Достаточные условия локальной разрешимости управляемой системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.8, 517.929

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛОКАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ

© С. Е. Жуковский З. Т. Жуковская

Ключевые слова: управляемая система; многозначное отображение; накрывающее отображение.

Исследуются управляемые системы со смешанными ограничениями, геометрическими ограничениями на управление и многозначной дифференциальной связью. Для этих систем получены достаточные условия локальной разрешимости.

1. Введение и постановка задачи

В настоящей работе рассматривается следующая управляемая система:

0 € F(t,x,x,u) Vt € [to, ti], x{to) = a,

0 € G(t,x,u) Vt € [to,ti], u(t) € U Vt € [to,ti].

Здесь F : [fe,^] x Rra x Rra x U ^ Rk, G : [fe,^] x Rra x U ^ Rs — заданные многозначные отображения (всюду в этой статье мы полагаем, что многозначное отображение — это отображение, которое каждой точке области определения ставит в соответствие некоторое непустое замкнутое множество), U Q Rm — заданное непустое замкнутое множество, a € Rra — заданный вектор, t0,t1 — заданные числа.

Обозначим через L^([to,ti], U) метрическое пространство всех измеримых существенно ограниченных функций u : [to,ti] ^ U с метрикой

рж(и, v) = vrai sup \u(t) — v(t)\ Vu,v € L^([to, ti], U). te[to,ti]

При U = Rm в пространстве L^([to,ti],U) введем норму по формуле

||u|| = vrai sup \u(t)\ Vu € L^([to, ti], U). te[t0,ti]

Через AC^([to,ti], Rra) обозначим пространство абсолютно непрерывных функций x : [to,ti] ^ Rra, имеющих производную в L^([to,ti], Rra).

Будем называть управляемую систему (1) локально разрешимой, если существуют число т > 0 и функции u() € L^([to,to + t],U), x € AC^([to,to + т], Rra) такие, что 0 € G(t,x(t),u(t)) для почти всех t € [to,to + т] и функция x( ) является решением задачи Коши 0 € F(t,x,x,u) Vt € [to,to + т], x(to) = a. Пару (x,u) в этом случае будем называть решением системы (1) на отрезке [to,to + т].

Всюду далее будем предполагать, что отображения F и G удовлетворяют условиям Каратеодори, т. е.:

1) отображения F(■,x,x,u) и G(-,x,u) измеримы для всех x,x € Мга, u € U;

2) отображения F(t, ■) и G(t, ■) непрерывны для п.в. t € [to,ti];

3) для каждого R > 0 существует число M > 0 такое, что если \x\ + \x\ + \u\ < R, то \y\ < M для п.в. t € [t0,t1], для всех y € F(t,x,x,u).

Определение непрерывности и измеримости многозначного отображения можно найти, например, в [1].

Целью данной работы является получение достаточных условий локальной разрешимости системы (1). В случае, когда отображения F и G однозначны, достаточные условия локальной разрешимости управляемой системы приведены в [2, 3]. Эти результаты были получены на основе теории накрывающих отображений, разработанной в [4, 5]. Здесь мы получим условия разрешимости задачи (1), используя теорию накрывающих отображений, в частности, теорему о двойной неподвижной точке из [6]. Отметим, что накрывающие отображения широко применяются при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной неизвестной функции (см. [7, 8]), при исследовании абстрактных и интегральных уравнений Вольтерра (см. [9]), неявных дифференциальных включений (см. [10]) и т. д.

2. Основной результат

Приведем определения, необходимые для формулировки основного результата. Пусть X, Y - метрические пространства с метриками рх, Py, соответственно, задано число а > 0. Для произвольных x € X, r > 0 обозначим через Вх(x,r) замкнутый шар в пространстве X с центром в точке x € X радиуса r > 0. Кроме того, положим

Вх(A,r)=[J В(a,r) VA с X, Vr > 0.

aeA

Определение 1. Многозначное отображение F : X ^ Y называется а -накрывающим, если

F(Вх(xo, r)) 5 By(F(xo),ar) Vr > 0, Vxo € X

Определение 2. Будем говорить, что многозначное отображение F : X ^ Y удовлетворяет условию Липшица в константой L > 0, если

h(F(xi), F(x2)) < LpX(x1,x2) Vx1,x2 € X. В этом определении h - расстояние по Хаусдорфу, определяемое соотношением h(U,V) = mf{r > 0: U с By(V,r), V с В(U,r)} VU с Y, VV с У.

Сформулируем основной результат настоящей статьи. Пусть заданы функции xo € AC^([to,ti ], Rra), uo € L^([to,ti],U), fo € Lx([to,ti], R), go € Lx([to,ti], Rs) такие, что

fo(t) € F(t,xo(t),xo(t),uo(t)), go(t) € G(t,xo(t),uo(t)) V/t € [to,ti]; xo(to) = a.

Теорема1. Предположим, что

a) отображения F(t, ■,v,u), F(t,x,v, ■), G(t, ■,u) удовлетворяют условию Липшица с константами Lp>x > 0, Lp,u > 0 и Lg,x > 0, соответственно, для п.в. t € [to,ti], для всех x,v € Rra, u € U;

Ь) отображения Г(Ь,х, ^и), С(Ь,х, •) являются накрывающими с константами ар > 0 и ас > 0, соответственно, для п.в. Ь € [¿0,^1], х € Мга, и € и;

Тогда управляемая система (1) локально разрешима. Причем для всех

£ > 0 и г € (0; Тар аст-)

^ ьр,иьс,х + Ьр,хас /

существует решение (х,и) системы (1) на отрезке [Ьо,Ьо + г] такое, что выполнены оценки

|хо(£) - х(£)| < г

Ьр,и\\до\\оо + асп„_____ + £

. (ар — гЬр,^ ас — гЬр,иЬс,х

Ш € [£о,£о + г ],

(аР — гЬрЛ \\до\\о + гЬс,.

|ио(£) — иСОК^--+ £ ШЬ € [¿о, ¿о + г].

(ар — г Ьр,х) ас — г Ьр,иЬс,х

3. Вспомогательные сведения

Приведем некоторые утверждения о свойствах многозначных отображений, действующих в метрических пространствах. Пусть Х,У - метрические пространства с метриками Рх, ру, соответственно. Графиком многозначного отображения Ф будем называть множество

gph(Ф) = {(х,у) : х € X, у € Ф(х)}. Зададим на множестве X х У метрику по формуле

р((х,у), (и, у)) = рх (х,и) + ру (у,у) V (х,у) € X х У, V (и, V) € X х У.

Будем говорить, что многозначное отображение Ф замкнуто, если его график является замкнутым подмножеством пространства X х У.

Следующее утверждение было доказано в [6]. Пусть заданы многозначные отображения Г1 : X ^ У, Г2 : У ^ X.

Л е м м а 1. Пусть хотя бы один из графиков gph(Г1) или gph(Г2) является полным подмножеством в X х У. Предположим, что отображения Г] являются в] -липшице-выми, ] € {1, 2} , причем в1в2 < 1. Тогда множество

Я(ГЬ Г2) := {(х,у) € X х У : у € Г1(х),х € Г2(у)}

непусто. Более того, для произвольных х € X, у € У, £ > 0 существует точка ({1,{2) € Б(Г1, Г2) такая, что

( ^ в2^(у , Г1(х)) + ^(х , Г2(у)) + £ (2)

РХ^ <-вв- + £, (2)

РУ (у 6) < dist(У, Г1(х)) + Г2(у)) + £ (3)

1 — в1в2

Пусть 2 - метрическое пространство с метрикой р%, задано многозначное отображение ф : X х У ^ 2, точка в € 2 и числа а > 0, в > 0. Определим многозначное отображение Ф : X ^ У формулой

Ф(х) = {у : в € ф(х,у)} Шх € X.

Л е м м а 2. Пусть

a) многозначное отображение ф(х, •) является а -накрывающим и замкнутым для лю-

бого х € X;

b) многозначное отображение ф(^,у) является в -липшицевым. Тогда

1) многозначное отображение Ф корректно определено, т. е. множество Ф(х) непусто

и замкнуто при любом х € X;

2) многозначное отображение Ф является (ав-1) -липшицевым.

Доказательство. 1) Выберем произвольную точку х € X. Поскольку многозначное отображение ф(х, •) является а -накрывающим, то оно сюръективно. Следовательно, существует точка у € У такая, что в € ф(х,у), и значит Ф(х) =

Докажем замкнутость множества Ф(х). Пусть последовательность {уп} С Ф(х) сходится к некоторому у € У. Следовательно, в € ф(х, уп) при любом п. Из замкнутости отображения ф(х, •) и того, что (уп,в) ^ (у, в) при п ^ ж, следует у € Ф(х). Таким образом, Ф(х) замкнуто.

2) Докажем теперь липшицевость отображения Ф. Отображение ф(х, •) является а -накрывающим, т. е. для всех х € X верно следующее:

Ууо € У, У го € ф(х,уо), У г € Z Зу € У : г € ф(х,у) и ру(у,уо) < 1 pz(г, го). (4)

а

Зафиксируем произвольные х1,х2 € X и у1 € Ф(х1). Тогда, очевидно, в € ф(х1,у1). В силу липшицевости отображения ф(^,у1) имеем

Н(ф(х1,у1),ф(х2,у\)) < врх(х1,х2).

Поскольку в € ф(х1,у1), для любого е > 0 существует г € ф(х2,у1) такой, что р(в,г) < вр(х1,х2) + е. В силу (4) существует точка у2 € У такая, что в € ф(х2,у2) и р(у1,у2) < а-1р(в, г). Таким образом, мы показали, что

в

У х1 € X, У х2 € X, Уу1 € Ф(х1), У е> 0 Зу2 € Ф(х2) : р(у1,у2) <-р(х1,х2) + е.

а

Следовательно, отображение Ф является ав-1 -липшицевым. □

Пусть Xl, X2,Уl,У2 - метрические пространства, метрики в которых мы будем обозначать символом р, заданы многозначные отображения : Xl х X2 ^ У^ и точки у^ € У}, ] € {1, 2}. Рассмотрим систему включений

| у1 € Г1(х1,х2), (5)

\ у2 € Г2(х1,х2)

с неизвестным (х1,х2) € Xl х X2^ Приведем достаточные условия разрешимости этой системы.

Л е м м а 3. Пусть пространства Xj, У^ полны, ] € {1, 2} . Предположим, что

a) Г^,х2) и ¥2(х1, •) являются замкнутыми и накрывающими с константами а1 > 0

и а2 > 0, соответственно, для любых х1 € X1, х2 € X2;

b) отображения ¥1(х1, •) и Г2^,х2) являются липшицевыми с константами в1 > 0 и

в2 > 0, соответственно, для любых х1 € X1, х2 € X2;

с) вв < а\а2-

Тогда система (5) имеет решение. Более того, для всех € Х1 х Х2, у1 €

Р1 (Х1, Х2), у2 € Р2 (ж 1, Х2), у1 € У1, у2 € У2, е > 0 существует решение (£1 , £2) € Х1 х Х2 системы (5) такое, что

Р(жь6) < МУ2+ с^рЫ+ е. (б)

а1а2 — Р1Р2

р(Х2,£2) < а1р(У2'У2) + в2Рр(У1 'У1) + е. (7)

а1а2 — вв

Доказательство. Определим отображения Г1 : Х2 ^ Х1 и Г2 : Х1 ^ Х2 формулами Г1(Ж2) = {Ж1 : У1 € ^1(Ж1,Ж2)}, Г2(Ж1) = {Ж2 : У2 € ^2(хЬЖ2)}, Ж1 € Х1,Ж2 € Х2.

Согласно лемме 2 отображения Г определены корректно и являются (а-в-1) -липшице-выми, ] € {1,2}. Так как пространства Х1 и Х2 полны, то в силу своей замкнутости графики отображений Г1 и Г2 являются полными множествами. Итак, для отображений Г1, Г2 выполнены условия леммы 1.

Зафиксируем произвольные (ж1 ,ж2) € Х1 х Х2, у1 € Р1(х1 ,ж2), у2 € F2(x1,x2), е > 0. Согласно лемме 1 существует двойная точка (£1, £2) € Х1 х Х2 отображений Г1 и Г2, т. е.

£1 € Г1(£2), £2 € Г2(£1).

Из определения отображений Г-, ] € {1, 2}, следует, что точка (£1,£2) является решением системы (5).

Покажем, что верны оценки (б) и (7). Согласно лемме 1 выполняются неравенства (2), (3). Кроме того,

^(Жь Г1 (Х2)) < — р(У1,У1). (8)

а1

Действительно, поскольку отображение ^Т(^Х2) является а1 -накрывающим, то для ЖГ €

Х1, у1 € F1(X1,X2) существует х1 € Х1 такой, что у1 € ^1(ж1,Х2) и р(х1,ж1) < — р(у1,У1).

а1

Следовательно, dist(x1, Г1(х2)) < р(х1,ж1) < а-1р(у1,у1). Аналогично можно показать, что верно неравенство

dist(Ж2, Г2(Х1)) < — р(у2, У2) • (9)

а2

Из оценок (2), (3) и неравенств (8), (9) вытекают соотношения (б) и (7). □

Пусть задано непустое замкнутое множество О С Кга, число Т € [¿о,^] и многозначное отображение Р : [£о,Т] х О ^ . Зададим многозначный оператор Немыцкого Мр : Ьх([го ,Т], О) ^ Ь^([го,Т], ) формулой

Мр (и) = {у € Ь^([го,Т], ): у(г) € Р (í,w(í)) V I € [£о,Т]} V и € Ь^([1о,Т], О).

Приведем критерии липшицевости и накрываемости оператора Мр.

Л е м м а 4. Предположим, что многозначное отображение Р(•) удовлетворяет условиям Каратеодори: для почти всех г € [го,Т] многозначное отображение Р(г, •) непрерывно; для всех ж € О многозначное отображение Р(^,ж) измеримо; для каждого К> 0 существует М > 0 такое, что если \х\ < К, то \у\ < М для п.в. г € [го,Т], для всех У € Р(г,ж). Тогда

1) многозначное отображение Мр определено корректно и является замкнутым;

2) если для почти всех Ь € [ко,Т] многозначное отображение Р(Ь, ■) является а -накры-

вающим, то Мр также является а -накрывающим;

3) если для почти всех Ь € [ко,Т] многозначное отображение Р(Ь, ■) является в -лип-

шицевым, то Мр также является в -липшицевым.

Доказательство. 1) Из теорем 1.5.6, 1.5.18 из [1] следует, что Мр(ш) = 0 для любого ш € Ь^([Ь0,Т], О). Замкнутость множества Мр(ш) очевидна. Таким образом доказано, что многозначное отображение Мр(■) определено корректно.

Докажем, что многозначное отображение Мр(■) замкнуто. Пусть заданы последовательности {шп} С Ь^([Ь0,Т], О), {уп} С Ь^([Ь0,Т], ), сходящиеся к ш € Ь^([Ь0,Т], О) и У € Ь^([Ь0,Т], ), соответственно, и такие, что уп € Мр(шп) для любого п. Тогда

Уп(Ь) € Р(г,шп(£)), шп(£) ^ ш(Ь), уп(£) ^ у(Ь) VЬ € [Ьо,Т].

Из непрерывности многозначного отображения Р(Ь, ■) следует, что у(Ь) € Р(Ь,ш(Ь)) для п.в. Ь.

2) Из леммы 4.1 из [10] следует а-накрываемость отображения Мр(■) .

3) Возьмем произвольные функции ш1,ш2 € Ь^([Ь0,Т], О), у1 € Мр(Ш1). Поскольку многозначное отображение Р(Ь, ■) является в -липшицевым для почти всех Ь € [Ьо,Т], для любого е > 0 имеем

Бжк (у1(Ь),в\Ш1(Ь) - Ш2(г)\ + е) П Р(г,Ш2(г)) = 0 VЬ € [Ьо,Т].

Из [1], 1.5.8 (а), следует, что многозначное отображение

Ь ^ Бж„ (у1 (Ь),в\ш1(Ь) - Ш2(Ь)\ + е) П Р(Ь,Ш2(Ь)), Ь € [Ьо,Т]

измеримо. Согласно теореме 1.5.6 из [1], существует измеримая функция у2 : [Ьо,Т] ^ М^ такая, что

у2(Ь) € Бмк (у1(Ь),в\ш1(Ь) - Ш2(Ь)\ + е) П Р(Ь,Ш2(Ь)) VЬ € [Ьо,Т].

Из условий Каратеодори следует, что функция у2 существенно ограниченна. Итак, доказано, что у2 € Мр(Ш2) и Рж(у1,у2) < врю(ш1,Ш2) + е.

Аналогично можно показать, что для любых функций Ш1,Ш2 € Ь^([Ьо,Т], О), у2 € Мр(ш2), для любого е > 0 существует функция у1 € Мр(ш2) такая, что р<х(у2,у1) < @Р<х(ш1, ш2) + е. Следовательно, для любого е > 0

Н(Мр(Ш1),Мр(Ш2)) < вр<х>(ш1,Ш2) + е VШ1,Ш2 € Ь^([Ьо,Т], О),

и, значит, многозначное отображение Мр(■) является в -липшицевым. □

Зададим многозначный интегральный оператор 1р : Ь^ формулой

г

1р(ш) = |у € Ь^([Ьо,Т], ): у(Ь) € Р^,а + ^ ш(s)ds^ VЬ € [Ьо,Т]

го

для любого ш € Ь^([Ь0,Т], О). Приведем критерии липшицевости оператора 1р из [10].

Л е м м а 5. Предположим, что многозначное отображение Р(•) удовлетворяет условиям Каратеодори: для почти всех £ € [Ь0,Т] многозначное отображение Р(Ь, •) непрерывно; для всех х € П многозначное отображение Р(•,х) измеримо; для каждого К> 0 существует М > 0 такое, что если \х\ < К, то \у\ < М для п.в. £ € [Ь0,Т], для всех

у € Р(г,х).

Тогда если для почти всех £ € [Ь0 ,Т] многозначное отображение Р(Ь, •) является в -липшицевым, то 1р(•) является (в(Т — Ь0)) -липшицевым.

4. Доказательство основного результата

Выберем произвольное число

ар ас

(to,

T е to,to +

(10)

LF,uLG,x + LF,xaG

Положим

Xi = L^([to,T], Rra), X2 = L^([to,T],U), Уг = L^([to,T], Rk), У2 = L^([to,T], Rs). Зададим многозначные операторы F : X\ x X2 ^ Уг, G : X\ x X2 ^ У2 формулами

F(v,u) = Iy е Уг : y(t) е F^t,a + jf v(s)ds,v(t),u(t)^ Vt е [to,T]j,

G(v, u) = Iy е У2 : y(t) е G^t,a + jf v(s)ds, u(tVt е [to,T] j

для любых v е Хг, u е X2. В силу леммы 4.1 и леммы 5 многозначные отображения F и G определены корректно.

Рассмотрим систему включений

I

0 еF(v,u),

0 е G(v,u). )

Покажем, что если пара (V,и) € Xl х X2 является решением системы (11), то пара (х,и), где

x(t) = a + I v(s)ds Vt е [to,T],

Jto

есть локальное решение системы (1). Действительно, пусть (V,и) € Xl х X2 - решение системы (11). Тогда х(0) = а. Кроме того, поскольку х(Ь) = v(t) Уь € [Ь0,Т], из определения операторов Т и G следует, что 0 € ¥(£,х(£),х(Ь),и(£)), 0 € С(£,х(£),и(£)) Уь € [Ь0,Т]. Таким образом, пара (х, и) является локальным решением системы (1).

Покажем, что система (11) совместна. Для этого достаточно доказать, что для нее выполнены предположения леммы 3 с ¥1 = Т, 2 = G.

Очевидно, что пространства Xj, Уj полны, ] € {1,2} . Из леммы 4.3 следует, что многозначный оператор Т(V, •) является Ьр,и -липшицевым для всех V € Xl. Из леммы 5 вытекает, что многозначный оператор G(•, и) является (Т — Ьо)Ьс,х -липшицевым для всех и € X2. Далее, из леммы 4.2 следует, что многозначный оператор G(V, •) является замкнутым и ас -накрывающим для всех V € Xl.

Осталось доказать, что отображение Т(^,и) является (ар — (Т—Ьо)Ьр,х) -накрывающим для всех и € X2. Определим многозначный оператор ^ : Xl х Xl х X2 ^ У1 по формуле

,и) = {у € У1 : у£ € а + £ Vl(s)ds,V2(t),u(t)^ УЬ € [£о,Т] |

для любых € Х\, п\ € Х2. В силу лемм 4 и 5 этот оператор корректно определен,

является замкнутым, ((Т — ¿о)Ьр,х) -липшицевым по переменной ы и ар -накрывающим по переменно Из (10) вытекает, что

(Т — ¿о)Ьр,х < ар.

В силу следствия 3.2 из [10] оператор V ^ $(у,у,п) является (ар — (Т — ¿0)Ьр,х) -накрывающим для всех и € Х2. А так как = оператор Т(-,и) является

(ар — (Т — ¿0)Ьр,х) -накрывающим для всех и € Х2.

Итак, доказано, что для системы (11) все предположения леммы 3с ¥1 = Т и ¥2 = Я выполнены. Следовательно, в силу леммы 3 для любого е > 0 существует решение (£, п) системы (11) такое, что выполняются оценки

(xо О <_LF,u\\go\\ + ао\и»и_+ £ (12)

^ ' _ (aF - (T - to)LF,x)aG - LF,ULG,X(T - to) '

Рсо(щ, п) < (ар — (Т — + (Т — , + е. (13)

^ ' (ар — (Т — го)Ьр,х)ас — Ьр,иЬс,х (Т — ¿о) '

Как было показано выше, пара (х,п), где х(£) = а + ((в)д,в, £ € [¿0,Т], есть локально

ное решение системы (1). Искомые оценки этого решения прямо вытекают из неравенств (12) и (13) при т = Т — ¿о. □

ЛИТЕРАТУРА

1 . Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию много-

значных отображений и дифференциальных включений. М.: Физматлит, 2007.

2 . Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешан-

ными ограничениями // Дифф. уравнения. 2010. Т. 46. № 11. C. 1561-1570.

3. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. 2011, V. 90. Iss. 6. P. 889-898.

4 . Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвиж-

ные точки // Докл. РАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.

5 . Арутюнов А.В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений

// Мат. заметки. 2009. Т. 86. № 2. С. 163-169.

6 . Арутюнов А.В., Гельман Б.Д. О структуре множества точек совпадения // Мат. сбор-

ник (принята к печати, будет опубликована в 2015 г.).

7 . Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их прило-

жения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифф. уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

8 . Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е., О корректности дифференциаль-

ных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифф. уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.

9 . Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness

of nonlinear Volterra equations // Nonlin. Anal.: TMA. 2012. V. 75. P. 1026-1044.

10 . Arutyunov A., de Oliveira V.A., Pereira F.L., Zhukovskiy E, Zhukovskiy S.

On the solvability of implicit differential inclusions // Appl. Anal. 2014. DOI: 10.1080/00036811.2014.891732.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках реализации государственного задания министерства образования и науки РФ в сфере научной деятельности, проект № 1.333.2014/К и при финансовой поддержке РФФИ, проект N 14-01-31185, при поддержке гранта Marie Curie IIF (FP7-PE0PLE-2011-IIF 911177).

Поступила в редакцию 10 ноября 2014 г.

Zhukovskiy S.E., Zhukovskaya Z.T. SUFFICIENT CONDITIONS FOR THE CONTROL SYSTEM LOCAL SOLVABILITY

A control system with mixed constraints, geometrical constraints for the control variable and set-valued dynamics is considered. The sufficient conditions for local solvability of the system are obtained.

Key words: control system; set-valued mapping; covering mapping.

Жуковский Сергей Евгеньевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]

Zhukovskiy Sergey Evgenyevich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]

Жуковская Зухра Тагировна, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, г. Москва, Российская Федерация, аспирант кафедры системного анализа, e-mail: [email protected]

Zhukovskaya Zukhra Tagirovna, Moscow State University, Moscow, Russian Federation, Postgraduate student of System Analysis Department, e-mail: [email protected]