Научная статья на тему 'О задаче Коши для систем неявных дифференциальных уравнений'

О задаче Коши для систем неявных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
136
32
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
СИСТЕМА НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ / ЗАДАЧА КОШИ / ВЕКТОРНО НАКРЫВАЮЩИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ / МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА / SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS / THE CAUCHY PROBLEM / VECTOR COVERING MAPPINGS / METRIC SPACES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Трещев Валентин Сергеевич

Предлагаются условия разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений неявного вида. Используются результаты о векторно накрывающих отображениях, полученные Е. С. Жуковским.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ABOUT THE CAUCHY PROBLEM FOR A SYSTEM OF IMPLICIT DIFFERENTIAL EQUATIONS

Conditions of solvability of the Cauchy problem for a system of implicit differential equations are offered. The results about vector covering mappings due to E.S. Zhukovsky are used.

Текст научной работы на тему «О задаче Коши для систем неявных дифференциальных уравнений»

УДК 517.988.5

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-430-434

О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© В. С. Трещев

Предлагаются условия разрешимости задачи Коши для системы дифференциальных уравнений неявного вида. Используются результаты о векторно накрывающих отображениях, полученные Е. С. Жуковским.

Ключевые слова: система неявных дифференциальных уравнений; задача Коши; векторно накрывающие отображения; метрические пространства.

Идея приложения утверждений о накрывающих отображениях к исследованию неявных дифференциальных уравнений предложена в [1] и развита в ряде работ (см. [2]-[5]). В цитируемых работах рассматривались вопросы существования и продолжаемости решений задачи Коши, их непрерывной зависимости от параметров. В работах [6]-[8] были начаты исследования векторно накрывающих отображений в произведениях метрических пространств, полученные результаты применялись к краевым задачам и задачам управления. В [10] получена теорема о возмущениях векторно накрывающих отображений в произведениях метрических пространств, наделенных векторной метрикой. Эти результаты позволяют более эффективно исследовать различные системы, в том числе, системы неявных дифференциальных уравнений. Здесь методами, основанными на утверждениях о векторно накрывающих отображениях пространств с векторной метрикой, доказывается теорема о разрешимости задачи Коши для системы неявных дифференциальных уравнений. Полученное утверждение уточняет результат [6].

Используются следующие обозначения: Im — матрица размерности m х m, все компоненты которой равны 1, Im — единичная m х m, матрица, Rn — n -мерное вещественное пространство, R+ — конус векторов с неотрицательными компонентами пространства Rn, cl(Rn) — совокупность непустых замкнутых подмножеств пространства Rn; L^([a,b], R) — банахово пространство измеримых существенно ограниченных функций х : [a,b] ^ R с нормой ||х||^то([а &]д) = vrai supie[a>6] |x(i)|; AC^([a,b], R) — банахово пространство абсолютно непрерывных функций, имеющих почти всюду производную X € L^([a,b], R), с нормой

H^UcUM.R) = Hх ^([«ДК) + H^l _ _

Пусть заданы метрические пространства Xi = (Xi,pxi), Yj = (Yj, pYj), i = 1,n, j = 1,m. Определим произведение этих пространств

n m

X = П Xi, Y = П Yj i=1 j=1

и зададим в них векторные метрики, полагая для х = (х1,..., xn) € X, u = (u1,..., un) € X и y = (y1,...,ym ) € Y, ш = (Ш1 ,...,Шт) € Y

PX (x,u) = (pxi (x1,u1),...,pxn (xn,un)) , Py (У,ш) = (py1 (y1,W1),...,pym (ym,Um)) .

Обозначим Bxi (щ, di) = {xi € Xi : pxt (щ, xi) < di} — замкнутый шар в пространстве Xi с центром в точке ui € Xi радиуса di > 0. Аналогично, обозначим Byj (uj ,rj ) замкнутый шар в

пространстве (Yj,pyrj). Определим произведения этих шаров

m

By (w,r) = nBYj (Wj ,rj) = {y e Y, pY (y,w) < r}, где r = (ri,...,rm) e Rm,

j=l

Bx(u, d) = Bxi (ui, di), где d = (di, ...,dn) e R+.

i=l

Определение свойства накрывания отображений, действующих из X в Y предложено в [10]. Приведем определение несколько более общего понятия, предложенного Е. С. Жуковским.

Пусть, задано множество W С Y, n х m матрица A с неотрицательными компонентами aij, i = l,n, j = l,m. По заданным u0 e X, R e Rm определим множество

B(u0, R) = {(u, r) e Bx(u0, R) х Rm : Ar + px(u, u0) < R}. (1)

Определение 1. Отображение F : X ^ Y называем векторно условно A -накрывающим множество W на совокупности B(u0, R) если

Vu e Bx(u°, R) Vy e W П F(X) Apy(y,F(u)) + px(u,u0) < R ^

3x e X F(x) = y, px(x,u) < Apy(y,F(u)).

Далее будем рассматривать пространства Rn, L^([a,b], Rn), AC^([a,b], Rn) как произведения соответствующих метрических пространств, т. е. определим в этих пространствах векторные метрики равенствами

pRn (d,j) = (|di - Yi\,---,\dn - Yn\) Vd,Y eRn, Pb^([a,b],Rn)(y,w) = (\\yi - wl \\LTO([a,b],R), ■ ■ ■ , \\Уп - wn ^([аДК)) V y,w e Lж([a, b], Rn), PAClx([aMRn)(x,v) = (\\X1 - vl\lACTO([a,b],l),..., \\xn - ^НаС^МД)) V x,V e ACж([a,b}, Rn).

Пусть заданы функция y e L^([a,b], Rm), вектор y e Rn и определена удовлетворяющая условиям Каратеодори (т. е. измеримая по первому и непрерывная по совокупности остальных аргументов) функция f = (fl, fm) : [a, b] х Rn х Rn ^ Rm. Пусть при любом r e Rm существует такая функция Пг e L^([a,b], R), что при почти всех t e [a,b] и любых x,w e Bru (0,r) выполнено неравенство \f (t,x,w)\< nr(t). Рассмотрим при t e [a,b] систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

fi(t,xi(t),... ,xn(t),xi(t),... ,x,n(t)) = yi(t),

f2(t,xi(t),... ,xn(t),xi(t),..., xn(t) = y2(t), (2)

fm (t,xi(t), . . . ,xn(t),x 1 (t), . . . , xn(t) = ym(t), с начальными условиями

xi(a) = Yi, x2(a) = Y2, xn(a) = Yn. (3)

Пусть ce (a,b]. Решением задачи (2), (3), определенным на [a,c], будем называть функцию xc e AC^([a,c], Rn), удовлетворяющую уравнениям системы (2) при почти всех t e [a,c] и начальным условиям (3).

Пусть заданы u0 e L^([a,b], Rn), R e R+. Определим при каждом t e [a,b] совокупность B(u0(t),R) С Rn х Rm равенством (1), где X = Rn, т. е.

B(u0(t),R) = {(u,r) e Bru (u°(t), R) х Rm : Ar + pRu (u,u0(t)) < R}.

Заметим, что отображение £ € [а, Ь] ^ ВЩ € СКх измеримо. Определим абсолютно непрерывную функцию х0 :[а,Ь]^ Мга с компонентами х0 (£) = ^г + /„ и0 (5) йв и для некоторого а> 0 положим В(Ь) = ВМп(х0(Ь),оТ), Т = (1,..., 1) € Мга, £ € [а,Ь].

Пусть задано й € М™. Определим при почти всех £ € [а,Ь], любом х € 0(£) множество

w(г,х) = Бмт (/(г,х,и°(г)), й).

Теорема 1. Пусть для некоторых матриц Anxm и Bmxn с неотрицательными ком-

>Rn I

понентами при почти всех t € [a,b], любых ш € Br™ (u°(t), R), x € D(t) выполнены условия:

• отображение f (t,x,■): Rn векторно условно A -накрывающее множество W(t,x) на совокупности u0(t),R ;

• отображение f (t, ■¡ш): D(t) ^ Rm B -липшицево;

• имеет место включение y(t) € f (t,x, BRn(u0(t), R)j.

Далее, пусть существует такое е> 0, что имеют место неравенства

r(y) = (Im + e1m)pL^{[amm)(y°,y) < d, Ar(y) < R, где y0(t) = f (t,x0(t),u0(t)).

Тогда для некоторого значения c € (a, b] существует определенное на [a, сС] решение xc € ACо ([a,c], Rn) задачи (1),(2), удовлетворяющее оценке

~PL^([a,a+S]Rn)(xxc,Pc u°) < A(Im + £1m)pL^([a,c],Rm)(Pc y0, Pc y),

здесь символом Pc обозначена операция сужения на [a, сС] соответствующих функций.

Это утверждение уточняет результаты о разрешимости задачи Коши для неявных дифференциальных уравнений цитируемых выше работ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

2. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.

3. Arutyunov A., de Oliveira V.A., Lobo Pereira F., Zhukovskiy S., Zhukovskiy E. On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2015. V. 94. Iss. 1. P. 129-143.

4. Жуковским С.Е., Мингалеева З.Т. О разрешимости управляемых систем // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2014. Т. 19. № 2. С. 380-383.

5. Перейра Ф.Л., Жуковский С.Е. О Приложениях накрывающих отображений к задаче Коши для дифференциальных включений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. № 5-2. С. 2626-2628.

6. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 439-456.

7. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями // Автоматика и телемеханика. 2015. № 1. С. 31-56.

8. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. О периодической краевой задаче для дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной// Известия ИМИ УдГУ. 2012. № 1 (39). С. 52-53.

9. Жуковский Е.С., Жуковская Т.В. Об условиях разрешимости краевой задачи для нелинейного абстрактного функционально-дифференциального уравнения // Известия ИМИ УдГУ. 2012. № 1 (39). С. 50-51.

10. Жуковский Е.С., Мунембе Ж. П. О возмущениях многозначных векторно накрывающих отображений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2015. Т. 20. № 5. С. 1146-1150.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-97504).

Поступила в редакцию 21 марта 2016 г.

Трещев Валентин Сергеевич, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, e-mail: treshchev.math@mail.ru

UDC 517.988.5

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-430-434

ABOUT THE CAUCHY PROBLEM FOR A SYSTEM OF IMPLICIT DIFFERENTIAL EQUATIONS

© V. S. Treshchev

Conditions of solvability of the Cauchy problem for a system of implicit differential equations are offered. The results about vector covering mappings due to E.S. Zhukovsky are used. Key words: system of differential equations; the Cauchy problem; vector covering mappings; metric spaces.

ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 14-01-97504).

REFERENCES

1. Arutyunov A.V., Avakov E.R., Zhukovskiy E.S. Nakryvayushchie otobrazheniya i ih prilozheniya k differencial'nym uravneniyam, ne razreshennym otnositel'no proizvodnoy // Differencial'nye uravneniya. 2009. T. 45. № 5. S. 613-634.

2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O korrektnosti differencial'nyh uravneniy, ne razreshennyh otnositel'no proizvodnoy // Differencial'nye uravneniya. 2011. T. 47. № 11. S. 1523-1537.

3. Arutyunov A., de Oliveira V.A., Lobo Pereira F., Zhukovskiy S., Zhukovskiy E. On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2015. V. 94. Iss. 1. P. 129-143.

4. Zhukovskiy S.E., Mingaleeva Z.T. O razreshimosti upravlyaemyh sistem // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2014. T. 19. № 2. S. 380-383.

5. Perejra F.L., Zhukovskiy S.E. O Prilozheniyah nakryvayushchih otobrazheniy k zadache Koshi dlya differencial'nyh vklyucheniy // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2013. T. 18. № 5-2. S. 2626-2628.

6. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. Nakryvayushchie otobrazheniya v proizvedenii metricheskih prostranstv i kraevye zadachi dlya differencial'nyh uravneniy, ne razreshennyh otnositel'no proizvodnoy // Differencial'nye uravneniya. 2013. T. 49. № 4. S. 439-456.

7. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. Ob upravlenii ob"ektami, dvizhenie kotoryh opisyvaetsya neyavnymi nelinejnymi differencial'nymi uravneniyami // Avtomatika i telemekhanika. 2015. № 1. S. 31-56.

8. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. O periodicheskoy kraevoy zadache dlya differencial'nogo uravneniya, ne razreshennogo otnositel'no proizvodnoy// Izvestiya IMI UdGU. 2012. № 1 (39). S. 52-53.

9. Zhukovskiy E.S., ZHukovskaya T.V. Ob usloviyah razreshimosti kraevoy zadachi dlya nelinejnogo abstraktnogo funkcional'no-differencial'nogo uravneniya // Izvestiya IMI UdGU. 2012. № 1 (39). S. 50-51.

10. Zhukovskiy E.S., Munembe ZH.P. O vozmushcheniyah mnogoznachnyh vektorno nakryvayushchih otobrazheniy // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2015. T. 20. № 5. S. 1146-1150.

Received 21 March 2016.

Treshchev Valentin Sergeyevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate student of the Functional Analysis Department, e-mail: treshchev.math@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.