CC BY
28
Определенная таким образом векторнозначная метрика эквивалентна "обычной скалярной" метрике
PR" (r,r) = \\Т - f||[Rn ,
т. е. последовательность {ri} С Rn сходится в метрике V^n тогда и только тогда, когда она сходится в метрике р( ; совокупности открытых, замкнутых, компактных подмножеств пространств (Rn, V|Rn), (Rn,ppn) совпадают. Любой линейный оператор A : Rn ^Rm, удовлетворяющий требованию A(R+) С R"m, есть матрица размерности m х n с неотрицательными компонентами; обозначим множество таких операторов Rmxn-
В пространстве Lœ(Rn) существенно ограниченных функций x :[a,b] ^Rn зададим век-торнозначную метрику VL^(pn) : L^(^-n) х ^ R+ следующим соотношением
VLix(Rn)(x, X) = (vrai sup \x\(t) — X\(t)\,..., vrai sup \xn(t) — Xn(t)\), x,X € Lœ(Rn).
t€[a,b] t€[a,b]
Отметим, что в пространстве Lœ(Rn) сходимость относительно определенной здесь вектор-нозначной метрики Vl^^r") совпадает со сходимостью в "обычной" метрике
Plto(rn)(x,x) = vrai sup \\x(t) — x(t)\\Rn.
te[a,b]
Соответственно, равносильными в векторнозначной и "обычной" метриках являются понятия открытости, замкнутости, компактности множеств из Lœ(Rn).
Пусть задано многозначное отображение f : [a,b] х Rn ^ Cl(Rm), которое удовлетворяет условию Каратеодори, т. е. измеримо по первому и непрерывно (в метрике Хаусдорфа) по второму аргументам, кроме того, предполагаем, что выполнено следующее условие:
Vr €R + 3m €R + Vx €Rn \x\ ^ r ^ Vt € [a,b] Vy € f(t,x) \y\ ^ m. (4)
Определим соответствующий многозначный оператор Немыцкого
Nf : L^(Rn) ^ L^(Rm), (Nf x)(t) = {y € L^(Rm) \ y(t) € f (t,x(t)) Vt € [a,b]}. (5)
Вследствие условия Каратеодори для любого x € L^(^n) множество измеримых селекторов многозначного отображения f (-,x(-)) не пусто, а в силу соотношения (4) в этом множестве есть элементы из L(Rm), т. е. не пусто множество Nf x С Lœ(Rm)- Из замкнутости при п.в. t € [a, b] множества f (t, x(t)) С Rm очевидно следует замкнутость множества Nf x С Lœ(Rm). Таким образом, для оператора (5) будем использовать обозначение
Nf : LX(Rn) ^ Cl(LX(Rm)).
Теорема 2. Пусть многозначное отображение f (t, ■) : Rn ^ Cl(Rm) является A ■
n+x
накрывающим (относительно векторнозначных метрик), где A€R+xm. Тогда заданный со-
отношением (5) оператор Немыцкого Nf : — C^L^(Rm)) является накрывающим с
тем же операторным коэффициентом A.
Доказательство. Пусть заданы любой вектор x € Rn и произвольная функция У € Bb^(Rm)(Nf x, r). Докажем включение y € Nf (x, Kr)) ; согласно определению 1
это будет означать, что оператор Nf : L^(^.n) — C^L^(Rm)) является A -накрывающим.
Так как для п.в. t € [a,b] выполнено y(t) € Bp; m( (Nf x)(t), r), то в силу A -накрывания отображения f (t, -):Rn — Cl(Rm) имеем y(t) € f(t, B[Rn (x(t), Kr)). Согласно лемме Филиппова [17, теорема 1.5.15] существует такая измеримая функция u : [a, b] — Rn, что
u(t) € BRn (x(t), Kr), y(t) € f (t, u(t)) Уt € [a, b].
1978
Следовательно, выполнено у € Nf и, где и € п)(х, Кт), и таким образом, справедливо
включение у € N п)(х, Кт)) . □
Теперь применим полученные результаты к исследованию следующей системы функциональных включений
¡1 (г, х\(ь),..., Хп (г)) п (г, х^г),..., хп(нп(г))) = 0,
.................. (6)
¡т(г,х1(г),...,хп(г)) пдт(г,х1(Н1(г)),...,хп(К(г))) = 0.
Здесь многозначное отображение ¡ = (¡1,..., ¡п) : [а, Ь] х Кп — 01^т) удовлетворяет условию Каратеодори, условию (4) и при п.в. г € [а, Ь] отображение второго аргумента ¡(г, •) является А -накрывающим (относительно векторнозначных метрик), где А €К+хт; многозначное отображение д = (д1,..., дп): [а, Ь] х Кп — 01^т) также удовлетворяет условию Каратеодори и условию (4), а при п.в. г € [а, Ь] по второму аргументу является Липшицевым, т. е. для некоторой матрицы В € Кт*™ (не зависящей от г ) при любых х,х € Кп, у € д(г,х) существует вектор у € д(г,х) такой, что справедливо неравенство
Рт (у, у) ^ В п (х, х).
Включение (6) можно записать в виде Nf х П Ng х = 0, где оператор Немыцкого Nf : Ьж(^.п) — С1(Ьж(^.т)), порожденный функцией ¡, является А -накрывающим, оператор Немыцкого Ng : Ь^ (Кп) — Ь т)), порожденный функцией д является В -липшицевым (относительно векторнозначных метрик). Далее, пространства Ьп), Ьт) полные, и их замкнутые подмножества — gph(Nf), gph(Ng) также являются полными. Если д(ВА) < < 1, то выполнены все предположения теоремы 1, включение (6) разрешимо и, более того, для любых функций хо € Ь^(Кп), фо € Nf (хо), фо € Nд (хо) существует решение х € Ьх>(№п), удовлетворяющее неравенству
рь^(щп)(х,хо) < - КВ)-1 Крь^(щт)(фо,фо).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Люстерник Л.А. Об условных экстремумах функционалов // Математический сборник. 1934. Т. 41. № 3. С. 390-401.
2. Graves L.M. Some mapping theorems // Duke Math. J. 1950. V. 17. № 2. P. 111-114.
3. Левитин Е.С., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями // УМН. 1978. Т. 33. № 6(204). С. 85-148.
4. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
5. Арутюнов А.В. Точки совпадения двух отображений // Функциональный анализ и его приложения. 2014. Т. 48. № 1. С. 89-93.
6. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
7. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. Iss. 3. P. 1026-1044.
8. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
9. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями // Автоматика и телемеханика. 2015. № 1. С. 31-56.
10. Жуковская Т.В., Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об исследовании систем функциональных уравнений методами теории накрывающих отображений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 1. С. 38-42.
11. Жуковская Т.В., Жуковский Е.С. Об итерационном методе нахождения решений операторных уравнений с накрывающими отображениями // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2014. Т. 19. Вып. 2. С. 365-368.
1979
12. Arutyunov A., de Oliveira V.A., Pereira F.L., Zhukovskiy S., Zhukovskiy E. On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2015. V. 94. № 1. P. 129-143.
13. Жуковский Е.С. О точках совпадения векторных отображений // Известия вузов. Математика. 2016. № 10. С. 14-28.
14. Жуковский Е.С. О возмущениях векторно накрывающих отображений и системах уравнений в метрических пространствах // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 2(236). С. 297-311.
15. Жуковский Е.С. О точках совпадения многозначных векторных отображений метрических пространств // Математические заметки. 2016. Т. 100. № 3. С. 344-362.
16. Жуковский Е.С. О возмущениях накрывающих отображений в пространствах с векторнозначной метрикой // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 2. С. 373-377.
17. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: ЛИБРОКОМ, 2011. 224 с.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 15-01-04601, 16-31-50038) и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ № НШ-8215.2016.1.
Поступила в редакцию 21 октября 2016 г.
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор научно-исследовательского института математики, физики и информатики; Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации, е-mail: [email protected]
Плужникова Елена Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа, e-mail: [email protected]
UDC 517.988.6 + 517.922
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1974-1982
MULTI-VALUED COVERING MAPPINGS IN SPACES WITH VECTOR-VALUED METRICS IN RESEARCH OF FUNCTIONAL INCLUSIONS
© E. S. Zhukovskiy 1) , E. A. Pluzhnikova 2)
Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 The Peoples' Friendship University of Russia 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: [email protected] 2) Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: [email protected]
1980
The concept of covering is extended to multi-valued mappings acting in spaces with vector-valued metrics. The statement about coincidence points of two multi-valued mappings (acting in spaces with vector-valued metrics), one of which is covering and the other is Lipschitz, is formulated and proved. The test of covering of Nemytskiy operator in the space of measurable essentially bounded vector-valued functions equipped with a vector-valued metric is derived. These results are applied to the research of functional inclusions with deviating argument.
Key words: spaces with vector-valued metrics; coincidence points; multi-valued covering mappings; the Nemytskiy multi-valued operator; functional inclusions
REFERENCES
1. Lyusternik L.A. Ob uslovnyh ehkstremumah funkcionalov // Matematicheskij sbornik. 1934. T. 41. № 3. S. 390-401.
2. Graves L.M. Some mapping theorems // Duke Math. J. 1950. V. 17. № 2. P. 111-114.
3. Levitin E.S., Milyutin A.A., Osmolovskij N.P. Usloviya vysshih poryadkov lokal'nogo minimuma v zadachah s ogranicheniyami // UMN. 1978. T. 33. № 6(204). S. 85-148.
4. Arutyunov A.V. Nakryvayushchie otobrazheniya v metricheskih prostranstvah i nepodvizhnye tochki // Doklady Akademii nauk. 2007. T. 416. № 2. S. 151-155.
5. Arutyunov A.V. Tochki sovpadeniya dvuh otobrazhenij // Funkcional'nyj analiz i ego prilozheniya. 2014. T. 48. № 1. S. 89-93.
6. Avakov E.R., Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S. Nakryvayushchie otobrazheniya i ih prilozheniya k differencial'nym uravneniyam, ne razreshennym otnositel'no proizvodnoj // Differencial'nye uravneniya. 2009. T. 45. № 5. S. 613-634.
7. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. Iss. 3. P. 1026-1044.
8. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O korrektnosti differencial'nyh uravnenij, ne razreshennyh otnositel'no proizvodnoj // Differencial'nye uravneniya. 2011. T. 47. № 11. S. 1523-1537.
9. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. Ob upravlenii ob"ektami, dvizhenie kotoryh opisyvaetsya neyavnymi nelinejnymi differencial'nymi uravneniyami // Avtomatika i telemekhanika. 2015. № 1. S. 31-56.
10. Zhukovskaya T.V., Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. Ob issledovanii sistem funkcional'nyh uravnenij metodami teorii nakryvayushchih otobrazhenij // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2013.T. 18. Vyp. 1. S. 38-42.
11. Zhukovskaya T.V., Zhukovskiy E.S. Ob iteracionnom metode nahozhdeniya reshenij operatornyh uravnenij s nakryvayushchimi otobrazheniyami // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2014. T. 19. Vyp. 2. S. 365-368.
12. A. Arutyunov, V.A. de Oliveira, F. Lobo Pereira, S. Zhukovskiy, E. Zhukovskiy On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2015. V. 94. № 1. P. 129-143.
13. Zhukovskiy E.S. O tochkah sovpadeniya vektornyh otobrazhenij // Izvestiya vuzov. Matematika. 2016. № 10. S. 14-28.
14. Zhukovskiy E.S. O vozmushcheniyah vektorno nakryvayushchih otobrazhenij i sistemah uravnenij v metricheskih prostranstvah // Sibirskij matematicheskij zhurnal. 2016. T. 57. № 2(236). S. 297-311.
15. Zhukovskiy E.S. O tochkah sovpadeniya mnogoznachnyh vektornyh otobrazhenij metricheskih prostranstv // Matematicheskie zametki. 2016. T. 100. № 3. S. 344-362.
16. Zhukovskiy E.S. O vozmushcheniyah nakryvayushchih otobrazhenij v prostranstvah s vektornoznachnoj metrikoj // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016. T. 21. Vyp. 2. S. 373-377.
17. Borisovich YU.G., Gel'man B.D., Myshkis A.D., Obuhovskij V.V. Vvedenie v teoriyu mnogoznachnyh otobrazhenij i differencial'nyh vklyuchenij. M.: LIBROKOM, 2011. 224 s.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (projects №№ 15-01-04601, 16-31-50038) and by the grant of the Russian Federation President for the state support of leading scientific schools № NSh-8215.2016.1.
Received 21 October 2016
1981
Zhukovskiy Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Director of the Research Institute of Mathematics, Physics and Informatics; Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, е-mail: [email protected]
Pluzhnikova Elena Aleksandrovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department, е-mail: [email protected]
Информация для цитирования:
Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Многозначные накрывающие отображения пространств с векторнозначной метрикой в исследовании функциональных включений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 1974-1982. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1974-1982
Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. Mnogoznachnye nakryvayuschie otobrazheniya prostranstv s vektornoznachnoj metrikoj v issledovanii funktsional'nyh vklyuchenij [Multi-valued covering maps spaces with vector-valued metrics in research of functional inclusions]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 1974-1982. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1974-1982 (In Russian)
1982
УДК 517.922
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1983-1989
РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
© С. Е. Жуковский, З. Т. Жуковская
Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: [email protected]
Рассмотрена краевая задача для неявного дифференциального включения. Для нее в терминах накрывающих и липшицевых многозначных отображений получены достаточные условия существования решений.
Ключевые слова: неявное дифференциальное включение; краевая задача; накрывающее отображение
1. Постановка задачи
Пусть заданы число Т> 0 и многозначные отображения Г : [0, Т] хКп хКп ^ Кк , С : Кп х х Кп ^ Кт (т. е. отображения, которые каждой точке области определения ставят в соответствие некоторое непустое замкнутое множество). Рассмотрим задачу
/0 € Г(г,х,х) УЬ € [0,Т], ...
}0 € С(х(0), х(Т)). ( )
Здесь У означает "для почти всех". Обозначим через ЬП множество всех измеримых существенно ограниченных функций и : [0, Т] ^ Кп , а через АСП - множество всех абсолютно непрерывных функций х : [0, Т] ^ Кп таких, что Х(-) € Ь^ . Здесь и далее через х(Ь) мы обозначаем производную функции х в точке Ь € (0,Т) . Под решением задачи (1) мы будем понимать функцию х() € АС'п такую, что 0 € Г(Ь, х(Ь), х(Ь)) для почти всех Ь € [0, Т] и 0 € С(х(0),х(Т)) .
В настоящей работе мы сформулируем достаточные условия существования решения задачи (1) в следующих предположениях:
• отображение Г(•,х,и) измеримо для всех х,и € Кп ;
• отображение Г(Ь, •) непрерывно для почти всех Ь € [0, Т];
• для каждого К> 0 существует число М > 0 такое, что
\х\ + \и\< К ^\у\< М У у € Г (Ь,х,и), У Ь € [0,Т].
• отображение С(^) непрерывно.
Прежде, чем сформулировать основной результат настоящей работы напомним некоторые определения.
1983
2. Вспомогательные сведения. Свойства многозначных отображений
Пусть (X,px), (Y, Py) - метрические пространства, числа а> 0 , в > 0 заданы. Многозначное отображение Ф: X ^ Y называется а -накрывающим, если
Vx° е X,y0 е Ф(х0),у е Y 3x е X : y е Ф(х) и px(x0,x) < PY(y°,y).
а
Многозначное отображение Ф: X ^ Y будем называть непрерывным, если оно непрерывно в смысле расстояния по Хаусдорфу Hy . Расстояние по Хаусдорфу Hy (A, B) между непустыми множествами A, B С Y определяется равенством
HY(A,B) = maxjsup inf pY(a,b), sup inf pY(a,b)\.
Таким образом непрерывность многозначного отображения Ф : X ^ Y равносильна тому, что для любой точки x е X и любой сходящейся к ней последовательности {xn} С X выполняется соотношение Hy(Ф^п), Ф^)) — 0 при n — ж . Многозначное отображение Ф: X ^ Y называется в -липшицевым, если
HY(Ф^), Ф(-и)) < врХ(x,u) Vx,u е X.
Определим на множестве X х Y метрику по формуле
Px xY ((x,y), (u,v)) := px (x,u) + py (y,v) V (x,y), (u,v) е X х Y.
Очевидно, что пара (X х Y, pxxy) является метрическим пространством. Многозначное отображение Ф : X ^ Y называют замкнутым, если множество
gph^) := {(x,y) : x е X, y е Ф(x)}
замкнуто в X х Y .
Многозначное отображение Ф : [0, T] ^ (Rk , принимающее компактные значения, называется измеримым, если для любого открытого множества V С Rk множество
Ф_1(У) := {t е [0, T] : Ф(г) П V = Щ
измеримо по Лебегу.
3. Основной результат
Сформулируем достаточные условия существования решения задачи (1).
Теорема 1. Предположим, что
a) многозначное отображение Г(Ь,х, •) является ар -накрывающим при почти всех Ь € [0, Т], при всех х е Кп ;
b) многозначное отображение Г(Ь, •, и) является вв -липшицевым при почти всех Ь € [0, Т] , при всех и € Кп ;
c) многозначное отображение С(^,Ь) является ас -накрывающим при всех Ь € Кп ; () многозначное отображение С(а, •) является вс -липшицевым при всех а € Рп
Если
в^ , вс
—T + — < 1, (2)
cxf ас
то задача (1) имеет решение.
1984
Аналогичная задача в случае, когда отображения Г и С "однозначны", рассматривалась в [1]. Основным инструментом выведения условий разрешимости краевой задачи в [1] послужил аппарат теории накрывающих отображений. Теория накрывающих отображений широко используется при исследовании нелинейных уравнений. Так в [2]-[5] накрывающие отображения использовались для получения условий существования и исследования свойств точек совпадения отображений в метрических пространствах. Для выведения условий существования решений неявных обыкновенных дифференциальных уравнений накрывающие отображения использовались в [6], [7]. Средствами теории накрывающих отображений в [8] были исследованы абстрактные и интегральные уравнения Вольтерра, а в [9]-[11] - управляемые системы.
Основной результат настоящей статьи мы докажем методами, разработанными в перечисленных выше работах. Для этого напомним сначала некоторые вспомогательные утверждения.
4. Вспомогательные утверждения
Пусть (X,pX), (Y, Py ) - метрические пространства, задано отображение Г: X х X ^ Y, точка y € Y , числа а> 0 , ß > 0 заданы.
Лемма 1. (см. [12]) Предположим, что
a) для любого х € X многозначное отображение Г(х, •) является а -накрывающим;
b) для любого x € X многозначное отображение Г(-,х) является ß -липшицевым, ß<a ;
c) пространство X полно, отображение Г замкнуто.
Тогда для любого ö> 0 многозначное отображение
х ^ Г(х, х), х € X,
является (а — ß — ö) -накрывающим.
Пусть Xi, X2, Yi, Y2 - метрические пространства, метрики в которых мы будем обозначать символом р, заданы многозначные отображения Fj : Xi х X2 ^ Yj и точки yj € Yj, j €{1, 2}. Рассмотрим систему включений
Г У1 € F1 (х1, х2), (3)
\У2 € F2 (х1, х2)
с неизвестным (х1, х2) € X1 х X2. Приведем достаточные условия разрешимости этой системы.
Лемма 2 (см. [13]). Пусть пространства X^, У) полны, ] € {1, 2} . Пусть
й) Г1(^,х2) и Г2(х1, •) являются замкнутыми и накрывающими с константами а1 > 0 и а2 > 0, соответственно, для любых х1 € Х1, х2 € Х2;
b) отображения Г1(х1, •) и Г2(^,х2) являются липшицевыми с константами в1 > 0 и
в2 > 0, соответственно, для любых х1 € Х1, х2 € Х2;
c) вв <а^2-
Тогда система (2) имеет решение, т. е. существуют £1 € Х1, £2 € Х2 такие, что
|у1 € Г1(£1 ,£2), [У2 € Г2(£1 ,£2).
1985
Более того, для любых (х1,х2) € Х1 х Х2, у1 € Р1(х1,х2), у2 € Р2(х1,х2), у1 € У\, у2 € У2, е> 0 существует решение (£1,£2) € Х1 х Х2 системы (2) такое, что
С ч / в1Р(У2,у2)+ а2р(У1,у1) «1^2 — Р1Р2
пЫ а1Р(У2,У2)+ р2р(У1,У1)
Р(х2, Ы < -Ъ-Ъ- + е
«1^2 — Р1Р2
Пусть задано многозначное отображение Р : [0,Т] х Кп к. Зададим многозначный оператор Немыцкого Мр : ЬП ^ Ь^ формулой
4 : У(Ь) € Р(1,Ш(1)) VI € [0,Т]} VШ € ЬП.
Лемма 3 (см. [13]). Предположим, что многозначное отображение Р удовлетворяет условиям Каратеодори:
a) для почти всех г € [0,Т] многозначное отображение Р(г, •) непрерывно;
b) для всех х € Кп многозначное отображение Р(•,х) измеримо;
c) для каждого К> 0 существует М> 0 такое, что если \х\ < К, то \у\ < М для всех У € Р(г, х) и для почти всех г € [0, Т].
Тогда
1) многозначное отображение Мр определено корректно и является замкнутым;
2) если для почти всех г € [го,Т] многозначное отображение Р(г, •) является а -накрываю-
щим, то Мр также является а -накрывающим.
Зададим многозначный интегральный оператор 1р : Ь^ ^ Ь^ формулой
г
1р Н = { У € Ьк^ : У (г) € Р^,а + | ш(в)й^ VI € [0,Т]|
о
для любого Ш € Ь2о.
Лемма 4 (см. [13]). Предположим, что многозначное отображение Р(•) удовлетворяет условиям Каратеодори (см. предположения а), Ь), с) леммы 3). Тогда если для почти всех г € [0, Т] многозначное отображение Р(г, •) является ( -липшицевым, то 1р(•) является (Т -липшицевым.
5. Доказательство основного результата
Определим отображения ^0 : Кп х Ь™ х Ь™ ^ Ь^, ^ : Кп х Ь™ ^ Ь^, ^ : Кп х Ь™ ^ соотношениями
г
Ро(хо,и, V) := | у(^) € Ь^ : у (г) € + ^ и(в) йв, у(г)^ V г € [0,Т ]|,
о
^1(хо:= ^о(хо, V, V), т
Р2(хо^) := С^хо,хо + / v(в) йв^
о
1986
