива теорема фредгольмовости (см. абстрактную конструкцию в [5]).
2.3. Задача о гомотопической классификации. Через Ell(M, G) обозначим абе-леву группу стабильных гомотопических классов эллиптических операторов вида (5). Напомним кратко (подробнее см. [5]), что два оператора такого типа называются стабильно гомотопными, если существует непрерывная гомотопия эллиптических операторов (Dt, P1t, P2,t), соединяющая прямые суммы этих операторов с некоторыми тривиальными операторами. При этом тривиальным оператором называется оператор вида (5), в котором оператор D имеет компоненты в подалгебре
С(М) х G С Ф(М) х G.
Стандартным образом проверяется, что стабильная гомотопность является отношением эквивалентности на множестве эллиптических операторов вида (5).
Цель работы — получить стабильную гомотопическую классификацию, т.е. вычислить группу EU(M, G) в терминах топологических инвариантов действия группы на многообразии.
3. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
Основной результат настоящей работы состоит в приводимой ниже теореме. Чтобы сформулировать эту теорему, дадим определение допустимого действия.
Определение 1. Действие группы С на многообразии М с краем будем называть допустимым, если выполнено одно из следующих двух условий:
1) либо для любого элемента д Е С индуцированное действие на кокасательном расслоении при помощи кодифференциалов
дд = (¿д*)-1 : Т*М —► Т*М, где ¿д : ТМ ^ ТМ — дифференциал, над краем (т.е. при £ = 0) равно
дд1=о = ^ 9) : Т*Х 0 К Т*Х 0 К, (6)
где используем разложение
Т*М 1х ~ Т*Х 0 К,
которое отвечает воротниковой окрестности (1). Другими словами, кодифференциал при £ = 0 действует тождественно по нормальному направлению к краю, а по касательным к краю направлениям совпадает с кодифференциалом сужения действия на край;
2) либо для произвольной С*-алгебры А, на которой действует группа С, из тривиальности её К-групп К* (А) = 0 следует, что тривиальны также и К-группы скрещенного произведения К* (А х С) = 0.
Отметим, что допустимыми являются: произвольное действие конечной группы или, более общим образом, произвольное изометрическое действие (в этом случае выполнено условие 1)); произвольное действие группы Жп при всех п (в этом случае выполнено условие 2), в чём несложно убедиться, пользуясь последовательностью Пимзнера-Войкулеску [25]).
Теорема 1. Пусть действие группы С на многообразии М допустимо. Тогда имеет, место изоморфизм групп
Е\\(М, С) ~ Ко [Со(Т*М°) х С), (7)
где М° = М \ X — внутренность многообразия, при этом на кокасательном расслоении Т*М° рассматривается следующее действие группы С:
(Х,£) е Т*М (дх, Е Т*М,
где нормы ковекторов вычисляются по отношению к некоторой фиксированной метрике на многообразии.
Изоморфизм (7) можно трактовать следующим образом (ср. [8, 2, 3]): группа Е\\(М, С) изоморфна аналогичной группе для более узкого (и простого) класса операторов, которые являются изоморфизмами над краем, а произвольный оператор стабильно гомотопен оператору из этого класса.
Замечание 1. Для тривиальной группы С = {е} эта теорема даёт изоморфизм
ЕП(М, {е}) - К0(С0(Т*М°)) - КС(Т*М°),
что согласуется с результатами по классификации классических краевых задач и псевдодифференциальных операторов со свойством трансмиссии [2]-[4].
Замечание 2. Для многих дискретных групп К-группа скрещенного произведения в (7) может быть вычислена в топологических терминах, пользуясь отображением Баума-Конна с коэффициентами (см. [18]). Например: 1) для конечной группы С мы получаем изоморфизм
Ко(Со(Т*М°) х С) - К£(М)
п
с чётной группой С-эквивариантных К-гомологий многообразия М; 2) для группы С = Z
имеем
Ко(Со(Т*М°) х Ъп) - Ко(М х 1п/Ъп), где в правой части соотношения стоит группа К-гомологий фактор пространства произведения М х I™ по диагональному действию группы Zn (диагональное действие является свободным и собственным, поэтому фактор-пространство является гладким многообразием).
Замечание 3. В случае, когда действие группы является изометрическим, теорему 1 можно применить для того, чтобы доказать формулу индекса. С этой целью надо только построить топологический индекс, пользуясь методами из [16, 26]. Эти вопросы планируется рассмотреть в другом месте.
4. Доказательство основной теоремы Далее будет дано доказательство теоремы 1.
1. Сначала выразим группу ЕИ(М,С) стабильных гомотопических классов эллиптических операторов в терминах К-группы некоторой С *-алгебры, ассоциированной с алгеброй символов. А именно, в силу результатов работы [5] имеем изоморфизм абелевых групп
ЕИ(М, в) - Ко (Соп(С (М) х С А Е х С)) = Ко (Соп(С (М) А Е) х в), (8)
где для гомоморфизма f : А А В С *-алгебр А и В через
Соп(А а В) = {(а, Ъ(г)) Е А 0 С[0,1) 0 В \ /(а) = Ь(0)}
обозначен конус этого гомоморфизма.
2. Рассмотрим идеалы
Со(М°) С С(М), Ео = Со(Б*М°) С Е, (9)
состоящие из функций и символов, обращающихся в нуль на границе. Идеалы в (9) дают нам короткую точную последовательность
0 а Соп(Со(М°) а Ео) х С а Соп(С(М) А Е) х С А Соп(С(X) а Еь) х С, (10)
скрещенных произведений конусов соответствующих отображений, где через Еь С С(8*Х, ВЬ2(1+)) обозначена алгебра граничных символов. Из точной последовательности в К-теории
... -а К*+1 (Соп(С(X) а Еь) х С) -А
-А К*(Соп(Со(М°) А Ео) х в) -А К*(Соп(С(М) А Е) х С) -А
—► К*(Соп(С(X) а Еь) х С) А (11)
отвечающей короткой последовательности (10), следует, что вложение г индуцирует изоморфизм К-групп, если К-группы конуса Соп(С(X) А Еь) х С тривиальны.
Теперь мы предположим, что действие группы допустимо в смысле определения 1 и выполнено условие 1). Случай, когда выполнено условие 2), будет рассмотрен ниже. Тогда имеет место изоморфизм С*-алгебр
Соп(Со(М°) ^ Ео) х С - Со(Т*М°) х С (12)
и, следовательно, изоморфизм их Х-групп. Этот изоморфизм вместе с изоморфизмом г* в (11) даст нам утверждение теоремы.
Итак, для доказательства теоремы достаточно установить тривиальность К-групп конуса
Соп(С(X) ^ Еь) х С. (13)
В силу точной последовательности для конуса в Х-теории (см., напр., [27]), конус (13) имеет тривиальные К-группы, если вложение
С(X) х С —► Еь х С, (14)
с которым он ассоциирован, индуцирует изоморфизм в К-теории.
3. Отображение меллиновского символа
ам :ЕЬ ^ С (X х К)
даёт короткую точную последовательность С *-алгебр
0 ^ (С(Б*Х) 0 Мо) х С Еъ х С С(X х К) х С 0, (15)
где мо с ВЬ2(Ж+) — идеал, состоящий из граничных символов с нулевым меллиновским символом. Здесь мы отметим изоморфизм С*-алгебр
(С(Б*Х) 0 Мо) х С - (С(Б*Х) х С) 0 мо, (16)
который следует из того, что по предположению группа С действует тривиально по переменной т.е. даёт тождественное отображение на алгебре мо. Далее алгебра мо совпадает с идеалом, рассмотренным в работе [3], в которой было установлено, что этот идеал имеет тривиальные К-группы. Отсюда (в силу формулы Кюннета) мы получаем также, что алгебра (16) имеет тривиальные К-группы, и в силу точности последовательности в К-теории для пары (15) получаем, что меллиновский символ индуцирует изоморфизм К-групп
ам* : К*(ЕЬ х С) К*(С(X х К) х С) - К*(С(X) х С). (17)
Далее очевидно, что вложение (14) определяет правое обратное отображение к отображению ам. Следовательно, так как ам * — изоморфизм в К-теории, то и указанное вложение также определяет изоморфизм в Х-теории.
4. Итак, мы установили, что вложение (14) индуцирует изоморфизм К-групп, следовательно, его конус (13) имеет тривиальные К-группы. Поэтому вложение г в (10) индуцирует изоморфизм Х-групп, и мы получаем окончательно с учётом (8) и (12):
Е\\(М,С) - Ко (Соп(С(М) ^ Е) х С) - Ко(Соп(Со(М°) ^ Ео) х С) -
- Ко(Со(Т*М°) х в).
Теорема 1 доказана для случая, когда выполнено условие допустимости 1).
5. Докажем теперь утверждение теоремы для действий, удовлетворяющих условию допустимости 2). Для таких действий доказательство производится также, как в предыдущем случае, кроме следующего отличия: формула (16) уже не имеет места, т.к. действие группы не является тождественным на алгебре Мо; однако, в силу формулы Кюннета, имеем
К*(С(в*Х) 0Мо) = 0,
откуда, в силу указанного выше условия на группу, получаем тривиальность К-групп скрещенного произведения
К*((С(в*Х) 0Мо) х С) =0.
Остальные части доказательства повторяются в этом случае без изменений. Теорема 1 полностью доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. M. F. Atiyah and I. M. Singer. The index of elliptic operators I. Ann. of Math., 87:484-530, 1968.
2. Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. О проблеме гомотопической классификации эллиптических краевых задач. Докл. АН, 377(2):165-169, 2001.
3. S. T. Melo, R. Nest, and E. Schrohe. С * -structure and К-theory of Boutet de Monvel's algebra. J. Reine Angew. Math., 561:145-175, 2003.
4. S. T. Melo, Th. Schick, and E. Schrohe. A К-theoretic proof of Boutet de Monvel's index theorem for boundary value problems. J. Reine Angew. Math., 599:217-233, 2006.
5. A. Savin. Elliptic Operators on Manifolds with Singularities and К-homology. K-theory, 34(1):71-98, 2005.
6. Назайкинский В. Е., Савин А.Ю., Стернин Б. Ю. О гомотопической классификации эллиптических операторов на стратифицированных многообразиях. Изв. РАН. Сер. матем., 71(6):91-118, 2007.
7. Назайкинский В. Е., Савин А.Ю., Стернин Б. Ю. О гомотопической классификации эллиптических операторов на многообразиях с углами. Докл. АН, 413(1):16-19, 2007.
8. M. F. Atiyah and R. Bott. The index problem for manifolds with boundary. In Bombay Colloquium on Differential Analysis, pages 175-186, Oxford, 1964. Oxford University Press.
9. R. Melrose and F. Rochon. Index in К-theory for families of fibred cusp operators. К-Theory, 37(1-2):25-104, 2006.
10. Назайкинский В. Е., Савин А.Ю., Стернин Б. Ю. Некоммутативная геометрия и классификация эллиптических операторов. СМФН, 29(1):131-164, 2008.
11. Назайкинский В. Е., Савин А.Ю., Стернин Б. Ю. Индекс Атьи-Ботта на стратифицированных многообразиях. СМФН, 34:100-108, 2009.
12. J.-M. Lescure. Elliptic symbols, elliptic operators and Poincare duality on conical pseudomanifolds. J. K-Theory, 4(2):263-297, 2009.
13. B. Monthubert and V. Nistor. A topological index theorem for manifolds with corners. Compos. Math., 148(2):640-668, 2012.
14. A. Antonevich and A. Lebedev. Functional-Differential Equations. I. С * -Theory. Number 70 in Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. Longman, Harlow, 1994.
15. A. B. Antonevich and A. V. Lebedev. Functional equations and functional operator equations. A С *-algebraic approach. In Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, Vol. VI, volume 199 of Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, pages 25-116, Providence, RI, 2000. Amer. Math. Soc.
16. V. E. Nazaikinskii, A. Yu. Savin, and B. Yu. Sternin. Elliptic theory and noncommutative geometry, volume 183 of Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser Verlag, Basel, 2008.
17. A. Savin and B. Sternin. Elliptic theory for operators associated with diffeomorphisms of smooth manifolds. In Pseudo-Differential Operators, Generalized Functions and Asymptotics, volume 231 of Operator Theory: Advances and Applications, pages 1-26. Birkhauser, 2013.
18. P. Baum, A. Connes, and N. Higson. Classifying space for proper actions and К-theory of group С *-algebras. In С *-algebras: 1943-1993 (San Antonio, TX, 1993), volume 167 of Contemp. Math., pages 240-291. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994.
19. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Системы интегральных уравнений на полуоси с ядрами зависящими от разности аргументов. УМН, 13(2):3-72, 1958.
20. Вишик М. И., Эскин Г. И. Эллиптические уравнения в свертках в ограниченной области и их приложения. УМН, 22(1):15-76, 1965.
21. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. Наука, Москва, 1973.
22. S. Rempel and B.-W. Schulze. Parametrices and boundary symbolic calculus for elliptic boundary problems without the transmission property. Math. Nachr., 105:45-149, 1982.
23. A. L. T. Paterson. Amenability, volume 29 of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 1988.
24. A. Antonevich, M. Belousov, and A. Lebedev. Functional differential equations. II. С*-applications. Parts 1, 2. Number 94, 95 in Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. Longman, Harlow, 1998.
25. M. Pimsner and D. Voiculescu. Exact sequences for К-groups and Ext-groups of certain cross-product С *-algebras. J. Oper. Theory, 4:93-118, 1980.
26. Федосов Б. В. Теоремы об индексе. В Итоги науки и техники, № 65 в Современные проблемы математики, с. 165-268. ВИНИТИ, Москва, 1991.
27. B. Blackadar. К -Theory for Operator Algebras. Number 5 in Mathematical Sciences Research Institute Publications. Cambridge University Press, 1998. Second edition.
Антон Юрьевич Савин, Российский университет дружбы народов, ул. Миклухо-Маклая, 6, 117198, г. Москва, Россия Leibniz Universität Hannover, Weifengarten 1, D - 30167 Hannover, Germany E-mail: antonsavin@mail.ru
Борис Юрьевич Стернин, Российский университет дружбы народов, ул. Миклухо-Маклая, 6, 117198, г. Москва, Россия Leibniz Universitäat Hannover, Weifengarten 1, D - 30167 Hannover, Germany E-mail: sternin@mail.ru
