Группы бордизмов спинорных отображений и их применение к задаче классификации шестимерных многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып.3.1999

УДК 513.8

Группы бордизмов спинорных отображений

и их применение к задаче классификации шестимерных многообразий 1

А.В.Жубр

В данной работе дается изложение редукции задачи классификации (гладкой, топологической и гомотопической) односвязных замкнутых 6-мерных многообразий к некоторой гомотопической задаче — а именно, к задаче вычисления групп бордизмов спинорных отображений ориентированных (неспинорных) 6-мерных многообразий в пространства Эйленберга-Маклейна типа (С?, 2) (отображение / : М —► К((3,2) называется спинорным жо отношению к заданному классу когомологий из 6 -йГ2(С, 2; 22), гели оно удовлетворяет условию /*(и>) = ги2(М)). Эта редукция в спинорном случае (т.е. при т = 0) изложена в работе [3], а ее обобщение, приведенное здесь, дает основу для доказательства ¿результатов, анонсированных в работах [4, 5] (сами эти доказательства будут даны в другом месте). Вышеупомянутая редакция излагается здесь в несколько более общем виде, чем это требуется для получения классификационных теорем из [4, 5]. Этот более общий подход позволяет, в частности, вернуться к вопросу о единственности разложения 6-мерного многообразия М э связную сумму вида М0#5'3х5'3 (это свойство многообразия М называется в работе [12] стабильностью), впервые рассмотренному в [1] для замкнутых односвязных 6-мерных многообразий а позднее в работе [12] — для замкнутых односвязных многообразий других размерностей), и показать, что в неодносвязной ситуации упомянутая стабильность не имеет места.

г^ЗЬта выполнена при поддержке гранта РФФИ №95-01-00235

I г^бр A.B., 1999.

и

§1. Спинорные структуры на неспинорных многообразиях. Группы /) и ОТ^р1п(Х; /)

1.1. Некоторые терминологические соглашения. Пусть

£ = {Рс : Е( В т] = {Рг) : Е„ -»■ Б,}

— векторные ¿^(./У)-расслоения. Под морфизмом / : £ —;► г) мы буд понимать пару отображений (/б,/в) : —> (£'Г), Д,), образующ;

коммутативную диаграмму

Е^ —► -Ё^

р«

Рг7

^ —* ВГ]

и индуцирующую 50(./V)-изоморфизм на каждом слое расслоения £ Пусть £ = {р^ : Е(_ —> В^} — БО^)-расслоение над СЖ-компле сом ВКак известно, классифицирующее отображение В^ —> ВБ0(1 можно считать, в определенном смысле, каноническим. В самом де/ семейство всех морфизмов £ —> 750(дг), где

Ъо(Ю = {Рзо{Ю ■■ ЕЗО(М) ВБО{М)}

— универсальное БО(Ы) -расслоение, является гомотопически тр виальным (в этом, по существу, и состоит свойство универсальн сти). Значит, если каким-либо образом выделить один такой мор фи: /° : £ —► то для любого другого морфизма / : £ —►

мы имеем гомотопию /в ~ /д, причем сама эта гомотопия являет« "почти стандартной": она определена однозначно с точностью до г< мотопии ге1Я^х{0,1}. Очевидно, что и, обратно, задание гомотопв между отображениями д,/д : В^ —> В80(М) определяет (при условш что фиксировано гомотопический класс морфизмов /:£"—> 7зо(л

С /в = 9-

Имея это в виду, мы будем считать, что для каждого 5 О (А расслоения £ зафиксировано таким способом некоторое "стандар! ное" классифицирующее отображение : В^ —> В80{М) (молча ливо предполагая, что указано также и накрывающее отображена

"ъ : Е^ —> ЕЗО(М)). Это стандартное классифицирующее отображе--ше /д мы обозначаем (как это обычно и делается) тем же символом, га и само расслоение (т.е. в данном случае — через £). Наконец, мы в дальнейшем исключим из обозначений размерность :глжлоения имея в виду стандартную стабилизацию и либо считая - о N достаточно большим, либо произведя надлежащие предельные е^еходы.

1.2. 8рт(/)-структуры. Через

7эРт = {Рэрш : ЯБрт}

жл»: обозначаем универсальное 8рт-расслоение. Как известно, про-> . - ::€пю .ВБрт можно считать слоем расслоения

7Г : ВБО К(Х2,2) ,

£®г - :¿-.лепного (с точностью до гомотопической эквивалентности) усло-■с -*(*-) = и>2, где х € Н2(Ъ2, 2; 22) — универсальный (22,2)-класс и ■Ш2(ВЗО; 22) — универсальный двумерный класс Штифеля-Уит-:дм зафиксируем раз и навсегда это расслоение. Пусть имеется -: 1 ¡-слоение £ и отображение / : —> К (22,2). Мы называем . /;;-структурой на расслоении £ гомотопический класс морфиз-е ^ : £ —>■ 750, удовлетворяющих условию

тгоав = / .

(1)

.. з частности, / — постоянное отображение, то условие (1) озна-- члго а — это морфизм £ —► 7др;п, так что мы получаем один из ¿.л^дов определения обычной Эрт-структуры на

1.3. Эквивалентное определение 8рш(/)-структуры. С уче-:-:йзанного в 1.1 мы можем переформулировать определение 1.2 :»:лнм образом:

■/) -структура на £ — это гомотопический класс таких ото-^й Р = {#} : В^ х [0,1] ВБО, что = £ и тгоРх = /.

1.4. Условие существования Ярт( /) -структур. Как немедлен-из 1.3 (и из "аксиомы накрывающей гомотопии"), необходи-

зпгаточное условие существования 8рт(/)-структуры для дан-

ных / — это гомотопическая коммутативность треугольника

т.е., в другой терминологии, равенство f*(x) — ^(О- Отображения . удовлетворяющие этому условию, мы будем называть спинорными (¡и данного £).

1.5. Перечисление Spin(/)-структур. Вопрос об описании все Spin(/)-структур на расслоении £ решается точно так же, как и в сл; чае / = const (т.е. когда речь идет об обычных Spin-структурах):

Для любых двух Spin(/) -структур а,(3 на £ можно определип "различающий элемент" 5{а., ¡3) Е Н1(В^щ, Z2) таким образом, чгг для любого а отображение ¡3 t—> S(a, ¡3) множества таких структу в группу Н1(ВZ2) будет биекцией.

Для доказательства достаточно просто заметить, что — как п< казывает элементарно^ применение "аксиомы накрывающей гомот< пии" и элементарная теория препятствий — единственное прешг ствие к деформаций друг в друга гомотопий Ft,Gt : В% —> BSC удовлетворяющих "краевым условиям" из п. 1.3, лежит в групг

Я2(Б^х[0,1],^х{0,1}; 7r2A'(Z2,2)), совпадающей с

Можно, с другой стороны, построить различающий класс 6(а, /; и более "геометрическим" образом, исходя из первого определени 8р1п(/)-структуры. Для этого заметим, что если продеформироват: отображение / так, чтобы 1-мерный остов В| пространства В^ отс бражался в точку, и соответственно продеформировать (посредство; накрывающей гомотопии) морфизмы а, (3 : £ —» у30, то сужения а, на В^ окажутся морфизмами в 73р1п. Следовательно, мы получим на В две обычных 8рт-структур ы или, иначе, две (рассматриваемые с точ ностью до гомотопии) тривиализации расслоения £. Эти две тривиалс зации зависят от выбора вышеупомянутой деформации отображения I однако, их "разность" зависит уже только от а, ¡3 и определяет 1-коцеп с коэффициентами в Z2. В случае обычной Зрт-структуры (когда во В^ отображается в точку и никаких деформаций не нужно) эта разной нал коцепь оказывается коциклом ввиду продолжаемости обеих триви ализаций на 2-мерный остов пространства В^ (т.е. в силу того, что саля тривиализации являются, в некотором смысле, коциклами). В наша

BSO

ггпучае тривиализации, вообще говоря, непродолжаемы на однако, :-:ак легко убедиться, их "кограницы" — т.е. препятствия к продолже-^по на — одинаковы, а именно, они совпадают с 2-коцепью, индуцированной отображением / (которое, напомним, переводит остов В]. хтгочку и, следовательно, каждую 2-мерную клетку пространства В^ — i 2-цикл пространства /1 (Z2,2)); отсюда, так же, как и для обычных гзш-структур, следует, что разностная коцепь является коциклом. Заметим, что вышеупомянутая 2-коцепь — препятствие к продолжению гглвиализации на 2-остов — зависит опять-таки от выбора деформа-отображения /, однако ее класс когомологий определен однозначно — это, разумеется, не что иное, как класс и>г(0-

Множество всех Spin(/)-структур на расслоении £ мы будем обозначь через 6pin(£,/).

1.6. Функториальные свойства Spin(/)-структур. Мы рассмо-:zii поведение Spin(/)-структур на данном расслоении £ по отноше---I3S к двум классам морфизмов: морфизмам расслоений (действующим ^ i и морфизмам отображений (действующим на /).

Пусть а £ (5pÍn(£,/), и пусть задан некоторый морфизм расслоено *р : rj —»■ Тогда ao<¿> : r¡ —> 7so является Spin(<£>Bo/)-CTpyKTy->. J; aa, расслоении т/, так что мы имеем индуцированное отображение : ©pin(<f, /) —► <Qp\n(r¡, <pBof). Очевидно, что отображение <р* не «ззется при деформации морфизма <р (над фиксированным <рв).

Ыусть, с другой стороны, /,д — два отображения В^ —> К(Z2,2), и от ть F : Bf х [0,1] —> A'(Z2,2) — гомотопия, соединяющая / с д, так «т; Fffl = / и Fi = д. Пусть опять а € 6pin(£, /). Выбрав некоторую теъг^гопию F : £х[0,1] —> 7so, накрывающую Ft (т.е. с iro(Ft)B = Ft) т - считающуюся с а, мы получим в конечный момент этой гомото-лши: ::орфизм F\ : £ —> 750, накрывающий Стандартное рассужде-*се г "аксиомой накрывающей гомотопии" показывает, что морфизм JF : пределен однозначно с точностью до гомотопии в классе морфиз-накрывающих д и, следовательно, определяет Spin(^)-структуру которую мы обозначим через F*(a). Мы снова, таким образом, л индуцированное отображение F* : Gpin(£,/) —6pin(£,<7). Tase стандартное рассуждение, как и выше, показывает, что если jireli^ х{0,1}, то индуцированные отображения F* и G* совпада-

Мжшо объединить рассмотренные два класса морфизмов. Рас-"Z2IM категорию, объекты которой — это пары (£,/), составлен-из SO-расслоений £ и отображений / : В^ К(Z2,2). Мор-

физмом Ф из (т],д) в (£,/) называется пара Ф = (</?, [-F]), составленная из морфизма : r¡ —» £ и гомотопического класса [F] отображений F : Вп х [Q. 1] —K(Z-¿-, 2), удовлетворяющих условиям F0 = /о^ и ^ — д (т.е. гомотопий, соединяющих f oipB с д). Если Ф = (0, [G]) : (C,h) —> (7,.9) — еще один морфизм указанного вида, то композицией ФоФ мы называем морфизм (<роф, [(фвоF) V &']), где отображение (фдоР) V G : В^ х [0,1] —» K(Z2,2) задано формулой

\ фг, о F2* при t < \ [ (?2í-l При Í > |

Для Spin-структуры a £ ©pin(£, /) и морфизма

положим Ф*(а) = F*(ao(p). Прямая проверка показывает, что Ф* определено корректно (т.е. не зависит от F), и что (ФоФ)* = Ф*оФ*. Таким образом, ©pin — это контравариантный функтор из описанной выше категории в категорию множеств.

1.7. Spin(/)-структуры на многообразиях. Пусть М — ориентированное гладкое многообразие. Как известно, нормальное ¿"(З-рас-слоение им = í*Rn/tm, где i : М —> Rw — произвольное вложение, является по существу каноническим: для любых двух вложений гх, г2 : М —► R^ (где N достаточно велико) имеется канонический гомотопический класс изоморфизмов ilU14/тм —> i*2~RN)тм (см., например. [14, глава 2]). Если <р : М' —► М — сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, то (как непосредственно вытекает из сказанного выше) мы имеем канонический послойный гомотопический класс морфизмов им, —> 1УМ над (р. Таким образом, ввиду сказанного в п. 1.6, для любого спинорного отображения / : М —К(Z2,2) (т.е. отображения, удовлетворяющего условию f*(x) = го2(М)) мы имеем корректно определен-, ное множество &pirx(uM, /), и для любого сохраняющего ориентацию диффеоморфизма (р : М' —М — биекцию

<р* : ©pin(vM,f) &p\n(vM,Jop) .

Элементы множества &p'm(vM, f) мы будем называть Spin(/)-структурами на многообразии М и писать ©pin(М,/) вместо ©pin(vM,f).

Действуя подобно п. 1.6, можно ввести категорию, объектами которой являются непрерывные отображения М —»■ íí(Z2- 2), где М — ори ентированное гладкое многообразие, а роль морфизмов объекта (М',.

бъект (М, /) играют пары Ф = (9?, [А1]), где <р : М' М — сохра-эщий ориентацию диффеоморфизм, a [F] — гомотопический класс лшгопий, соединяющих fop с /'. Очевидно, что так определенные . физмы являются в действительности изоморфизмами; в силу ска-:~ого в предыдущем абзаце и в п. 1.6, каждый такой изоморфизм М\ /') —> (М, /) индуцирует биекцию

Ф* : 6pin(MJ) -> ©pin(M',f) .

летим еще, что отношение

а' = Ф*(а) для некоторого Ф

эе что иное, как конкордантность. В самом деле, если (поль-ль теми же обозначениями) продолжить Spin(/')-структуру <р*(а) ipm(F)-структуры А на цилиндре М'х[0,1], то, согласно определе-л. будем иметь i*(A) = а и (г')*(А) = а', где i,i' — диффеоморфизмы : лообразий М, М' соответственно на нижнее и верхнее "основа-л~ цилиндра М'х[0,1], заданные формулами г(х) = (<р~1(х), 0) ж) = (х,1).

Отмеченные выше свойства Spin(/)-структур позволяют рассматри-ъ кобордизмы. В самом деле, во-первых, согласно сказанному вы-Spin(/)-структуры надлежащим образом ведут себя по отношению ~лффеоморфизмам. Во-вторых, для многообразия с краем мы име-лланонический морфизм vdM —* им и, следовательно, отображение :ения 6pin(A/, /) —> &pin(dM\ f\dM). Наконец, если многообразия з М2 пересекаются по общей компоненте края V, и если сужения лэажений /,• : Mi —> A'(Z2,2) и Spin(/t-)-структур о, 6 6pin( ¿1/,, /,•) ТГ совпадают, то мы тогда можем "склеить" a i и а2 вдоль V и по-"Zzib Spin(/)-структуру на многообразии М = Мг U Mi (результат га склеивания, как и в случае обычных Spin-структур, определен позначно — он зависит от выбора гомотопии между двумя мордами vv —> 7S0, представляющими cti\v и a2\v)- Сказанное по-тллет обычным образом ввести для замкнутых многообразий, снаб-Spin(/)-структурами (с всевозможными /), отношение кобор-:лз. и определить соответствующие группы кобордизмов. Правда, г го интересного мы. при этом не получим. В самом деле, отобра-/ : М —> K(G, 2), в соответствии с (1), однозначно определяется "' ¿жегшем а : vM jso, а гомотопический класс последнего — -лацией многообразия М. Таким образом, Spin(/) -кобордизмы — :Зычные ориентированные кобордизмы fif°. Чтобы получить бо-

лее содержательное построение, мы введем Spin(/)-структуры на cm гулярных многообразиях (т.е. на отображениях М —> X) и соотве^ ствующие группы бордизмов.

1.8. Обобщение: Spin(/)-структуры на сингулярных многс образиях. Пусть имеется топологическое пространство X и непр( рывное отображение / : X —> A'(Z2,2). Мы будем обозначать через i гомотопический класс отображения /, или, в другой терминологш класс f*(ti)£H2(X; Z2). Пусть (М,д) — ориентированное сингуля{ ное многообразие в X (т.е., иначе говоря, д — это непрерывное отобрг жение ориентированного гладкого многообразия М в пространство X Если отображение д удовлетворяет "условию спинорности"

g*(w) =-. w2{M) ,

то элементы множества &р\п(М, fog) мы будем называть Spin(/) структурами на (М,д), а тройки (М,д,а) с а £ &р\п(М, fog) — син гулярными Spin(/)-многообразиями в X. Таким образом, согласи определениям пп. 1.2 и 1.7, Spin(/)-CTpyKTypa на сингулярном много образии (М,д) — это гомотопический класс морфизмов а : ь>м —► jso образующих коммутативную диаграмму

М

BSO

X -и К(Ъ2,2)-

Эквивалентная формулировка получится, если мы рассмотрим рассло ение 7Гf = /!7Г : В/ —у X, индуцированное отображением / из рас слоения 7Г. Пространство В/ канонически отображается в В30, и этс отображение индуцирует линейное расслоение 7/ = : Ef —> В;

Теперь мы можем определить 8рт(/)-структуру на (М,д) как гомото пический класс морфизмов а : рм —> 7/, накрывающих отображение д т.е. образующих коммутативную диаграмму

В*

(2;

М

X

Если, в частности, / : X —> A'(Z2,2) — постоянное отображение, тс Spin(/)-структура на (М,д) — это просто обычная Spin-структура на многообразии М.

Будем говорить, что сингулярные Spin(/)-многообразия (М,д,а) " fМ',д',а') конкордантны (обозначение: (М\д,а) « (М',д',а')), если ¡-Ядутся диффеоморфизм кр : М' —» М степени +1 и гомото-х[0,1] —X, соединяющая отображение goip с отображени-: </', такие, что (<р, foG)*(a) — ос'. Соответствующий диффеоморфизм ■Г —>• М мы будем иногда (допуская некоторую некорректность) на-- загь конкордантностыо между (М,д,а) и (М',д',а'). Заметим, что : частном случае X = К(Z2,2) и / = id сингулярные многообразия М.д,а) и (М',д',а') тогда и только тогда конкордантны, когда мно-::абразия М и М' ориентированно диффеоморфны. В самом деле, этом случае пространство Bf (см. диаграмму (2)) совпадает с BSC), что гомотопический класс отображения ав : М В j определяется : лентацией многообразия М.

1.9. Группы nfpin(X, Л; /). Spin(/)-структуры на сингулярных глогообразиях, подобно Spin(/) -структурам на обычных многообра-::ях, правильно ведут себя по отношению к диффеоморфизмам, су-гэиям на край и склеиваниям по компоненте края. Применяя стандартное построение, мы получаем группы бордизмов, которые 'означаем через il^pm(X; /), а также — для любого подпростран-гза А С X — относительные группы бордизмов, которые обозначаем .грез flfpm(X, А; /). Заметим, что в отмеченных выше частных случа-:: / — const и / = id мы имеем соответственно

flfpin(X; const) = i2fpin(X) .е. обычные группы спинорных бордизмов пространства X) и

Ofpin(A'(Z2,2); id) = ilf°

руппы ориентированных кобордизмов).

1.10. Функториальные свойства групп 0*рш(Л\ А; /). Обозна-через % категорию, объектами которой служат тройки (X,A,f), ставленные из топологического пространства X, его подпростран--за А (которое, как всегда, может быть пустым) и отображения • X —>■ К{Z2,2). Определение морфизма в X близко к таковому г з. 1.6: морфизмом из (X,AJ) в {Y,B,g) называется пара (p,[F]), давленная из отображения р : X Y с р{А) С Я и гомотопи-r f.oro класса [F] отображений F : -Хх[0,1] A(Z2.2) с F0 = / j, _ дор (ОТМетим, что "направление" гомотопии F теперь противо-1-ожно по сравнению с 1.6). Аналогично п. 1.6 определяется и ком-; .ашя таких морфизмов: если (q, [G]) — морфизм из (Y,g) в (Z, /г),

то композиция [С]) о (р, [Т*1]) — это морфизм (дор, Р V (Сор)) (где V обозначает, как ив 1.6, "соединение" двух гомотопий, как путей в пространстве отображений).

Группы 1^Р1П(Х, А; /) образуют ковариантный функтор на категории X: для морфизма Ф = (р, [7'']) указанного выше вида положим

Ф*(М, <р,а) = (М,рсир, Р*(а)) , где Р*(а) определяется как в 1.6.

1.11. Гомологические свойства групп Пг3р1П(Х, А; /). Заметим, во-первых, что для морфизмов категории X можно обычным образом определить понятие деформации, и что функтор А; /) гомото-

пически инвариантен (т.е. удовлетворяет аксиоме 5 Стинрода-Эйлен-берга). Таким образом, для вычисления Л; /) достаточно знать

пару (X, А) с точностью до гомотопического типа. Нетрудно видеть также, что выполнены и две другие аксиомы Стинрода-Эйленберга — точности (аксиома 4) и вырезания (аксиома 6). Проверка этих аксиом ничем не отличается от случая обычных бордизмов. В частности, аксиома вырезания сводится к следующей "лемме о поглощении", очевидным образом выполненной в категории гладких многообразий:

Пусть М — компактное многообразие. Для любого замкнутого подмножества С С М и для любой его окрестности и найдется компактное подмногообразие Мо С М коразмерности 0, содержащее С и содержащееся в II.

Как обычно, из аксиом Стинрода-Эйленберга следует, что имеется канонический изоморфизм

П?1п(СХ,Х- /) » СТ(Х,р1; /\х) , (3)

где СХ обозначает конус над X. Ясно, впрочем, что отображение / в этой ситуации канонически гомотопно постоянному отображению; из 1.10 следует поэтому, что изоморфизм (3) совпадает со обычным "надстроечным" изоморфизмом в теории спинорных бордизмов

Взяв здесь, в частности, X = б1™-1, и продолжив цепочку изоморфизмов стандартным образом "вниз по размерности", мы получаем канонический изоморфизм

гхморфизм (4) можно получить и более непосредственным образом. :ть (М,<р,а) представляет элемент группы (1 ®рш(1)га,5га_1; /). Счи-: что отображение (р : М —*■ />" является гладким и трансверсаль-. к 0 € Оп, положим V = /~1(0). Тогда иу канонически изоморф-

где г : V М — включение, и нетрудно видеть, что (V, а| у) — раз тот элемент группы который соответствует (М, <£>, а) в си-

.зоморфизма (4).

1.12. О соотношении между понятием 8рт( /) -структуры и

понятием "структуры на многообразии". В [14, глава 2] ;:ь2зается (вводившееся различными авторами) настолько общее по-~гге "структуры на многообразии", что оно покрывает, по-видимо-зсе "мыслимые" способы построения теорий бордизмов (во всяком _ае. для многообразий без особенностей). В частности, определен-- выше группы /) можно рассматривать как специальный

чай бордизмов (5,/)-многообразий, описанных в [14]. Под (#,/)-_; ктурой на многообразии М, где В ВО — некоторое за--:.:ое расслоение Серра, в [14] понимается гомотопический класс поражений М —> В, накрывающих классифицирующее отображе-; ым : М —► ВО. При этом, если речь идет об ориентирован-многообразиях, то можно без потери общности заменить в этом ...¿делении пространство ВО па ВЗО. Вернемся теперь к ситуации, осмотренной выше. В силу гомотопической инвариантности групп ~~п(Х] /) мы всегда можем предполагать, что данное отображение : X —» К2) является расслоением. Обозначим, как и в п. 1.8, ерез 7Г/ расслоение над пространством X, индуцированное из рассло-злая 7г : /У,5'О —>■ К(Ъ2, 2) посредством отображения /. Мы имеем, -:;овательно, коммутативную диаграмму расслоений

В} ВЗО

ара отображений д : М X, ц : М ВЗО, удовлетворяющая усло-ж> $од = тт о ¡л — это отображение М —> накрывающее как с/, к и Если теперь мы рассмотрим гомотопию ^ : М —» В30, со-лняющую отображение /л с отображением (см. второе определе-1е 8рт(/) -структуры в п. 1.3), то эта гомотопия поднимается в В/ дает отображенияе и : М В}, накрывающее им, и проектирующе-я в X в отображение, гомотопное отображению д. Мы, видим, что

сингулярное Spin(/)-многообразие в X — это, с точностью до гомот пии (тем более, до бордизма), то же самое, что [Bj, /)-многообра:л в терминологии [14], так что группа fifpin(X; /) — то же, что ili(Bj,. в обозначениях Стонга.

1.13. Топологический случай. Группы ПТfpin(X,A; /). Ста дартные теоремы о ТОР-расслоениях и о нормальных расслоениях т пологических многообразий [6, Essay IV] позволяют перенести все т о чем говорилось выше, на топологический случай. Во-первых, из [ Essay IV, предложение 8.1] следует, что имеется универсальное орие] тированное ТОР-расслоение

Istop = Ipstop) ■■ ESTOP - В STOP} ,

и что для всякого ориентированного ГОР-расслоения имеется "поч! каноническое" (в том же смысле, как и в п. 1.1) классифицирующ« отображение в пространство BSTOP. Универсальный класс w2 опр< деляет, как и в 1.2, расслоение Серра

7sPinrop = {PspinTOP ■ ESpmTOP -»■ BSpmTOP} ,

что позволяет ввести понятие Spin(/)-структуры на ориентированно ГОР-расслоении дословно так же, как в 1.2-1.3, и проверить выполю ние тех же свойств, что ив 1.6. Наконец, согласно теоремам о сущ< ствовании и единственности нормального расслоения для топологич( ских многообразий [6, Essay IV, теоремы А1 и А2], для ориентироваг ного топологического многообразия М имеется "почти каноническое нормальное отображение vM : М —> BSTOP. Все это позволяет ш ренести конструкции пп. 1.7-1.9 на категорию топологических многс образий и, в частности, определить группы топологических бордизмо

/) и f)T*pin(X,A-, f). Вопрос о выполнении аксиом Стинрс да-Эйленберга для функтора ОТ^рш(А', А; /) является нетривиальны] лишь в связи с "аксиомой вырезания", которая тесно связана с теорс мой трансверсальности для топологических многообразий и легко вы водится из этой теоремы (в варианте для отображений, как известно имеющем место для всех размерностей [6, 15]). В самом деле, чтоб! получить топологический вариант "леммы о поглощении" из 1.11, дс статочно применить теорему трансверсальности (для отображений в R к "функции Урысона", разделяющей множества С и М \U. Итак, вс свойства Spin(/)-структур и Spin(/)-бордизмов, о которых говорилос в пп. 1.2-1.11, переносятся на топологическую категорию.

1.14. Односвязный случай: Брт(го)-структуры и группы бор-дизмов Г2?р1П(Х; го) го), го € Н2(Х; Ъ2). Пусть (X,/)

— объект категории X, и пусть пространство X односвязно. В этом случае любые два отображения Хх[0,1] —> К(Ъ212) гомотопны зге1 А' х [0,1] (очевидно, вместо односвязности достаточно было бы условия Н1(Х\ Ъ2) = 0). Мы можем поэтому отождествить морфизмы ¡¡Х, /) —» (А"', /') в категории X просто со спинорными отображениями Л" —> Xт.е. с отображениями, образующими гомотопическй коммутативную диаграмму

X -► X'

\ А ■

К (22,2)

В соответствии с п. 1.10, группы /) с гомотопными / оказыва-

ются (для односвязного X) канонически изоморфными, т.е. они зависят только от класса и; = /*Ы) € II'2(X; Ъ2), и мы будем вместо и ПТ?рш(Х; /) писать го) и ОТг8рш(Х; го).

Группы го) и

го) можно, таким образом, рассматривать как функторы на категории X', объекты которой — это пары зида (X, го), где X односвязно и го — элемент группы Н2(Х\ Х2), а морфизмы (X, го) —► (X', го') — это спинорные отображения / : X —> X' отображения, удовлетворяющие условию = го).

Пусть, далее, (М,д,а) — сингулярное 8рт(го)-многообразие в X. Если многообразие М также односвязно, то, в соответствии с 1.5, указавшие Брт-структуры а становится излишним. Таким образом, односвяз-жое сингулярное 8рт(го)-многообразие в X — это просто спинорное отображение д : М —> X (заметим, что всякое односвязное многообразие М определяет объект (М,ю2(М)) категории X'). Соответственно, в этом случае все построения п. 1.9 и следующих "тривиализуются": например, конкордантность сингулярных многообразий (М,д) и (М',д') — это просто сохраняющий ориентацию гомеоморфизм (диффеоморфизм) М с дор ~ д'.

Заметим, наконец, что в случае г > 4 мы можем (применяя элементарную хирургию) представить всякий элемент группы го) лли ОТ^рт(А"; го) односвязным многообразием. Итак, оказывается, что з (наиболее интересующем нас) случае односвязного X и не слишком малого г группы 0^р1П(Х; го) и ПТ8рш(Х; го) можно определить совсем просто — как группы бордизмов спинорных отображений ориентированных многообразий в пространство X.

§2. Редукция классификационных теорем

2.1. Многообразия "с заданными гомологиями и заданн классом w2": множества MT(G, w) и M7r(G,w). Всюду в дальг шем мы будем понимать под N множество неотрицательных це; чисел. Через Ьг(X) обозначается, как обычно, ¿-мерное число Бе rank Hi(X) пространства X.

Через М (соответственно, МО") мы обозначаем множество клас ориентированно диффеоморфных (соответственно, гомеоморфных) носвязных замкнутых 6-мерных гладких (соответственно, топологи ских) многообразий. Через Жг и МТГ, где г G N={0,1,...} мы обоз чаем подмножества множеств М и МТ, заданные условием Ь3(М) = Допуская некоторую вольность, мы будем писать МеМит.д., ш в виду, что М — это многообразие, удовлетворяющее соответствунж условиям.

Рассмотрим категорию $, объектами которой являются гомом физмы G —Z2, где G — конечно порожденная абелева группа, а м физмами — коммутативные диаграммы вида

мы будем говорить, что образующий такую диаграмму гомоморфиз! является спинорным относительно w, w'. Мы будем использовать пись вида (G, w) 6 S как сокращение для "G — конечно порожден! абелева группа и w — гомоморфизм G —> Z2".

Мы будем называть гладкими или же, соответственно, топологи скими (СУ, го)-многообразиями пары вида (М, (р), где М 6 М (соотв ственно, М €МТ) и ip : Н2(М) —► G — изоморфизм, удовлетворяюц условию

(иначе говоря, спинорный относительно (ю2(М),ю)). Мы говор! что гладкие (С, го)-многообразия (М,ср) и (М',<р') (ориентирован] диффеоморфны, если существует (сохраняющий ориентацию) дифф морфизм /г : М —> М', согласованный с у, т.е. образующий комт тативную диаграмму

G

* G'

Z2

WOtp = w2(M)

Н2(М) h' ' Н2(М')

G

г логично определяется понятие гомеоморфизма для топологических . л;)-многообразий. Через М(0, ги) (соответственно, Ж7(0,т)) мы означаем множество классов ориентированно диффеоморфных (со-зетственно, гомеоморфных) (С, го)-многообразий (гладких или, со-зетственно, топологических); выражаясь неформально, можно ска-ь. что эти множества состоят из многообразий с заданной груп-£ 2-мерных гомологий и заданным 2-мерным классом Штифеля-гни. Через Мг (6', го) и Ж7,(0. га), где г в мы обозначаем подмно-ства множеств Ж(0, го) и ЖУ(0, и>) соответственно, заданные уело ем Ь3(М) — 2г. Допуская опять такую же вольность, как и выше, , будем употреблять обозначения вида (М, {р) € М(С, го) и т. д. Ясно, что определенные выше множества (О, го)-многообразий мо-; рассматриваться как функторы из категории 3 в категорию мно-

•ств.

2.2. Группы ^р1п(6',2; го) и ОТ-р1п(С,2; ю); инвариант в. Пусть \ть (С, го) 6 3- Через К (С, 2) мы обозначаем, как всегда, пространно Эйленберга-Маклейна типа ((?, 2). При этом мы можем отожде лтъ гомоморфизм IV с элементом группы Н2(К(0, 2); Хг), которую значаем, как обычно, через Я2 [О,2; Ъ2). Согласно п. 1.14, мы име группы бордизмов П*рт(К(0, 2); го) и '(К(0,2); го), которые

:ем в этом же стиле обозначать через 0,^рт(0, 2; го) и ОТ^рш(С, 2; го), д группы образуют функторы на категории 3; таким образом, ка-ому морфизму (О, ю) --► (С?', го'), или, иначе говоря, спинорному го '.юрфизму <р : О О', отвечают индуцированные гомоморфизмы

Пусть М — замкнутое односвязное ориентированное п-мерное мно-бразие. Всякий спинорный гомоморфизм <р : Н2(М) —► 6' определя-гомотопический класс спинорных отображений М —+ К (С, 2) и, еле-'ательно, некоторый элемент в(М, <р) группы П*рш(6\ 2; ю) (в глад-з случае) или 2; го) (в топологическом). Мы имеем, таким

азом, естественные отображения

^ : ПТг3рЬ(С,2; го) 2; ад') .

М(б» Л 0^р'п(6', 2; го)

(6)

МТ((т, гу) ~>0Т^П(С,2; го)

(7)

(в другом месте будет показано, что отображение (6) можно рассм; тривать как сужение отображения (7), что оправдает одинаковые об< значения). Пусть М бМ; взяв С = Н2(М), мы получаем (зависящи только от М) инвариант

9{М) = в(ММ)еП1рт(Н2(М), 2; хв2(М)) ,

представленный, очевидно, отображением /м,2 : М —у К(тг2(М),2) -канонической (с точностью до гомотопии) проекцией пространства Л на первый этаж его "башни Постникова". Аналогично, для МеМ мы имеем инвариант 2; го2(М)) (для гладкого 71

этот "топологический" инвариант 9 может быть отождествлен с прея ним "гладким"). Как вытекает непосредственно из определений, знач< ния отображений (7) и (6) выражаются через инвариант в(М) по фо{ муле

0(М,ч>) = ч>*6(М) .

Заметим еще, что для любых М\,М2 имеет место следующее соотношу ние аддитивности:

в(Мг # М2) = ЫДМО + (г2)ЛМ2) , (£

где г3 : Н2(М3) Н2(Мх # М2) = Н^Мх) ф Н2(М2) обозначают ест< сгвенные включения (являющиеся, очевидно, спинорными). Частны: случаем соотношения (8) является следующее "свойство стабильности'

0(М # 53х5'3) = в(М) (£

для любого Меж или м е мт.

2.3. Теорема классификации. Сужения отображений (6) и (7 на множества Мг((7, го) и МСГг(Сг, го) являются биекциями для все

С, го и г.

Эта теорема может рассматриваться как предварительная форм гладкой (соответственно, топологической) классификации; она, в часл ности, показывает, что набор инвариантов

(¡Ь3(М),Н2(М),т2(М),в(М))

является полным, т.е. определяет многообразие М однозначно с точнс стью до гомеоморфизма (соответственно, диффеоморфизма). Точне говоря, приведенная выше формулировка равносильна следующей:

(а) Для любого целого числа г > 0, конечно-порожденной абе-левой группы (?, гомоморфизма ю : —> Ъ2 и класса бордизмов

2; го) (или, соответственно, в £ ОТер1п(С, 2; го)) найдется многообразие М £ М (соответственно, М 6 МТ) с Ь^(М) = 2г и спинорный изоморфизм </?': Н2(М) —> Сг с ф*в(М) =

(б) Пусть даны М,М'£Ж (или М, М'£Ж7), удовлетворяющие условию Ьз(М) = Ь3(М'). Изоморфизм у : Н2(М) —>• Н2(М') в том и только том случае индуцируется сохраняющим ориентацию диффеоморфизмом (соответственно, гомеоморфизмом) М —» ( если он спинорный и удовлетворяет условию <р*в(М) = в(М').

Доказательство этой теоремы содержится в следующих далее пунктах 2.5-2.18. Вначале мы сформулируем одно ее немедленное следствие

— теорему о разложении из [1].

2.4. Следствие: теорема о разложении. Мы будем использо-зать обозначение г(5'3х5'3) для связной суммы вида

53Х53#...#53Х5'3 .

V-„-'

(г слагаемых)

Из теоремы 2.3 и из соотношения (9) непосредственно следует:

Теорема. Для любого многообразия М £ Мг (или, соответственно, М £Ж7Г) существует единственное многообразие Мо£Жо (соответственно, Мо € МТо), для которого имеет место сохраняющий ориентацию диффеоморфизм (соответственно, гомеоморфизм)

М«М0#г(53х5'3) . (10)

В действительности, как нетрудно видеть, из теоремы 2.3 следует несколько более точное утверждение о единственности многообразия Мо-

2.5. Усиленная теорема единственности разложения (10).

Пусть Мо, М'0£ Мо (Мо,М^£Ж7о), и пусть

к : Мо # г(5,3х53) М'0 # К^хЯ3)

— сохраняющий ориентацию диффеоморфизм (соответственно, гомеоморфизм). Тогда найдется сохраняющий ориентацию диффео-лтрфизм(соответственно, гомеоморфизм) ко : Мо ► М'0, индуцирующий тот же самый изоморфизм Н2(Мо) —> Н2(М'0), что и к.

Как было отмечено выше, эта теорема единственности является I посредственным следствием классификациойной теоремы 2.3. С друг стороны, мы приведем ниже ее независимое доказательство, котор одновременно будет и наиболее существенной частью доказательст теоремы 2.3. Это независимое доказательство будет существенно он раться на некоторое усиление утверждения о существовании разлоя ния (10). Чтобы сформулировать это усиление, заметим, что для люб го замкнутого ориентированного б-мерного многообразия М на груп Н3(М)/Тогэ имеется целочисленная унимодулярная кососимметри* екая форма — форма пересечений. Такого рода форма, как хоро1 известно, всегда обладает симплектическим базисом — базисом ви (а15 ..., аг, Ъг) с а,- • aj = 6г- ■ ^ = 0 и а,- • Ь= В частности, многообразии г(Б3хБ3) имеется стандартный симплектический баз! в котором йг и Ьг — это классы гомологий сфер 53хр1 и р!х5'3 в г "экземпляре" Б3 хБ3.

2.6. Усиленная теорема существования разложения (1(

Для любого многообразия М € М (М 6 МТ) и для любого симплект ческого базиса (йх, 61,..., аг, Ьг) группы Дз(М)/Тогв найдутся так многообразие Мо Жо (соответственно, Мо £Ж7о) и такой диффе морфизм (соответственно, гомеоморфизм)

к : М0 # г(Б3хБ3) М , • ■•

при котором базис (б^, 61,..., аТ,ЬТ) окажется образом стандартно симплектического базиса многообразия г(Б3хБ3).

В гладком случае это теорема 1 работы [17] (в формулировке в [1 говорится лишь о существовании диффеоморфизма /г, без уточнен] относительно реализации заданного базиса, однако доказывается тг именно то, что сформулировано выше). Доказательство очень пр сто. Ввиду односвязности М, используя теорему Гуревича и "лем? Уитни", мы можем реализовать классы гомологий а; и &»■ вложенияь аг : Б3 —>• М и Д; : Б3 —> М с "минимальным" числом трансверсал пых пересечений (т.е. так, что пересекаются — в одной точке — толы сферы «¿(б13) и /3{(Б3)). Ввиду 7г3(5'03) = 0, регулярная окрестность каждого "букета" аг(Б?') и &(Б3) устроена стандартно — так же к; регулярная окрестность II множества Б3 хр! и р! х £>3 в Б3хБ3. Но, оч видно, ,5'3х Б3 \ и — это б-мерный шар. Вырезав из многообразия , все ^ и заклеив каждую сферу дЬГг шаром, мы получим как многообр зие М0, так и требуемый диффеоморфизм /г..

ш пияеого случая (в топологическом случае доказательство то я

::ьэвое -

Пусть V и IV —: ориентированные многообразия размерности п + связным непустым краем. Мы будем обозначать через V к) IV ъ "связную сумму вдоль края" — результат отождествления в дизъюнк ном объединении УиШ двух п-мерных шаров, вложенных в дУ и д\ соответственно с сохранением и с обращением ориентации. Это же об( значение мы будем использовать и в ситуации, когда край одно1

из многообразий несвязен, уточняя в таком случае, какая компонент края имеется в виду. Связная сумма вида

83хБ4 \ 5"3х£)4

4 V-'

г слагаемых

будет обозначаться через г(5'3х/)4); очевидно, что при этих обозн; чениях мы имеем дг(Б3хП4)) = г(5'3х53). Как и в п. 2.6, ч< рез аь 61,..., аг, К мы обозначаем стандартный базис в Я3(г(5'3х5'3) Образы классов ах,..., аг при гомоморфизме включения

Яз(г(53х53))^Яз(г(193хД4)) ,

составляющие базис группы Н?){г(83х£>4)), мы также будем обознг чать через ах,...,аг. Через ¿¿, г = 1,...,г, мы обозначаем эл< мент группы Я4(г(5'3х1)4),г(5'3х53)), представленный шаром ptхЬ в г-м экземпляре б^х!)4. Классы образуют базис групп]

Я4(г(5'3хГ'4),г(5'3х5'3)) и удовлетворяют соотношению

дЬг = Ьг , (11

где д — связывающий гомоморфизм пары (г(5"3х/)4),г(5"3хБ3)). Положим

Ж = ([0,1]хМо).1|г(53х1)4) .

Ясно, что край многообразия Ш состоит из двух компонент: до\\>' ~ М и « М0 # г(5'3х5'3). Учитывая ориентации, мы можем написать

где знак "—" обозначает противоположную ориентацию. Мы имеем:

.ричем базисом группы Н3(]¥, д01У) являются образы классов ..., аг которые мы будем обозначать так же, как и сами эти классы). Ана-.эгичным образом,

НЖд^) = Я,(г(.5'3х^),г(5'3х53)\р1) = при ! = 4 ' (13)

базис группы ^ 14') образован классами Ъ\,..., Ьг.

Возьмем теперь многообразие , образованное из многообразия М'0 засим же образом, каким IV было получено из М0:

М1' — ([0,1]хМц) \\ .

1усть многообразия Мо и М'0 удовлетворяют предположениям п. 2.5. этом случае компоненты краев д\Ш и д^У/' диффеоморфны. Пусть — результат склеивания многообразий \¥ и IV':

V = № 1Л -\¥'

ззак "—" обозначает опять изменение ориентации на противоположна)). Мы имеем, очевидно, дУ = М' и —М. Вследствие 2.7(6) мы мо-считать, что индуцированный диффеоморфизмом Ъ изоморфизм

Яз(М0 # К^х^/Тогз Н3{М'0 #г(5'3х5'3))/Тог8

:-зиа,дает с любым выбранным автоморфизмом группы Яз(г(5'3х5'3)), : .чраняющим форму пересечений; можно, в частности, считать, что

Г К(аг) = 6,- , .

гзктически, существенным будет только первое из этих соотношений), •глждствие (14) (и с учетом (12) и (13)), связывающие гомоморфизмы

8 : Нг(У, 1У) = Щ-^Ш)

-;?;ой последовательности тройки (V, \У, Мо) являются для всех г £ аморфизмами, следовательно, Мо) = 0 и V — Д-кобордизм

т:хду многообразиями Мо и М'0. Соответствующий диффеоморфизм ; : Мо —> М'0, в силу построения, сохраняет ориентацию, а его дей-:зле на двумерные гомологии совпадает с действием "склеивающего" : зфеоморфизма к. Теорема, таким образом, доказана.

2.9. Некоторые замечания к теореме 2.5. Теорема 2.5 6i эзервые доказана (в гладком варианте) в работе [1] — совсем дру способом (близким, к методу доказательства соотношения bP2k+i '-для нечетных к в §6 работы [9]; метод доказательства работы [1] f затем использован в [2, 3] для получения классификационных г рем для спинорных 6-мерных многообразий). Конечно, справел вость этой теоремы для соответствующих классов многообразий вь кает и из результатов работ [17, 8]. Гораздо более общее утвер» ние этого рода получено Нецветаевым: в работе [12] доказано, аналог теоремы 2.5 имеет место для любых односвязных (4к + мерных многообразий, в том числе и незамкнутых [12, теорема (это свойство односвязных (4к + 2)-мерных многообразий назывг ся в цитируемой работе стабильностью). Метод, использованв в работе [12], близок к приведенному выше в том смысле, что тре емый /¿-кобордизм строится там посредством "склеивания" многооб зий ([0,1] хМ0) I] r(S2k+1xD2k+2) и ([0,1] хМ'0) h r(S2k+1xD2k+2) по п ходящему диффеоморфизму

/ : М0 # r(S2fc+1xS2*+1) - М'0 # r{S2k+lxS2k+l) .

Построение требуемого диффеоморфизма / и составляет главную ча< доказательства в [12] (в нашей ситуации это обеспечивается тео мой 2.7(6) и совсем просто). В работе [12] речь идет только о гладе многообразиях, но, используя соображения, изложенные в [6, Essay приложение С], нетрудно перенести доказательство на топологиче« многообразия. Далее, в формулировке теоремы 1.1 работы [12] нич! не говорится о гомологических условиях на диффеоморфизм /о (мы пользуем обозначения из п. 2.5), однако из ее доказательства там : трудно усмотреть, что соответствующий аналог гомологического ус. вия из п. 2.5 можно считать выполненным.

Заметим, наконец, что в неодносвязном случае наше доказательсч теоремы 2.5 не проходит по ряду причин. Одна из причин — возможг наличие кручений, т.е. нетривиальность соответствующей группы У; тхеда. Однако "более основной" причиной является отсутствие не< носвязного аналога теоремы 2.7. Как известно, в неодносвязном слуг роль обычных целочисленных групп гомологий должны играть rpyni гомологий с коэффициентами в кольце Z[ir] — групповом кольце фз даментальной группы. Повторяя рассуждение из п. 2.5, мы получ: опять тройку (У, W, Mq) с

Я3(И% А/о; Z[7г]) « H4(V,W-, Z[7г]) « Ъ[ж]г

все остальные группы Н{[У/, М0; Ъ[тт)) и Яг(У, И^; 2[тт]) будут, как и з односвязном случае, тривиальны). Теперь, однако, мы уже не можем утверждать, что — за счет выбора гомеоморфизма или диффеоморфизма / — связывающий гомоморфизм

Э: Я4(У, ]¥] г[тг]) Я3(Ж, М0; 2[ж})

может быть сделан изоморфизмом. Оказывается, что это препятствие зе является только техническим, а вызвано существом дела: в п. 2.30 %дет доказано существование гладкого многообразия М с ~к\(М) ~ Ъг и с неединственнЫм разложением вида (10).

Прежде чем переходить к доказательству теоремы 2.3, мы произведем некоторое обобщение всего вышеизложенного (ради определенной "логической завершенности", отчасти ради более кратких обозначений, а также имея в виду построение контрпримера, о котором только что говорилось).

2.10. Множества М(Х,/) и /). Мы обозначаем через ЭСо

зодкатегорию категории ЭС (см. п. 1.10), образованную связными конеч-зыми С Ж-комплексами и их отображениями в пространство К(22,2). Мы будем использовать запись вида (X, /) € Х0 как сокращение для ~Х — связный конечный СIV -комплекс и / — непрерывное отображение пространства X в пространство К(Ъ2,2)".

Пусть {X,/) ёХо- Замкнутое 6-мерное сингулярное 8рт(/)-много-образие (М,д,а) в X (см. п. 1.8) будет называться (X, /) -многообразием, если отображение д является 3-эквивалентностью, т.е. если выполнено условие

щ(д) = 0 при г < 3 ,

зли, иначе говоря, если многообразие М связно и индуцированный гомоморфизм

д* : щ(М) ж{(Х)

является изоморфизмом при г = 1,2 и эпиморфизмом при г = 3. В том случае, когда пространство X односвязно, это сводится к тому, что многообразие М также односвязно и гомоморфизм

дя : Нг(М) Нг(Х)

является изоморфизмом при г = 2 и эпиморфизмом при г = 3; кроме того, указание Бр1п(/)-структуры а в этом случае становится излишним (см. п. 1.14), и мы пишем (М,д) вместо (М,д,а). В частности,

при X = А'(Сг, 2) мы возвращаемся к понятию (6*, го)-многообраз! из п. 2.1.

Через М(А,/) . (или, соответственно, Ж7(Х, /)) мы обозначав множество классов конкордантных гладких (соответственно, топ логических) (X, /)-многообразий и через ЖГ(Х,/) (соответственн М7Т(Х, /)) — подмножество, заданное условием Ьз(М) = 2г. Мы буде иногда отождествлять в обозначениях (X, /)-многообразие (М,д,( (или (М,д) в односвязном случае) с его классом в соответствующе множестве Ж(Х,/) или Ж7(Х,/) и писать (М,д,а) = (М',д',с вместо (М,д,а) га (М',д',а'), (М, д,а) еЖ(Х,/) и т. д. Замети: что в односвязном случае, согласно п. 1.14, можно считать множ ства М(АГ, /) и МТ(А, /) зависящими только от гомотопического кла са го £ Н2(Х; Ъ2) отображения /; поэтому мы будем в этом случае п сать го) и МТ(А. го). Заметим еще, что в односвязном случ

равенство (М, д) — (АР, #') означает в точности следующее: существу диффеоморфизм (гомеоморфизм) к : М —>■ АР степени 1, образуюцц вместе с отображениями д, д' гомотопически коммутативную диагра: му д

М->М'

X А • (1

а:

Ясно, в частности, что при X — К{Ст, 2) мы опять получаем множест М(С, го) и т. д. из п. 2.1.

Ввиду очевидной импликации "конкордантность =>• бордантност мы имеем естественные отображения

М(Х,/) (1

И д

Ж7(хл)-+пт56рт(х- /), (1

обобщающие отображения (6) и (7).

Примем, наконец, что если отображение / : X —А ((7, 2) постоя но, то вместо /) мы пишем короче М(А) и т. д. Таким образо

в этом случае отображение (16) действует из. Ж(Х) в а от

бражение (17) — из в ПТ^п(Х).

2.11. Обобщение теоремы классификации. Пусть (А,/) € Э Если пространство X односвязно и ж3(Х) — 0, то сужения отоб\. жений (16) и (17) соответственно на Мо(Х, го) и ЖСГ0(Х,ю) явл ются биекциями.

Другими словами, здесь утверждается, что, при указанных предположениях относительно пространства X, для произвольных (Х,ш)~ мзогообразий (М, д} и (М',д') с Ь3(М) = Ь3{М') = 0 тогда и только тогда существует диффеоморфизм (соответственно, гомеоморфизм) ; : М —»■ М' степени 1, образующий вместе с отображениями д, д' гомо-.эпически коммутативную диаграмму (15), когда в(М,д) — в(М', д'). Это и есть то обобщение теоремы 2.3, о котором говорилось в кон-п. 2.9. Теорема 2.3 действительно является его немедленным следившем: ввиду п. 2.6, эту теорему достаточно доказать в частном слу--:ге г — 0, который мы и получим, взяв здесь X = К (0,2).

2.12. Доказательство теоремы 2.11: сюрьективность. Мы

~риведем доказательство для гладкого случая. Оно переносится на то-гэлогический случай с помощью тех же соображений, что и в п. 2.6. Итак, нам требуется доказать, что произвольный элемент х груп-■ии) может быть представлен спинорным отображением : : М —> X, индуцирующим изоморфизм Н2(М) —*■(?, с М 6 М0. Пусть сначала класс бордизмов х представлен произвольным отображением д : М —у X. Стандартная хирургия (в ее "легком" варианте, ^е связанном с препятствиями, возникающими в средних размерностях) глзволяет "убить" множества 7гг(<у), г < 3, посредством перестроек над воженными в М сферами размерностей 0, 1 и 2, одновременно про-гэлжая Зрт(го)-отображение д на соответствующие ручки индексов 1, _ и 3, приклеиваемые к цилиндру [0,1 ]хМ. Заметим, что единственное пучковое препятствие к перестройкам, которое может возникать з этих размерностях — препятствие к тривиальности нормальных рас-гюений вложенных 2-сфер, над которыми требуется произвести перекройку индекса 3 — "контролируется" классом ю2 и, следовательно, •'ращается в нуль в силу спинорности отображения д. Заметим также, :о условие продолжимости 8рт(го) -структуры на перестроенное многообразие управляет выбором нормальных оснащений тех вложенных : ::ружностей, над которыми йроизводятся перестройки индекса 2. Та-образом, при этих перестройках 8рт(ги)-структура, заданная над забражением д, играет ту же самую роль, которую в общей теории играет "нормальная ^-структура" — морфизм "над дп нормального : гсслоения им в расслоение £ над X.

В результате перестроек получится другое отображение д : М —> X, гганадлежащее тому же классу бордизмов х, с односвязным М и ин-олщирующее изоморфизм Н2(М) —> Н2(Х). Теперь остается толь-- убить перестройками индекса 4 образующие бесконечного поряд-

шпумяшш что, как известно, всегда возможно (в частнос-

ти можно сделать, рассуждая так же, как при доказательстве тео

Прежде чем переходить к доказательству утверждения об инъ< тивности в теореме 2.11, мы сформулируем и докажем более слаб] "стабильный" вариант этой теоремы; затем мы выведем требуем утверждение из этого стабильного варианта, сформулировав и доказ соответствующее обобщение теоремы 2.5.

2.13. Стабильные варианты множеств М(Х,/) и Ж7(Х,] Пусть М — связное ориентированное б-мерное многообразие; мы буд( обозначать через в отображение

М' = М#53х5,3-^М

— "связную сумму" тождественного отображения М —► М и (нек торого раз навсегда фиксированного) отображения ,5'3х ,5'3 —» 5е сл пени 1. Отображение 5 (как, собственно говоря, и многообразие М зависит от выбора ориентированного вложения г : Б6 —>• М, и д] фиксированного г его можно считать каноническим. Ясно, что от бражение 5 — спинорное; более того, его можно накрыть морфизм< Т : рм, 1ум, получающимся каноническим образом по тривиалиа дии расслоения ^ силу изотопности между собой всех ор

ентированных вложений г : I)6 —>■ М и гомотопности всех триви лизаций рм |,-(£,б), отображение в и морфизм 7 определены однознач: с точностью до конкордантности (в классе нормальных отображен] в (М,им)).

Пусть опять (Х,/)-Е%о (мы ничего пока не предполагаем р полнительно относительно пространства X), и пусть (М,д,а) пре ставляет некоторый элемент множества М(Х, /) (в гладком случа или Ж7(Х,/) (соответственно, в топологическом). Ввиду сказанно выше,

представляет корректно определенный элемент этого же самого мно» ства; мы будем обозначать этот новый элемент через з(М,д,а). 01 видно, определенный таким образом оператор з допускает итераци так что зг(М,5, а) — это (X,/)-многообразие

{М#г(33х33),дозг,аоГ) .

Мы получаем, следовательно, действие полугруппы N на множеств. Ж(Х,/) и Ж7(Х,/)\ соответствующие фактормножества обозначав

I«..: гзетственно, через М8{Х, /) и ЖН(Л\ / ). Очевидно, что стандарт-ил^ кобордизм между многообразиями МиМ| ^х^3 дает 8рт(/)-;;цзм между (М,д,а) и в(М,д,а), так что определены фактор-ото-- .Кения

М*(Х,Г)->П8Г(Х;Л (18)

MT(XJ)

ПТ5Г(Х; /) .

(19)

2.14. Стабильный вариант теоремы классификации. Для лю-

1 г« (X,f)£%о отображения (18) и (19) сюръективны; если же вдо-. гэк тгз(Х) = 0, то эти отображения — биекции.

Заметим, что здесь не требуется, чтобы пространство X было одно-н-тзным — позднее мы используем это для доказательства существования контрпримера, о котором шла речь в конце п. 2.9.

Доказательство сюрьективности здесь практически совпадает с до-:5тельством в п. 2.12, с той только разницей, что нам теперь не нуж-i: "убивать" перестройками индекса 4 свободную часть группы Н3(М) гд. вообще говоря, и невозможно в неодносвязном случае). Доказательство инъективности также нетрудно. Пусть (М,-, аД, = 1,2 — два (X, /)-многообразия, и пусть G : V —»• X — соединявший их Spin(/)-бордизм в X. Таким образом, мы имеем замкнутое . :гентированное многообразие V с краем —М\ U М2 и спинорное ото-

жение G : V —> X с G\

Mi

дг: предполагается также,

что на V

некоторая 8рт(/ о С/)-структура А, индуцирующая на Мг- за-8рт(/од;)-структуры Мы действуем так же, как в п. 2.12: -1".средством перестроек индексов 1, 2 и 3, производимых над много->>:сазием V, добиваемся того, чтобы отображение (7 было 3-эквивалентностью (при этом не забывая продолжать А на результат пере-Лки). После этого оказывается (ввиду того, что, согласно сделан-^нл предположениям, сужения С\м. — также 3-эквивалентности), что .. -'-эрдизм ^ удовлетворяет условию

жг(У,Мг) = тгг(У,М2) = 0 , г <2 .

¿Дпальзуя это, мы можем, начав с произвольного разложения кобор-^¿■иа V на ручки и применяя стандартную технику перегруппировки I зкращения ручек (в топологическом случае изложенную в [6, Ея-- . Ш]), как при доказательстве теоремы об з-кобордизме , избавиться ручек индексов 0,1,2 и 5,6,7, оставив, таким образом, только два - нищих индекса 3 и 4. Теперь кобордизм V естественным образом

представляется в виде и \\'2, где каждое \\1г есть объединение рух индекса 3 над Мг. Заметим теперь, что, ввиду инъективности инду] рованных гомоморфизмов

Ы* : ТГ2(М,-) ж2{Х) ,

приклеивающие отображения ручек гомотопически тривиальны, 1 что и Щ — это не что иное как ([0,1]хМх) \ г1(5'3х1)4) ([0,1] хМ2)[]г2(5,3х£4) для некоторых г\ и г2. Следовательно, для "п] межуточного" многообразия М — И^ПИ^ мы имеем диффеоморфиз] (гомеоморфизмы)

М к Мьфг^хБ3) ,г = 1,2 , (:

и, ввиду 7Гз(Х) = 0, отображение 0\м "пропускается" (с точностью гомотопии) через соответствующие "проекции" : М —» М,-, так мы имеем

зГ1{Мидиа1) и (М,С|м, Л|м) » зГ2(М2,д2,а2) ,

что и требовалось.

По существу, доказанное утверждение представляет собой неко: рый специальный случай теоремы 2.1 из [11]. Приведенное выше д казательство отличается от доказательства в [11] рядом техническ деталей (хотя общая идея, конечно, такая же) и значительно про] последнего (собственно, из теоремы 2.1 работы [11] следует более сш ное утверждение, чем доказанная выше теорема — а именно, что 6 ективность отображений (19) и (18) имеет место и без предполоя ния 7г3(Х) = 0; нам, однако, это не понадобится).

Теперь, для того, чтобы завершить доказательство теоремы 2.. мы сформулируем и докажем утверждение, обобщающее 2.5 (и зас но 2.4), в том же духе, в каком сама эта теорема обобщает 2.3.

2.15. Обобщение теоремы о разложении 2.4 и теоремы еди ственности 2.5. Для любого (X, /) € ЭСо с односвязным X и для л бого неотрицательного целого г отображения

зг :М„(Л» -+МГ(А». (2

и

зг : М7о(А", ю) М7Г(Х, ю) (2

инъективны; если же 7Гз(Х) = 0, то эти отображения — биекциь

Утверждение о сюрьективности отображений (21) и (22) означает, по определению, следующее: для любого 3-связного отображения у : М -+ X с М еЖг (соответственно, М € МТГ), существует такое 3-связное отображение д0 : М0 —>X с М € М0 (соответственно, М 6 М70) п такой диффеоморфизм (гомеоморфизм) h : М0 # r(S3xS3) —> М, что диаграмма

Л/о # г(5'3х5'3) М

(23)

7. .Г 50 ТА

М0 —► X

шмотопически коммутативна. Взяв здесь X = АД(7,2) с (? и Н2(М), мы получим утверждение о существовании разложения (10), составляющее часть теоремы 2.4. Заметим, что в этом случае (т.е. когда X имеет вид К(0,2)) отображение до, делающее диаграмму (23) гомотопически коммутативной, существует "автоматически".

Доказательство этого утверждения о сюрьективности в общем случае по существу не отличается от доказательства существования разложения (10) (см. доказательство теоремы 2.6), к которому нужно лишь добавить, что, ввиду условия 7Г3(Х) = 0, сужения отображения д на букеты а,-(5'3)иД-(5'3) и, следовательно, на сферы д1<г гомотопически тривиальны (мы используем обозначения п. 2.6), что и позволяет построить отображение до-

Более существенно для нас утверждение об инъективности, которое зудет необходимо для завершения доказательства теоремы 2.11. Это утверждение об инъективности, по определению, означает следующее:

Пусть до : Мо X и д'0 : Мд —» X — 3-связные отображения 2 М0, М'0 е Мо (или Мо, Мо е МТо)- Положим М = М0 # г(53х53) ^ М' = Мц ф г(53х5'3). Пусть существует такой сохраняющий ориентацию диффеоморфизм (соответственно, гомеоморфизм) \ : М —> М', что диаграмма

М ——> М'

зо о s ya0°s

X

(24)

шмотопически коммутативна. Тогда существует такой сохраняющий ориентацию диффеоморфизм (гомеоморфизм) Ло •' Мо —*■

что диаграмма ,

М0-

X А

также гомотопически коммутативна.

Взяв опять X = К (О, 2), мы получим как утверждение о сущестЕ вании разложения (10), так и его усиление — теорему 2.5: в самом де.' в этом случае гомотопическая коммутативность диаграмм (24) и (2 означает, что индуцированные гомоморфизмы /г* : Н2(М) —► #2(Л' и (До)* : Н2(Мо) —>• Н2(М'0) совпадают. Доказательство инъективг сти отображений (21) и (22) практически совпадает с доказательств« теоремы 2.5. К этому доказательству нужно только добавить, что а имеем отображения

IV = ([0,1]хМо)|г(53хД4)^мЛ1

и . /

\¥' = ([0,1 )хМ'0) 1] г^х!)4) Д М' ^ X ,

и ввиду гомотопической коммутативности диаграммы (24) мы мож "склеить" их и получить отображение

V = X ,

дающее требуемую конкордантность между (М0,до) и (М'0,д'0). Сле, ет, правда, заметить, что в ходе доказательства теоремы 2.5 дифф морфизм (или гомеоморфизм) к заменялся другим, с целью удовлет рить гомологическому условию (14). Эта замена, однако, не нару1 ет гомотопической коммутативности диаграммы (24): в самом де как видно из доказательства теоремы 2.7, можно считать, что "новь вариант отображения к совпадает со "старым" на Мо \ г(//') С так что суперпозиция о к вообще не меняется.

2.16. Одно замечание к теореме 2.15. В связи с утвержден! об инъективности в теореме 2.15 уместно спросить — нельзя ли пот бовать от диффеоморфизма (гомеоморфизма) ко, чтобы выполнял условие

/г0О5г ~ эг о к (

(заметим, что в наиболее существенном для нас случае X = К(С из коммутативности диаграммы (24) и из условия (26) вытекала и коммутативность диаграммы (25)). Нетрудно, однако, показе

условие (26), вообще говоря, не : ожет быть выполнено. Что-получить соответствующий пример, возьмем Mq — М'0 = S2xS4

М = М' = S2х 5'4 # S3xS3. Пусть j : S'3 М0 ......вложение, ре-

газующее какой-нибудь ненулевой элемент 7 группы тг3(М0) & Z. - .смотрим сферы ,5'i = Д*?3) # .S'3 х pt и 5'2 = ptx53, вложенные многообразие М (сферы 53xpt и ptx5'3 рассматриваются как пер начально вложенные в 53х,5'3). Заметим теперь, что доказательство -зремы 2.6 позволяет утверждать больше, чем сказано в ее форму-гзовке, а именно, что существует диффеоморфизм (или гомеомор-... зм) h : Mq ф r(S3xS3) —»■ М, переводящий стандартный "сим-гектический" набор сфер в многообразии r(S3xS3) в любой зара-заданный набор сфер, вложенных в М, образующих базис группы £ М)/ Tors и пересекающихся между собой (геометрически) соответ-зующим образом. Применив это к сферам Si и ,5'2, мы получим диф--зморфизм h : М —> М, переводящий сферу S^xpt в 5i. Но ясно, гэ гомотопический класс отображения s|s есть не что иное как 7, гэ время как отображение s|s,3)<pt гомотопически тривиально; таким "-азом, соотношение (26) невозможно ни при каких h0 (не только при Зфеоморфизмах).

2.17. Следствие теоремы 2.15. Для любого (X, /) 6 Хо с одно-.азным X естественные отображения (проекции)

Mo(X,u>) -+M-'(.\Yu>)

-активны; если же жэ(Х) = 0, то эти отображения — биекции.

2.18. Доказательство теоремы 2.11: инъективность. Утвер-ггние об инъективности в теореме 2.11 — прямое следствие пп. 2.14

_. ^ а.

Заметим, что вместо того, чтобы ссылаться на 2.17 (т.е., в конеч-:: счете, на теорему 2.5), можно было бы поступить по-другому: дожить доказательство п. 2.14, воспользовавшись основной конструк-из п. 2.8 (с дополнением в п. 2.15), чтобы вместо стабильной зективности получить сразу "настоящую" инъективность. Для это-гостаточно модифицировать кобордизм V (обозначения п. 2.14), урезав" его вдоль многообразия М и затем снова склеив по го-"орфизму (диффеоморфизму) h : М —> М, удовлетворяющему :зшо Л* (а,) = Ь'{, где а,, 6,- и а\, Ь\ — симплектические базисы

группы Н3(М), соответствующие двум разложениям (20) многообр; зия М. То же самое рассуждение, что и в пп. 2.8, 2.15 показывав что V' — Wi Uн W2 — /¿-кобордизм между Mi и М2, и что существу« отображение V' —* X, продолжающее отображения д\ и д2.

2.19. Отображения степени 1, 3-эквивалентности и гомот< пические эквивалентности. Пусть h : М —► М' — отображение ст пени 1. Как известно [7, глава I, теорема 2.5], из условия deg h = следует, что индуцированные гомоморфизмы Л* : Щ(М) —> Щ(М являются эпиморфизмами. Таким образом, для М, М' € Ж7 отобр; жение h тогда и только тогда 3-связно, когда индуцированный п моморфизм /г* : Н2(М) —Н2(М') является изоморфизмом. Зам' тим, что определенные в п. 2.13 "почти канонические" отображени sr : М $r(S3xS3) —> М удовлетворяют, очевидно, этим условиям. О к; зывается, что (для многообразий из МТ) любое 3-связное отображен! степени 1 устроено, "с точностью до гомотопической эквивалентности' так ^ке как sr:

Теорема. Пусть М, М'€ М (или М,М'(Е Ж7), и пусть некопи рое отображение h : М М' степени 1 индуцирует изоморфиз, Н2(М) —у Н2(М'). Тогда найдется такое многообразие М0 £ М (с< ответственно, Mq Е МО") , такой диффеоморфизм (соответствент гомеоморфизм) tp : М -+ М0 # г(53х5'3) (где 2г = Ь3{М) - Ь3(М' и т,акая гомотопическая эквивалентность ho : Mq —> М', чгп h0osrcnp ~ h.

Доказательство этой теоремы представляет собой вполне элемента! ное упражнение по односвязной хирургии. Положим

Ki = Кет[К ■ Щ(М) Нг(М')] .

Группы К{ удовлетворяют двойственности Пуанкаре [7, глава I, §21 в частности, имеются изоморфизмы

Ki/ Tors Рз /16_..г/ Tors

и

Tors Ki « Tors Къ-i ■

Вследствие предположений теоремы, Ki = 0 при г < 2, откуда, вввд двойственности, Ki = 0 при г > 4 и Tors К3 = 0. Ввиду той же два ственности, сужение формы пересечений многообразия М на К3 н вырождено, откуда следует, что группа К3 обладает симплектическя

'•ьзпсом — допустим, öi, 61,..., ar, br. Заметим теперь, что естественна! гомоморфизм 7Г4(/г) —> Кг является изоморфизмом (теорема Гуре-г \~.г), откуда следует, что классы аг-, Ьг можно реализовать сфероидами

- . ii : S3 —► М, принадлежащими ядру индуцированного гомоморфиз-.»н 4* : 7Гз(М) —¥ жз(М'). Далее мы действуем как при доказатель-

~зе теоремы 2.6: делаем аг-,/?г- вложениями с минимальным числом -лсверсальных попарных пересечений, вырезаем окрестности "буке-

- ai(S3) U ßi(S3) и заклеиваем образовавшиеся 5-мерные сферы ша-: ::за (при этом проблемы, связанные с отсутствием гладкости, можно '-0:3ти, например, таким же образом, как в п. 2.6 — проведением всех : : роении в некоторой сглаживаемой окрестности 3-мерного остова). Г . ^топическая тривиальность сфероидов koai,koßi гарантирует воз-

:зность продолжения отображения к на полученное таким образом гообразие Mq, и это продолженное отображение к0 удовлетворя-- согласно построению — условию Ker[(/i0)* : Я,(М0) —*• Я,-(М')] = О всех г, т.е. является гомотопической эквивалентностью. Существо-Iаь.. _::е диффеоморфизма (гомеоморфизма) ¡р : М —> M0#r(S3x S3) и го-* ::пии, соединяющей отображение hoosr 09? с отображением к, также к-пует из построения.

2.20. Следствие. Если отображение к : М —► М' удовлетворяет - :шоложениям теоремы 2.19, то оно спйнорное.

Действительно, согласно 2.19, отображение к представляется в виде "туагозиции отображений 5 (являющихся спинорными по очевидным ^чзшам) и гомотопической эквивалентности к0 (являющейся спинор-й(± з силу гомотопической инвариантности классов Штифеля-Уитни). ~ 5ожно заметить, что теорема 2.19 здесь в действительности не нуж-3 самом деле, следствие 1 — это частный случай следующего утвер--нля, доказываемого простой проверкой.

~.сть М, М' — замкнутые п -мерные многообразия (не обяза-.,- - чо ориентируемые), и пусть к : М —> М' — отображение ф 0 (где с1е§2 к — степень по модулю 2). Тогда име--з место соотношения Ьь¿(М) = иДМ'), где и; обозначает 1-й :сс Ву, а к\ : Я'(М) —► Я'(М') — когомологический "трансфер" гомоморфизм, сопряженный с гомологическим индуцированным гомоморфизмом к* : Я„_,(М) —» Hn—i(M') относительно изоморфизма Пуанкаре).

2.21. Следствие. Если в предположениях теоремы 2.19 выпол но дополнительно условие Ь3(М) = Ь3(М'), то отображение к яв ется гомотопической эквивалентностью.

В самом деле, в этом случае мы должны иметь г = 0. Впроч* и здесь теорема 2.19 не нужна: ясно, что из Ъ3(М) = Ь3(М') выте: ет К3 = 0 (где Кг обозначает, как и в п. 2.19, ядро индуцирование гомоморфизма Н{(М) —► Щ(М')), откуда все следует.

Мы будем в дальнейшем называть отображения, удовлетворяю!! предположениям теоремы 2.19, стабильными гомотопическими экви] лентностями. Это словоупотребление оправдывается, наряду с тео] мой 2.19, следующей далее теоремой 2.23.

2.22. Лемма. Для любых М, М' € МТ и для любого отображен к0 : М —> М' степени 1 найдется такое отображение ко, что дг грамма ^

М # 3'лх33 М' # .93х,5'3

5 . в

Ао

М--М'

гомотопически коммутативна.

Утверждение леммы становится очевидным, если заметить, чт ввиду связности многообразия М и односвязности М' (и ввиду у слов! на с^/г0), мы можем продеформировать отображение /г0 так, чтоб некоторая точка из М' имела ровно один трансверсальный прообраз.

Заметим, что отображение ко автоматически имеет степень 1, и чт если отображение к0 является гомотопической эквивалентностью, 1 и До — также гомотопическая эквивалентность.

2.23. Теорема. Пусть М,М' еЖ7, и пусть к : М М' — спи бильная гомотопическая эквивалентность. Тогда многообразие Л гомотопически эквивалентно многообразию М' ф г(Б3х Б3), причы гомотопическая эквивалентность к : Л/ —► М' ф г(33х33) может быть выбрана таким образом, что диаграмма

М/#г(5,3х53) М М'

окажется гомотопически коммутативной.

Согласно теореме 2.19, мы можем представить отображение к в ви-и-г /г0озго<£>, где к0 : М0 —> М' — гомотопическая эквивалентность :. ^ : М —> М0 # г(53х5'3) — гомеоморфизм. Применяя к отображе--сж> к0 лемму 2.22 (г раз), мы получаем гомотопическую эквивалент-

- 2£ть

ко : Мо#г(^3х53) ,

~звлетворяющую условию вгоко ~ к0озг. Отображение к — коор — : ::~;омая гомотопическая эквивалентность.

2.24. Множества Х(М). Пусть М £ Ж7. Мы будем обозначать ^зез У4(М) подмножество (смежный класс) группы ПТдР1П(М; го2(М)), ;«гэазованное классами бордизмов спинорных отображений N —>■ М -тгпени 1. Следующее утверждение легко выводится из теоремы 2.19.

Теорема. Каждый класс бордизмов из Л(М) содержит гомото-' вескую эквивалентность.

Для доказательства предположим, что к) £ Л(М). Сначала, дей-гзуя как в п. 2.12, мы можем сделать отображение к, не меняя его ¡.~зсса бордизмов, 3-связным. Теперь используем теорему 2.19 и заме--что отображение 5Г : М0#г(5'3х5'3) —> М0 принадлежит тому же . г>жу бордизмов (в ОТбРт(Л/0; ъи2(Мо))), что и тождественное отображение М0 М0.

2.25. Инвариант 0. Для любого (А/, р) £ Ж7(С, гс) (или, более ездим образом, для любого М £Ж1Г и спинорного гомоморфизма

: Н2(М) —> О) положим

в(М, <р) = д,ЩМ) С Г2Т63р1п(С, 2; ю) ,

: М —> К (О,2) — отображение, принадлежащее гомотопическому классу <р. Взяв, в частности, С = Н2(М) и = ¡(1, мы получаем льзхэсящий только от М инвариант

0(М) = в{ММ) С ОТдР'"(Я2(М), 2; го2(АГ)) ;

х~г произвольного гомоморфизма : Н2(М) —►

Же **Н-Т1)

0(М,у>) = ^0(М) ,

Юг : Ш^р1п(Я2(М),2; ш2(М)) -»• ОТбР'п(С,2; и/

^■Е^'утгарованный изоморфизм.

С мы можем теперь

соответствующий

Мы можем обобщить определение 0(М, <р) таким же образом, ка в п. 2.10 было обобщено определение в(М, ф). Пусть (X, /) 6 Хо (обозн; чения п. 2.10). Мы будем в дальнейшем предполагать, что простра] ство X односвязно. Для произвольного (М,д) 6 М7(Х, ги) положим

в(М,д) = д*ЩМ) С ПТ|Р"(Х; и;) . Заметим, что имеется очевидное включение

в(М,д)е&(М,д). (2'

2.26. Стабильность инварианта 0. Тот факт, что для любо1 (X, гу) -многообразия (М,д) и для любой гомотопической эквивален-ности К : М\ —* М степени 1 имеет место равенство

= ®(М\,доК)

— это вполне очевидное следствие определений. Мы докажем бож общее утверждение.

Теорема. Пусть (X, /) € Хо, и пусть пространство X обносвя, но. Тогда для любого (X, и))-многообразия (М,д) и для любой ст> бильной гомотопической эквивалентности 1г : М\ —* М (степени -К имеет место равенство

е(М1,док) = е(М,д) .

Включение ®(М\,доЬ) С 0(М,<?), как легко видеть, следует I условия degh = 1. Что касается обратного включения, то в силу т оремы 2.19 (или, если угодно, теоремы 2.23), достаточно рассмотрен тот случай, когда многообразие совпадает сМ# 5'3х ,5'3, а отобр; жение К — с 5; в этом случае все следует из леммы 2.22.

Взяв частный случай X = К(тг2(М),2) и д — ¡м,2, мы получае "соотношение стабильности" для инварианта 0, аналогичное соотн< шению (9):

0(М # 53х53) = в(М) . (21

2.27. Гомотопическая классификационная теорема. Для ль

бых М,М' €Ж7 изоморфизм <р : Н2(М) —» Н2(М') в том и тол\ ко том случае индуцируется сохраняющей ориентацию гомотопич* ской эквивалентностью М —» М', если Ь3(М) = Ьз(М'), <р являете спинорным и (р*0(М) ---- О(М').

Эта теорема может рассматриваться как предварительная форма го-шсптопической классификации (подобно тому как теорема 2.3 выше — тредварительная форма гладкой и топологической классификаций), г специальном случае М € М и 1и2(М) = 0 это [3, теорема 4] (вместо :<5ззначения 0 в работе [3] использовалось Г). Мы приведем ниже до-±лдательство некоторого обобщения этой теоремы (обобщения того же :«:1а5 в каком теорема 2.11 обобщает теорему 2.3).

2.28. Обобщение гомотопической классификационной теоремы. Пусть (X, /) € ЗСо, пространство X односвязно и 7Гз(Х) = 0; г:шгъ (Х,ги) -многообразия (М,д) и (М',д') удовлетворяют усло-Ьз(М) = Ьз(М'). Гомотопическая эквивалентность к : М —> М' г~ -:ж.ни, 1, образующая вместе с отображениями д и д' гомотопи-■г-^-тл коммутативную диаграмму вида (15), существует в том и •г :лько том случае, если выполнено условие

&(М,д) = 9(М1,д') . (29)

Необходимость условия (29) является здесь очевидной (и формально ■■."гсует из теоремы 2.26). Что же касается достаточности, то, как мы -71-шм, это простое следствие теорем 2.24 и 2.11. Итак, пусть усло-(29) выполнено. Тогда, в частности, имеем включение

в(М,д)ее(М',д>) (30)

:~?дствие соотношений (29) и (27)). Согласно определению 2.25, зьоз>чение (30) означает, что найдется такое отображение Ы : N М' ст^-гени 1, что отображение д : М —> X окажется 8рт(г«)-бордант-отображению д'ок' : N —»• X. Вследствие теоремы 2.24 мы можем "-нггать, что отображение А' здесь является гомотопической эквива-:-•• _:'осгыо: в таком случае (М,д' ок'), как и (М',д'), является (X, гп)-«:;:гообразием, так что вышеприведенное условие бордантности можно 2^~:у:<ггь в виде

в(М,д) = в(М,д' о к') . 'С : гласно теореме 2.11, существует гомеоморфизм

: ; к') о ¡р ~ д, и отображение к' о ¡р дает требуемую гомотопическую ^валентность.

2.29. Дополнение: о классификации 5-мерных многообра

зий. Совершенно аналогично пп. 2.1 и 2.10 мы можем определить мно жества M5(G, w) —г 5-мерные аналоги множеств 3VC(G, w) — и обобща ющие их множества ЖЪ(Х, /). Можно также определить отображенш

M5(G>) -+i^pin(G,2; w) (31

и их обобщения

M5(X.f)^^m(X; /). (32;

Теперь ключевая лемма 4.4 статьи [6] может быть сформулирована с точностью до некоторых несущественных деталей, как следующш' аналог теоремы 2.3:

Теорема. Отображение (31) инъективно для всех G и w.

Рассуждение Бардена (стр. 382 цитированной статьи) в действитель ности доказывает следующее обобщение (аналог теоремы 2.11):

Обобщение. Пусть (X,/)еХ0. Если пространство X односвяз но и 7г3(Х) = 0, то отображение (32) инъективно.

В работе Бардена эти формулировки содержатся лишь "в неявно? виде". Приведенный здесь подход позволяет свести доказательств« классификационной теоремы для замкнутых односвязных 5-мерны: многообразий [6, теорема 2.2] к некоторым стандартным вычислени ям для групп f^pin(G, 2; w) (более простым, чем в 6-мерном случае) в работе Бардена эти вычисления заменяются "ручным" (и требую щим некоторой изобретательности) построением требуемого Spinft«) бордизма.

Заметим еще, что отображение (31) (или (32)) "почти никогда (в отличие от размерности 6) не является сюрьекцией. В самом де ле, множества M5(G, w) во многих случаях (например, если Tors ( не имеет вид Т ф Т или Т ф Т © Z2) оказываются просто пустым] (чего, конечно, не может случиться с группами 2; w)). Но i

в тех случаях, когда множество M5(G, w) непусто, отображение може не быть сюрьекцией. Нетрудно видеть, например, что при Tors G ф нулевой элемент группы ОдР'п((?, 2; to) не может принадлежать образ; отображения (31) — в противном случае форма зацеплений на соответ ствующем многообразии М с H2(M) = G оказалась бы вырожденно: (т.е. просто нулевой), что, конечно, невозможно.

2.30. Дополнение: о неединственности разложения (10) в не односвязном случае. Мы покажем здесь, используя теорему 2.1

j конструкцию из [6], что для неодносвязных многообразий утвержде-о единственности разложения (10) перестает быть верным — во вся-случае, в гладкой категории. Пусть М — связное замкнутое б-мерное спинорное гладкое много-«Гэазие и д — непрерывное отображение многообразия М в 3-мерный -:?Г3.

Теорема о Т3-бордизмах. Класс бордизмов (М,д,а)£ О s/m(T3) Tf зависит от выбора Spin-структуры а и гомотопически инвари-ътен. Последнее означает, что для произвольной гомотопической швалентности h : М\ —*■ М классы бордизмов отображений g . h совпадают.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим спектральную после-i-зательность Атьи-Хирцебруха

El = н*(т3] as/m) ns/in(T3).

: эк нетрудно видеть, для этой последовательности

ф Кя = К* = Е?А = ^П >

p+q—6

гза что мы имеем изоморфизм

fls/m(T3) « Я2(Г3; Of1") = Н2{Т3) = Z3 . (33)

"-зж известно, изоморфизм —> Z может быть задан посредством

г-зрмулы М I—у (pi(M), [М]) /48. Отсюда следует, что изоморфизм (33) лжет быть задан формулой

,, , {(pi(M)x1x2i [М]}, {Р1(М)х2х3, [М]}, (Pl(M)x3xu [М])) sl,g) н-> — 5

■х, = д*(уг) и yi — образующие группы Я1 (Г3; Z). Из (34) сра-" следует независимость класса бордизмов отображения д от выбора •уап-структуры а; что же касается гомотопической инвариантности, г j она следует из этой формулы и из результатов работы [13].

Следствие. Пусть М\ и М2 — связные замкнутые б -мерные гждкие многообразия с iri(Mi) = Z3, 7г2(Мг-) = 0 и w2(M,) — 0. To-is если Mi и М2 гомотопически эквивалентны, то они стабильно 'лффеоморфны.

Для доказательства этого следствия заметим, что, вследствие условий на гомотопические группы многообразий М\ и М2, существуют отображения д{ : М{ —> Г3, являющиеся 3-эквивалентностями; при этом мы можем считать, что имеется гомотопически коммутативная диаграмма

Мх -► М2

т3

где h — гомотопическая эквивалентность. Выбрав какие-либо (все равно какие) Spin-структуры аг- на Mi и М2, мы получим элементы (Mi,gi,cti) множества бМ(Г3). В соответствии с доказанной выше теоремой, мы имеем равенство

0(Mugi,ai) = e{M2,g2,a2) ,

из которого, ввиду теоремы 2.14, следует требуемое утверждение.

Опишем, наконец, контрпример, обещанный в начале этого пункта. В [6, Essay IV, Appendix В] построено гладкое многообразие М*, гомотопически эквивалентное, но не диффеоморфное многообразию S3xT3. Очевидно, что многообразия S3xT3 и М* удовлетворяют предположениям следствия и, значит, стабильно диффеоморфны.

В заключение несколько замечаний относительно сказанного выше.

(а) "Теорема о Т'3-бордизмах", как и ее следствие, может быть (таким же точно рассуждением) получена в варианте для топологических многообразий. Этот вариант, впрочем, не особенно полезен, ввиду отсутствия "топологического" аналога многообразия М*.

(б) Нетрудно было бы доказать как "теорему о Т3-бордизмах", так и ее следствие без предположения w2 = 0. Однако для этого потребовались бы некоторые дополнительные соображения, связанные с построением спектральной последовательности Атьи-Хирцебруха (кроме того, опять-таки, этот более общий вариант не дает нам никаких новых примеров).

(в) При построении контрпримера мы воспользовались гомотопической эквивалентностью многообразий S3xT3 и М* и (при посредстве "теоремы о Т3-6ордизмах") теоремой Рохлина о гомотопической инвариантности чисел Понтрягина соответствующего вида (произведений классов Хирцебруха на одномерные классы когомологий). Мы могли бы действовать по-другому: воспользоваться тем, что в действительности, согласно [6], многообразия S3xT3 и М* гомеоморфны, и сослаться

теорему Новикова о топологической инвариантности рациональных пассов Понтрягина.

Литература

1. Жубр А.В. Теорема о разложении для односвязных шестимерных многообразий// Зап. научи, сем. ЛОМИ. 1973. Т. 36. С.40-49.

2. Жубр А.В. Классификация односвязных шестимерных спинор-ных многообразий// Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1914- Т.45. 71-74-

s. Жубр А.В. Классификация односвязных шестимерных спинор-ных многообразий// Изв. АН СССР (сер.мат.) 1975. Т.39. С. 839-859.

Жубр А.В. Классификация односвязных 6-мерных многообразий// Докл. АН СССР. 1980. Т.255. С.1312-1315.

Zhubr A.V. Classification of simply-connected topological 6-manifolds// Lecture Notes in Math. 1988. V.1346. P.325-339.

' Barden D. Simply connected 5-manifolds// Ann. Math. 1965. V.82. P.365-385.

Браудер В. Перестройки односвязных многообразий. М.: Наука, 1984. 208с.

: Jupp Р.Е, Classification of certain 6-manifolds// Proc. Cambr. Phil. Soc. 1973. V.73. P.293-300.

- Kervaire M.A., Milnor J. Groups of homotopy spheres// Ann. Math. 1963. V.77. P.504-537.

Kirby R.C., Siebenmann L.C. Foundational essays on topological manifolds, smoothings and triangulations. Princeton university, Prince-~эп, New Jersey, 1977. 352pp.

II Kreck M. Duality and surgery: an extension of results of Brow-±ar. Novikov and Wall about surgery on compact manifolds. Preprint r:iv. Mainz, 1985. 92pp.

ll Нецветаев Н.Ю. Диффеоморфность и стабильная диффеоморф-:1~ть односвязных многообразий// Алгебра и анализ. 1990. Т.2. Г12-120.

13. Рохлин В.А. Класс Понтрягина-Хирцебруха коразмерности 2// Изв. АН СССР (сер.мат.) 1966. Т.30. С.705-718.

14. Стонг Р. Заметки по теории кобордизмов. M.: Мир, 1973. 372с.

15. Quinn F. Ends of maps III// J. Diff. Geom. 1982. V.17. P. 503-521.

16. Siebenmann L.C. Topological manifolds. Actes Congrès Intern. Math., 1970. T.2. P. 133-163.

17. Wall C.T.C. On certain 6-manifolds// Inv. Math. 1966. V.l. P.355 374.

Summary

Zhubr A.V. The bordism groups of spin-maps and their application to the problem of classification of 6-manifolds

This paper contains the reduction of the classification problems for simply-connected closed 6-manifolds (smooth, topological and homotopy classifications) to a certain homotopy problem, namely, to the problem of computation of the bordism groups of spin maps of oriented (non-spin) 6-manifolds to Eilenberg-MacLane spaces of the type (G, 2) (a map / : M —> K(G,2) is called spin, with respect to a given cohomology class w G #2(G, 2; Z2), if it satisfies the condition f*(w) — w2(M)). The above-mentioned reduction has been given in the spin case (that is, when w — 0) in the paper [3]. Its generalization, given here, provides a basis for proving results announced in [4, 5] (these proofs will be gived elsewhere). The reduction is formulated here in a more general form than it is needed for the classification theorems of [4, 5]. This more general approach enables one, in particular, to return to the question about uniqueness of the decomposition of a 6-manifold into a connected sum of the kind Mq # S3xS3 (such M are called stable in [12]), which has been first considered in [1] for closed simply-connected 6-manifolds (and later in [12] for closed simply-connected manifolds of other dimensions), and to show that in the non-simply-connected case this stability does not take place.

Сыктывкарский университет Поступила 15.09.1998