Периоды главных однородных пространств алгебраических торов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПЕРИОДЫ ГЛАВНЫХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОРОВ

А. С'. Меркурьев

Department of Mathematics, University of California (Los Angeles, CA 9GG95-1555, USA), д-р физ.-мат. наук, [email protected]

Анатолию

Владимировичу

Яковлеву

Пусть T — алгебраический тор, определенный над полем F (см. [2] и [3]) и T* —решетка характеров тора T над сепарабельным замыканием Fsep поля F. Непрерывное действие абсолютной группы Галуа Гp поля F на решетке T* факторизуется через конечную группу G, называемую группой разложения тора T. Тор P называется ква-зиразложимым, если решетка P* пермутационная, т. е. найдется Z-базис решетки P*, инвариантный относительно G.

Пусть T — тор с группой разложения G. Резольвентой тора T называется точная последовательность торов

1 ^ T ^ P S ^ 1 (1)

с группой разложения G и квазиразложимым тором P. Классом резольвенты (І) назовем элемент группы ExtG(T*,S*), соответсвующий точной последовательности G-решеток характеров

0 ^ S* ^ P* ^ T* ^ О

(см. [1, гл. XIV, § 1]).

Пусть K/F — расширение полей. Мы рассматриваем T-торсёры (главные однородные пространства) над полем K. Имеется биективное соответствие между множеством классов изоморфизмов таких торсеров и первой группой когомологий Галуа H 1(K,T) := H1 (Гк,T(Ksep)). Период торсёра — это порядок соответствующего элемента в этой группе. В настоящей работе вычисляются периоды общих торсеров в терминах решеток характеров.

1. Общие торсёры

Пусть T —тор над полем F. Выберем резольвенту (1) тора T. Для любого расширения полей K/F и любой точки s Є S(K) прообраз <^>-1(s) является T-торсёром над K. Обратно, для любого T-торсёра E над K найдется точка s Є S(K) такая, что E ^ ^>-1(s). Действительно, правая группа в точной последовательности

S(K) ^ H 1(K,T) ^ H 1(K,P)

тривиальна, так как P — квазиразложимый тор. Общий слой морфизма у>, являющийся T-торсёром над полем функций F(S) тора S, называется общим T-торсёром.

Предложение 1.1. Для любого тора T период общего T-торсёра делится на период любого T-торсёра над любым расширением поля F.

© А.С.Меркурьев, 2010

Доказательство. Так как естественное отображение Н 1(^1, Т) д Н1(^(£), Т) инъ-ективно, заменив ^ полем ^(£), мы можем считать, что поле ^ бесконечно. Пусть а — класс Т-торсёра (1) над Я в группе Н^ДЯ, Т). Тогда класс общего торсёра в Н1 (^(Я), Т) равен обратному образу элемента а относительно морфизма общей точки Брее^(Я) д Я. Так как группа Н1 (^(Я), Т) равна прямому пределу групп Н^Ди, Т) по всем открытым подмножествам и С Я, найдется непустое открытое подмножество и в Я, такое что период обратного образа а|и элемента а в Н^Ди, Т) совпадает с периодом общего Т-торсёра.

Пусть К — расширение поля ^ и Е — Т-торсёр над К. Выберем точку в : Брее(К) д Я в Я(К), такую что класс Е в Н 1(К, Т) является обратным образом элемента а относительно в. Поскольку поле К бесконечно, множество Р(К) плотно в Р. Так как ^ сюръективно, ^ (Р(К)) плотно в Я; следовательно, найдется точка в7 в пересечении <£> (Р (К)) в и и. Заменив в на в7, мы можем считать, что в € и (К), то есть в является морфизмом Брее(К) в и. Класс Е в Н 1(К, Т) является обратным образом элемента а|и относительно в. Следовательно, период торсёра Е делит период торсёра а|и, совпадающий с периодом общего Т-торсёра. □

Из предложения 1.1 следует, что период е(Т) общего Т-торсёра не зависит от выбора резольвенты (1). По предложению 1.1 е(Т) делится на период любого Т-торсёра над любым расширением поля ^.

2. Вычисление периода общего торсёра

Пусть

1 д Т д Д Д Я д 1 (2)

— точная последовательность торов с группой разложения О. Для любой подгруппы Н С С рассмотрим спаривание, индуцированное умножением в когомологиях:

Я0(Н,Т*) ® Н 1(Н,Я*) д Ех-^(Т*,Я*) —Д Ех^(Т*,Я*), (3)

где Т* —группа кохарактеров тора Т, и еогс/н —гомоморфизм коограничения. Предложение 2.1. Следующие условия эквивалентны:

1) для любого расширения полей К/^ гомоморфизм /к : Д(К) д Я(К) сюръекти-вен;

2) общая точка тора Я в Я (^(Я)) принадлежит образу отображения /р(в);

3) точная последовательность (2) имеет рациональное ращепление;

4) существует коммутативная диаграмма гомоморфизмов алгебраических торов с группой разложения О:

1 -----д Р -----д М ------д Я ------д 1

1 д Т ---------д Д —Я -------------д 1

с точными строками и квазиразложимым тором Р;

5) класс точной последовательности (2) в ExtG(T*, S*) принадлежит образу отображения

Ц Hr0(H,T*) <g> HХ(Я,Я*) д ExtG(T*,S*),

ЯСС

индуцированного спариванием (3), где прямая сумма берется по всем подгруппам H в группе G.

Доказательство. 1 ^ 2 тривиально.

2 ^ 3: По предположению имеется точка x £ R (F(S)), такая что образ x в S (F(S)) совпадает с общей точкой. Точка x индуцирует рациональный морфизм g : S -д R, такой что композиция S -д R д S тождественна.

3 ^ 4: Пусть L/F — поле разложения торов с группой Галуа G. По предположению существует рациональное ращепление g : S -д R отображения /. Пусть U С S — область определения отображения g. Решетка характеров S* отождествляется с факторгруппой L[S]X/LX. Кроме того, S* является подрешеткой в Л := L[U]X/LX и фактор-решетка Л/S* является пермутационной (см. доказательство [3, prop. 5]). Пусть M и P — торы с решетками харатеров Л и Л/S * соответственно. Морфизм U д R индуцирует гомоморфизм G-решеток R* д Л и, следовательно, гомоморфизм торов M д R. По построению композиция M д R д S совпадает с отображением M д S, индуцированным вложением S* в Л.

4 ^ 1: Пусть K/F — расширение полей. Тривиальность группы H 1(K, P) означает, что отображение M(K) д S(K) сюръективно. Следовательно, /к также сюръективно.

4 5: Диаграмма в пункте 4 существует тогда и только когда найдутся квазираз-

ложимый тор P и G-гомоморфизм а : T* д P*, такие что класс точной последовательности (2) лежит в образе отображения а* : ExtG(P*, S*) д ExtG(T*, S*). Решетка P* является прямой суммой решеток вида Z[G/H], где H — подгруппа в G. В случае P* = Z[G/H], отображение а задано элементом a £ (T*)H и Ext^(P*, S*) = H 1(H, S*). Отображение а* совпадает с умножением на класс элемента a в H0(H, T*) относительно спаривания (3). □

Теорема 2.2. Пусть T — тор с группой разложения G. Тогда период e(T) общего T-торсёра равен порядку класса тождественного эндоморфизма решетки T* в коядре отображения

Ц H0 (H, T*) <8> H0 (H,T*) д H0 (G, End(T*)). (4)

ЯСС

Доказательство. Выберем резольвенту (1) тора T со свободным G-модулем P*. Зафиксируем натуральное число n. Пусть тор R определяется коммутативной диаграммой гомоморфизмов торов

1TPS1

1

T

R

S

1

с точными строками. Класс Т-торсёра в группе И 1(Р(£),Т), заданного общим слоем морфизма а, равен п-кратному класса общего Т-торсёра. Поэтому е(Т) делит п тогда и только тогда, когда а имеет рациональное расщепление. Утверждение теоремы

П

следует теперь из предложения 2.1, так как Н ^Н, 5*) = ії0(Н, Т*) и Ех^(Т*,$*) = Н0 (С, Епё(Т*)). □

3. Плоские и коплоские резольвенты тора

Пусть 5 — тор с группой разложения С. Тор 5 называется плоским (соответственно, коплоским), если Н-1(Н, 5*) = 0 (соответственно, Н 1(Н, 5*) = 0) для любой подгруппы н с с.

Плоской резольвентой тора Т называется точная последовательность торов

1 д 5 д Р д Т д 1 (5)

с группой разложения С, плоским тором 5 и квазиразложимым тором Р. Коплоской резольвентой тора Т называется точная последовательность торов

1 д Т д Р' д 5' д 1 (6)

с группой разложения С, коплоским тором 5' и квазиразложимым тором Р. Плоские и коплоские резольвенты тора Т существуют согласно [3, Ьешше 3].

Теорема 3.1. Пусть (6) — коплоская резольвента тора Т. Тогда период е(Т) общего Т-торсёра равен порядку класса резольвенты (6) в группе Ех^(Т*, 5 *).

Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 2.2, число е(Т) совпадает с порядком класса резольвенты в коядре спаривания из предложения 2.1 (5). Так как Н 1(Н, 5 *) = 0 для любой подгруппы Н с С, коядро совпадает с Ех^(Т*, 5 *). □

Число е(Т) также можно вычислять при помощи плоской резольвенты тора Т. Теорема 3.2. Пусть (5) — плоская резольвента тора Т. Тогда период е(Т) общего Т-торсёра равен порядку класса резольвенты (5) в группе Ех^(5*,Т*).

Доказательство. По теореме 3.1 достаточно показать, что порядки классов г є Ех^(5*, Т*) и г' є Ех^(Т*, 5 *) плоской и коплоской резольвент соответственно, совпадают. Рассмотрим диаграмму с точными строкой и столбцом:

Ех^(5* ,Р' *)

Ех^(Р * ,5' *)

Иошс(Т *,Т *)

в

Ех^(Т *,5' *)

Ех^(5*,Т *)

Ех4(5 *,5 ' *).

Согласно [3, §1] группы Ех^(Р* ,5 *) и Ех^^^Р *) тривиальны, следовательно, гомоморфизмы а и а' инъективны. Так как г = —в(1т*) и г' = в'(1т*) согласно [1, гл. XIV, § 1], а также поскольку квадрат в диаграмме антикоммутативен ввиду [1, гл. V, предл. 4.1], имеем а(г) = а'(г'), т. е. элементы г и г' имеют одинаковые порядки. □

4. Примеры

4.1. Относительная группа Брауэра. Пусть Ь/Р — конечное сепарабельное расширение полей, О — группа Галуа нормального замыкания Ь' поля Ь и С = Са1(Ь'/Ь). Рассмотрим тор Т = Р^/_р(^т^)/Ст (см. [2, гл.III, §5]). Точная последовательность торов

1 д Ст д В-ь/р(Ст,^) д Т д 1

а

являющаяся плоской резольвентой тора Т, приводит к точной последовательности

Н1 (К,Дь/р(<Ст,ь)) д Н^К,Т) д Н2(К, <Ст) д Н2 (К,Дь/р(<Ст,ь))

для любого расширения полей К/Р. Имеем Н2 (К, <Кт) = Вг(К) — группа Брауэра поля К. По теореме Гильберта 90 и лемме Фаддеева—Шапиро, Н1 (К,Др/р(^т^)) =0 и

Н2 (К, Дь/р(<Ст,ь)) = Н2(КЬ, <Ст) = Вг(КЬ),

где КЬ = К <8>_р Ь. Следовательно,

Н 1(К,Т) =Вг(КЬ/К) := Кег (Вг(К) д Вг(КЬ))

— относительная группа Брауэра расширения КЬ/К.

Группа характеров тора Т совпадает с ядром аугментации Z[О/C] д Z. Из точной последавательности

Н0(О, Z[О/C]) д Н0(О, Z) д Н 1(О,1) д 0

находим Н 1(О, I) = Z/[Ь : Р]Z, причем каноническая образующая группы Н 1(О, I) совпадает с точностью до знака с классом плоской резольвенты в группе Ех^ ^, 5*) = Н 1(О,I). Следовательно, период общего элемента в группе Вг(КЬ/К) для К = Р(Т) равен [Ь : Р].

4.2. Элементы нормы 1. Пусть Ь/Р — конечное расширение Галуа полей с группой Галуа О. Рассмотрим тор 5 = Д^/р(^т,ь) элементов нормы 1 в расширении Ь/Р (см. [2, гл. VI, §8]). Решетка кохарактеров 5* изоморфна ядру аугментации

I := Кег ^[О] д Z). Пусть Р — пермутационный тор с группой кохарактеров Z[G х О] и ^ : Р д 5 — сюръективный гомоморфизм торов, индуцированный О-гомоморфизмом решеток Z[G х О] д I, переводящий (д,д') в д — д'. Положим Т = Кег(^). Таким образом, мы имеем резольвенту (1) тора Т. Написав точную последовательность групп когомологий для этой резольвенты получаем изоморфизм

Н 1(К, Т) ~ 5(К)/Д5(К) = Н-1 (К, (КЬ)Х)

для любого расширения полей К/Р, где Д5(К) —подгруппа группы £(К) элементов нормы 1 в расширении КЬ/К, порожденная элементами вида д(х)/х для всех х £ (КЬ)Х и д £ О. Используя точную последовательность для Т* двойственную (1), получаем изоморфизмы

Н0 (О, Епё(Т*)) ~ Н0 (О, End(Z[О]/Z)) ~ Н0 (О, Епё^)) = Z/|G|Z.

Для любой подгруппы Н С О имеем:

Я°(Н,Т*) = Н-1(Н,1) = Н-2(Н, Z) = НаЪ := Н/[Н,Н],

Я°(Н,Т*) = Н 1(Н,Z[О]/Z) = Н2(Н,Z) = Н := Нот(Н,<^).

Образ отображения спаривания НаЪ ® Н д Z/|G|Z совпадает с kZ/|О|Z, где к — период группы НаЪ, т. е. наименьшее натуральное число к, такое что (НаЪ)к = 1. По теореме 2.1, порядок общего элемента в группе Н-1 (К, (КЬ)Х) для К = Р(5) равен |О|/г, где г —

наименьшее общее кратное периодов групп НаЪ для всех подгрупп Н С О. Нетрудно показать, что г совпадает с произведением максимальных порядков циклических р-подгрупп в О по всем простым делителям р порядка группы О.

Литература

1. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.: Иностранная Литература, 1960.

2. Воскресенский В. Е Алгебраические торы. М.: Наука, 1977.

3. Colliot-Thelene J.-L., Sansuc J.-J. La R-equivalence sur les tores // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4). Vol. 10. 1977. N2. P. 175-229.

Статья поступила в редакцию 10 октября 2009 г.