CC BY
16
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Tarski A. On the calculus of relations // J, Symbolic Logic, 1941, Vol, 6, P. 73-89,
2. Вагнер В. В. Теория отношений и алгебра частичных преобразований // Теория полугрупп и ее приложения: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1965, Вып. 1, С. 3-197.
3. Henkin L., Monk J.D., Tarski A. Cylindrie Algebras, North-Holland, Amsterdam, part I, II, 1971, 1985.
4. Schein B.M. Relation algebras and function semigroups // Semigroup Forum. 1970. Vol. 1. P. 1-62.
5. Boner F, Poschel F.E. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 50-70.
6. Bredikhin D.A. On varieties of semi-groups of relations with operations of cylindrofieation // Contributions to General Algebra. 2005.
7. Бредихин Д.А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. вузов. Сер. математика. 1993. JV2 3. С. 23-30.
8. Бредихин Д.А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // ('но. Мат. журн, 1997. Т. 38. С. 29-41.
9. Бредихин Д.А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360. С. 594-595.
10. Andreka Н., Bredikhin D.A. The equational theory of union-free algebras of relations // Alg. Univers. 1994. Vol. 33. P. 12-25.
УДК 517.984
С.А. Бутерин
О КОНСТРУКТИВНОМ РЕШЕНИИ НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
1. Пусть {An}n>0 — спектр краевой задачи Штурма^Лиувилля L = L(q(x),h,H) :
—y" + q(x)y = Ay, 0 < x < п, (1)
U(y) := y'(0) — hy(0) = 0, V(y) := y'(n) + Hy(n) = 0, (2)
где q(x) E L(0, п) — комплекснозначная функция, a h, H — комплексные числа.
В статье исследуется одна неполная обратная спектральная задача для L. Обратные задачи заключаются в восстановлении операторов по некоторым их спектральным характеристикам [1]. Известно, что коэф-L
носильно, например, заданию спектров двух краевых задач для уравнения (1) с одним общим краевым условием. В неполных обратных задачах требуется восстановить оператор по части спектральных данных при наличии о нем априорной информации. Рассмотрим следующую неполную обратную задачу.
Задача 1. По спектру {Ап}п>0 найти потенциал д(ж) на интервале (п/2,п) и коэффициент Н в предположении, что д(ж) на (0,п/2) и Н известны априори.
Различные аспекты задачи 1 в самосопряженном случае исследовались в [2, 3] и других работах (см. список лит-ры в [3]). В частности, известна теорема единственности. В [3] получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи 1 в классе вещественных потенциалов из W2—1 [0,п], причем доказательство конструктивно и основано на методе оператора преобразования. В настоящей статье получен алгоритм решения задачи 1, использующий интерполяцию, и параллельно доказана следующая теорема единственности для несамосопряженного случая.
Теорема 1. Задание спектра {Ап}п>0 однозначно определяет коэффициенты Ь в предположении, что д(ж) на (0,п/2) м Н известны априори.
2. Пусть функции S(ж, А), р(ж, А), ^(ж, А), Ф(ж, А) являются решениями уравнения (1) при условиях
5"(0, А) = р(0, А) = ^(п, А) = и(Ф) = 1,
^(0, А) = и(р) = V= V(Ф) = 0.
Собственные значения Ап, п > 0, краевой задачи (1), (2) совпадают с пулями ее характеристической функции Д(А) := (^(ж, А), р(ж, А)), где (у, г) := уг' — у'г. Очевидно, что Д(А) = V(р) = —иКроме того,
Д(А)
однозначно по формуле
Д(А) = п(Ао — А) П -Ъ-. (3)
1 п
п= 1
Функции Ф(ж, А) и М(А) := Ф(0, А) называются решением Вейля и функ-Ь
Ф(ж,А) = 5 (ж,А) + М (АМ*,^ — , М (А) = — ДА, (4)
где Д0(А) = ^(0, А) — характеристическая функция краевой задачи для уравнения (1) с краевыми условиями у(0) = V(у) = 0. Пусть {АП}п>0 _ спектр последней. Очевидно, что {Ап}п>0 П {АП}п>0 = 0. При п ^ то имеет место асимптотика (см., напр., [1]
12
Ап = п2 + ш + о(1), Ап = (п + -) + ш0 + о(1), ш, ш0 — соп Формулы (4) дают
(ж, А) = Д0(А)р(ж, А) — Д(А)5(ж, А). (5)
Введем обозначения
Д1(А) := — ^'(п/2, А), Д?(А) := ^(п/2, А),
©(А) := р(п/2, А), ~(А) := р'(п/2, А).
Заметим, что Д1(А) — характеристическая функция краевой задачи
—у" + д(ж)у = Ау, п/2 < ж < п, у'(п/2) = V(у) = 0,
а функция
М1(А) :=
Д?(А) Д1(А)
(7)
(8)
является функцией Вейля для (7). Функции £(А) и ©(А), в свою очередь, являются характеристическими функциями краевых задач для уравне-
(0, п/2)
в точке п/2 и общим краевым ус ловием и (у) = 0 в точке 0 соответственно. Пусть {£п}п>0 и {вп}п>0 — последовательности нулей функций £(А) и ©(А)
^п = (2п)2 + Ш1 + о(1), вп = (2п + 1)2 + ш0 + о(1).
(9)
Пусть тп и т(п - кратности нулей <^п и вп соответственно (<^п = ^п+1 = = ... = ^п+ш„ —1, вп = вп+1 = ... = вп+то0—1). Положим
§ := {п : п е М, £п—1 = Ы и {0}, §0 := {п : п е М, вп—1 = вп} и {0}. Далее, согласно (5) будем иметь
Д?(А) = Д0(А)©(А) — Д(А)5 (п/2, А), —Д1(А) = Д0(А)^(А) — Д(А)5"(п/2, А).
(10)
Согласно асимптотике функций ^(ж,А), ^'(ж,А) [1] при |А| ^ то будем иметь
рп ( |/тр|^
¿(А) := Д1(А) + р вт рЛ = ехр ^ 2 <Ш) :=Д(А) — соя^ = 0( 1 ехр (»
(11)
р2 = А. | А|
| ©(А) | > Сехр ( ^, А е С], | Е(А) | > С| р|ехр (^
где Са5 = {А = р2 : |р — 2п — а| > п е Ж}.
п
А е
(12)
Следующее утверждение следует из теоремы об интерполяции целых функций [4], а также может быть доказано непосредственно, исходя из (9), (И), (12).
Лемма 1. Задание чисел
v=0,m°-1, neSo
(13)
однозначно определяет функции, A1(A), A1(A). При, этом
Ai(A) = -p sin РП + d(A), A1(A) = cos РП + do(A), (14)
где
KA)_ d m = V — e(A>
nn
n=0 n=0
если все ш/лм функций в(А), £(А) простые, то есть тп = = 1 для всех п (случай кратных нулей внесет незначительные изменения).
Приходим к следующему алгоритму решения задачи 1 и утверждению теоремы 1.
Алгоритм 1. Пусть задан спектр {Ап}п>0, число К и функция д(ж) на (0, п/2).
1) вычисляем функцию А(А) по формуле (3);
2) строим функции в(А), £(А) по формулам (6) и находим их нули вп, £п, п > 0;
3) находим числа (13) с помощью формул (10), (11);
4) строим функции А1(А), А0(А) по формулам (14), (15);
5) вычисляем функцию Вейля М1(А) краевой задачи (7) по формуле (8) и находим функцию д(ж) на (п/2, п) и коэффициент Н, используя алгоритм 1 из [5].
Работа, выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ и ННС (проекты 07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-а), гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1) и грант,а, Национального исследовательского фонда Катара (проект NPRP 08-345-1-067).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М,: Физматлит, 2007.
2. Hochschtadt Н., Liebermann В. An inverse Sturm — Liouville problem with mixed given data // SIAM J. Appl. Math. 1978. Vol. 34. P. 676-680.
3. Hryniv R.O., Mykytyuk Y.V. Half-inverse spectral problems for Sturm — Liouville operators with singular potentials // Inverse Problems. 2004. Vol. 20. P. 1423-1444.
4, Левин Б.Я. Распределение корней целых функций, М,: Гос. изд-во техн.-теор, лит., 1956,
5, Buterin S.A. On inverse spectral problem for non-selfadjoint Sturm — Liouville operator on a finite interval // J, Math, Anal, Appl, 2007, Vol, 335, iss, 1, P. 739-749,
УДК 517.518.82
И.Ю. Выгодчикова
НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ
ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ
Рассматривается дискретная задача наилучшего равномерного приближения сегментной функции алгебраическим полиномом при наличии ограничений на значения полинома сверху и снизу. Получен критерий оптимальности в форме, сравнимой с известным в теории приближений альтернансом П.Л. Чебышева.
1. Постановка задачи. Пусть n, Ж - целые числа, n > 0, N > n + 1 T = {to <ti < ... <tN} A = (ao,ai,...,an) e Rn+1, pn(A,t) = a0 + a1t + ... + antn. На сетке T заданы сегментные функции Ф(-) и Ф(^): Ф^) = ; У2Д У2,к > yi,k, ^(tk) = = [vi,k; V2,k], V2,k > vi,k,k = 0,N. Обозначим через f (A,tk) = = max {pn (A,tk) - yi,k,У2,к - Pn (A,tk)}, g (A,tk) = max{vi,k - Pn(A,tk), pn (A, tk) - V2,k}, h (A) = maXk=oN g(A,tk).
Рассмотрим задачу:
p(A) := max f(A,tk) —^ min . (1)
k=0N AeD={AeRn+1:h(A)<0}
2. Существование решения. Обозначим
p** = min p (A), ^ (v) = {A e D : p (A) = p**} .
AeD
Рассмотрим задачу о псевдовнутренней оценке [1]:
Ö(A) := mink=o^min{pn(A,tk) - vi,k; V2,k -Pn(A,tk)} —» maxAeM«+i. (2)
Обозначим множество решений задачи (2) через
Q = {A e Rn+i : J (A) = J*} , 12
