О разрешимости управляемых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1810-0198 Исттник I ГУ. т. 19, вып. "2, 201 1

УДК 517.9

О РАЗРЕШИМОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ (с) С. Е. Жуковский, З.Т. Мингалссва

Ключевые слова: управляемая система; смептаппътс ограничения.

Исследована локальная рннрешимость управляемой системы со смешанными ограничениями и дифференциальной связью неявного вида. Получены достаточные условия локальной разрешимости управляемой системы.

I. Постановка задачи. 11усть заданы непрерывные функции / :Е х К" х R"' х R'" —>RA-, д: К х К'1 х Km —»Rs, м1ЮЖ<х:тво J7cR"\ вектор :;'о€К". число Рассмотрим управляемую систему

f{l,x,x,u) О (Г)

с начальным условием

•г(/„) = х0, (2)

смешанным ограничением

g(t. х, и) 0 V* (3)

и ограничением па управление

«(/)€(/ Vi. (4)

Здесь í€R время; т€R" фазовая поименная; n€R"1 управляющий параметр. В качестве допустимых управлений рассматриваются всевозможные функции '«(•) е ü(|/o, ¿o I r].Rmj, т>0, для которых выполняется условие (1). Зд<х:ь и далее С([£о: k) I t].Rot) - множество всех непрерывных функции и: |/q. /(, | т| —• R.'". а сI)(\Iq. Iq + t].W') множество всех iieirpepj>iniю-дифференцмруемых Функции х: |/-о; ¿о + т\ —> R" .

О п р е д е л е и и е 1. Иудам, говорить, что система. (I) — (1) локально разрешима в точке (io-.ro) , если существуют т/ело т>() и допустимое ущпвление и(-) E('([to,to I t],U), такие, что задачи Коши

/(Í, X, х, u(D) = О, х(1о)=хо

нпотраткс |ío-ío I т\ имеет решение .r(-) G OD{\íq, ta I rj.R"), для которого выполняется условие (3). т. с.

g(l, .?:(/,), «(/■)) = 0 V7 с /„. /о I т].

Пару функций (а'(-), «(•)) будем -называть локальным решением задачи (1)—(4).

Осповная пель настоящей работы получение достаточных условий локальной разрешимости управляемой системы. Отметим, что достаточные условия локальной разрешимости управляемых систем со смешанными ограничениями, в которых дифференциальная связь (1) разрешена относительно х, были получены в работах |1| |3|. Задача, в которой дифференциальная связь (1) не разрешена относительно х: рассматривалась в |4|, где были получены условия разрешимости в предположении накрываемости функций / и ц по переменным .i и ti, соответственно. В перечисленных публикациях условия управляемости гарантировали существование локального решения (.т( ). •«(•)) с измеримым управлением «(•). Мы же получим условия существования локального решения с непрерывным управлением.

II. Основной результат. 11редположим, что

(А) существуют точки i/o G U. ('о G М" такие, что J'(lo,Xo-. vo, i/o) 0 и д(1о, хо,гю) 0;

(В) функция у в некоторой окрестности точки (Со.хо.щ) дважды непрерывно дифференту2 о

цируема по и равномерно но (1.x). и отображение (i, х. и) •-»—'-^(1.х,и). определенное

Dir

в некоторой окрестности точки (to,To,vo), липгпнцево по и с константой Липптипа. не зависящей от (1. x). т. с. сущ<!етвует с > () такое, что

О2 g

02f,

^(1./х,щ)\п,р\ - T^iLx./Ua)|//,/il

Пи2

< с\\щ - (/¿II '«

Ж*

для любых //,р е Кот таких, что ||*/||я»» = ||/л|Ь""' = 1» для любых (1.x, «х), (1.x, м-г) из окрестности (¿о, а'о, г/о);

(С) функция / в некоторой окрестности точки (/о. -''о. '-'о-«о) дважды непрерывно дттффе-

о1!

ренцнруема по (./'. и) равномерно по (/../■;. п отображение (t.x,x,u)\

(/..Г..Г. (/).

<У(.г, г/)2

определенное в некоторой окр(;стпости точки (io,.ro;t'o,Ko), липптипево по (х.и) с константой Липшица, не зави<;ящ('й от (1.x).

Для сокращения записи далее будем пользоваться следующими обозначениями

6) {to,XO,rD,1to), Со (io,.To,Wo), fx 7Гт(Ы» /н flu ТгЧСо),

(/г

s-

ö2 /

J.kr = TT7?(Ço), Jtu = .-...-■ (4o); JV.:h = .-, .-..(so): j va = TT^ÎÎo): ffim =

a-r2

()xdu '

0V

дидх

Du21

с)2 y

Положим

W = £'T I spaii{«4)}, C=| 1 Jv" : v e R*\ и G U

U>: + JuV yuu

W =

и

v

: UV I fnu = 0, guu = 0, v G M", и G U \ .

'Г ео ре м а. Пусть отображения / и у удовлетворяют свойствам (А), (В) и (С). Предположим также, что существуют векторы h\ €К'\ h2 €Ы такие, что

Ml I fui>2 0. yj)2 0. .h,;- 'H- Ail + f.ы h\- hi\ + ,/'„;• h2. /?i| + /ü,„|ft2, Ы

y,m\hl,h2\

С I

fxx IhI : Î'I + /™|/î|, ii| + /кг!^: t'I + J\iu\h'2: «I

Цчи\Ь-2,ь\

v

V

e a

G W

' | = MA'

Тогда система (1) (4) локально разрешима ь точке (Lo,Xq).

Приведенный результат представляет собой следствие теоремы о неявной функции в окрестности анормальной точки из [5], а его доказательство использует понятие '¿-регулярности. Подробп(!с о теоремах об обратной и неявной функциях в окрестности анормальной точки см.

I-

III. Доказательство основного результата. Зададим отображение /'': К х R" х R" х

. х Р/ ио формуле

F(l,x..'r. и) =

j'(L,x,x, и) y(l.x.u)

ISSN 1810-0198 Вестник I ГУ. т. 19, вып. "2, 201 1

Применим к отображению /'' георему о неявной функции из [5|.

В силу предположений (А) (С), отображение /•' в некоторой окрестности точки £о дважды непрерывно дифференцируемо по (ту»), равномерно по (t,x). и отображение ()2F

(t.<x.x.u) I-»—:--т(t..x. .f, ?/). определенпое в некоторой окрестности точки £«. лппппщево

о(х. •и)'1

по (.г. и) с константой J ипптипа. пе зависящей от (t.x). Из предположений теоремы следует, что отображение F(l,,x.-) 2-регуляр1ю ио и»|М5 (х, и) в точке (щ, «о) относительно конуса К" х U по направлению h = (/ц, /*г) (см. о пределен ио в [5]). Из теоремы о неявной функции из [5| следует, что существует окрестность О точки (Lq.xq) и непрерывное отображение г- :С> — Е" х С такое, что

F(Lx,p(l,x)) 0 V(i.a-) € О. (5)

Для любого (t.x) G О обозначим через (t, .г) и проекции вектора !f>(t.,х) на мно-

жества R" и U, соответственно. Очевидно, что отображения :(.)—> R", :О —» U иеире-рывиы.

Рассмотрим задачу Копти

х г i (/••'•)• x(/Q) х0.

11оскольку функция уГ] непрерывна, существует число т > 0 и решение х() £ CI)([to. to I r],R") зтой задачи на отрезке [to. to I г]. Отметим, что (t. x(t)) <S О для любого t£\to,to I т|. Зададим функцию «(■) е C([io; к) I т], U) по формуле u(L) = ^-¿{1. х(1)) для любого I, е [<<). к) I I т]. Из (5) следует, что пара функций (.т(). «(•)) является локальным решением задачи (1) (4). □

ДИТКРАТУРА

I. Arulyunov /1.1'.. Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. 2011. V. 90. X«. <>. P. 889-898.

"2. Ajiymwitoa Л .IS., Жукиаскчн O.K. Локальная разрешимость управляемых систем со {.мешанными огра-шчешиши // Дифференциальные уравнения 2010. Т. 46. А'« 11. С. 1561-1570.

'А. Жуковский С.Е.. Мингалсс.аа З.Т. Сутсствопапис и пепрертлттоетт. ттеявпой фупкпии в окростпоспт анормальной точки , / Иосчник Московского университета.. 2012. Сер. 15. Вычис.ч. матом, и киберн. .V" 2. (!. 1015.

4. Жуковский E.G.. Плужмикова Е.А. К вопросу о разрешимости управляемых дифференциальных систем / .' Вестпик Тамбовского упиверситета. Серия: Естоствоптшо и технические пауки. 2013. Т. 18. X» I. С. 1951.

5. Арутюнов Л.Н. Теорема, о неявной функции бия априорных предположении нормальности /, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. А« 2. С. 205-215.

6. Арутюнов А.В. К теоремам о пеявпой фупкции в шторма лышх точках // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16. A'" I.C. .40-:«).

7. Арутюнов А.В. Георема о неяшюй функции иа конусе и окрестности анормальной точки Матем. заметки. 2005. Т. 78. А« 4. С. 619-621.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты .V" 12-01-00-127, N° 13-01-00-191).

Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.

Zhukovskiy S.I']., Mingaleeva Z.'Г.

OX LOCAL SOLVABILITY OF CONTROL SYSTEMS

The local solvability of control system with mixed constraints and dynamic constraints in implicit form is considered. The sufficient condition for local solvability is obtained. Key words: control systems: mixed constraint,s.

Жуковский Сергей Квгеттьевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва. Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа н оптимизации. e-mail: s-e-zhukityancicx.ru

Zhukovsky Sergey ICvgenyevich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Candidate of Physics and Mat,hematics. Associated Professor of Nonlinear Analysis and Optimizat ion Department, e-mail: s-e-zhukSya ndex.ru

Мипга.чеева Зухра Гагировна, Московским государственный университет, г. Москва, Российская Федерация, аспирант, кафедра системного анализа, e-mail: zyxra2iKyandcx.ru

.Ylingaleeva Zukhra Tagirovna, Moscow State University. Moscow, Russian Federation, Postgraduate Student., System Analysis Department, e-mail: zyxra2iiyandex.ni