CC BY
9_ . Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 2.1996
УДК 513.8 '
Вычисление групп спинорных бордизмов
некоторых пространств Эйленберга-Маклейна, ii 1
А. В. Жубр
Продолжено вычисление некоторых групп бордизмов, связанных с задачей классификации замкнутых односиязных 6-мерных многообразий: доказаны результаты, анонсированные в первой части работы.
Эта статья является продолженном работы [1], в которой вычислены группы А)" ят), ! < 6, где х,„ обозначает проекцию - + Ъ-1* и сформулированы результаты вычисления групп
Аш,п ф 22п,2; е 0).
Напомним, что через 2; гу), где С — конечно-порожденная
абелепа группа и ш — элемент группы И'2 (С,2; Ъъ), в работе [1] обозначается группа классов бордизмов отображений вида
/:М\......+ 2) ,
где Мг - замкнутое ориентированное ¿-мерное гладкое многообразие с и)2(М1) — /*(ш); или, если угодно, 2;ги) — это группа бордизмов пар (М\и) с ш£Н9, (М'\ (?), удовлетворяющих условию Ш2(Мг) ги*(ш), где через «>» обозначается гомоморфизм
П2(-;С) Н'2 (•; 22) ,
индуцированный классом ио, понимаемым теперь как элемент группы Нот (С, ) - Группы П*рш(С?, 2; ш) (т.е., собственно говоря, группа 2; ш)) представ шпот интерес в связи с задачей клас-
сификации 6-мерных многообразий (см. [2] [4]), и рассматриваемые
1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №95-01-00235
© Жубр А. В., 1996,
в [1] и в настоящей работе случаи С — Ъч^. и. = и С — Z•2 т ф г2п , ш = хт ф 0 представляют собой первый этап вычисления групп ОбР'п(С, 2; «>) для произвольных С и ш / 0 (случай и> = 0 рассмотрен в работе [2]).
Мы воспроизведем здесь формулировку анонсированного в [1] результата о группах А[п п в слегка модифицированном виде. Заметим сначала, что (как и отмечено в [1]) достаточно вычислить прямое слагаемое А™'п — ядро естественной проекции А™'п —» Далее, мы можем считать, что т > 2 (поскольку А]'п — не что иное как ¡Г^0^«, 2), что сразу дает ответ; в частности, А1'п « %-2п Ф %2п)- Мы предполагаем, кроме того, что числа тип конечны.
Теорема 1. Группы А"1'" с г < б даются таблицей
г 0 1 2 3 4 5 б
А!?п 0 0 Z'2" 0 Z27i+1 Ф Zga-l Z 2» Z\п ф Z26-2 ф Z26-J
где а — min{m,n} и b = min{m,n 4-1}.
Мы будем придерживаться обозначений и методов работы [1]. В частности, мы сокращаем K(Z-2»,2) до Кп. Можно очевидным образом построить гомологический функтор А™( •) на категории топологических пространств, для которого группы А"1 будут группами коэффициентов (гомологий точки). Мы обозначаем спектр, отвечающий функтору А™, через Тш (в [1] он обозначался Тт). Согласно стандартной формуле теории гомологий,
А™'П — А™{Кп) ~ 7Г:'(Тт А А'„) ,
что позволит нам вычислить группы А™'п, строя разложение Постникова спектра Тт А Кп, аналогично тому, как в [1] вычисляются группы А™ (и в [2] — группы А®'п).
Статья состоит из 2 параграфов. В §1 мы приводим, в удобной для нас форме, несколько более или менее стандартных утверждений о когомологиях главных расслоений пространств и спектров. В §2 строится разложение Постникова спектра Тш А Кп до размерности б и, тем самым, доказывается теорема 1.
§ 1. Несколько технических утверждений " о когомологиях главных расслоений
1.1. Главные расслоения. Как и в [1], мы рассматриваем 0-спектры X = {А'о, А'ь ...}, в которых каждое пространство X, является (г — 1)-связным (в [5] такие спектры называются — не особенно удачно — связными). Отображение П-спектров q : Е —> X называется расслоением, если каждое qi : Е{ —► А', — расслоение в смысле Серра. В этом случае последовательность слоев (над подходящим образом выбранными точками) также образует некоторый fi-спектр
— слой расслоения q. Главное расслоение il-спектров —- это просто расслоение, имеющее своим слоем некоторый спектр Эйленберга-Маклейна К(7г, п) ~ {А"(тг, п), А'(7г, п + 1),...}. Главное расслоение
К(тг,п) ДеДх (1)
однозначно (с точностью до естественной гомотопической эквивалентности) определяется своим "характеристическим классом"
c(q)=r^(l7!)eHn+](X;iг), где тх,А обозначает трансгрессию
Я" (К(тг,п);А) Л Нш (Е,К(тг,п); А) > Hi+l (X; А) § — связывающий гомоморфизм пары) и
UeHn (К(тг,п); 7г) = Нот(тг, тг)
— универсальный класс. Таким образом, группы Я® (Е; Z) в прин-rzne могут быть вычислены по Нг (X; Z) и c(q). Действительно, те ж другие группы связаны длинной точной последовательностью
...-> Н{~\ (Щтг,п)) Л Я1 (X) i Н{ (Е) Д Яг (К(тт,л)) —> ... (2)
подразумеваются целые коэффициенты), к которой сводится в на-згем стабильном случае спектральная последовательность расслое-жля. fs и, следовательно, определяются "с точностью до присоеди-■еености" ядрами и коядрами трансгрессий т^2, которые, в свою •чг-редь, вычисляются по c(q) и по действию когомологических опе-раокб в Я* (X; Z). Сказанное, впрочем, не означает, что можно
легко дать для Я' (Е; Ъ) "явную формулу". Основная цель этого параграфа — привести такую явную формулу (теорема 2 ниже) для того случая,, когда г = п + 1 и группа 7г конечна. Как нетрудно видеть, в случае конечной ж первая нетривиальная размерность — это как раз п + 1: все предыдущие группы Нг (Е; Ъ) совпадают с Нг (X; Ъ). Для г = п + 1 мы получаем из (2) короткую точную последовательность
ОЯ"+1 (X; г)#п+1 (Е; г)Кегг9п+1-20 , (3)
определяющую элемент группы классов расширений
Ехе(Кегг9п+1'2,Я"+1 (X; Ъ)) .
Мы вычислим этот элемент (следовательно, и группу Я"+1 (Е; Z)), обобщив тем самым рассмотренный в [2, лемма 2.4] случай 7Г = 2т.
. Следующие утверждения являются следствиями стандартных фактов о главных расслоениях (топологических пространств) — см. [0] и т. д.
Лемма 1. Пусть имеется коммутативная диаграмма
К(тгьп) Де, Л XI
(4)
К(тг2,п)Е2
строки которой — главные расслоения. Эта диаграмма может быть дополнена (с сохранением коммутативности) отображением Е1 —► Е2 в том и только том случае, если выполнено соотношение /*с(§2) = 9*с((71)-
Следствие: лемма 2. Пусть
К(тг,п) Л Е Л X
— главное расслоение.
(а) Отображение /: У —* X тогда и только тогда накрывается отображением Р : У —* Е, когда /*с(д) =0.
(б) Любой паре отображений : У —> Е, накрывающих отображение /, можно поставить в соответствие "различающий класс"
6(Гь^)бЯп(¥;тг)
образом, что для любого х£Ни+' (Е; тг;) будет выполнено •гг«:-"". ношение
Р1'(х)-Г;(х) = Р6(Г1,Г2) , (5)
где V : Я" (•.; тг) —► Нп+г (• ; 1Х\) — стабильная когомологическая еперагшя, однозначно определенная соотношением ^(х) = Т(\ж). (в) Для любого отображения ^ : ¥ —» Е, накрывающего /, для любого класса у£Нп (У; 7г) найдется (единственное с точ-ъоетью до послойной гомотопии) отображение /2 • ¥ —> Е с ¿\Ft.F2 ) = у.
В дальнейшем мы будем опускать группу коэффициентов Z как в обозначении групп кбгомологий, так и в обозначении трансгрессий
— т. е. вместо Нг (X; Ъ) и т^2 писать, соответственно, Я' (А') и г*.
1.2. Вычисление г(" в свободном случае. Пусть </ : Е —► X
— К(.Р, п)-расслоение, где группа .Р конечно порождена и свободна. Трансгрессию
гд" : Я" (Г, п) = Нот(.Р, Ъ) Я"+1 (X) можно рассматривать как элемент группы
Нот (Нот (Г, г),Я"+1 (А')) , а ввиду канонического изоморфизма (для любой абелевой группы А)
Нот (Нот (.Г,Ъ),А) (6)
— и как элемент группы Нп+1 (X) © ^ = Яп+1 (X; Г). Лемма 3. г" = с(<?) .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Изоморфизм (6) задается формулой
а ® / н-> (р н-> (р(/) ■ а)
(где аеА, /еГ и ^еНот(^,г)). Для А = ЯП+1(Х) и а ® / = = х€Яп+1 (X; ^Р) эту формулу молено записать в виде
хи((^и <£>*(я)) .
В частности, классу с(у) соответствует гомоморфизм <р (-» так что утверждение леммы можно переписать в виде тождества
г9п(<р) = <Р*с(д) = ^ о т?р(1Р) . (7)
С другой стороны, индуцированный гомоморфизм
<р. : Нп (ВДп); Г) Яп (Вф\п))
переводит универсальный класс 1 ^ как раз в у (понимаемый теперь как элемент группы Я" (К(.Р, гс))). Таким образом, тождество (7) может быть окончательно записано как
и в таком виде это, очевидно, просто следствие естественности трансгрессии.
1.3. Двойственность. Понтрягина — несколько канонических изоморфизмов. Всюду ниже 7г будет обозначать конечную абелеву группу, а тг — группу Нот(тг, Ясно, что группы тг
и 7Г всегда изоморфны, однако соответствие 7г м тг контравари-антно, так что, например, вложению 7Г] С щ отвечает проекция 7г<2 —> 7Г1 и т. д. Заметим, что Нот(7Г, 0/2) можно отождествить с Нош(7г, С*); таким образом тг — это группа характеров группы 7Г, а соответствие 7г и-» 7Г — не что иное как специальный случай двойственности Понтрягина.
Мы будем использовать следующие (очевидно, хорошо известные) канонические изоморфизмы, никак их не обозначая (т. е. считая их просто отождествлениями):
Ех^тг, Ъ) « 7г (8)
Ех1(7г,А) и А ®7Г ' (9)
Нот(7г, А) « А * 7Г (10)
(А — произвольная конечно-порожденная абелева группа). Мы рассмотрим здесь детали построения этих изоморфизмов, имея в виду потребности последующего изложения.
Чтобы получить (8), применим функтор Нош(7г, •) к инъектив-ной резольвенте
о —► г —> р —> СЦЪ 0 (11)
группы Ъ. Согласно определению Ех^я-, *) как производного функтора для Ногп(7г, •), и учитывая, что Нот(7г, = 0, мы и получаем требуемый изоморфизм. Нам будет полезно также иметь более прямое описание этого изоморфизма, при котором элементы группы
интерпретируются как классы расширений (группы 7г по-гщством группы Ъ). Пусть точная последовательность
О ъ С
7Г
О
(12)
зедставляет такой элемент. Вследствие конечности группы 7г мы ямеем Z®Q~G0Q, что дает канонический гомоморфизм С тродолжающнй тождественное отображение Z —► Z. Мы получаем, таким образом, канонический гомоморфизм (12) в (11) и, в частности. группы тг в группу Q/Z. Это и есть соответствие (8).
Для построения изоморфизмов (9) и (10) рассмотрим какую-либо гроектнвную резольвенту
0 -> Г, А
о
тг
0
(13)
группы тг. Применив к (13) функтор Нот(-^) и обозначая через Р*, мы получим точную последовательность
0
Р\ Л Ехг.(тг, г) = тг о.
(14)
Здесь а обозначает индуцированный гомоморфизм Нот(о;, 1^), а е просто естественная проекция, получающаяся при интерпретации Ех1( • , 7л) как производного функтора для Нот( • , Z) (на этот раз по первому аргументу). Более содержательное описание гомоморфизма е получается следующим образом. Пусть ^ : Fl —» Z — элемент группы Р*. Гомоморфизм у можно продолжить до гомоморфизма (13) в (11); ввиду Р\ © = Р,о © это продолжение единственно. В частности, мы получаем гомоморфизм тг —+ Q/Z — зю и есть е((р).
Применим теперь к (14) функтор Нот( ■ ,А). Ввиду того, что является, очевидно, проективной резольвентой для группы 7Г, мы имеем отождествления
Ех1(тг,Л) = Сокег[НотЛ) Нот(^, Л)]
(15)
Нот (л-, А) Кег[Нот(7'7, А) -■> Нот(Г0*,Л)] . (16)
С другой стороны, ввиду Нот(^*,Л) =А® правые части (15) и 16) отождествляются соответственно с
Сокег[Л © Рх А ® ^о] = А © тг
и
Кег[Л 0 -> й © = А * тг ,
что и дает изоморфизмы (9) и (10).
Дадим, наконец, прямое описание изоморфизма (9), исходя из интерпретации элементов группы Ех^Я", А) как расширений. Пусть
'0.-+(17)
представляет элемент из ЕхЦтг, А). Тождественное отображение тг —► тг можно продолжить до гомоморфизма (14) в (17). В частности, это дает гомоморфизм ,Р0* —> А, или иначе (в силу уже упоминавшегося отождествления) элемент группы Ь- Теперь остается спроектировать этот элемент в группу Л ® тг посредством гомоморфизма 1А &е — это и даст нам образ элемента (17) группы ЕхЦтг, А) при изоморфизме (9).
1.4. Некоторые операторы Бокштейна и соотношения между ними. Операторами Бокштейна называются, как известно, связывающие гомоморфизмы в длинных точных последовательностях гомологий и когомологий, индуцированных короткими точными последовательностями групп, коэффициентов. Мы будем, в частности, использовать операторы Бокштейна
р : Я' (X; 0,/Ъ) —»■ Яг+1 (Л') (18)
и
^:Я' (А';тг)-,Я!'+1(А';^) , (19)
индуцированные соответственно последовательностями (11) и (13). Заметим, что образ оператора Д. лежит в подгруппе
Кег[а, : Яг+1 (X; Я) Я1+1 (X;
группы Я'+1 (X; Р)); эту подгруппу можно отождествить с
Кег[1 0 а : Нш (X) @ ^ -> Я,+1 (X) © /Ь] = Яг'+1 (X) * тг ,
что позволяет интерпретировать оператор (3* как гомоморфизм
Я* (X; тг) —► Яг+1 (Л') * тг , (20)
уже не зависящий от выбора резольвенты (13).
1СХ0ДЯ из
Й. Пусть
(17)
[ражение частнр-упоми-рстастся рмомор-
шення
вестно, г ельно-ш точ-ЗДем, в
; (18)
(19) (13).
Заметим, что оператор /Зп (в форме (20)) совпадает с проекцией "точной последовательности универсальных коэффициентов"
0 Я¿ (X) ® тг ~> Я' (X; 7г) Нш (X) *тг -+ 0 .
Таким образом, Кег ¡3* совпадает с подгруппой Нг (X) ® тг группы Яг(Х; 7г), или иначе с образом гомоморфизма
с, : Я' (X; Го) Я1' (X; тг) .
Мы будем называть классы когомологий, лежащие в подгруппе
Кег Д, = Я* (X) ® тг = 1т
группы Я* (Хг; 7г), целочисленными.
Специальный случай оператора Бокштейна /Зл , соответствующий тезольвенте-
(21)
где ат — умножение на т, а £,„ — стандартная проекция, мы обозначаем короче через Д„ (вместо /^гт), а для наиболее существенного для нас 2-примарного случая используем (в §2 ниже) сокращение |»т = /32т (это же обозначение используется и б [1]). Следующее утверждение тривиально.
Лемма 4. Гомоморфизм
является мономорфизмом, если порядок группы Я® (X') взаимно прост с т (в частности, если Я' (А') = 0/, и эпиморфизмом, если порядок группы Я'+1 (X) делит т.
Операторы 0 и /Зт связаны очевидным соотношением: пусть
— стандартное вложение (переводящее 1 в тогда
0 о (г,,,)« = (Зт . (22)
Мы приведем более общее утверждение. Для этого, используя изоморфизм (10), представим (5Х как гомоморфизм
Я*' (X; тг) -> Нот(тг, Я,+1 (X))
, что рятюспльно, как гомоморфизм
3 . Н{1Х;ж)®7г->Н{+1(Х).
/
С другой стороны, мы имеем "свертку"
^Г (X; тг) тг — (X;
действующую по формуле с® £ »-+ И гомоморфизм (18), з:
мыкаюший "треугопъник1''. Сдеэдющее утвер-жд,е!га.е проверяете непосредственно.
Лемма 5. Диаграмма
Н* (X] 7г) © 7Г —Я!+1 (А")
^свертка
коммутативна..
1.5. Формулировка теоремы. Согласно формуле универсальных коэффициентов, группа Нп+Х (К(7г,п)) — область определения гомоморфизма в точной последовательности (3) — изоморфна Ех^У, Ъ) = 7г.. Этот изоморфизм, как нетрудно видеть, совпадает с обратным к оператору Бокштейна
^:Яп(Щтг,гг); д/г)) = 7Т-^Яп+1(К(7г,п)) . (23)
Мы обозначаем группу Кег т?п+1 С к через щ, а естественное вложение 7Го —> 7г — через р. Переходя к двойственным группам, мы имеем проекцию р : % —► яо, индуцирующую гомоморфизм
р* : Нп+1 (X; тг) —> Я"+1 (X; 7Го) .
Мы обозначаем класс р*с(д) через с(д).
Рассмотрим теперь элемент О(д) группы Ех^ло» Нп+1 (X)), представленный точной последовательностью (3). В силу изоморфизма (9), мы можем отождествить группу ЕхЬ(щ, Нп+1 (X)) с группой
ЯП+1(Х) 0 щ С ЯП+1(Х; 7г0) и, таким образом, считать, что 0(д)бНп+1 (X; 7Го). Теорема 2. 0(д) = -с(д).
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена доказательству теоремы 2.
г»+ 1
версаль-Щеления шорфна падает с
I (23)
рое вло-Гам, мы
!> пред-Гзомор-р-груп-
Гву те-
- это элемент в силу изомор-
-1 (18), зa^ •сверяете?
1.6. Вычисление т(" . Трансгрессия тд группы Нот(7г, Я"+2 (X)); в этой же группе фнзма (10) — лежит и класс с(д).
Лемма 6. = /Зтс(д).
Доказательство. Требуется доказать тождество
гчп+1ю = мна
для всех ££7г. Заметим во-первых, что в левой части тождества мы можем вместо £ написать /3(£) (ввиду того, что мы как раз и отождествляем группу Я"+1 (К(7г,п)) с группой 7г посредством изоморфизма (23)). Далее, класс (К(7Г, и); можно записать в виде £*(1,г), где
^ : Я" (К(тг, и); тг) Нп (К(7Г, п); ЩЪ)'
— индуцированный гомоморфизм. Таким образом, левая часть (24) принимает вид гп+1/?£,(1,г)- Правую же часть можно, ввиду леммы 5, записать в виде
Остается воспользоваться перестановочностью трансгрессии с коэффициентными гомоморфизмами и с операторами Вокштейна.
1.7. Сведение теоремы 2 к случаю т£+1 = 0. Рассмотрим, наряду с расслоением </, расслоение
К(тг0,п) Д Ео Л X
с с(до) = с(д). Отображение Щ/т, п) —> Щяо, п), индуцирующее проекцию р : 7г —* 7Го, продолжается (в силу леммы 1) до коммутативной диаграммы
Щтг, п) Д Е Л X
1' . 1-
К(тг0,п) Л Ео Л
¡а.
(25)
индуцирующей, в свою очередь, диаграмму
#п+1 (X) Л Яп+1 (Ео) А Яп+1 (К(тг0,п)) Яп+2
К . к
ЯП+1(Х) Л' ЯП+1(Е) Л Я"+1(К(тг,п)) Д
й.
(26)
Очевидно, что индуцированный гомоморфизм р* совпадает с вложением р : 7Г0 —> 7г; таким образом,
ТЯ0 = Г?|то !
так что точная последовательность (3) для расслоения д0 имеет вид О - Нп+1 (X)'-» Нп+1 (Е0) - тго - 0 , (27)
и диаграмма (26) устанавливает изоморфизм между (27) и (3), откуда 6(до) = ©(<?)•. С другой стороны, класс с(д0) совпадает с с(д0), поэтому как утверждение теоремы 2 для расслоения д, так н утверждение этой Же теоремы для расслоення др, сводятся к одному и тому же — а именно, к равенству 0(до) = —с-(д0)-
1.8. "Геометрическая реализация" резольвенты для тт. Пусть N — некоторое натуральное число, большее 1. Рассмотрим "геометрическую реализацию" точной последовательности (13) — расслоение
(28)
(пространств, а не спектров!), для которого соответствующая последовательность Лт-мерных гомологий совпадает с (13). Для когомо-логий мы получим "точную последовательность расслоения"
О —► Нм (^о,А7) Х ((^,7У)) ((тг,Щ) —> 0 . (29)
Члены этой последовательности отождествляются с соответствующими членами диаграммы (14) и, очевидно, гомоморфизм а* совпадает при этом с 5. Следующая лемма завершает сравнение последовательностей (29) и (14).
Лемма 7. При каноническом отождествлении групп /у. и тт с группами Нм (.Р\, ЛГ; Z) и Нм+1 (тт, Аг; Z) соответственно, гомоморфизм т^ совпадает с —е.
Доказательство. Вначале рассмотрим специальный случай резольвенты (13) — последовательность (21). Расслоение (28) для этой последовательности имеет вид
К{ЪъЩ ^ ^ К{ЪтуЩ , (30)
н мы докажем в этом случае лемму, построив некоторую 11кле-точную аппроксимацию" расслоения (30) и вычислив оба гомоморфизма тЦп II £т
Пусть / : —> — отображение степени т. Обозначим через "цилиндр" отображения /, т. е. результат приклеивания цилиндра [0,1] х к сфере посредством отображения (1,х) (—> /(х). Обозначим, далее, через С£ "конус" отображения /, т. е. фактор-пространство О'^/О х Б". Последовательность отображений
(31)
где д(х) = (0,.г) и /г —■ естественная проекция, представляет собой часть "последовательности Пуппе" для отображения /.
Пространство имеет естественное клеточное разбиение с
двумя ЛГ-мерными клетками еЛ' = £л'\(точка) и е^ = 0 х е'ы и одной (М + 1)-мерной клеткой еы+{ = (0,1) х <?Л\ при этом
г/рл+1 = тем - . (32)
При переходе от к С" клетка исчезает, и соотношение (32) превращается в
гИ41 = те" . ' (33)
Клетка еА' является во всех трех пространствах 5Д', и С^ циклом и представляет образующую в каждой из соответствующих групп гомологий; при таком выборе образующих последовательность
Нм (<?") Л Ны ^ Ны (с£) (34)
как раз и совпадает с (21).
Рассмотрим теперь "сопряженную" с (34) последовательность
Нот (Дат (£>£), г) Л Нот(Я„ Л Ех^Я* (С»),Ъ)
II ' II II (35)
Я" (02) Ны (5^) н»{с»-, т)
{полученную из (34) тем же способом, каким в общем случае последовательность (14) получалась из (13)). Если взять в качестве образующих групп Нм (£>2) и Я" классы Ли//, принима-
ющие на клетке ем значение 1, а в качестве образующей группы Я"(С£; Q/Z) —.класс и, принимающий на клетке ем значение
видеть, будут иметь место равенств вытекает из данного в п.1.3 описани класс VI прцнимет на клетке еы+1 значе ние 1 (что етещуег из соотношения (33)) и является, следовательно образующей группы {£„)■ С другой стороны, из соотношения
(32) следует, что класс д{и), где
д : Нм (5^) Н"+1 (Д^,0 х 5*) = Я*+1 (с£)
— связывающий гомоморфизм пары, принимает на клетке ем+1 значение —1 и, значит, совпадает с —/?(г/). Таким образом, точная последователей ость (35) совпадает с
Нм (-С Ны (5ЛГ) ^ Нм+\ (с£) .
(36)
Заметим теперь, что можно построить коммутативную диаграмму
N
5
А'(г,ло
в
N
С
индуцирующую изоморфизм между (34) и (21), а следовательно (ввиду функториального характера всех конструкций) и изоморфизм между (36) и (21). Для доказательства леммы в нашем частном случае остается только заметить, что при вышеуказанном изоморфизме гомоморфизму д отвечает как раз трансгрессия т^, являющаяся связывающим гомоморфизмом пары атК(Ъ, ЛГ)).
Для доказательства общего случая рассмотрим произвольный гомоморфизм вида (р : Ът —► 7г. Этот гомоморфизм можно продолжить до коммутативной диаграммы
А д Л
(37)
а также до соответствующего этой диаграмме отображения расслоения (30) в расслоение (28). Все это дает (опять ввиду естественности
равенства описания значе рательно гношения
(36)
Гю диа-
эсех конструкций) коммутативную диаграмму
т»+ё
7Г
VI
тОп-Яг,
Вследствие доказанного раньше частного случая леммы, мы имеем
+ Ег,
О, откуда
+ е) С Кег ф .
произвольности (р, отсюда следует т^ + е — 0 (так как очевидно, что пересечение ядер всех гомоморфизмов группы % в циклические группы тривиально).
1.9. Доказательство теоремы 2. Согласно пп. 1.4, 1.6 и 1.7,
мы можем предполагать, что класс с(</) целочнслен (и Кег = 7г). Существует, следовательно, такое расслоение
К(Г0,п) ЛЕо ^Х,
(38)
для которого £*с(уо) = с(д) (где ^ и £ — из диаграммы (13)). Мы можем объединить теперь последовательности (1), (38) и (28) в коммутативную диаграмму
¡а.
<*о
К(тг,п)
30
Ео
40
X
(39)
Ш.
Е
строки и столбцы которой — расслоения). Первые два столбца диаграммы представляют собой отображение расслоения е в доение £о- Это отображение индуцирует гомоморфизм соот-¡ующих длинных точных последовательностей целочисленных когомологий, и в частности, коммутативную диаграмму
Яп+1 (Е) -^Яп+1(тг,п)
Далее, из диаграммы (39) можно извлечь отображение-, расслоени^
«о
Ео
id.
Зо
En
Со
9о
X
дающее, в свою очередь, коммутативную диаграмму
Hn(F0,n) X #»(Fbn)
90
£0
(41)
Я"+1 (X) ^ нп+1 (Е)
Рассмотрим теперь диаграмму
О ->Я" п) -С Я" (Г!, п) -Г""
Я
н + 1
«О
г0'
(тг, п)—>0
id.
(42)
о_»;Я»+1(Х) Я"+1(Е) Я"+1 (7г,п)—>0
Эта диаграмма, коммутативна — составляющие ее два квадрата совпадают, с точностью до обозначений, с (40) и (41). Верхняя строка диаграммы (42) отождествляется, в силу леммы 7, с резольвентой (14) г а нижняя представляет элемент 0(д). Таким образом, диаграмма (42) представляет собой не что иное как "геометрическую реализацию" изоморфизма (9) (в том его варианте, который описан в конце п. 1:3) в применении к элементу О(д).
Теперь, чтобы получить образ элемента 0(д) в группе Нп+* (X; тг), мы должны интерпретировать гомоморфизм
как элемент группы Я"41 (X; /о) и затем взять его образ при индуцированном гомоморфизме
£* : НпЛЛ (X; Г0) ->#п+1 (X; тг) .
■Используя лемму 3, мы имеем
f (.....«п\
с-*\ "ад/
-e*c{q о) = -c(q)
что и требовалось доказать.
Глоенпй! 1.Ю. О группах Я'(Е), I > п + 1. Пусть опять ц : Е X — главное К(7Г, п)-расслоение. Для каждого г > п + 1 мы можем написать аналогичную (3) короткую точную последовательность
(41)
О —> Coker г,
¿-1 "
H1 (Е)
Кег т! —> 0 .
(43)
Предположим теперь, что группа тг не только конечна, но и 2-примарна. В этом случае группы Н' (К(7г, п) с г > п + 1, как хорошо известно, являются 22~модулями (см. [7]). Пусть зафиксирован некоторый изоморфизм
тг « 0Z2„(fc) ,
(44)
(42)
и пусть (К(7г, п); Х2п{к) ) = Нот(7г, ) соответствуют стан-
дартным проекциям. Тогда множество классов когомологий вида
¿iSq7.i:b 6,Sq'(Зхк ,
(45)
ще I — (¿1, ¿2,..., ¿¿) — допустимые последовательности с четным 11 и с ц > 2, образуют базис Z2-мoдyля ф Н1 (К(тг,п)). Действие
¿>71+1
[ трансгрессии тч на классы (45) вычисляется очевидным'образом — в силу естественности трансгрессии,
Tq (ôiSq'xt) =6iSq1 (хк)*c(q) Tq (ôiSq1 /Зхк)=6^ (3{xk)*c{q) .
(46)
Остается, таким образом, лишь вопрос о восстановлении группы ИР (Е) по известным крайним членам последовательности (43). В большинстве случаев эта задача будет легко решаться с помощью следующей очевидной леммы.
Лемма 8. Пусть у£ Coker т' 1
Класс
.q ■ ненулевой класс. Ч*{у)(ИНг (Е) неделим (т. е. порождает в группе Нг (Ж) прямое слагаемое) в том и только том случае, если у £ Im т*'1'7,2.
Достаточно, таким образом, уметь вычислять трансгрессию т^7,2, что делается постредством формул, аналогичных (46), примененных к образующим SqJxk и SqJPxk группы ф Нг (К(тг,n); Z2).
1>П+1
§ 2. Доказательство теоремы 1
2.1. Разложения Постникова. Разложение Постникова тра ¥ — это гомотопически коммутативная диаграмма вида
* Д Х0 91
9.+1
удовлетворяющая условиям:
(1) каждое g,- является К(7Гг-, г)-расслоением;
(2) каждое /¿ является (г + 1)-эквивалентностью, что озна что индуцированные гомоморфизмы tcjY —л^Х,- — мономорф при j < i и эпиморфизмы при j = г + 1.
В действительности мы будем, вместо условия (2), проверять дующее — как легко видеть, достаточное — условие (2'):
(2') гомоморфизмы /* : IP (X,) —> W (Y) являются изомор мами при j < i + I и мономорфизмами при j — i-f 2.
Соответствующее условие в [1] (см. п. 2.3, равенства (7)) в дит чуть сложнее, что связано с возможной бесконечностью гр Ш (Y). В интересующем нас здесь 2-примарном случае условие из [1] как раз и превращается в (2'); более того, в этом случае у вия (2) и (2'), как легко видеть, эквивалентны.
2.2. Когомологии спектра Тт А Кп. Группы Нг (Тт) с г и TorsiT8(Tm) приведены в [1, п. 2.6(e)] (нужно только умно? указанные там образующие на класс Тома Uç.H°(Tm)), a rpj Нг (Кп) с г < 8 —- в [1, п. 2.5(6)]. Пользуясь формулой Кюнне обозначая стандартные спаривания
H* (Tm; А) ® Н*(Кп-, В) ^ Н* (Тт A Â'n; А 0 В)
(для всевозможных А и В) через 0, мы получаем представлен! таблице 1 результат (здесь а и 6 обозначают по-прежнему min{m, и min{m, п +1}; образующие цшслических слагаемых указаны в же порядке, что и сами эти слагаемые).
2.3. Разложение Постникова спектра Tm А К„: шаги Спектр Tm А Кп односвязен, и мы можем взять Xq = Xi = *. Да
г 1-Г образующие
0,1,2 .0 —
3 %Чп © 8пхп
4 —
5 ЙутИ ! ф 2 2« и®8п+1Р{хп)
йа{и„,и ® Хп)
6 ' 22 Ф 2-2» - и ® (8пхп)'2
¿гаУт " 1Г ® 6„Хп
7 г|п Ф г2. Ф г2б и ® 8п(хп)3
р\ и ® 8пхп
' 8а{вти ® хп) .
бьМ О Р(*п))
8 г:] Ф г2» ф и 0 8пхп ■ Ьп+хР{хп)
8{(§с\18тлт • II ® хп)
8Х {ити ® 28пхп)
8т9т ■ ЬТ ® 8пхп
■ 8ти)т ■ II ® 8п+\Р{хп)
Табл. 1: группы Я1' (Тт Л Л'„), г < 8
изложим Х2 = К„(2) (напомним, что К„(г) — это сокращение для Е(2п,г)) и определим отображение
/2 : Тт Л Кп Х2
: ?ловием /!(«} = и ® хп, где а — универсальный класс. Группы Нх (Х2) имеют при г < 8 пять образующих: ¿„а, ^Бс^а, ¿^^„а,
и <¡>lSq4¿nа;. Образы этих классов при гомоморфизме /2* находятся посредством вполне рутинного вычисления, с использованием
" отношений из §2 работы [1] и тождеств 8с|г17 = щи. Например, г~я класса'^^Sq2a:
= б^Ци ® хп) = 8Х (V ® + и,2и ®хп) = - 0 Н^) + ® *») = [1. соотн- (4) и Утв- 2.6(а)]. = II ® ¿1Р(хп) + = [1, соотн. (1)]
= 2" -U ® 8п+хР{хп) + 2а~Ча{шти
Последнее выражение мы- можем, имея в виду изоморфизм
Я5 (Тт А Кп) -И Z2n+X © Z2a
(таблица 1), записать короче как (2"mod2"+1,2а~~1 mod2е), или еще короче — как (2", 2а_1). Записав в этом же духе результаты остальных вычислений, мы получим представление гомоморфизма /2 в виде таблицы 2.
г Я'' образующие образы
0,1,2 0 —
3 Z'2" 6na 1
4 0 _ . —
5 Z2 ¿iSq2n: (2" 2"-1)
6 Z2 ¿iSq'^cv (l,2m"')
7 Z2 ¿iSq4"** (0,0,2"""1,2b"1)
8 Z'2 J (0,0,1,2е-1,0) m<n t (0,0,1,0,0) m>n
Табл. 2: гомоморфизм /| : Я' (Х2) Яг" (Тт Л Кп)
В соответствии с п.2.1, отображение /2 является 4-эквивалент-ностыо, поэтому мы можем положить Хз = Х2 и /з = /2.
2.4. Разложение Постникова: подготовка шага 4 в случае
а > 1. Определим спектр Х4 посредством расслоения
с с(д'4) = ра-\81$([га. Класс с(д\), очевидно, целочяслен, так что — 0 и точная последовательность (3) для расслоения ^ имеет
вид
о - я5 (х2) = г2 я5 (х;) я5 (кй_1(4)) = г2а-! о.
32
Взвду c(q\) ф 0 и теоремы 2, эта последовательность не расщепляйся, поэтому Я0 (XI,) « Ъ>)*. В силу леммы 4, в диаграмме
Я4 (Х2; Z2à) Я4 (X¡,; Z2a) Я4 (Ка_1(4); Z2a)
¿а 6а àa
Я5(х2) ^ Я5 (Х4) Я5 (K0_i(4))
все вертикальные стрелки — изоморфизмы, откуда следует, в частности, что группа Я4 (XJp Z2«) изоморфна Z2a, и что
(j^r : Я4 (X!,; Za.) -, Я4 (Ка_,(4); Z2.)
— эпиморфизм. Мы можем, следовательно, выбрать в качестве образующей 7 группы Я4 (Х^; Z2°) какой-либо из двух классов, удовлетворяющих соотношению
а;г(т) = M • - (47)
me ¿i — стандартная образующая группы
Я4 (K„-_i(4); Z2„) = Hom('Z2«-i, Z2.) .
Рассмотрим теперь три оставшиеся размерности 6, 7, 8, действуя так, как это описано в п. 1.10.
Размерность 6
Ввиду г5, = 0 и Я6 (Ka_i(4)) = 0, точная последовательность (43)
44 .
сводится здесь к изоморфизму
(<¿)* : Я6 (Х2)Я6 (Х^) .
Размерность 7
Группа Я7 (Ka_i(4)) порождена классом ¿iSq2la_i, где 1а_1€Я4■(Ke_i(4); Z2a-i) = Hom(Z2«-i,Z2.-i)
— универсальный класс. В соответствии с соотношениями (46),
rJfàSq2!.^) == ¿iSq2^) = ¿1Sq2¿1Sq2ú? = = ¿!Sq2Sq3S = ^(Sq5 + Sq4Sql)â = ^Sq4^ =
О —Я (X*; = X,
Н7(Г*>
Н'
> 0). Таким обра-ущне, тривиальна, и
а_1(4)) = г2 0 . (48)
Рассмотрим теперь 'Ъ-г-трансгрессию
г : Я6 (Жа_1(4); Ъ2) -> Я7 (Х2; Ъ2)
Мы имеем:
г(3(1 1(1-1) = Зс^с(^) - БсгЗДа = Бс|5а = ¿¡Бс^а .
Таким образом, образующая ¿^с^а группы Я7 (Х2) при "приведении по модулю 2" попадает в образ трансгрессии г. В силу леммы 8, последовательность (48) не расщепляется и, следовательно, группа Я7 (Х4) порождена некоторым классом £ порядка 4.
Размерность 8 - -
Группа Я8 (Ка_1 (4)) порождена классом 6^3с«З^_11 а_г; действуя
как выше, легко проверить, что г*, (¿>|3с126а_11а._1) — 0. Таким образом, трансгрессия снова тривиальна, и мы имеем точную последовательность
о —> я8 (х2) = г2
я8 да
(4)
Я8 (Ка_1 (4)) = Ъ-г —+ 0 . (49)
В отличие от предыдущей размерности, последовательность (49) не расщепляется: легко проверяется, что класс — тос! 2-образ
образующей ¿¡Бс^б^а группы Я8 (Х2) — не принадлежит образу
7 7л
трансгрессии т2 (она просто равна нулю). Следовательно, группа
Я8 (Х4) есть Ъ-2 ф Z2; в качестве одной из ее образующих мы можем взять класс (^"(¿¡Бс}4^«), а в качестве другой — любой из двух прообразов класса <§^2<5а„11а_.1, например ¿|Sq2<5a7. В самом деле,
(>74) * (^ 13Я2<5аТ) = [соотношение (47)} = ¿1(1а_1) = [[1], соотношение (2)| = ¿!8х12<5а„1(1а_1) .
г - образующие
0,1,2 0 —
3 Ъ2п ёпа
4 0 —
5 Та 2® <$а7
б г2 <5^2<57)а'
7 г4 С
8 г2 ф 7,2
Табл. 3: группы Н1 ВД. г < 8
Результаты этих вычислений собраны в таблице 3. В этой таблице мы под а понимаем (г/,)*(о) и т. д. (иначе говоря, отождествляем группы /Р (Х2) с их образами в Н3 (Х'4) при мономорфизме (</4)*). "По построению" имеют место соотношения
518с12а = 2а~16а
(50)
б^а = 2С . (51)
Заметим теперь, что
/Ж) = ШРа-^й) =ра_1(Г,2а-1}= (0,0) ,
I
так что по лемме 2 отображение накрывается отображением
Л : Тт А Кп —► Х4 .
Для вычисления индуцированного гомоморфизма
(Л)* : Н* (Ц) - Н* (Тш А А'„)
я размерностях до 8 достаточно определить его действие на три класса 6а7, ( и ¿¡Бс]2«^ (для остальных образующих действие указано в таблице 2).
Кдасг
Вяащт »50L ■ ■ соогпитпжи с Таблицей 2. мы имеем
Г ЧйПШ = = {2й. 2a"1) ,
откуда следует
(Л№7) = (2"-a+l • (2к +1)%21 + 1)
(с некоторыми к, ¿£Z), или, что то же,
(ñY(Saj) = r-^\2k + l)U®6n+xP{xn)^{2l+l)8a{ujmU®Hn) = = + 1)U ® Ра(*1) + (21+ l)u>mU ® Яп] .
Гомоморфизм
Sa : Я4 (Tw A A'„; Z2.) Я5 (Tm A A'n)
является, согласно лемме 4, мономорфизмом, поэтому полученное выше соотношение равносильно
(йГЬ) = (2к + 1)и®ра(х1) + (21 + 1)ити®хп. (52)
Мы можем упростить вид соотношения (52), воспользовавшись леммой 2: согласно этой лемме, существует другое отображение
/4 : Тт А Кп —> Х^
(также накрывающееч/2) с
Ц&, /4) = k-U® Pa-x(xl) + l ■ Pa-\(umU <g> Хп) .
Ввиду соотношения (47), классу 7 соответствует (в том смысле, о котором говорится в лемме 2) когомологическая операция
¿i : Я* (•; Z2a-i) —> Я* (•; Z2°)
(т. е. гомоморфизм, индуцированный стандартным вложением Z2a-i —* Z20). Очевидно,
iMfí) = 2k-U® Pa{xl) + 21 ■ umU®xn.
Отсюда и из (5) следует
(ЛТ(7) = ^ <Э pa(*l) +.umU ®х» (53)
и, соответственно,
Класс С .
Ввиду соотношения (51), и в соответствии с таблицей 2, мы имеем
2 • (ЛГ(С) = /;(б^ч4а) = (одг-1^-1),
'откуда
(ЛТ(С) = (2п-1Сь2"-1С2,2в-2Сз,26-2С4) ,
где СьС2<Е{0, 1} и Сз,.(4€{±1}. В действительности мы можем считать, что (4 = 1, заменив при необходимости ( на —(.
Класс <$13д2(5аТ
Образ этого класса вычисляется в явном виде из соотношения (53). Опуская это довольно длинное, но вполне стандартное вычисление, приведем окончательный результат:
_ Г (0,1,0,0,0) при т < п.
(ДУ(8^Ча7) = < (0,1,1, 2°"1,0) при гп = п, [(0,0,1,0,0) при т > и.
Объединяя полученные результаты с данными из таблицы 2, получаем описание гомоморфизма (/4 )* в виде таблицы 4.
г Я' образующие образы
0,1,2 0 —
3 2/2" 8па 1
4 0 — —
5 Ъч* ¿а7 (2п-а+1,1)
6 Ъ* ¿18С126пО! (1,2т—
7 14 С - (2п-1Сь2п-1С2,±2а-2,26-2)
8 Ъч © Ъч , Г(0,0,1,2е"1,0) т<п [(0,0,1,0, 0) т > п Г (0,1,0,0,0) т< п < (0,1,1,2е"1,0) т == п 1(0,0,1,0,0) т> п
Табл. 4: гомоморфизм (Д')* : Н{ Я' (Тт Л Кп)
2.5. Разложение Постникова: шаг 4. Определим отображе
ние
д : Т,м Л Л'„ —> Кп+1 (4)
формулой д*(ч]) = и ® РхП1 где // — универсальный класс. Гомоморфизм
д* : Я' (Кп+1(4)) —► Яг (Тто Л Л'п) с г < 8 описывается таблицей 5.
г Яг: образующие образы
0,...,4 0 —
5 2и2п+1 (1,0)
б 0 — —
п 1 г. № [2Г1 (0,0,0,2й-1)
8 г2 (5]8С12^„+177 (1,0,0,0,2''-')
Табл. 5: гомоморфизм д* : Я' (Кп+1(4)) Я': (Тш Л Кп)
Определим, наконец, спектр^Х^ формулой
х _ Г Х'4 х К„+1(4) при а > 1,
4 _ \ Х2 х Кп+1(4) при а = 1
и отображение
/4 •' Тт Л Кп Х4
— как (Д', </) при а > 1 и как (/2,д) при а = 1. Описание гомоморфизма /4* : Яг (X4) —> И1 (Тт А Кп) получается посредством объединения таблиц 5 и 4 (5 и 2 при а — 1), и нетрудно видеть, что мы получаем 5-эквивалентность.
2.6. Разложение Постникова: шаг 5, Определим отображение
формулой
/г : Т„, А Кп - Ка(5)
= I ® при т -
1 6ти>т ■ и ® хп при гп > гг,
г Я' образующие образы
0,...,5 0 - _ —
.6 ¿«А (0,1)
7 0 — —
8 <§,8С12А Г (0,0,1,0,0) т<п \ (0,1,0,2а-1,26-1) т>п
Табл. 6: гомоморфизм /г* : Н{ (Ка(5)) И1 (Тт Л Кп)
где Л — универсальный класс. Гомоморфизм Ь* : Я' (К„(5)) —> И1 (Тт Л Кп) описывается таблицей 6. Положим Ху = Х4 х Ка(5) я /5 = (/4, Ь ). Нетрудно видеть, что отображение /5 — 6-эквивалентность.
2.7. Разложение Постникова: шаг 6, случай т < п. Заметим, что в этом случае а = Ь — гп > 2; Рассмотрим расслоение
к{22«-2 ф г2б-,,б) Л х'6 Д х5
сс(д'в) = (Ра—'?.СРь-1 3<г{2?7)• Ввиду теоремы 2 последовательность (3) лля этого расслоения изоморфна последовательности
_ 'аг2 Ф ¿6—1 _ _ Ра—2 Ф РЬ—1 „ „
г4 ф ъ% —=-► Ф z.2ь---г2«-2 Ф г2б-1, (54)
так что, в частности, Я7 (Х'6) « ф %2ь. Ввиду равенства /|(с(?б)) = 0 и леммы 2, отображение /5 накрывается отображением
/е : Тт А А*„ -> Х'6 .
Определим теперь отображения
гьг2 : ТтА/1'„К„(б)
условиями г* (/г) = V @ х\ и г2(/0 = р\11®хп (где р — универсальный класс) и отображение
/6 : Т,„ А Кп Х6 = Х'б х Кп(б) х Кп(б) 39
формулой /б = (/(5-''1 ,''2). Гомоморфизм
/; : Я7 (Х,;) - Я7 (Т„, Л Л'„)
является, в силу построения, изоморфизмом, а гомоморфизм
/б* : Я8 (Х6) -» Я8 (Тт Л Л'„)
(совпадающий в этой размерности с /5*) — мономорфизмом. В част ности, мы получаем
7г6(т,„ л к„) = 7г6(х6) = ъ\п ® ъ2а-2 ф г.^-,,
причем ввиду аЬ этот результат можно записать и как
Ъ\п ф Ъ.2Ь-2 ф Ъ-^.-У
— в соответствии с формулировкой теоремы 1.
2.8. Разложение Постникова: шаг б, случай т > п > 1. Теперь, очевидно, мы имеем а — Ь — 1 > 2.
Заметим, что (как видно из таблицы 4) в рассматриваемом случае гомоморфизм
/г* : Я8 (Х.г,) —» Я8 (Т,„ Л Л'„) ^ (55)
имеет ненулевое ядро:
Кег/д = КегД' = (¿^^„а + &\$(126ау) . Мы определяем расслоение
ЩХ.2а~ 1 ф Ъ2ь-Х
условием
с(?б) = (А1-1С + ^--г^'Ч,« + Бч26а7) ,р^б^ц) .
В силу леммы б (и п.1.4), трансгрессия т7, переводит стандартные образующие группы
Я7 (1Ка_ 1 (б) х К6_,(б)) = Й2а-1 ф ¿2б-. 40
ететвенно в 8\(Sq4£„o + Sq2baj) и в 0; таким образом, гомомор-м (55) становится (при переходе от Х5 К Х'б) снова мономорфиз-jM. Группа 7Го из п. 1.5 совпадает здесь с подгруппой
2Z2-i © Z2b-i ,
а соответственно проекция р — с - •
Ра-2 Ф id. : Z2a-i ф Z26-i —»• Z2a-2 ф Z26-i . Следовательно, мы имеем
= [Ра-2 Ф id.)c(9e) = (Pa-2C,Pb-i<5iSq2i?)
— то же, что с(д^) в предыдущем пункте. Датънейшпе рассуждения выглядят так же, как и там (с той разницей, что проверка равенства fi(c(r/6)) = 0 требует несколько более длинного вычисления). Мы получаем
7Г6(Тга Л /{„) = 7Г6(Х6) = ъ{п ф Ъ2а-1 Ф Z2*-l ,
причем ввиду а = Ь — 1 этот результат можно опять записать в том же виде как в п.2.7.
2.9. Разложение Постникова: шаг 6, случай т > п = 1. В этом случае ядро гомоморфизма (55) снова тривиально (поскольку класс <5iSq2<5a7 исчезает), и мы определяем Х'6 посредством расслоения
K,(6)^x'6ix5
с c(q'6) — Sq3?/. Дальнейшие рассуждения не отличаются от приведенных в п.2.7.
__S
Литература
1. Жубр А. В. Вычисление групп спинорных бордизмов некоторых пространств Эйленберга-Маклейна// Вестник Сыктывкар. ун-та. Сер. 1 . Вып. 1. 1995. С. 24-46.
2. Жубр А. В. Классификация односвязных шестимерных спинорных многообразий// Известия АН СССР.Сер.мат.. 1975.
Т. 39. С. 839-859.
If- Clfeasikaxkra of simply-connected topologic Г/ Ежёяжт Sore* in Math., Springer-Verlag. 1989
односвязных шестимерных мно ШСССР. 1550.Т. 255.С. 1312-1315.
5. Свнщер Р. М. А;тпе6ранческья топология — гомотопии и гомологии. М.: Наука, 1985. 608с.
6. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971. 680с.
7. Стинрод Н., Эпстейн Д. Когомологические операции. М.: Мир, 1983. 232с.
Summary
Zhubr А. V. Calculation of spin bordism groups of some Eilenberg-MacLane spaces, II
The calculation of some bordism groups which are related to the problem of classification of closed simply-connected 6-manifolds has been continued; proofs of the results announced in the first part are given.
Сыктывкарский университет Поступила 29.03.96
!
