Существование и непрерывность неявной функции в окрестности анормальной точки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 518.9, 517.97

С.Е. Жуковский, З.Т. Мингалеева2

СУЩЕСТВОВАНИЕ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ АНОРМАЛЬНОЙ ТОЧКИ*

Исследуются решения уравнения F(x, а) = 0 с неизвестным х и параметром а в окрестности заданного решения (ж*,<7*) при дополнительном ограничении х £ U, где U — замкнутое выпуклое множество. Приводятся достаточные условия существования непрерывной неявной функции без априорного предположения нормальности точки ж*. Полученный результат применяется к исследованию локальной разрешимости управляемых систем со смешанными ограничениями.

Ключевые слова: неявная функция, анормальные точки, управляемые системы.

1. Введение. Задача о существовании и непрерывности неявной функции имеет множество приложений в различных областях математики, в частности в теории оптимального управления и в теории экстремальных задач при получении необходимых условий минимума. В настоящей работе приведены достаточные условия существования и непрерывности неявной функции в окрестности анормальной точки. Полученный результат применяется к задаче локальной разрешимости управляемой системы.

2. Постановка задачи. Пусть заданы банаховы пространства X, Y, топологическое пространство S, выпуклое замкнутое множество U С X. Пусть даны отображение F : I х S 4 F и точки ж* € U, с* € S, для которых = 0. Рассмотрим уравнение

F(x, а) = 0, х G U, (1)

в котором х — неизвестное, а а — параметр. Будем говорить, что для уравнения (1) существует непрерывная неявная функция в окрестности (ж*,с*), если существует окрестность О точки с* и непрерывная функция x-.O^U, такая, что F(x(a),a) = 0, ж(ст*) = ж*.

Известно (см., например, [1]), что неявная функция в задаче (1) существует, если F строго дифференцируема по х равномерно по с в точке (ж*,с*), множество U является замкнутым выпуклым конусом и выполнено условие регулярности Робинсона

dF

—-(ж*,бг*)сопе(?7 - {ж*}) = Y. (2)

ох

Очевидно, условие (2) существенно. Так, например, если X = U = Ж2, Y = S = Ж, ж* = (0, 0), ст* = 0, F(x,a) = х\ + х\ — <7, где ж = (ж1,жг), то (2) нарушается, и, как несложно видеть, неявная функция в окрестности (ж*,ст*) не существует. Если же в этом примере положить F(x,a) = х\ — х\ — сг, то условие (2) также не выполняется, однако неявная функция в этой задаче существует, непрерывна, но не липшицева.

Вопрос о существовании неявной функции в задаче (1) в случае, когда условие Робинсона не выполняется, был подробно изучен A.B. Арутюновым в работах [1-4] в предположении, что множество U является замкнутым выпуклым конусом. В настоящей работе этот результат обобщен на случай, когда U — замкнутое выпуклое множество.

3. Основной результат. Прежде чем сформулировать основной результат, введем следующее определение. Пусть G : X ^ Y — заданное отображение, G(x*) = 0. Относительно G будем предполагать, что оно дважды дифференцируемо в некоторой окрестности точки ж*. Обозначим

U = cone (U — {ж*}).

1 РУДН, факультет физико-математических и естественных наук, кафедра нелинейного анализа и оптимизации, асс., к.ф.-м.н., e-mail: s-e-zhukQyandex.ru

2 Факультет ВМК МГУ, студ., e-mail: zyxra2Qyandex.ru

* Работа выполнена при поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 20092013 годы" (контракт № 16.740.11.0426 от 26 ноября 2010 г.), гранта РФФИ № 12-01-00506, № 12-01-91150.

Определение 1. Пусть существует

dG

h£U: h G ker —— (ж*), ox

d2G dG

■-^{x*)[h,h] G -faMU.

Отображение С назовем 2-регулярным в точке ж* относительно множества II по направлению /г, если имеет место

dG d2G f

дх{х*)Ы+ дх2 {х*>

dG

h,U П ker —— (ж*) дх

= Y.

Следующая теорема дает достаточные условия существования неявной функции в задаче (1). Всюду далее будем предполагать, что ^ удовлетворяет следующим предположениям.

(Е1) ^ дважды непрерывно дифференцируемо по х равномерно по с в некоторой окрестности точки

д2Р

(ж*,с*). При каждом с, достаточно близком к с*, отображение (•,а) удовлетворяет условию

их

дР д2Р

Липшица с константой, не зависящей от а. Отображения -Р(-), (•), „ (•) непрерывны в окрест-

ох ох2

ности точки (ж*,ст*).

Положим

8F

V = —(х*,ст*)И.

(F2) Линейная оболочка spanF конуса V замкнута, и это подпространство топологически дополняемо.

Через 7Г будем обозначать некоторый линейный непрерывный оператор, проектирующий Y на какое-нибудь подпространство, дополняющее spanF. Через Вх(х,г) всюду далее будем обозначать замкнутый шар с центром в точке ж G X радиуса г ^ 0.

Теорема 1. Пусть относительная внутренность riF непуста, и отображение F(-,a*) 2-регулярно в точке ж* относительно U по некоторому направлению h G X. Тогда для произвольного вектора I G riF существуют такие окрестность О точки ст*, числа с ^ 0, 8 > 0 и непрерывное отображение ж(-) : О —t U, что F(x(a),a) = 0 и

||ж(бг) - ж*|| < c(Ai(<t) + Д2(бг) + А3(бг) + А4(ст)) Vct G О. (3)

Здесь

OF ,

: х G span(i7 — {ж*}), ||ж|| ^ 1

Ai(c) = sup

А2(а) = sup

7Г—— (ж*, а)х Ох

8F

дх

X % ; (Т ) X

8F

: ж G ker —— (ж*,аЛ ПК, ||ж|| ^ 1 Ох

А3 (а) = ||^(ж*,ст)||, Д4(<т) = р(^(ж*,ст),У)1/2, р — расстояние от точки до множества, = cone(By(l, 8)) П span У.

4. Вспомогательные утверждения. Доказательство теоремы 1 основано на редукции задачи (1) с выпуклым множеством 17 к задаче, в которой 17 уже является выпуклым конусом, с последующим применением результата из [1]. Введем необходимые обозначения. Пусть X — банахово пространство, К С X — замкнутый выпуклый конус. Заданы отображение /* : .V ■ -т V и точка ж* С К, для которой _Р(ж*,ст*) = 0. Рассмотрим уравнение

Р{х, сг) = 0, ж € К.

Приведем достаточные условия существования неявной функции для этой задачи.

Обозначим _

~ _ _

1С = К + в рап{ж*}, С = —(ж*, (7*)/С.

Всюду далее будем считать, что F удовлетворяет следующему предположению.

(F3) Линейная оболочка span С конуса С замкнута, и это подпространство топологически дополняемо.

Через Р будем обозначать линейный непрерывный оператор, проектирующий Y на какое-нибудь подпространство, дополняющее span С.

В [1] доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть F удовлетворяет предположению (F1), относительная внутренность riС непуста и

~ ~ OF _ d2F _ --

3h G /С П ker — (ж*, с*) : —-jj^-j(ж*, ст*)[h, h] G C,

„ d2F + \x*->a*)

-- dF _

h,K.(l ker -— (ж*, с*) ox

= Y.

Тогда для произвольного I €. пС существуют такие окрестность О точки ст*, числа с ^ 0, 8 > О ы непрерывное отображение ж(-) : О II, что Р(х(а),а) = 0 и

(а) - ж»|| sC c(Ai(<t) + А2(<т) + А3((т) + Д4(<т)) Vc g О.

(4)

Здесь

Ai(c) = sup ■

OF _ Р—(х*,а)х

dF

\Ж* , 0" )Ж

Ох

: ж G spanK, ||ж|| ^ 1

: ж g ker —г(ж*, ст*) п /С, ||ж|| ^ 1 Ох

Д2(бг) = sup ■

Дз(с) = F(x*,cr) , А4(о-) = р(—с), С^)1/2, Сд = сопе(Бу(/, <5)) П spanC.

5. Доказательство теоремы 1. Пусть X = Жх X — линейное пространство векторов ж = ( ж) с нормой ||ж|| = тах{|х|, ||ж||}. В силу предположений теоремы X — банахово пространство. Положим

ж* = (1, ж*), К = ^х = Х(1, и) X : А^О, и £ U | .

Заметим, что К CI является замкнутым выпуклым конусом.

Рассмотрим отображение F : ж*, 1/2) определенное равенством

а) = F (ж/х, <т) V5 = (х, ж).

Из предположений теоремы очевидно следует, что отображение F дважды непрерывно дифференцируемо по ж равномерно по с в некоторой окрестности точки (ж*, с*) при каждом а из некоторой окрестности П точки с*. Для a G О введем обозначения:

dF d2F dF _ ~ d2F ^

А(ст) = —(ж*,ст), <2(ст) = -^(ж*,ст), А((т) = — (ж*,ст), =

Непосредственным вычислением проверяется, что эти отображения удовлетворяют соотношениям

А(ст)ж = А(а)(х — Xх*)-, (5)

Q(a)[x,x\ = Q(a)[x,x] - 2(А(а)х + Q(a)[x*, ж])х + (2А(а)х* + Q(a)[ж*,ж*])х2 (6)

для любого ж = (х, ж) G X.

Из определения 1 и предположений теоремы следует, что существуют £ € U, т > 0, такие, что h = т(£ — ж*), тА(а*)(£ — ж*) = 0, — ж*, £ — ж*] G А{а*)и и

У + rQ(<r*)[i - ker А(<т)] = У.

Покажем, что отображение F, конус К и вектор h = г(0,£ — ж*) удовлетворяют предположениям теоремы 2. Отображение F удовлетворяет предположениям (Fl), (F2), следовательно, F удовлетворяет предположениям (Fl), (F3). Кроме того, из (5), (6) следует

Afajh = тА(а*)(£ - ж*) = 0, С = У,

-Q(<7*)[M] = -r2Q(a*) [£ - ж,, С - ж,] G У = С,

С + К, П ker А(<7*)] = У + tQ [£ - ж,, сопе(?7 - ж,)] = Y.

Из равенства С = У вытекает, что т\С

Согласно теореме 2, существуют такие окрестность О точки с*, числа с ^ 0, 5 > 0 и непрерывное отображение ж(-) : О —> К, ж (а) = (х(ст), х(а)), что F(x(ct),ct) = 0, и выполнена оценка (4). Поскольку х(°*) = 1; не теряя общности, можем считать, что хО7) > 2-1 для любого а £ О. Очевидно, что функция ж : ст х_1((Т)ж((Т); определенная на О, является искомой. Докажем неравенство (3). Из (4) следует, что

\\х(сг) - ж*|| < const(Ai(ст) + Л2(а) + А3(сг) + А4(сг))

для любого а £ О. Следовательно, для доказательства (3) достаточно показать, что для любого j = 1,4 существует константа Cj, такая, что Aj(a) ^ CjAj(a) для любого a G О. Для j G {3,4} этот факт очевиден. Докажем его для j G {1,2}.

Для произвольного ж G span К, ||ж|| ^ 1 существуют п G N, fij G К, A j > 0, Uj G U, такие, что

•r 1 X>I'J-Е X>I'J

и

J /'

Vi

3 = 1

^ 1,

Следовательно,

||РА(ст)ж|| =

/'Л(гт) ^^ Л//'./( "./

i=i

i=i

^ Ci ||7ГА(СТ)Ж|

^ 1.

Здесь 7г = Р, ж = 1 — ж*) G span(?7 — {ж*}), ci = (1 + ||ж*||). Отметим, что

i=i

|ж|| < с

-1

Y1 Х^з

з=1

U-;

Y1 Х^3

3 = 1

*

= с^(l + ||ж*||) = 1.

Таким образом, Д^ст) ^ С1Д(ст) для любого а С О. Аналогичными рассуждениями доказывается, что существует с2 > 0, такое, что А2(а) ^ с2А2(а) для любого аеО.

6. Приложения. Локальная разрешимость управляемых систем. Рассмотрим управляемую систему

х(г) = ¡(г,х,и) (7)

с начальным условием смешанным ограничением и ограничением на управление

ж (i0) = ж0, g(t, ж, и) = О W

(8) (9)

«(¿) € ¿7 VI (10)

Здесь £ € Ж — время; ¿0 — заданный начальный момент времени; жо — заданная начальная точка; ж € К™ — фазовая переменная; и € Ж™ — управляющий параметр; / : 1 х 1" х Ж™ —> Жп

15:1x1™ х Ж™ Ж^ — заданные функции; II С Ж™ — заданное замкнутое выпуклое множество. В качестве допустимых управлений рассматриваются всевозможные функции и(-) € С([1 о, ¿о +г], Ж™), г > 0, для которых выполняется условие (10). Здесь С([1 о, ¿о + т],Жто) — пространство непрерывных функций, действующих из [¿о, ¿о + т] в Ж™.

Определение 2. Будем говорить, что система (7)-(10) локально разрешима в точке (¿о,жо), если существуют число г > 0 и допустимое управление и(-) € С(\ро, ¿о + т],Жто), такие, что задача Коши

Ж = /(¿, X, и(1)), х(1о) = Жо

на отрезке [¿о,¿о + т] имеет решение ж(-), для которого выполняется условие (9), т.е.

д(1,х(1),и(1)) = 0 +

В работе [5] была исследована локальная разрешимость системы (7)—(10) в предположении, что I — замкнутый выпуклый конус. В этом пункте результаты из [5] обобщены на случай, когда II является замкнутым выпуклым множеством.

Пусть заданы точка и о € II, для которой жо, «о) = 0, и некоторое 7 > 0. Положим О = [¿о,<о+7] х ВКп(хо,-у).

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что функция / : I) х Ж™ ^ Жп удовлетворяет условиям Каратеодори: при п. в. £ функция /(¿, •,•) непрерывна; при любых (ж, и) функция /(-,ж,и) измерима; существует такая суммируемая функция ф : Ж ^ Ж, что \/(1,х,и)\ ^ ф(1) для п. в. £ € [¿о, ¿о + т], для любых и € х € Жо,7).

Предположим, что д непрерывна в некоторой окрестности точки (¿0, жо, «о) и для любых (¿, ж) € -О функция д дважды непрерывно дифференцируема по и на 7), причем эти производные непре-

д2д

рывны по совокупности переменных в окрестности точки (¿0, хо,щ), а отображение ж, •) удовле-

оиг

творяет условию Липшица на В^т{щ, 7) для любых (¿, ж) £ I) с константой Липшица, не зависящей от (1, ж).

Теорема 3. Пусть существует такой вектор к € Ж™, что функция д(1о, жо,-) 2 -регулярна по переменной и в точке и о относительно II по направлению к. Тогда система (7)-(10) локально разрешима в точке (¿о,жо).

Доказательство. Согласно теореме 1, для I = 0 существуют такие окрестность О точки (¿о,жо) и непрерывное отображение (р(-) : О II, что

д{ь,х, ¡¿?(г,ж)) = о \/(г,ж) е о. Подставив р(1,х) в (7), получим задачу Коши

х =/(1,х,ср(1,х)), ж(£о) = жо- (11)

Рассмотрим функцию /(¿, ж) = /(1,х,ср(1,х)). Перепишем задачу (11) в виде

x = f{t,x), ж(г0) = ж0.

Из теоремы 1.4.22 [6] и условий Каратеодори следует, что функция £ /(¿, ж) суммируема при любых ж € -Вк»г(жо,7). Функция ж /(¿, ж) непрерывна как суперпозиция непрерывных функций при п. в. ¿6 [¿о, ¿0+7]. Кроме того, существует такое 7, что если (¿, ж) € [¿о, ¿0+7] хБКп(жо, 7), то ж)—мо| ^7 и |/(£, ж)| ^ Ш € + 7], ж € Дкп(жо,7). Следовательно, согласно теореме о локальной

разрешимости задачи Коши (см. теорему П.4.1 из [6]), существует такое г > 0, что на отрезке [¿о, ¿о+т] задача (11) имеет решение ж(-). Тогда непрерывная функция и(-), заданная равенством и = ср(1,х(1)), í € + т], является допустимым управлением.

Авторы выражают благодарность своему научному руководителю профессору Араму Владимировичу Арутюнову за постоянное внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арутюнов А. В. К теоремам о неявной функции в анормальных точках // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. 2010. 16. № 1. С. 30-39.

2. Арутюнов А. В. Накрывание нелинейных отображений на конусе в окрестности анормальной точки // Матем. заметки. 2005. 77. № 4. С. 483-497.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2012. № 2

15

3. Арутюнов A.B. Теорема о неявной функции на конусе в окрестности анормальной точки // Матем. заметки. 2005. 78. № 4. С. 619-621.

4. Арутюнов A.B. Теорема о неявной функции без априорных предположений нормальности / / ЖВМиМФ. 2006. 46. № 2. С. 205-215.

5. Арутюнов A.B., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференц. уравн. 2010. 46. № 11. С. 1561-1570.

6. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М., 1977.

Поступила в редакцию 10.11.11

EXISTENCE AND CONTINUITY OF IMPLICIT FUNCTION IN A NEIGHBORHOOD OF ABNORMAL POINT

Zhukovskiy S. E., Mingaleyeva Z.T.

Equation F(x, a) = 0 with unknown x and parameter a is studied in a neighborhood of a given solution (x*, <7*) under additional assumption x € U, where U is a given closed convex set. Sufficient conditions for existence and continuity of implicit function for this problem are obtained without a priori assumption of x* to be a normal point. This result is applied to the problem of control systems local solvability.

Keywords: implicit function, abnormal point, control system.