О ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАЦЕПЛЕНИЯХ В S3 х S3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.164.6

О ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАЦЕПЛЕНИЯХ В S3 х S3 А.В. ЖУБР

Отдел математики Коми НЦ УрО РАН, г.Сыктывкар [email protected]

Решается задача классификации двухкомпонентных трехмерных зацеплений в произведении двух трехмерных сфер с точностью до сохраняющего ориентацию диффеоморфизма. Применяемый метод основан на редукции данной задачи к задаче классификации односвязных шестимерных спинорных многообразий, решенной автором ранее.

Ключевые слова: многомерный узел, многомерное зацепление, классификация, диффеоморфизм

A.V. ZHUBR. ON TWO-COMPONENT THREE-DIMENSIONAL LINKS

IN S3 х S3

Classification of 2-component 3-dimensional links in the product of two 3-spheres up to orientation preserving diffeomorphism is given. The approach is based on the reduction of this problem to classification of simply connected 6-dimensional spin manifolds, the latter problem having been solved by the author earlier.

Key words: high-dimensional knot, high-dimensional link, classification, diffeomorphism

Введение

Все многообразия в настоящей работе предполагаются гладкими. Узлом размерности к в связном многообразии M называется гладкое вложение f : Sk ^ M. Узлы /ь/2 : Sk ^ M диффеоморфны, если существует такой диффеоморфизм ф : M ^ M (от которого мы требуем сохранения ориентации в случае ориентируемого M), что ф о f1 = f2. Диффеоморфизм узлов — отношение, вообще говоря, более грубое, чем изотопия; эти два отношения очевидным образом совпадают лишь для узлов, покрываемых вложенным шаром Dn с M, n = dim M (в частности, это верно для сферических узлов f : Sk ^ Sn).

В одной старой статье автора [1] дается классификация 3-мерных узлов в многообразиях вида M = S3 х S3#... #S3 х S3 с точностью до диффеоморфизма (в частности, статья [1] содержит тем самым "альтернативное" доказательство известного результата Хефлигера [2,3] о группе 3-мерных узлов в сфере S6). В настоящей работе подход, использованный в [1], применяется к технически более сложному случаю 2-компонентных 3-мерных зацеплений в многообразии S3 х S3, т. е. пар узлов

f,g : S3 ^ S3 х S3

с f (S3) n g(S3) = 0. Заметим, что наш подход применим и к общему случаю M = S3 х S3#... #S3 х S3 (т. е. для произвольного 2-связного замкнутого 6-мерного многообразия M), однако мы ограничиваемся случаем M = S3 х S3 из соображений экономии места.

Мы приведем набор инвариантов, определяющих диффеоморфный класс 2-компонентного 3-мер-

ного оснащенного зацепления в Я3 х Я3 и опишем все соотношения между этими инвариантами (теорема 6). Для неоснащенных зацеплений заданного гомологического типа мы выясним, в каких случаях число зацеплений данного типа конечно, и найдем это число (теорема 7). Для удобства читателя мы также приводим сформулированные в аналогичном стиле результаты работы [1] (теоремы 4 и 5).

1. Гомологические типы 3-мерных узлов и зацеплений в многообразии Я3 х Я3

Для каждого узла / : Я3 ^ Я3 х Я3 определен класс гомологий Н(3) = 3] е Н3(Я3 х Я3). Конечно, класс Н) не является инвариантом узла относительно диффеоморфизма (за исключением случая Н(3) = 0). Поэтому мы рассмотрим другой инвариант— число ¿(3), являющееся наибольшим натуральным делителем класса Н(3). В аналогичном смысле будет использоваться обозначение ¿(х) для х е Н3(Я3 х Я3). Наконец, примем, что ¿(0) = 0. Будем говорить, для п > 0, что узел / : Я3 ^ Я3 х Я3 (или класс таких узлов) имеет тип п, если ¿(3) = п.

Рассмотрим теперь некоторое зацепление

: Я3 ^ Я3 х Я3. Пусть ¿(3) = т > 0 (иначе говоря, Н(3) = 0). Мы можем написать Н(3) = тс, где с е Н3(Я3 х Я3) — примитивный класс гомологий, однозначно определенный узлом / (подчеркнем, что именно узлом, а не классом диффеоморфных узлов). Далее, ввиду условия /(Я3) п д(Я3) = 0, мы имеем Н(3) ■ Н(д) = 0. Как нетрудно видеть, отсюда следует, что классы Н(3) и Н(д) линейно зависимы, так что Н(д) = пс для некоторого п е Z. Пара (т,п), очевидно, является инвариантом относительно диффеоморфизма зацеплений; мы будем говорить, что

зацепление (/,д) имеет тип (т,п).

Если, с другой стороны, т = й(/) = 0 (и, таким образом, узлу / нельзя поставить в соответствие никакого однозначно определенного примитивного класса гомологий с), то в этом случае мы просто полагаем п = й(д).

Итак, любому зацеплению (или классу диф-феоморфных зацеплений) /,д : Я3 ^ Я3 х Я3 мы поставили в соответствие его тип — пару целых чисел (т,п), удовлетворяющую условиям:

m ^ 0,

n > 0 при m -

0.

(1)

2. Несколько обозначений

Для любых целых чисел а,Ь, не равных нулю одновременно, мы обозначаем через (а,Ь) их наибольший общий делитель. Дополнительно примем, что (0,0) = 0; таким образом, равенство (а,Ь) = 0 эквивалентно а = Ь = 0. В аналогичном смысле используются обозначения (а,Ь,с) и т.д. Следует при этом иметь в виду, что в некоторых случаях (определяемых контекстом) выражение (а,Ь) может обозначать, как и выше, просто упорядоченную пару.

Для любого натурального й группа классов вычетов Z/d записывается как Zd. Иногда нам будет удобно распространять это обозначение и на случай й = 0, так что Z0 = Z/0 = Z.

3. Оснащенные узлы и зацепления

Оснащенным к-мерных узлом в п-мерном многообразии М называется пара, состоящая из узла / : Як ^ М и накрывающего его нормального ре-перного поля V : Як ^ Уп-к(тМ); эквивалентным (с точностью до изотопии) образом можно определить оснащенный узел как вложение / : Як х Бп-к ^ М. В том случае, когда многообразие М ориентировано, мы будем предполагать, что оснащение V согласовано с ориентацией, т. е., пользуясь другим языком, что вложение /: Як х Бп-к ^ М сохраняет ориентацию (где Як х Бп-к снабжено стандартной ориентацией произведения). Аналогичным образом определяются и оснащенные зацепления.

Под гомологическим типом оснащенного узла или оснащенного 2-компонентного зацепления мы понимаем то же самое, что и в неоснащенном случае — неотрицательное целое число или, соответственно, пару целых чисел, удовлетворяющую условиям (1).

4. Теоремы редукции

Пусть f : Sk х Dn-k ^ M -Мы обозначаем многообразие

M \ f (Sk х int Dn-k) U Dk

■ оснащенный узел.

Sn

— результат сферической перестройки многообразия М по вложению / — как х(М,/). Совершенно аналогично, для любого оснащенного зацепления /,д : Як х Бп-к ^ М через х(М,/,д) обозначается результат "двойной" перестройки по паре вложений (/,д) (или, если угодно, это результат последовательного выполнения двух перестро-

ек, т.е. х(х(М, /),д)). Вообще, для в-компонентного зацепления /1,...,/в : 5к х Бп-к ^ М получается многообразие х(М, /1,..., /в).

Заметим теперь, что в многообразии М = х(М,/) имеется, в свою очередь, оснащенный узел

f : S;

i-k-1

D

k+1

М, образованный сужением

отображения / на сферу * х Яп-к-1 с Як х Вп-к, взятую с ее стандартным оснащением. Точно так же для в-компонентного зацепления

fl,...,fs : Sk х D

k

M

в многообразии М = х(М, /1,... ,/,) стандартным образом возникает зацепление

/1,...,/, : Яп-к-1 х Бк+1 ^ М.

В дальнейшем нам будет полезно "включить" возникающие таким образом узлы или зацепления в результат операции х, в соответствии с чем мы будем позволять такие выражения, как х(М, /) = (М, / ) или х(М, /, д) = (М, / , д ) и т. д.

Ясно, что если оснащенные узлы (М, /) и (М,/') диффеоморфны, то и соответствующие "дуальные" узлы х(М, /) и х(М, /') также диффеоморфны (собственно говоря, многообразие х(М,/) изначально определено лишь с точностью до диффеоморфизма); то же относится и к зацеплениям. Применив ту же самую конструкцию перестройки к узлу х(М, /) (или зацеплению х(М, /1,..., /в)), мы, как нетрудно видеть, вернемся, с точностью до диффеоморфизма, к исходному узлу (или, соответственно, зацеплению). Таким образом, можно сказать, что операция х — это инволюция на множестве классов диффеоморфных узлов и зацеплений.

Все вышеизложенное хорошо известно и вполне тривиально, и представляет собой не более чем соглашение об обозначениях. Этому, однако, можно придать более содержательную форму, если перейти к интересующему нас случаю: (к, п) = (3,6) и многообразие М односвязно. В этом случае "дуальные" объекты — это 2-мерные оснащенные узлы и зацепления в односвязных 6-мерных многообразиях, что сводится просто к классам гомологий. В самом деле, всякий класс гомологий а е Н2(М) определяет, однозначно с точностью до изотопии, вложение / : Я2 ^ М, причем если (и2(М1 ),а) = 0, то вложенная сфера /1 (Я2) обладает нормальным оснащением, а ввиду п2 (ЯО) = 0 это оснащение гомотопически единственно. Имея в виду сказанное, мы будем далее записывать х(М,/) как (М,а) и х(М,/1,...,/.,) как (М,а1,... ,ав), где а и а^ — элементы группы Н2(М), аннулирующие класс Штифеля-Уитни и2(М).

Все это и является основой метода, используемого как в [1], так и в настоящей работе. Это позволяет свести проблему классификации узлов и зацеплений в односвязном замкнутом 6-мерном многообразии к проблеме классификации многообразий этого же типа, снабженных дополнительной структурой в виде одного или нескольких отмеченных двумерных классов гомологий — проблеме, принципиально решенной в работах [4, 5]. При этом дополнительная задача, которую приходится решать — это описание "области значений" данной редукции,

т.е. класса объектов вида х(М,3\,...,3а), соответствующих всем узлам/зацеплениям в заданном многообразии М. Соответствующие результаты для случая узлов и 2-компонентных зацеплений в многообразии 53 х 53 приведены ниже. Теорема 1. Отображение

X ■ (V ■ 53 х Б3 ы Я3 х Я3) ы (М, а)

устанавливает для каждого й > 0 взаимно однозначное соответствие между множеством классов диффеоморфных 3-мерных оснащенных узлов типа й в многообразии Я3 хЯ3 и множеством классов диффеоморфных пар (М, а), удовлетворяющих следующему набору условий: (а) М — замкнутое односвяз-ное 6-мерное спинорное многообразие; (б) группа Н2 (М) изоморфна группе Zd при й = 0 и Z при й = 0; (в) группа Н3(М) изоморфна группе Zd при й = 0 и Z ф Z при й = 0; (г) класс гомологий а — образующая группы Н2(М).

Теорема 2. Отображение

X :(!,Я ■ Я3 х Б3 ы Я3 х Я3) ы (М, а, Ь)

устанавливает для каждой пары целых чисел (т, п), удовлетворяющих условиям (1), взаимно однозначное соответствие между множеством классов диффеоморфных 3-мерных оснащенных зацеплений типа (т, п) в многообразии Я3 х Я3 и множеством классов диффеоморфных троек (М, а, Ь), удовлетворяющих следующему набору условий: (а) М — замкнутое односвязное 6-мерное спинорное многообразие; (б) группа Н2(М) изоморфна группе ZфZd сй = (т,п); (в) группа Н3(М) изоморфна группе Zd при й = 0 и Z ф Z при й = 0; (г) классы гомологий а,Ь — набор образующих группы Н2(М), удовлетворяющий соотношению та + пЬ = 0.

5. Несколько замечаний

Теорема 1, сама по себе более или менее очевидная, является основой работы [1], хотя приведенной выше формулировки там нет Следует заметить, что связь между классификацией 3-мерных узлов в 6-мерных многообразиях и классификацией самих 6-мерных многообразий, о которой говорилось выше, была впервые использована Уоллом в работе [6], правда, в прямо противоположном направлении — чтобы получить классификацию одно-связных замкнутых 6-мерных спинорных многообразий со свободными гомологиями как следствие результатов Хефлигера о 3-мерных узлах и зацеплениях в 6-мерной сфере. В работе [4] эта же классификация получается другим способом, независимым от результатов Хефлигера, что дает, в качестве части результатов работы [1], "альтернативный" способ вычисления группы Хефлигера 3-мерных узлов в Я6.

Что же касается менее тривиальной теоремы 2, то ее доказательство приводится ниже.

6. Доказательство теоремы 2

Это доказательство естественным образом распадается на две части: вначале мы покажем, что для любого зацепления ■ Я3 х Б3 ы Я3 х Я3 тройка (ММ, а, Ь) = х(Я3 х Я3, V, д) удовлетворяет приве-

денным в формулировке теоремы условиям; затем убедимся, что, обратно, любая такая тройка получается указанным образом из некоторого зацепления в Я3 х Я3, имеющего нужный тип.

1. Пусть ■ Я3 х Б3 ы Я3 х Я3 — оснащенное зацепление типа (т,п). Тогда, как было отмечено выше, мы имеем соотношения [V(Я3)] = тс, [д(Я3)] = пс, где с е Н3(Я3 х Я3) — некоторый примитивный класс гомологий. Если с' — сопряженный класс гомологий (т. е. удовлетворяющий условию с ■ с' = 1), то тогда (с, с') — базис группы Н3(Я3 х Я3), и для этого базиса имеют место равенства

'[/(Я3)] ■ с =[д(Я3)] ■ с:

0,

[/(Я3)] ■ с' = т, [д(Я3)] ■ с' = п.

(2)

Мы будем обозначать несвязное объединение двух экземпляров сферы Я3 через 2 ■ Я3. Обозначим через М0 многообразие, полученное удалением из Я3 х Я3 внутренности множества /(Я3 х Б3) и д(Я3 х Б3). Комбинируя точную последовательность пары (М,М0), вырезание и изоморфизм Тома, мы получаем точную последовательность

Н3(М) ы Но(2 ■ Я3) ы Н2(Мо) ы 0.

0 ы Н3(Мо)

(3)

В этой последовательности гомоморфизм 3* интерпретируется как пересечение с трехмерным подмногообразием /(Я3) и д(Я3) С Я3 х Я3:

з*(г) = (V(Я3)] ■ г, [д(Я3)] ■ г) = (тс ■ г,пс ■ г). (4)

Что же касается граничного гомоморфизма д, то этот гомоморфизм переводит стандартные образующие группы Н0(2 ■ Я3) = Z ф Z в классы а0,Ь0 е Н2(М0), представленные 2-мерными сферами, стандартным образом зацепленными с V(Я3) и д(Я3) (так что при стандартном вложении М0 ы М эти классы, переходят, соответственно, в а,Ь).

Из точной последовательности (3) и соотношений (2) и (4) теперь немедленно следует:

Н2М0) - Сокег3* - Z ф Zd,

(с образующими а0 и Ь0) и

^ при й = 0, Z ф Z при й = 0.

Н3(М0) - Кег(з*)

Наконец, многообразие М получается из М0, в гомотопическом смысле, приклеиванием к М0 двух 4-мерных и двух 6-мерных клеток; таким образом, мы имеем

Н2(М)= Н2 (М0)

и

Н3(М) = Н3(М0)/(тс,пс)

(при естественных отождествлениях), что и доказывает первую часть теоремы.

2. Предположим теперь, что, наоборот, имеется многообразие М и классы гомологий а,Ь е Н2(М), удовлетворяющие условиям теоремы 2. Реализовав классы а,Ь вложенными 2-мерными сферами и произведя перестройки, "убивающие" порожденную ими группу Н2(ММ), мы получим 2-связное многообразие

M = x(M,a,b), вместе с оснащенным зацеплением f,g : S3 х D3 ^ M.

Как легко видеть, группа H3(M) оказывается во всех случаях изоморфной Z ® Z. Согласно результату Смейла [7], отсюда следует диффеоморфизм M « S3 х S3.

Пусть теперь полученное так зацепление (f, g) имеет тип (m', n'). Как отмечалось выше, операция х инволютивна; применив ее к тройке (S3 х S3,f,g), мы вернемся к многообразию M и классам a, b, с которых начали. Тогда оказывается, в соответствии с первой частью теоремы, что эти классы удовлетворяют соотношению m'a + n'b = 0. Но классы a,b порождают (в рациональном смысле) одномерное пространство, откуда следует, что множество соотношений между ними также одномерно. Попросту говоря, пары (m,n) и (m',n') должны быть друг другу пропорциональны. Кроме того, ввиду (m',n') = (m,n) = d область допустимых значений коэффициента пропорциональности сужается до ±1 и, наконец, ввиду (l) мы получаем (m , n ) = (m, n).

7. Классификация 6-мерных спинорных многообразий

Как показано в работе [4], замкнутое односвяз-ное 6-мерное спинорное многообразие M определяется, с точностью до сохраняющего ориентацию диффеоморфизма, группой G = H2(M), числом Бетти b3(M), и двумя классами гомологий y(M) g G и /i(M) g H6(G, 2), где G = H2(M) (в работе [4] класс y обозначался через p). Смысл инварианта / очень простой — это образ фундаментального класса [M] под действием канонического отображения (точнее, гомотопического класса отображений) M ^ K(H2(M), 2). Что касается инварианта y, то он связан с 4-мерным классом Понтрягина pl соотношением

4y(M )= Dp\(M ), (5)

где D : H4(M) ^ H2(M) — двойственность Пуанкаре; построение инварианта y, при наличии в группе H2(M) 2-кручений, существенно нетривиально (см. [4,5,8]). Основной результат работы [4] — теорему 1 — можно сформулировать следующим образом:

Теорема3. (а) Изоморфизм ф : H2(M) ^ H2(M') тогда и только тогда индуцируется диффеоморфизмом M ^ M', когда b3(M) = b3(M') и ф переводит классы y (M ),/(M ) соответственно в y (M '),/(M ').

(б) Область значений инвариантов y и / задается соотношениями

(x,y) = (x3,/) для всех x g H2(G, 2; Z6), (6)

(x2y + xy2,/) = 0 для всех x, y G H2(G, 2; Z2). (7)

8. Свойство аддитивности инвариантов y и /

Мы приведем формулировку свойства аддитивности в простейшем варианте, который нам и понадобится в дальнейшем.

Пусть G — абелева группа. Для любого элемента a g G мы имеем гомоморфизм ф : Z ^ G, переводящий 1 в a. Соответствующий индуцированный гомоморфизм ф* : H6(Z, 2) ^ H6(G, 2) переводит стандартную образующую группы H6(Z, 2) = Z

в некоторый элемент группы И6(0,2), который мы обозначаем через а(3). Вычисление элемента а(3) в конкретных примерах не представляет никакой проблемы — для этого достаточно рассмотреть всевозможные "детектирующие" классы когомологий х е И6(С, 2; и их прообразы в И6(Ъ, 2; (см. ниже раздел о классификации неоснащенных зацеплений).

Пусть теперь М и М0 — замкнутые одно-связные 6-мерные спинорные многообразия, причем группа И2(М0) — бесконечная циклическая. Нам будет удобно считать, что фиксирована образующая группы И2(М0), так что И2(М0) отождествляется с Z. Пусть задан некоторый класс гомологий а е И2(М). Представим класс а и фиксированную образующую группы И2(М0) вложенными 2-мерными сферами и построим "связную сумму" многообразий М и М0 вдоль этих сфер (т. е. вырежем из данных многообразий внутренности трубчатых окрестностей сфер и отождествим края этих окрестностей). Результат этой операции мы будем обозначать через М#аМ0. Как легко видеть, группы И2(М) и И2(М#аМ0) канонически изоморфны.

Следующая лемма непосредственно вытекает из интерпретации инвариантов 7 и у как гомоморфизмов, определенных на некоторой группе бордиз-мов [4, теорема 5].

Лемма 1. Имеют место равенства

7(М#аМо) = 7(М) + а ■ 7(Мо),

у(М#аМо) = у(М) + а(3) ■ у(Мо).

Поясним, что у(М0) и у(М0) здесь рассматриваются как целые числа.

9. Классификация узлов в Я3 х Я3

Как известно, группа гомологий И6(Ъ, 2) — бесконечная циклическая, и изоморфизм И6(Ъ, 2) ^ Z дается формулой у ^ (х3, у), где х — какая-либо образующая группы И2(Ъ, 2) = Z. Мы говорим, что х3 — "детектирующий" класс.

Аналогично, хотя и несколько более сложным образом, устроена группа 2). Эта группа —

циклическая порядка й ■ (3,й) (см. [8, §1.1]). В качестве "детектирующего" класса когомологий нужно взять Р3(х), где х — какая-либо образующая группы И2; Zd) = Zd, а Р3 : И2 (X; Zd) ^ И6(Х; Zd<з,d)) — нестабильная когомологическая операция "куб Понтрягина" (по модулю й совпадающая с х ^ х3) [9].

Нам будет удобнее в дальнейшем объединить эти два случая, й = 0 и й > 0, положив Р3(х) = х3 для х е И2(X) (т. е. распространить таким способом операцию Р3 на случай когомологий с целыми коэффициентами).

Всякому оснащенному узлу

! : Я3 х Б3 ^ Я3 х Я3

типа й отвечает, согласно теореме 1, многообразие М и образующая а группы И2(М) « Z/d. Обозначив через х "сопряженную с а" образующую группы И2 (ММ; Z/d) (заданную соотношением (х,а) = 1), мы

определяем два инварианта у^) = (х, у(М)) и ) (Рз(х),>л(М)). Согласно этому определению,

|Ш)) е ^ ф Z при й = 0,

)ф(!)) е Zd ф Zd.(зld) при й> 0.

Соотношение (6) принимает здесь вид

(8)

Y(f) = [(f) mod 6,

(9)

а соотношение (7) оказывается пустым.

В соответствии с частью (а) теоремы 3, пара (MM,a), а вместе с ней и оснащенный узел f, определяется однозначно с точностью до диффеоморфизма парой (y(f),[(f)) (целых чисел или классов вычетов). Это и дает первый основной результат работы [1] — теорему классификации оснащенных узлов:

Теорема 4. Множество классов диффеоморфных оснащенных трехмерных узлов в S3 х S3 типа d находится во взаимно однозначном соответствии с множеством пар (у,[) вида (8), удовлетворяющих сравнению (9). В частности, число классов узлов бесконечно при d = 0 и равно d2/(2, d) при d> 0.

Чтобы получить отсюда классификацию обычных (неоснащенных) узлов, нужно изучить действие замены оснащения на инварианты. Соответствующая задача будет подробно рассмотрена ниже для зацеплений, здесь же мы только приведем ответ Оказывается, что при произвольном изменении оснащения инварианты оснащенного узла изменяются по формуле

(у,[) ^ (у + k, [ + k),

так что разность y(f) - [(f) £ Z/d не зависит от оснащения и, следовательно, представляет собой инвариант неоснащенного узла. Мы получаем второй основной результат работы [1] — теорему классификации для неоснащенных узлов:

Теорема 5. Множество классов диффеоморфных трехмерных узлов в S3 х S3 типа d находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех элементов у группы Z/d, удовлетворяющих соотношению у = 0 mod 6. В частности, число классов узлов бесконечно при d = 0 и равно d/(6,d) при d > 0.

10. Классификация оснащенных зацеплений

в S3 х S3

Мы будем пользоваться обозначениями теоремы 2, в частности, будем использовать символ d как сокращение для (m,n).

Чтобы сформулировать ниже результат вычисления группы H6(Z ф Zd, 2), интерпретируем проекции Z ф Zd ^ Z и Z ф Zd ^ Zd как классы когомо-логий Ж £ H2(Z ф Zd, 2) и y £ H2(Z ф Zd, 2; Zd), соответственно. Через P обозначается нестабильная когомологическая операция "квадрат Понтрягина"

H2(X; Zd) ^ H\X; Z^d})

(совпадающая с обычным квадратом при нечетных d и при d = 0).

Следующая лемма легко получается посредством формулы Кюннета из известных результатов

о гомологиях циклических групп ( [10, теорема 10.4], см. также [8, §1.1]).

Лемма 2. Гоуппа Н6(Ь ф Zd, 2) изоморфна следующей прямой сумме циклических групп:

Z{x3} ф Zd{x2у} ф ЪН24)[хР(у)} Ф %Нз4){РзШ

(рядом с каждой группой в фигурных скобках указан "детектирующий" класс когомологий, задающий соответствующую проекцию).

Пусть снова ММ,а,Ь — как в теореме 2. В случае тп = 0 мы положим гп,2 = т/й и П2 = п/й (так что т2 и п2 взаимно просты) и определим числа то, по условиями det (П ) = 1 и 0 < то < т2; если же одно из чисел т,п равно нулю, то мы просто положим (П) = (о ?). Как нетрудно убедиться, классы а = т\а + п\Ь и в = т2а + п2Ь порождают группу Н2(М), причем во всех случаях (а) « Z и (в) « Zd. Определим теперь классы х е Н2(ММ) и у е Н2(М; Zd) как "сопряженные" с а и в'-

(х, а) = 1, (х, в) = 0, (у, а) =0, (у, в) = 1.

Ясно, что классы х,у однозначно определены зацеплением ^,д) и дают, как выше, проекции группы Н2(М) « ZфZd на соответствующие прямые слагаемые.

Мы определяем, для всякого оснащенного зацепления ^,д), следующий набор инвариантов (целых чисел или классов вычетов):

ю(!,д) = (х,у(М))е Z,

и(!,д) = (у,7(ММ)) е Zd,

ио(/,д) = (х3,КМ))е Z,

^о(!,д) = (х2у,^(М))е Zd,

ю(/,д) = (хР(у),»(М))е Zd.(2,d),

из(!,д) = (Рз(у)ф(М)) е Zd<з,

Соотношение (6) в этих обозначениях превращается в пару сравнений

I Y0 = [о mod6, I Y1 = цз mod 6,

а соотношение (7) — в сравнение

[1 = [12 mod 2.

(10)

(11)

Таким образом, мы имеем один из двух основных результатов данной работы:

Теорема 6. Множество классов диффеоморфных 2-компонентных трехмерных оснащенных зацеплений в Яз х Яз типа (т,п) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством наборов

(70,71,М0,М1,М2,Мз) е ^^ ф ^^ ф^-(2^)

с й = (т,п), удовлетворяющих сравнениям (10) и (11).

Заметим, что число классов зацеплений, в отличие от случая узлов, бесконечно при всех т, п.

11. Классификация неоснащенных зацеплений

в Я3 X Я3

Мы должны опять проследить, как замена оснащения влияет на инварианты оснащенного зацепления, что требует некоторой подготовки. Лемма 3. Для любого элемента (р, д) группы Z ф Zd соответствующий элемент (р,д)(3) группы И6(Ъ ф Zd, 2) = Z ф Zd ф Ъй.{24) ф имеет вид

(р3,р2д,рд2,д3).

Доказательство представляет собой прямую проверку. Заметим, что, хотя д здесь определено лишь по модулю й, тем не менее д2 и д3 определены, соответственно, по модулям й ■ (2,й) и й ■ (3,й).

Пусть тк : Я3 х Б3 — Я6 — оснащенный узел в 6-мерной сфере, представляющий собой стандартно вложенную сферу с оснащением, соответствующим к-кратной образующей группы п380(3) = Z. Пусть многообразие Ек = х(Я6,тк) — результат соответствующей перестройки. Как нетрудно видеть, группа И2(Як) — свободная циклическая, а ее стандартной образующей является класс [тк(* х Я2)]. Инварианты (7,^) принимают здесь значения у(В.к) = ¡¡(Як) = к (с точностью до обозначений, это два последних равенства в формулировке теоремы 4 работы [6]).

Следующее утверждение более или менее геометрически очевидно.

Лемма 4. Пусть : Я3 х Б3 — М — за-

цепление в 6-мерном многообразии М, и пусть х(М, .) = (М, а,Ь,...) — результат перестройки. Пусть отображение /' : Я3 х Б3 — М получено из / посредством "подкручивания" оснащения на к-кратную образующую группы п380(3). Тогда многообразие х(М^',§,...) диффеоморфно М#аЯк, причем диффеоморфизм сохраняет классы а, Ь, . . .

Вернемся теперь к оснащенному зацеплению : Я3 х Б3 — Я3 х Я3 и к обозначениям предыдущего раздела. Разрешив систему уравнений

I а = т\а + п\Ь I в = Ш2а + П2Ь относительно а и Ь, мы получим равенства

а = П2а — и\в = (п2, —п\),

Ь = —т2а + гп\в = (-ГП2 ,т\), откуда в соответствии с леммой 3

(3) , 3 2 2 3\

а ' = (П2, —П2П1,П2П1, —п\),

(3) 3 2 2 3

Применив к обоим вложениям процедуру "подкрутки" оснащения, в силу лемм 1 и 4 и вышеприведенных равенств получим следующий закон преобразования инвариантов (обозначая соответствующие элементы группы п3Я0(3), отождествляемые нами с целыми числами, через, соответственно, к и I):

70 — 70 + кп2 — Ьт2\

71 — — кп\ + 1т 1;

¡10 — ¡0 + кп3 — 1т3;

22

¡1 — ¡1 — кпзп\ + 1т^т\;

Заметим, что в случае т = 0 мы имеем (независимо от п) а = а и Ь = в, другими словами тЛ = п2 = 1 и т2 = п\ =0.

Следующая лемма представляет собой упражнение по элементарной теории чисел:

Лемма 5. Пусть выполнено условие

тп(т2 — п2 ) = 0.

Тогда существует единственный набор оснащений, удовлетворяющий условиям

7о = 0;

0 < но < \т2П2(т2 — и\)| =

\mn(m — \

Н2

^ Н2 + kn2n2 — lm2m2;

Из этой леммы посредством несложного подсчета вытекает

Теорема 7. Пусть числа m и n таковы, что выполнено условие mn(m2 — n2) = 0. Тогда число (неоснащенных) зацеплений типа (m,n) в многообразии Я3 х Я3 конечно и равно

\ mn(m2 — n2 ) \

6 • (2, m, n)

Если, с другой стороны, mn(m2 — n2) = 0, то число зацеплений соответствующего типа бесконечно.

Литература

1. Жубр А.В. Классификация трехмерных узлов в 2-связных шестимерных многообразиях// Записки научн. сем. ЛОМИ, 1976. С. 148-163.

2. Haefliger A. Knotted (4k — 1)-spheres in 6k-space// Ann. Math., 1962. P. 452-466.

3. Haefliger A. Differentiable embeddings of Яп in ,Sn+q for q > 2// Ann. Math. (2), 1966. P. 402436.

4. Жубр А.В. Классификация односвязных шестимерных спинорных многообразий// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1975. С. 839-859.

5. Жубр А.В. Замкнутые односвязные шестимерные многообразия: доказательства классификационных теорем// Алгебра и анализ, 2000. С. 126-230.

6. Wall C.T.C. On certain 6-manifolds// Inv. Math., 1966. P. 355-374.

7. Smale S. On the structure of 5-manifolds// Ann. Math., 1962. P. 38-46.

8. Жубр А.В. Топология односвязных 6-мерных многообразий. Сыктывкар: Изд-во Коми НЦ УрО РАН, 2008. 156 с.

9. Thomas E. A generalization of the Pontrjagin square cohomology operation// Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1956. Vol.42. P. 266-269.

10. Мэй Дж.П. Общий алгебраический подход к операциям Стинрода// Н. Стинрод, Д. Эп-стейн. Когомологические операции. М.: Мир, 1983. С. 151-223.

Статья поступила в редакцию 24.12.2010.

нз ^ нз — kn3 + 1m3.

16