Разрешимость краевых задач для неявных дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

для любых (х0, и, у) € Кп х Ь^ х Ь1^ .

Покажем, что отображения Е и Е2 удовлетворяют предположениям леммы 2. Из леммы 3 следует, что отображение Е0 замкнуто и определено корректно (т. е. множество Е0(х0,и,у) замкнуто и непусто для любых (хо,и,у) € Кп х ЬП х ЬП>). Из лемм 1, 3 и 4, накрываемости отображения Е по третьему аргументу и липшицевости по второму следует, что для любого 5 > 0 отображение Е является накрывающим с константой ар — /ЗТ — 5 . Из леммы 1 следует, что отображение Е2 является ас -накрывающим по переменной хо . Кроме того, Е2 липши-цево по переменной у с константой Липшица, равной Твс . Замкнутость отображений Е и Е2 вытекает из лемм 3 и 4, соответственно. Липшицевость с константой вр отображения Е по первой переменной очевидна. Из (2) следует, что

арас —всар—Тврас >0 ^

^ ар ас — всар — Твр ас + Твсвр > Твр ас + Твсвр ^ ^ (ас — вс)(ар — Твр — 5) > Твсвр

для достаточно малого 5 > 0 .

Итак, отображения Е и Е2 удовлетворяют всем предположениям леммы 2 при у\ =0 € € Ь^ , у2 = 0 € Кт . Значит, система 3 имеет решение, и следовательно, задача (1) имеет решение. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2013. Т 49. № 4. С. 439-455.

2. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // ДАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.

3. Arutyunov A., Avakov E., Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points //J. Fixed Points Theory and Appl. 2009. V. 5. № 1. P. 105-127.

4. Арутюнов А.В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Математические заметки. 2009. Т. 86. № 2. С. 163-169.

5. Арутюнов А.В., Гельман Б.Д. О структуре множества точек совпадения // Математический сборник. 2015. Т. 206. № 3. С. 35-56.

6. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

7. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.

8. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Anal. 2012. V. 75. № 3. P. 1026-1044.

9. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. 2011. V. 90. Iss. 6. P. 889-898.

10 . Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1561-1570.

11 . Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. К вопросу о разрешимости управляемых дифференциальных систем // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 1. С. 49-54.

12 . Arutyunov A., de Oliveira V.A., Pereira F.L., Zhukovskiy E., Zhukovskiy S. On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2015. V. 94. Iss. 1. P. 129-143.

13. Жуковский С.Е., Жуковская З.Т. Достаточные условия локальной разрешимости управляемой системы // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2014. Т. 19. Вып. 6. С. 1761-1769.

1987

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-31-50044), гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ, № НШ-8215.2016.1 и гранта Президента Российской Федерации № МК-5333.2015.1.

Поступила в редакцию 10 октября 2016 г.

Жуковский Сергей Евгеньевич, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]

Жуковская Зухра Тагировна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]

UDC 517.922

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1983-1989

SOLVABILITY OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR IMPLICIT DIFFERENTIAL INCLUSIONS

© S.E. Zhukovskiy, Z.T. Zhukovskaya

Peoples Friendship University of Russia 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: [email protected]

A boundary value problem for an implicit differential inclusion is considered Sufficient conditions for solvability of this problem are obtained.

Key words: implicit differential inclusion; boundary value problem; covering mapping

REFERENCES

1. Zhukovskiy E.C., Pluzhnikova E.A. Nakryvayushchie otobrazheniya v proizvedenii metricheskih prostranstv i kraevye zadachi dlya differencial'nyh uravnenij, ne razreshennyh otnositel'no proizvodnoj // Differencial'nye uravneniya. 2013. T. 49. № 4. S. 439-455.

2 . Arutyunov A.V. Nakryvayushchie otobrazheniya v metricheskih prostranstvah i nepodvizhnye tochki // DAN. 2007. T. 416. № 2. S. 151-155.

3. Arutyunov A., Avakov E., Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points //J. Fixed Points Theory and Appl. 2009. V. 5, № 1. P. 105-127.

4. Arutyunov A.V. Ustojchivost' tochek sovpadeniya i svojstva nakryvayushchih otobrazhenij // Matematicheskie zametki. 2009. T. 86. № 2. S. 163-169.

5. Arutyunov A.V., Gel'man B.D. O strukture mnozhestva tochek sovpadeniya // Matematicheskiy sbornik. 2015. T. 206. № 3. S. 35-56.

6. Arutyunov A.V., Avakov E.R., Zhukovskiy E.S. Nakryvayushchie otobrazheniya i ih prilozheniya k differencial'nym uravneniyam, ne razreshennym otnositel'no proizvodnoj // Differencial'nie uravneniya. 2009. T. 45. № 5. S. 613-634.

7. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O korrektnosti differencial'nyh uravnenij, ne razreshennyh otnositel'no proizvodnoj // Differencial'nie uravneniya. 2011. T. 47. № 11. S. 1523-1537.

1988

8. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Anal. 2012. V. 75. № 3. P. 1026-1044.

9. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Existence of local solutions in constrained dynamic systems // Applicable Analysis. 2011. V. 90. Iss. 6. P. 889-898.

10. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E. Lokal'naya razreshimost' upravlyaemyh sistem so smeshannymi ogranicheniyami // Differencial'nie uravneniya. 2010. T. 46. № 11. S. 1561-1570.

11 . Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. K voprosu o razreshimosti upravlyaemyh differencial'nyh sistem // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2013. T. 18. Vyp. 1. S. 49-54.

12 . Arutyunov A., de Oliveira V.A., Pereira F.L., Zhukovskiy E., Zhukovskiy S. On the solvability of implicit differential inclusions // Applicable Analysis. 2015. V. 94. Iss. 1. P. 129-143.

13 . Zhukovskiy S.E., ZHukovskaya Z.T. Dostatochnye usloviya lokal'noj razreshimosti upravlyaemoj sistemy // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2014. T. 19. № 6. S. 1761-1769.

ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 16-31-50044), the grant of the Russian Federation President for the state support of leading scientific schools № NSh-8215.2016.1 and by the grant of the President of Russian Federation № MK-5333.2015.1.

Received 10 October 2016

Zhukovskiy Sergey Evgen'evich, Peoples Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]

Zhukovskaya Zukhra Tagirovna, Peoples Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Lecturer of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]

Информация для цитирования:

Жуковский С.Е., Жуковская З.Т. Разрешимость краевых задач для неявных дифференциальных включений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 1983-1989. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1983-1989

Zhukovskiy S.E., Zhukovskaya Z.T. Razreshimost' kraevyh zadach dlya neyavnyh differentsial'nyh vklyuchenij [Solvability of boundary value problems for implicit differential inclusions]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 1983-1989. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1983-1989 (In Russian)

1989

УДК 517.988.38

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1990-1997

ТОЧНЫЕ КОНСТАНТЫ ШТРАФА ДЛЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

Рассмотрена задача условной минимизации функционала, определенного на метрическом пространстве, с ограничениями типа равенств. Получены условия совпадения решений задачи с точками минимума штрафной функции. Исследованы свойства функции минимума.

Ключевые слова: штрафная функция; накрывающее отображение; точка совпадения

Введение. Настоящая работа посвящена одному из методов исследования задач условной минимизации - методу штрафных функций. Подробное описание метода штрафных функций и его применение для выведения необходимых условий оптимальности дано, например, в [1], §15. Вообще говоря, снятие ограничений в задаче на условный экстремум построением штрафных функций является стандартным приемом теории экстремальных задач. Существует обширная литература по этой тематике (см. библиографию в [1], §15). Мы дополнительно отметим работы [2], [3], в которых был получен ряд модификаций метода штрафных функций, применимых к вырожденным экстремальным задачам.

Настоящая работа посвящена следующей задаче. Пусть (Х,рх), (У, ру) - метрические пространства, заданы отображения Ф, Ф: X — У, функция / : X — К. Рассмотрим задачу

Точку х € X в этой задаче будем называть допустимой, если Ф(х) = Ф(х). Решением (минимумом) этой задачи будем называть допустимую точку ж € X такую, что /(ж) < /(х) для любой допустимой точки х € X .

Зададим штрафную функцию /к : X — К, к > 0, по формуле

Цель настоящей работы заключается в нахождении условий, при которых при достаточно больших к множество решений задачи (1) совпадает с множеством точек минимума функций /к.

I. Основные результаты. Пусть заданы числа а> 0, в > 0, I > 0. Всюду далее мы будем предполагать, что

© С.Е. Жуковский , О. В. Филиппова 2)

Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: [email protected] 2) Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: [email protected]

(1)

fk(x) = f (x) + кру(Ф(х), Ф(х)), x e X.

1990

• / является I -липшицевой функцией;

• Ф является непрерывным и а -накрывающим отображением;

• Ф является в -липшицевым отображением;

• а> в;

• X полно.

Напомним, что отображение Ф называется а -накрывающим, если

Vх° £ X, Vу £ У 3 х £ X : Ф(х) = у и рх(х°,х) < РУ(Ф(х°),у).

а

Отображение Ф , как обычно, называем в -липшицевым, если

ру(Ф(х), Ф(и)) < врХ(х,и) Vх,и £ X. Отметим, что множество решений х £ X уравнения

Ф(х) = Ф(х)

(т. е. множество допустимых точек в задаче (1)), также принято называть множеством точек совпадения отображений Ф и Ф .В приведенных предположениях множество допустимых точек в задаче (1) непусто, поскольку в силу теоремы 1 из [4] множество точек совпадения отображений Ф и Ф непусто.

Отметим, что результаты, аналогичные теореме 1 из [4], широко используются для изучения вопроса разрешимости абстрактных уравнений и включений (см., например, [5]-[7]), обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [8], [9]), уравнений Вольтерра (см. [10]) и управляемых систем (см., например, [11]-[13]). Теория накрывающих отображений используется и применительно к экстремальным задачам (см., например, [14]). Сформулируем основные результаты настоящей работы.

Теорема 1. Если

к > 1(а - в)-1,

то множество всех решений задачи (1) и множество всех точек минимума функции /к совпадают.

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из теоремы о точках совпадения из [4] и приведенного в следующем параграфе утверждения, аналогичного предложению 3.111 из [15].

Приведем следствие теоремы 1. Для произвольного у £ У рассмотрим задачу

( /(х) ^ т!^

\ Ф(х) = у. ( )

Следствие 1. Если к>1а-1, то множество решений задачи (2) совпадает со множеством точек минимума функции

9к : X , дк(х) = /(х) + кру(Ф(х),у).

Для доказательства этого утверждения достаточно применить теорему 1 к задаче (2) при Ф(х) = у, в = 0 .

1991

Исследуем зависимость значения минимума в задаче (2) от параметра у £ У . Положим

Ф-1(у) := {х £ X : у = Ф(х)} Vу £ У.

Обозначим через V С У множество всех у £ У, для которых инфимум в задаче (2) конечен, т. е.

у ^ 3 с £ К : /(х) > с Vх £ Ф-1(у). Определим функцию ш : V — К по формуле

ш(у) := ^ /(х) Vу £ V.

х: Ф(х)=у

Теорема 2. Если V = 0 , то V = У и функция ш является (а-11) -липшицевой.

Завершая этот параграф, сформулируем достаточные условия существования минимума функции, определенной на метрическом пространстве. Пусть даны функция и : X — К и положительное число а .

Теорема 3. Предположим, что

1) функция и(-) является условно а -накрывающей, т. е.

Vх° £ X, Vу £ иЩ 3 х £ X : и(х) = у и рх(х°,х) < 1у - и(х°)1;

а

2) функция и(-) является полунепрерывной снизу;

3) существует 7 £ К такое, что и(х) > 7 для любого х £ X .

Тогда для любой точки х° £ X существует точка х* £ X, в которой достигается минимум функции и(-), удовлетворяющая соотношению

, п . и(х°) - 7

рх(х°,х ) < -.

а

Это утверждение представляет собой следствие теоремы 3 из [16].

II. Доказательства основных результатов. Для произвольной функции Е : X — К + и

числа а £ К , как обычно, обозначим

Е-1(а) = {х £ X : Е(х) = а}.

Для множества А С X и точки х £ X обозначим

ё1в1(х, А) := М{рх(х,а) : а £ А}.

Всюду далее будем полагать, что

рх(х, 0) = V х £ X, >г V г £ к.

Пусть задана функция Е : X — К + , число 7 > 0. Для произвольного к > 0 определим функцию /к : X — К + по формуле

/к(х) := /(х)+ кЕ(х), х £ X.

Лемма 1. Предположим, что

^(х,Е-1(0)) < (х) Vх £ X.

1992

1) Если k = jl, то любое решение задачи

f (x) — min, F(x) = 0 (3)

является точкой минимума функции fk.

2) Если k>jl, то множество решений задачи (3) совпадает со множество точек минимума функции fk.

Доказательство леммы 1. Пусть k > jl, x - решение задачи (3). Из предположений на функцию F следует, что для любой точки x для любого e> 0 существует точка x£ € F-1 (0)

такая, что рх(x,x£) < jF(x) + е. Следовательно,

k

fk(x) > —1рх(x, x£) + f (x£) + -рх(x, x£) - ke > f (x£) - ke > fk(X) - ke

Y

для любого e> 0. Поэтому fk(x) > f (X) для любого x, и, значит, X является точкой минимума функции fk.

Пусть k>Yl, X - точка минимума функции fk. Из предположений на функцию F следует, что для любого е> 0 существует точка x£ € F-1(0) такая, что рх(x,x£) < yF(X) + е. Тогда

k

f (x£) = fk(x£) > fk(X) > -lpx(x,x£) + f x) + -рх(x,x£) + ke,

Y

и, значит,

k — lY ^ \

-рх(x, x£) + ke < 0

Y

для любого e> 0. Следовательно, X€ F-1 (0), т. е. X является допустимой точкой в задаче (3). Отсюда очевидно следует, что X - решение задачи (3). □

Замечание. Если k = yI, то множество решений задачи (3) может не совпадать со множеством точек минимума функции fk. Так, например, если

X = R, f (x) = -\x\, F (x) = \x\,

то l = y = 1, задача (3) принимает вид

( —\x\ — min, l \x\ =0,

и имеет место равенство

fk(x) = \x\ + k\x\.

Множество решений задачи (3) состоит только из нуля, в то время, как fk(x) = 0 при k = yI = 1, и, значит, множество точек минимума функции fk совпадает с .

Доказательство теоремы 1. Положим

F(x) = ру(ФЫ, ФЫ), x € X, y :=——г•

а — ß

Согласно теореме о точках совпадения (теорема 1 из [4]) для любого x € X существует точка { € X такая, что

F(0 = 0 и рх (x,£) < yF(x).

Следовательно, dist(x, F-1(0)) < yF(x) для любого x € X. Поскольку во введенных обозначениях задачи (1) и (3) эквивалентны, из леммы 1 вытекает искомое утверждение. □

1993