CC BY
10
УДК 517.977.1
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-1-13-18
О РАЗРЕШИМОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С НЕЯВНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СВЯЗЬЮ И КРАЕВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
© 3. Т. Жуковская
Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: zyxra2@yandex.ru
Рассмотрены управляемые системы с неявной дифференциальной связью и краевыми ограничениями. В терминах накрывающих и липшицевых отображений получены достаточные условия существования решений.
Ключевые слова: управляемая система; краевая задача; накрывающее отображение
1. Постановка задачи
Пусть заданы число Т > 0 , множество II С М5 отображение / : [0, Т] х Мга х Мга х М5 —> М'0 и многозначное отображение О : Мга х Мга Мт (здесь под многозначным отображением будем понимать отображение, которое каждой точке области определения ставит в соответствие некоторое непустое замкнутое множество). Рассмотрим управляемую систему
/(*,ж,ж,«(*)) = о Ше[о,т],
и(г)еи Ше[о,т], (1)
0€С(ж(0),ж(т)).
Здесь V означает "для почти всех". Обозначим через Ь^ множество всех измеримых существенно ограниченных функций и : [0, Т] —>■ Мга , а через АС^ - множество всех абсолютно непрерывных функций х : [0,Т]—> Мга таких, что ж(-) 6 I™ . Здесь и далее через ж(£) мы обозначаем производную функции х в точке ¿€(0,Т) . Под решением задачи (1) мы будем понимать пару (ж(-), «(•)) € АС^ х Ц^ такую, что /(£, ж(£), ж(£), «(£)) = 0 для почти всех € [0,24, и(г)еи для почти всех ¿€[0,Т] и 0 € С(ж(0), ж(Т)) .
Далее относительно задачи (1) мы будем предполагать, что
• отображение /(•, ж, V, и) измеримо для всех (ж, V, и) € Мга х Мга х М5 ;
• отображение ¡{Ь, •) непрерывно для почти всех £ € [0,Т];
• для каждого К> 0 существует число М > 0 такое, что
|ж| + И + \и\ < К 1/0,ж,у,и)\ <м € [0,Т];
• многозначное отображение О(-) непрерывно;
• множество U компактно.
Прежде, чем сформулировать основной результат настоящей работы, напомним некоторые определения и утверждения.
2. Вспомогательные сведения
Пусть (Х,рх), (У, ру) ~ метрические пространства, числа а > 0 , /3 > 0 заданы. Многозначное отображение Ф : X Y называется а -накрывающим, если
Ух0 € X, уо € Ф(ж0), у € Y ЗхеХ: у € Ф(ж) и рх(х0,х) < pY(y°'y\
а
Теория накрывающих отображений используется для изучения вопроса разрешимости абстрактных нелинейных уравнений и включений. В [1], [2], [3],[4] накрывающие отображения использовались для получения условий существования решений абстрактных уравнений и включений и исследования свойств точек совпадения отображений в метрических пространствах. В [5] накрывающие отображения использовались для выведения условий существования решений неявных обыкновенных дифференциальных уравнений. Средствами теории накрывающих отображений в [6] были исследованы неявные уравнения Вольтерра, а в [7], [8] - управляемые системы.
Многозначное отображение Ф: X Y будем называть непрерывным, если оно непрерывно в смысле расстояния по Хаусдорфу hy . Расстояние по Хаусдорфу hy(A, В) между непустыми множествами А, В <ZY определяется равенством
hy(A,B) = maxjsup inf py(a,b), sup inf ру(а,Ь)\.
Таким образом, непрерывность многозначного отображения Ф :X^Y равносильна тому, что для любой точки х € X и любой сходящейся к ней последовательности {жга} С X выполняется соотношение Л,у(Ф(жга), Ф(ж)) —> 0 при п —> оо . Многозначное отображение Ф :X=tY называется fj -липшицевым, если
/гу(Ф(ж), Ф(-и)) < /Зрх(х,и) Ух,иеХ.
Многозначное отображение Ф : [0, Т] Rfc , принимающее компактные значения, называется измеримым, если для любого открытого множества VcKfc множество
:= {t е [0, Т} : Ф(t) П V ф 0}
измеримо по Лебегу.
Пусть дано многозначное отображение F : [0, Т] х Rra х Rra Rfc . Предположим, что
• отображение F(-,x,u) измеримо для всех ж, it € R" ;
• отображение F(t,-) непрерывно для почти всех t€[0,T];
• для каждого R> 0 существует число М > 0 такое, что
М + Ы < R \у\ < м Vte[o,T], VyeF(t,x,u).
Рассмотрим вспомогательную задачу
0 <=F(t,x,x) Vi € [0, Т], 0еС(ж(0),ж(т)).
Под решением задачи (3) будем понимать функцию х( ) € АС^ такую, что 0 € F(t, x(t), x(t)) для почти всех t€ [0,Т] и 0 € С(ж(0), х(Т)) . Сформулируем достаточные условия существования решения задачи (1).
Теорема1 (см. [9]). Предположим, что
a) многозначное отображение F(t,x, ) является af -накрывающим при почти всех t€ € [0, Т} , при всех х € Rra ;
b) многозначное отображение F(t, •, и) является Pf -липшицевым при почти всех t € [0, Т] , при всех и € Жп ;
c) многозначное отображение G(-,b) является ас -накрывающим при всех 6eRra;
d) многозначное отображение G(a, •) является (За -липшицевым при всех aGR" . Если
+ 1, (4)
O.F OLQ
то задача (3) имеет решение.
Замечание. Отметим, что теорема 1 выводится из леммы 2 из [9]. Из неё же следует, что в предположениях теоремы 1 не только существует решение задачи (3), но, более того, для любого е>0, для любых функции Хо € АС^ , уо € L^ таких, что yo(t) € € F(t, xo(t), xo(t)) V t, для любого вектора vq € С(жо(0), xq(T)) существует такое решение xgAC^ задачи (3), что
„. . „ . PF\vo\ + (aG -PG)\\vo\\L™ . ж - Ю1» <-т.-™-^ +
acOLF — OLFPG — J- OLGPF
|ж(0) — жо(0)|
(lQ(y.F — (У-FPG — TCXGPF 3. Основной результат
T e о p e м а 2. Предположим, что
a) отображение f(t,x,-,u) является а/ -накрывающим при почти всех t€[0,T]7 при всех хем™, иег,-
b) многозначное отображение f(t,-,v,u) является /3/ -липшицевым при почти всех t€ € [0,Т] , при всех v£Rn , u£Rs ;
c) многозначное отображение G(-,b) является ас -накрывающим при всех \
d) многозначное отображение G(a, ) является (За -липшицевым при всех a€l Если
k.T+fc<l, (5)
О!/ OLQ
то задача (1) имеет решение.
Доказательство. Определим многозначное отображение F: [0, Т] х Rra х Rra Rfc по формуле
F(t, х, v) := f(t, х, v, U) Vi€[0,T], V (ж, v) € Rra х Rra
Покажем, что построенное таким образом многозначное отображение F удовлетворяет всем предположениям теоремы 1.
Поскольку образ компакта при непрерывном отображении является компактом, то множество F(t, х, v) компактно при почти всех t € [0, Т] , для всех (х, и)ёКпх Rra . Из непрерывности отображения f(t, •) следует, что многозначное отображение F(t, •) непрерывно (см. теорему 1.3.13 из [10]). Из измеримости отображения / по переменной t следует измеримость многозначного отображения F(-,x,v) для всех (х, v) eRra х Rra (см. §1.5.2 из [10]). Из компактности
1п 7>П
множества U и того, что отображение / переводит ограниченное множество в ограниченное, следует, что для каждого R> 0 существует число М > 0 такое, что
М + Ы < R \у\ < м Vte[o,T], VyeF(t,x,u).
Из f3f -липшицевости отображения / по переменной х следует, что многозначное отображение F является /3f -липшицевым по х. Действительно, для почти всех t€[0,T], для всех v, Х\, Х2 € Кга , yi £ F(t,Xi,v) существует uGU такое, что у\ = f(t,X\,v,u) . Положим у2 := f(t,x2,v,u) . Тогда y2^F(t,x2,x) и
\У1 2/21 = \f(t,xi,v,u) - f(t,x2,v,u)| <f3\xi -x2\.
Следовательно,
hRk(F(t,Xi,v), F(t, X2,v)) < Pf \x\ -x2j Vx!,x2 € Mra.
Значит, многозначное отображение F является /3f -липшицевым по переменной х.
Из af -накрываемости отображения / попеременной х следует, что многозначное отображение F является ск/ -накрывающим по х . Действительно, для почти всех t € [0, Т] , для всех х, Vo € Мга , уо € F(t, х, Vo) существует uGU такое, что уо = f(t, х, vo, и) . Из а/ -накрываемости отображения f(t,x,-,u) следует, что для любого Mfc существует f€Mra такой, что
y = f(t,x,v,u) и
Значит, у € F(t, х, v) и
af
Следовательно, многозначное отображение F является af -накрывающим попеременной х.
Итак, доказано, что F удовлетворяет предположениям теоремы 1. Многозначное отображение G тоже удовлетворяет предположениям теоремы 1. Кроме того, выполняется неравенство (5). Поэтому из теоремы 1 следует, что задача (3) имеет решение х( ) gAC'^ . Значит
0 € f(t,x(t),x(t),U) Vi€[0,T], 0 € G(x(0),x(T)).
Из первого включения и леммы Филиппова (см., например, теорему 1.5.15 в [10]) следует, что существует измеримая функция и(-) такая, что
0 € f(t,x(t),x(t),u(t)), u(t) € U Vi€[0,T],
Функция и(-) является существенно ограниченной, поскольку множество U компактно. Таким образом, пара (х(-),и(-)) является решением задачи (1). □
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // ДАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
2. Arutyunov A., Avakov Е., Gel'man В., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points //J. Fixed Points Theory and Appl. 2009. V. 5. № 1. P. 105-127.
3. Арутюнов А.В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Математические заметки. 2009. Т. 86. № 2. С. 163-169.
4. Арутюнов А.В., Гельман Б.Д. О структуре множества точек совпадения // Математический сборник. 2015. Т. 206. № 3. С. 35-56.
5. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
6. Arutyunov А. V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Anal. 2012. V. 75. № 3. P. 1026-1044.
7. Arutyunov А. V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. 2011. V. 90. Iss. 6. P. 889-898.
8. Жуковский E. С., Плужникова E.A. К вопросу о разрешимости управляемых дифференциальных систем // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 1. С. 49-54.
9. Жуковский С.Е., Жуковская 3. Т. Разрешимость краевых задач для неявных дифференциальных включений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 1983-1989. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1983-1989
10. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: КомКнига, 2005.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект № 16-31-50044), гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ, № НШ-8215.2016.1 и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых ученых МК-1938.2017.1.
Поступила в редакцию 24 января 2017 г.
Жуковская Зухра Тагировна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: zyxra2@yandex.ru
UDC 517.977.1
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-1-13-18
ON THE SOLVABILITY OF CONTROL SYSTEMS WITH IMPLICIT DYNAMICS
AND ENDPOINT CONSTRAINTS
© Z.T. Zhukovskaya
The Peoples' Friendship University of Russia 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: zyxra2@yandex.ru
Control systems with implicit dynamics and endpoint constraints are considered. For these systems, sufficient solvability conditions are obtained in the terms of Lipschitz and covering mappings.
Key words: control system; boundary value problem; covering mapping
REFERENCES
1. Arutyunov A. V. Nakryvayushchie otobrazheniya v metricheskih prostranstvah i nepodvizhnye tochki // DAN. 2007. T. 416. № 2. S. 151-155.
2. Arutyunov A., Avakov E., Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points //J. Fixed Points Theory and Appl. 2009. V. 5, № 1. P. 105-127.
3. Arutyunov A. V. Ustojchivost' tochek sovpadeniya i svojstva nakryvayushchih otobrazhenij // Matematicheskie zametki. 2009. T. 86. № 2. S. 163-169.
4. Arutyunov A. V., Gel'man B.D. O strukture mnozhestva tochek sovpadeniya // Matematicheskiy sbornik. 2015. T. 206. № 3. S. 35-56.
5. Arutyunov A. V., Avakov E.R., Zhukovskiy E.S. Nakryvayushchie otobrazheniya i ih prilozheniya k differencial'nym uravneniyam, ne razreshennym otnositel'no proizvodnoj // Differencial'nie uravneniya. 2009. T. 45. № 5. S. 613-634.
6. Arutyunov A. V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Anal. 2012. V. 75. № 3. P. 1026-1044.
7. Arutyunov A. V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. 2011. V. 90. Iss. 6. P. 889-898.
8. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A.K voprosu o razreshimosti upravlyaemyh differencial'nyh sistem // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2013. T. 18. Vyp. 1. S. 49-54.
9. Zhukovskiy S.E., Zhukovskaya Z.T. Razreshimost' kraevih zadach dlya neyavnih differentsial'nih vklucheniy // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016. T. 21. Vyp. 6. S. 1983-1989. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1983-1989
10. Borisovich Yu.G., Gel'man B.D., Myshkis A.D., Obukhovskii V.V. Vvedenie v teoriyu mnogoznachnih otobrazheniy i differentsial'nih vklucheniy. M.: KomKniga, 2005.
ACKNOWLEDGEMENTS: The paper is supported by the RFBR grant (project No 16-31-50044), grant of the President of the Russian Federation for state support of the leading scientific schools (No. NSh-8215.2016.1) and grant of the President of the Russian Federation for state support of the young scientists MK-1938.2017.1.
Received 24 January 2017
Zhukovskaya Zukhra Tagirovna, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Assistant of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: zyxra2@yandex.ru
Информация для цитирования:
Жуковская 3. Т. О разрешимости управляемых систем с неявной дифференциальной связью и краевыми ограничениями // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 1. С. 13-18. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-1-13-18
Zhukovskaya Z.T. О razreshimosti upravlayemih sistem s neyavnoy differentsial'noy svyazyu i kraevimi ogranicheniyami [On the solvability of control systems with implicit dynamics and endpoint constraints]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 1, pp. 13-18. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-1-13-18 (In Russian)
