CC BY
32
УДК 517.988.5
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-430-434
О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
© В. С. Трещев
Предлагаются условия разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений неявного вида. Используются результаты о векторно накрывающих отображениях, полученные Е. С. Жуковским.
Ключевые слова: система неявных дифференциальных уравнений; задача Коши; векторно накрывающие отображения; метрические пространства.
Идея приложения утверждений о накрывающих отображениях к исследованию неявных дифференциальных уравнений предложена в [1] и развита в ряде работ (см. [2]-[5]). В цитируемых работах рассматривались вопросы существования и продолжаемости решений задачи Коши, их непрерывной зависимости от параметров. В работах [6]-[8] были начаты исследования векторно накрывающих отображений в произведениях метрических пространств, полученные результаты применялись к краевым задачам и задачам управления. В [10] получена теорема о возмущениях векторно накрывающих отображений в произведениях метрических пространств, наделенных векторной метрикой. Эти результаты позволяют более эффективно исследовать различные системы, в том числе, системы неявных дифференциальных уравнений. Здесь методами, основанными на утверждениях о векторно накрывающих отображениях пространств с векторной метрикой, доказывается теорема о разрешимости задачи Коши для системы неявных дифференциальных уравнений. Полученное утверждение уточняет результат [6].
Используются следующие обозначения: Im — матрица размерности m х m, все компоненты которой равны 1, Im — единичная m х m, матрица, Rn — n -мерное вещественное пространство, R+ — конус векторов с неотрицательными компонентами пространства Rn, cl(Rn) — совокупность непустых замкнутых подмножеств пространства Rn; L^([a,b], R) — банахово пространство измеримых существенно ограниченных функций х : [a,b] ^ R с нормой ||х||^то([а &]д) = vrai supie[a>6] |x(i)|; AC^([a,b], R) — банахово пространство абсолютно непрерывных функций, имеющих почти всюду производную X € L^([a,b], R), с нормой
H^UcUM.R) = Hх ^([«ДК) + H^l _ _
Пусть заданы метрические пространства Xi = (Xi,pxi), Yj = (Yj, pYj), i = 1,n, j = 1,m. Определим произведение этих пространств
n m
X = П Xi, Y = П Yj i=1 j=1
и зададим в них векторные метрики, полагая для х = (х1,..., xn) € X, u = (u1,..., un) € X и y = (y1,...,ym ) € Y, ш = (Ш1 ,...,Шт) € Y
PX (x,u) = (pxi (x1,u1),...,pxn (xn,un)) , Py (У,ш) = (py1 (y1,W1),...,pym (ym,Um)) .
Обозначим Bxi (щ, di) = {xi € Xi : pxt (щ, xi) < di} — замкнутый шар в пространстве Xi с центром в точке ui € Xi радиуса di > 0. Аналогично, обозначим Byj (uj ,rj ) замкнутый шар в
пространстве (Yj,pyrj). Определим произведения этих шаров
m
By (w,r) = nBYj (Wj ,rj) = {y e Y, pY (y,w) < r}, где r = (ri,...,rm) e Rm,
j=l
Bx(u, d) = Bxi (ui, di), где d = (di, ...,dn) e R+.
i=l
Определение свойства накрывания отображений, действующих из X в Y предложено в [10]. Приведем определение несколько более общего понятия, предложенного Е. С. Жуковским.
Пусть, задано множество W С Y, n х m матрица A с неотрицательными компонентами aij, i = l,n, j = l,m. По заданным u0 e X, R e Rm определим множество
B(u0, R) = {(u, r) e Bx(u0, R) х Rm : Ar + px(u, u0) < R}. (1)
Определение 1. Отображение F : X ^ Y называем векторно условно A -накрывающим множество W на совокупности B(u0, R) если
Vu e Bx(u°, R) Vy e W П F(X) Apy(y,F(u)) + px(u,u0) < R ^
3x e X F(x) = y, px(x,u) < Apy(y,F(u)).
Далее будем рассматривать пространства Rn, L^([a,b], Rn), AC^([a,b], Rn) как произведения соответствующих метрических пространств, т. е. определим в этих пространствах векторные метрики равенствами
pRn (d,j) = (|di - Yi\,---,\dn - Yn\) Vd,Y eRn, Pb^([a,b],Rn)(y,w) = (\\yi - wl \\LTO([a,b],R), ■ ■ ■ , \\Уп - wn ^([аДК)) V y,w e Lж([a, b], Rn), PAClx([aMRn)(x,v) = (\\X1 - vl\lACTO([a,b],l),..., \\xn - ^НаС^МД)) V x,V e ACж([a,b}, Rn).
Пусть заданы функция y e L^([a,b], Rm), вектор y e Rn и определена удовлетворяющая условиям Каратеодори (т. е. измеримая по первому и непрерывная по совокупности остальных аргументов) функция f = (fl, fm) : [a, b] х Rn х Rn ^ Rm. Пусть при любом r e Rm существует такая функция Пг e L^([a,b], R), что при почти всех t e [a,b] и любых x,w e Bru (0,r) выполнено неравенство \f (t,x,w)\< nr(t). Рассмотрим при t e [a,b] систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
fi(t,xi(t),... ,xn(t),xi(t),... ,x,n(t)) = yi(t),
f2(t,xi(t),... ,xn(t),xi(t),..., xn(t) = y2(t), (2)
fm (t,xi(t), . . . ,xn(t),x 1 (t), . . . , xn(t) = ym(t), с начальными условиями
xi(a) = Yi, x2(a) = Y2, xn(a) = Yn. (3)
Пусть ce (a,b]. Решением задачи (2), (3), определенным на [a,c], будем называть функцию xc e AC^([a,c], Rn), удовлетворяющую уравнениям системы (2) при почти всех t e [a,c] и начальным условиям (3).
Пусть заданы u0 e L^([a,b], Rn), R e R+. Определим при каждом t e [a,b] совокупность B(u0(t),R) С Rn х Rm равенством (1), где X = Rn, т. е.
B(u0(t),R) = {(u,r) e Bru (u°(t), R) х Rm : Ar + pRu (u,u0(t)) < R}.
Заметим, что отображение £ € [а, Ь] ^ ВЩ € СКх измеримо. Определим абсолютно непрерывную функцию х0 :[а,Ь]^ Мга с компонентами х0 (£) = ^г + /„ и0 (5) йв и для некоторого а> 0 положим В(Ь) = ВМп(х0(Ь),оТ), Т = (1,..., 1) € Мга, £ € [а,Ь].
Пусть задано й € М™. Определим при почти всех £ € [а,Ь], любом х € 0(£) множество
w(г,х) = Бмт (/(г,х,и°(г)), й).
Теорема 1. Пусть для некоторых матриц Anxm и Bmxn с неотрицательными ком-
>Rn I
понентами при почти всех t € [a,b], любых ш € Br™ (u°(t), R), x € D(t) выполнены условия:
• отображение f (t,x,■): Rn векторно условно A -накрывающее множество W(t,x) на совокупности u0(t),R ;
• отображение f (t, ■¡ш): D(t) ^ Rm B -липшицево;
• имеет место включение y(t) € f (t,x, BRn(u0(t), R)j.
Далее, пусть существует такое е> 0, что имеют место неравенства
r(y) = (Im + e1m)pL^{[amm)(y°,y) < d, Ar(y) < R, где y0(t) = f (t,x0(t),u0(t)).
Тогда для некоторого значения c € (a, b] существует определенное на [a, сС] решение xc € ACо ([a,c], Rn) задачи (1),(2), удовлетворяющее оценке
~PL^([a,a+S]Rn)(xxc,Pc u°) < A(Im + £1m)pL^([a,c],Rm)(Pc y0, Pc y),
здесь символом Pc обозначена операция сужения на [a, сС] соответствующих функций.
Это утверждение уточняет результаты о разрешимости задачи Коши для неявных дифференциальных уравнений цитируемых выше работ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
2. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
3. Arutyunov A., de Oliveira V.A., Lobo Pereira F., Zhukovskiy S., Zhukovskiy E. On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2015. V. 94. Iss. 1. P. 129-143.
4. Жуковским С.Е., Мингалеева З.Т. О разрешимости управляемых систем // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2014. Т. 19. № 2. С. 380-383.
5. Перейра Ф.Л., Жуковский С.Е. О Приложениях накрывающих отображений к задаче Коши для дифференциальных включений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. № 5-2. С. 2626-2628.
6. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 439-456.
7. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями // Автоматика и телемеханика. 2015. № 1. С. 31-56.
8. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. О периодической краевой задаче для дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной// Известия ИМИ УдГУ. 2012. № 1 (39). С. 52-53.
9. Жуковский Е.С., Жуковская Т.В. Об условиях разрешимости краевой задачи для нелинейного абстрактного функционально-дифференциального уравнения // Известия ИМИ УдГУ. 2012. № 1 (39). С. 50-51.
10. Жуковский Е.С., Мунембе Ж. П. О возмущениях многозначных векторно накрывающих отображений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2015. Т. 20. № 5. С. 1146-1150.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-97504).
Поступила в редакцию 21 марта 2016 г.
Трещев Валентин Сергеевич, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, e-mail: [email protected]
UDC 517.988.5
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-430-434
ABOUT THE CAUCHY PROBLEM FOR A SYSTEM OF IMPLICIT DIFFERENTIAL EQUATIONS
© V. S. Treshchev
Conditions of solvability of the Cauchy problem for a system of implicit differential equations are offered. The results about vector covering mappings due to E.S. Zhukovsky are used. Key words: system of differential equations; the Cauchy problem; vector covering mappings; metric spaces.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 14-01-97504).
REFERENCES
1. Arutyunov A.V., Avakov E.R., Zhukovskiy E.S. Nakryvayushchie otobrazheniya i ih prilozheniya k differencial'nym uravneniyam, ne razreshennym otnositel'no proizvodnoy // Differencial'nye uravneniya. 2009. T. 45. № 5. S. 613-634.
2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O korrektnosti differencial'nyh uravneniy, ne razreshennyh otnositel'no proizvodnoy // Differencial'nye uravneniya. 2011. T. 47. № 11. S. 1523-1537.
3. Arutyunov A., de Oliveira V.A., Lobo Pereira F., Zhukovskiy S., Zhukovskiy E. On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2015. V. 94. Iss. 1. P. 129-143.
4. Zhukovskiy S.E., Mingaleeva Z.T. O razreshimosti upravlyaemyh sistem // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2014. T. 19. № 2. S. 380-383.
5. Perejra F.L., Zhukovskiy S.E. O Prilozheniyah nakryvayushchih otobrazheniy k zadache Koshi dlya differencial'nyh vklyucheniy // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2013. T. 18. № 5-2. S. 2626-2628.
6. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. Nakryvayushchie otobrazheniya v proizvedenii metricheskih prostranstv i kraevye zadachi dlya differencial'nyh uravneniy, ne razreshennyh otnositel'no proizvodnoy // Differencial'nye uravneniya. 2013. T. 49. № 4. S. 439-456.
7. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. Ob upravlenii ob"ektami, dvizhenie kotoryh opisyvaetsya neyavnymi nelinejnymi differencial'nymi uravneniyami // Avtomatika i telemekhanika. 2015. № 1. S. 31-56.
8. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. O periodicheskoy kraevoy zadache dlya differencial'nogo uravneniya, ne razreshennogo otnositel'no proizvodnoy// Izvestiya IMI UdGU. 2012. № 1 (39). S. 52-53.
9. Zhukovskiy E.S., ZHukovskaya T.V. Ob usloviyah razreshimosti kraevoy zadachi dlya nelinejnogo abstraktnogo funkcional'no-differencial'nogo uravneniya // Izvestiya IMI UdGU. 2012. № 1 (39). S. 50-51.
10. Zhukovskiy E.S., Munembe ZH.P. O vozmushcheniyah mnogoznachnyh vektorno nakryvayushchih otobrazheniy // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2015. T. 20. № 5. S. 1146-1150.
Received 21 March 2016.
Treshchev Valentin Sergeyevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate student of the Functional Analysis Department, e-mail: [email protected]
