CC BY
8
УДК 517
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1309-1313
О ТОЧКАХ СОВПАДЕНИЯ ДВУХ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ С ВЕКТОРНОЗНАЧНОЙ МЕТРИКОЙ
© Е. А. Плужникова 1) 2) , Ю. А. Моисеев 1) , А. А. Репин 1)
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] 2) Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: [email protected]
Рассмотрены пространства с векторнозначной метрикой, значениями которой являются элементы конуса линейного нормированного пространства. Для многозначных отображений сформулировано понятие накрывания (метрической регулярности) в пространствах с векторнозначной метрикой. Получено утверждение о точках совпадения метрически регулярного и липшицева многозначных отображений в пространствах с векторнозначной метрикой.
Ключевые слова: точки совпадения отображений; многозначные отображения; накрывающие отображения; метрически регулярные отображения; пространства с вектор-нозначной метрикой
Пусть задано непустое множество X и линейное нормированное пространство E, в котором выделен некоторый замкнутый выпуклый конус E+. Конус задает порядок в E, то есть для любых элементов ri,r2 € E выполнено неравенство ri ^ Г2 тогда и только тогда, когда Г2 - ri € E+.
Определение 1. Отображение Px ■ X2 — E+ будем называть векторнозначной метрикой, а (X, Px) — пространством с векторнозначной метрикой, если:
1) равенство Px (x,u) =0 выполнено тогда и только тогда, когда x = u;
2) для любых x,u €X справедливо Px(x,u)= Px(u,x);
3) для любых x,u,v €X имеет место неравенство PX(x, и) ^ PX(x, v) + PX(v, u).
Рассмотрим векторные аналоги определений некоторых понятий, известных для метрических пространств. Замкнутым шаром с центром в некоторой точке u € X радиуса r € E+ в X = (X, PX) называем множество BX (u,r) = {x €X ■ PX (x,u) ^ r}; r -раздутие BX (U,r) множества U CX определяется равенством Bx(U,r) = {Jx€U Bx(x,r). Сходимость в X определяется естественным образом. Пусть даны последовательность {xn} CX и элемент x €X. Под сходимостью xn — x при п — ж в X понимаем сходимость Px(xn,x) — 0 в E, то есть \\Px (xn,x)\\E — 0. Множество U CX замкнуто, если для любой сходящейся последовательности его элементов {xn} C U, xn — x выполнено x € U. Заметим, что замкнутый шар Bx(u,r) будет замкнутым множеством в X. Последовательность {xn}cX будем называть фундаментальной, если
Уе > 0 3N Уп > N Уш > N \\Px(xn,xm)\\E < е.
Если любая фундаментальная последовать в X сходится, то это пространство называется полным.
Обозначим С1(Х) — совокупность всех непустых замкнутых подмножеств пространства X. Отметим, что на пространства с векторнозначной метрикой не переносятся понятия расстояния от точки до множества и расстояния по Хаусдорфу между множествами, поскольку ограниченное множество в Е+ может не иметь инфимума (в отличие от линейного порядка в М упорядоченность в Е частичная).
Пусть Е, М — некоторые линейные нормированные пространства с заданными замкнутыми выпуклыми конусами Е+, М+ ; пусть X, У — пространства с векторнозначными метриками Тх : X2 — Е+ , Ту : У2 — М+ . В пространстве С(М, Е) линейных ограниченных операторов ^ : М — Е определим множество положительных операторов
С(М, Е)+ = : М — Е | ^(М+) С Е+},
очевидно являющееся замкнутым выпуклым конусом. Обозначим 1е : Е — Е — тождественный оператор. Имеем 1е £ С(Е, Е)+.
Определение 2. Отображение Ф: X — С1(У) будем называть регулярным с коэффициентом К £С(М,Е)+ или К -регулярным (относительно векторнозначных метрик), если для любых хо £X, уо £ Ф(хо), у £У существует такой х £X, что у £ Ф(х) и имеет место оценка
Рх(х,хо) ^ КРу(у,уо).
Свойство регулярности относительно векторнозначных метрик эквивалентно следующему включению
Ут £ М+ Ухо £X Ву(Ф(хо),г) С Ф(Вх(хо,Кт)),
поэтому будем также назвать данное отображение К -накрывающим (относительно векторнозначных метрик ) (см. [1-4]). Таким образом, отображение Ф: X — С1(У) является регулярным тогда и только тогда, когда оно накрывающее.
Для формулировки основного результата определим еще одно понятие — липшицевости многозначных отображений в пространствах с векторнозначной метрикой.
Определение 3. Отображение Ф: X — С1(У) будем называть липшицевым с операторным коэффициентом Q £С(Е,М)+ или Q -липшицевым (относительно векторнозначных метрик), если для любых хо,х £X, уо £ Ф(хо) существует такой у £ Ф(х), что выполнено
Ту (у, уо) < Q Рх (х,хо).
Отметим, что данное соотношение равносильно включению
Ухо, х £ X Ф(х) С Ву (Ф(хо)^Рх(хо,х)).
Для отображения Ф : X — С1(У) стандартно определим график — множество gph(Ф) = = {(х, у) £X хУ: у £ Ф(х),х £ X}.
Точкой совпадения отображений Ф, Ф: X — С1(У) называют (см. [5]) аргумент х £X, для которого справедливо
Ф(х) П Ф(х) = 0.
Сформулируем утверждение, уточняющее теорему о точках совпадения многозначных отображений в пространствах с векторнозначной метрикой из работы [1].
Теорема 1. Пусть существуют такие К £С(М,Е)+ , Q £С(Е,М)+ , что отображение Ф: X — С1(У) является К -накрывающим, а отображение Ф : X — С1(У) — Q -липшице-вым (относительно векторнозначных метрик); графики этих отображений gph(Ф), gph(Ф) замкнуты и хотя бы один из них является полным подпространством произведения X хУ; пространство Е является банаховым. Тогда, если для спектрального радиуса д линейного
ограниченного положительного оператора KQ €L(E, E)+ имеет место оценка q{KQ) < 1, то для любых x0 €X, фо € Ф(жо), фо € Ф(жо) существует точка совпадения x отображений Ф и Ф, удовлетворяющая неравенству
Px(x,xo) < (IE - KQ)-1KТу(фо,фо), (1)
и существует у € Ф(x0) П Ф(x0) такой, что
Ту (у, Фо) < Q(Ie - KQ)-1K Ту (фо,фо). (2)
Замечание 1.В условии теоремы 1 можно потребовать, чтобы вместо пространства E банаховым было пространство M. В этом случае оценку (1) следует заменить равносильным неравенством
Px (x^) < K (Im - QK )-1 Ту (фо, Фо), а оценку (2) нужно записать в следующем виде
Ту (у, Фо) < (Im - QK )-lQK Ту (фо,фо).
Замечание 2. Если E = M = R, то есть X, У — «обычные» метрические пространства, то теорема 1 равносильна теореме А. В. Арутюнова из работы [6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Многозначные накрывающие отображения пространств с векторнозначной метрикой в исследовании функциональных включений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 1974-1982.
2. Жуковский Е.С. О точках совпадения векторных отображений // Известия высших учебных заведений. Математика. 2016. № 10. С. 14-28.
3. Zhukovskiy E.S. On coincidence points of multivalued vector mappings of metric spaces // Mathematical Notes. 2016. V. 100. № 3-4. P. 363-379.
4. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E., Zhukovskiy E.S. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343.
5. Арутюнов А.В. Точки совпадения двух отображений // Функциональный анализ и его приложения. 2014. Т. 48. № 1. С. 89-93.
6. Арутюнов А.В. Задача о точках совпадения многозначных отображений и устойчивость по Уламу-Хайерсу // Доклады Академии наук. 2014. Т. 445. № 4. С. 379-383.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 17-01-00553, № 15-01-04601).
Поступила в редакцию 2 сентября 2017 г.
Плужникова Елена Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа; Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Моисеев Юрий Анатольевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, е-mail: [email protected]
Репин Алексей Анатольевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, e-mail: [email protected]
ISSN 1810-0198 BecTHHK Try, t. 22, huo. 6, 2017
UDC 517
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1309-1313
ON COINCIDENCE POINTS OF TWO MULTI-VALUED MAPPINGS IN SPACES WITH VECTOR-VALUED METRICS
© E. A. Pluzhnikova 1) 2) , Yu. А. Moiseev 1 , A. A. Repin 1
Tambov State University named after G.R. Derzhavin, 33 Internatsionalnaya st., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: [email protected], [email protected]
2) RUDN University 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: [email protected]
Spaces with vector-valued metrics are considered. The values of a vector-valued metric are elements of a cone in some linear normed space. The concept of covering (metric regularity) for multi-valued mappings in spaces with vector-valued metrics is formulated. A statement about coincidence points of a metrically regular and a Lipschitz multi-valued mappings in spaces with vector-valued metrics is obtained.
Keywords: coincidence points of mappings; multi-valued mappings; covering mappings; metrically regular mappings; spaces with vector-valued metrics
REFERENCES
1. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. Multi-valued covering maps spaces with vector-valued metrics in research of functional inclusions // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences. Tambov, 2016. V. 21. Iss. 6. P. 1974-1982.
2. Zhukovskiy E.S. On Coincidence Points for Vector Mappings // Russian Mathematics. 2016. V. 60. Iss. 10. P. 10-22.
3. Zhukovskiy E.S. On coincidence points of multivalued vector mappings of metric spaces // Mathematical Notes. 2016. V. 100. Iss. 3-4. P. 363-379.
4. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E., Zhukovskiy E.S. Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2016. V. 201. P. 330-343.
5. Arutyunov A.V. Coincidence points of two maps // Functional Analysis and Its Applications. 2014. V. 48. Iss. 1. P. 72-75.
6. Arutyunov A.V. Zadacha o tochkah sovpadeniya mnogoznachnyh otobrazheniy i ustoychivost' po Ulamu-Hayersu // Doklady Akademii nauk. 2014. T. 445. № 4. S. 379-383.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (projects № 17-01-00553, № 15-01-04601).
Received 2 September 2017
Pluzhnikova Elena Aleksandrovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department; RUDN University, Moscow, the Russian Federation, Associate Professor of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, е-mail: [email protected]
Moiseev Yuriy Anatol'evich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate student, Functional Analysis Department, е-mail: [email protected]
Repin Alexey Anatol'evich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate student, Functional Analysis Department, е-mail: [email protected]
Для цитирования: Плужникова Е.А., Моисеев Ю.А., Репин А.А. О точках совпадения двух многозначных отображений в пространствах с векторнозначной метрикой // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1309-1313. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1309-1313.
For citation: Pluzhnikova E.A., Moiseev Yu.A., Repin A.A. O tochkah sovpadeniya dvuh mnogoznachnyh otobrazheniy v prostranstvah s vektornoznachnoy metrikoy [On coincidence points of two multi-valued mappings in spaces with vector-valued metrics]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 1309-1313. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1309-1313 (In Russian, Abstr. in Engl.).
